Masarykova univerzita
Ekonomicko-správní fakulta
Matematika 2
Práce opravovaná tutorem
Pokyny k vypracování:
Studentovi bude přiřazeno zadání náhodně dle jeho čísla UČO. Každé zadání obsahuje
slovně formulovaný optimalizační problém. K němu je třeba sestrojit matematický model,
následně pomocí vhodného software nalézt řešení(doporučen je doplněk Řešitel v Excelu,
ale můžete použít libovolný jiný program dle své volby), interpretovat výsledky a zodpovědět
případné doplňující otázky.
Odevzdání: Do odevzdávárny nahrajte soubor obsahující zápis matematického modelu a
dokladující použití softwareového nástroje k řešení problému. V případě použití Excelu
stačí doložit příslušný sešit se vzorci pro jednotlivé složky modelu (rozhodovací proměnné,
účelová funkce a omezující podmínky) a uloženým nastavením doplňku Solver, pomocí něhož
se dospělo k získání řešení. Při použití jiných specializovaných programů nebo online
nástrojů stačí doložit seznam použitých příkazů a výstup vybraného sw či zdrojový kód
dokumentující váš postup. Nezbytnou součástí musí být též interpretace výsledků a zdůvodnění
odpovědí na doplňující otázky.
Termín odevzdání: 31.12.2024
1
Téma A: Plánování pracovní síly
Softwareová společnost předpokládá zvýšený zájem o její produkty. Nicméně vedení se
obává dostatečnosti svých programátorů k uspokojení zvýšené poptávky s ohledem na historii
fluktuace pracovní síly (každý měsíc opouští společnost 5 % programátorů). Namísto
toho, aby najímali nové pracovníky, zvažuje vedení zapsání některých nebo všech svých
programátorů do intenzivního měsíčního školicího programu. Po úspěšném dokončení školicího
programu by programátor obdržel zvýšení platu a podepsal by smlouvu, že neopustí
společnost po dobu nejméně 6 měsíců. Vycvičení programátoři by tak byli imunní vůči
běžné fluktuaci.
Vedení věří, že úspěšné dokončení programu zvýší produktivitu programátora o 20 % a
plánuje implementovat politiku bez propouštění, aby podpořilo účast. Nicméně pouze 90 %
programátorů je předpovězeno, že školicí program úspěšně dokončí. Ti, kteří se zapsali do
školicího programu, ale program úspěšně nedokončí, se vrátí do pracovní síly na své úrovni
před školením (pro jednoduchost předpokládejte, že nejsou kandidáty na fluktuaci během
svého školicího měsíce a že se mohou později znovu zapsat do školicího programu).
Měsíční poptávka po nevycvičených programátorech pro následujících šest měsíců je
uvedena v tabulce níže. Pokud jsou k dispozici vycvičení programátoři, jejich vyšší produktivita
umožňuje vedení uspokojit poptávku s menším počtem programátorů. Například
poptávka v lednu může být uspokojena s 100 nevycvičenými programátory nebo s 82 nevycvičenými
a 15 vycvičenými programátory (protože 82 + 1,20 x 15 = 100).
Požadovaný počet neškolených programátorů
Měsíc leden únor březen duben květen červen
Programátorů 100 100 115 125 140 150
Programátor nemůže být během jednoho měsíce zapojen do výroby a současně se účastnit
vzdělávacího programu. Na začátku ledna má firma k dispozici 145 (nezaškolených)
programátorů. Měsíční mzdové náklady společnosti jsou 3000 dolarů za nenaškoleného programátora
(zapojeného buď do výroby, nebo do vzdělávacího programu) a 3300 dolarů za
školeného programátora.
1. Určete plán školení na dobu od ledna do června, který splňuje požadavky na pracovní
sílu za nejnižší náklady. Povolte částečné úvazky. Jaké jsou optimální náklady?
2. Pokud by společnost měla o jednoho programátora méně na začátku (tj. pracovní síla
by byla 144), byly by náklady vyšší nebo nižší a o kolik? K zodpovězení otázky využijte
citlivostní zprávu Řešitele.
3. Pokud by společnost mohla přesunout poptávku z června do dubna (tj. tak, aby poptávka
v červnu byla nižší a poptávka v dubnu byla vyšší o stejnou částku), byly by
náklady vyšší nebo nižší a o kolik?
2
Téma B: Hart Venture Capital
Hart Venture Capital (HVC) se specializuje na poskytování rizikového kapitálu pro vývoj
softwaru a internetové aplikace. V současné době má HVC dvě investiční příležitosti: (1)
Security Systems: firma, která potřebuje dodatečný kapitál k rozvoji softwarového balíku
internetové bezpečnosti a (2) Market Analysis: společnost zabývající se průzkumem trhu,
která potřebuje další kapitál na vývoj softwarového balíčku pro provádění průzkumů spokojenosti
zákazníků. Výměnou za své akcie společnost Security Systems požádala HVC o
poskytnutí 600 000 USD v prvním roce, 600 000 v druhém roce a 250 000 USD ve třetím
roce během nadcházejícího tříletého období. Společnost Market Analysis požádala HVC o
poskytnutí 500 000 USD v prvním roce, 350 000 USD ve druhém roce a 400 000 USD v
posledním roce za stejné tříleté období. HVC věří, že obě investiční příležitosti se vyplatí
využít. Kvůli jiným investicím však jsou ochotni uvolnit v prvním roce na oba projekty maximálně
800 000 USD, ve druhém roce maximálně 700 000 USD ve třetím roce nejvýše 500
000 USD.
Finanční experti společnosti HVC analyzovali oba projekty a doporučili jako investiční
cíl maximalizaci čisté současné hodnoty celkové investice do obou firem. Tento přístup zohledňuje
odhad hodnoty akcií na konci tříletého období i odliv kapitálu, které jsou nezbytné
během každého ze tří let. Při použití 8% návratnosti, HVC finanční analytický tým odhaduje,
že 100% financování projektu Security Systems má čistou současnou hodnotu 1 800
000 USD a 100% financování projektu Market Analysis má čistou současnou hodnotu 1 600
000 USD.
HVC má možnost financovat projekty i částečně. Pro ilustraci: pokud se například HVC
rozhodne financovat 40 % projektu Security Systems, bude v prvním roce zapotřebí investovat
0,40*($600,000) = $240,000, v druhém roce by bylo potřeba 0,40*($600,000) = $240,000
a v posledním roce by byla požadována investice ve výši 0,40*($250,000) = $100,000. V
tomto případě čistá současná hodnota projektu bude 0,40*($1,800,000) = $720,000.
Proveďte analýzu investičního problému HVC a připravte zprávu, která bude představovat
vaše zjištění a doporučení. Na základě řešení modelu určete jaké procento každého
projektu by HVC mělo financovat a jaká bude čistá současná hodnota celkové investice. Stanovte
plán alokace kapitálu pro nadcházející tříleté období. Doplňte diskusi následujících
položek:
1. Jaký vliv na investiční rozhodnutí by měla možnost společnosti HVC použít dodatečných
$100 000 během prvního roku? Změnila by se participace HVC na jednotlivých
projektech?
2. Jak by vypadal plán alokace kapitálu, kdyby byla dodatečná investice $100 000 v prvním
roce dostupná?
3. Jak by se tato dodatečná investice projevila na celkové čisté současné hodnotě?
3
Téma C: Návrh systému distribuce
Společnost Krotzer vyrábí a distribuuje měřiče používané k měření spotřeby elektrické energie.
Společnost začala s malou výrobní továrnou v El Pasu a postupně si vybudovala zákaznickou
základnu po celém Texasu. Distribuční centrum bylo založeno ve Ft. Worthu a
později, s rozšiřováním podnikání, bylo druhé distribuční centrum založeno v Santa Fe. Výrobní
závod v El Pasu byl rozšířen, když společnost začala prodávat své měřiče v Arizoně,
Kalifornii, Nevadě a Utahu. S rozvojem podnikání na západním pobřeží společnost otevřela
třetí distribuční centrum v Las Vegas a před pouhými dvěma lety otevřela druhý výrobní
závod v Sacramentu.
Výrobní náklady se liší mezi výrobními závody společnosti. Náklady na výrobu jednoho
měřiče vyrobeného v závodě v El Pasu činí 10,50 USD. Výrobní závod v Sacramentu používá
novější a efektivnější zařízení a jeho výrobní náklady činí pouze 10,00 USD za kus. Čtvrtletní
výrobní kapacita je 30 000 měřičů v starším závodě v El Pasu a 20 000 měřičů v závodě
v Sacramentu. Závozky ze závodu v Sacramentu do distribučního centra ve Ft. Worthu
nejsou povoleny. Vzhledem k rychlému růstu firmy nebyla věnována pozornost efektivitě
distribučního systému, ale vedení společnosti se rozhodlo, že je čas tento problém řešit. Náklady
na přepravu jednoho měřiče z obou závodů do každého ze tří distribučních center
jsou uvedeny v následující tabulce.
Distribuční centrum
Závod Ft Worth Santa Fe Las Vegas
El Paso 3,20 2,20 4,20
Sacramento – 3,90 1,20
Společnost obsluhuje devět zákaznických zón ze tří distribučních center. Prognóza počtu
měřičů potřebných v každé zákaznické zóně pro příští čtvrtletí je uvedena v následující
tabulce.
Zákaznická Poptávka
zóna (ks)
Dallas 6300
San Antonio 4880
Wichita 2130
Kansas City 1210
Denver 6120
Salt Lake City 4830
Phoenix 2750
Los Angeles 8580
San Diego 4460
Cena za dopravu jednoho měřiče (v USD) z každého distribučního centra do každé zákaznické
zóny je uvedena v následující tabulce. Upozorňujeme, že některá distribuční centra
neobsluhují určité zákaznické zóny, protože náklady by byly příliš vysoké.
4
Customer zone
DC Dal SA Wich KC Den SLC Pho LA SD
FW 0,30 2,10 3,10 4,40 6,00 – – – –
SF 5,20 5,40 4,50 6,00 2,70 4,70 3,40 3,30 2,70
LV – – – – 5,40 3,30 2,40 2,10 2,50
V současném distribučním systému je poptávka v oblastech Dallas, San Antonio, Wichita
a Kansas City uspokojována zásilkami z distribučního centra ve Ft Worth. Obdobně
jsou zákaznické oblasti Denver, Salt Lake City a Phoenix obsluhovány distribučním centrem
v Santa Fe a oblasti zákazníků Los Angeles a San Diego jsou obsluhovány distribučním
centrem v Las Vegas. Závod v El Pasu zásobuje distribuční centra ve Ft. Worth a Santa Fe,
zatímco závod v Sacramentu zásobuje distribuční centrum v Las Vegas.
Byli jste povoláni, abyste předložili doporučení pro zlepšení distribučního systému a
zejména vyřešili následující problémy.
1. Pokud firma nezmění svou stávající distribuční strategii, jaká bude nákladová struktura
distribučního systému následující čtvrtletí?
2. Předpokládejme, že firma je ochotna zvážit odstranění omezení distribučních center.
Jinými slovy, zákaznické zóny by nebyly nutně přiděleny vybraným distribučním centům
a distribuční centra by nebyla nutně přidělena závodům. O kolik by se náklady
mohly snížit s touto dodatečnou flexibilitou?
3. V blízké budoucnosti firma předpokládá střední růst poptávky asi o 20 procent. Předpokládejme,
že tento růst bude naplněn pomocí stávajících tras a rozšiřováním kapacity
továren dle potřeby. Jaké kapacity závodů by byly potřebné? Jaké by byly celkové
náklady systému?
4. Vzhledem ke zvýšeným nákladům v části c), o kolik by mohla větší flexibilita distribuce
a zvýšení kapacity závodů ušetřit na ročních výdajích? Jaké by byly potřebné
kapacity závodů?
5
Téma D: Nákup komponent
American Electronics Corporation (AEC) je předním výrobcem sítě propojených počítačových
systémů a příslušenství. Jejich produktové portfolio se skládá ze dvou řad, řady
Desktop (DK) a řady Workstation (WS). V každé řadě jsou zahrnuty různé modely, jak je
uvedeno v tabulce marketingových údajů. V tabulce níže najdete odhady maximální potenciální
poptávky, které marketingové oddělení v příštím čtvrtletí očekává, a to pro vybrané
jednotlivé modely a pro každou řadu zvlášť. Kromě toho jsou zde uvedeny informace o
minimální úrovni poptávky, kterou představují smlouvy o prodeji již uzavřené s hlavními
distributory.
min. max. prodejní
Model poptávka poptávka cena [$]
DK-1 – 1800 3000
DK-2 600 – 2000
DK-3 – 300 1500
DK řada 3600
WS-1 500 – 1500
WS-2 400 – 800
WS řada 2500
AEC vyrábí mnoho svých klíčových komponent ve vlastních továrnách. Nedávno se centrála
společnosti AEC dozvěděla od své divize polovodičů, že dodávky nových CPU čipů
jsou velmi omezené. Také mají omezenou kapacitu vyroby pevných disků a navíc dochází
ke zpřísňování přídělu paměťových čipů (které AEC nakupuje externě). Tyto informace v
podobě čtvrtletních dodávek spolu s informacemi o nárocích jednotlivých modelů na tyto
komponenty jsou shrnuty v tabulce níže.
potřeba pro model dostupné
komponenta DK-1 DK-2 DK-3 WS-1 WS-2 množství
CPU čip 1 1 1 1 1 6000
pevný disk 1 2 1 2 1 9000
paměťový čip 4 2 2 2 1 12000
Byli jste požádáni, abyste vytvořili pro problém optimálního plánování výroby model
lineárního programování. Vzhledem k tomu, že v AEC není plánováno propouštění zaměstnanců
a téměř všechny výrobní náklady jsou fixní, měl by model maximalizovat tržby pro
nadcházející čtvrtletí za podmínky omezení nabídky a poptávky.
1. Určete optimální produktový mix. Jaká je maximální tržba?
2. Použijte citlivostní zprávu Řešitele ke zjištění účinku zvýšení kapacity pevných disků
o 150 ks. Jak se změní množství vyráběných produktů? Jak se změní optimální tržby?
3. Pro jak velkou změnu kapacity pevných disků bude platná stínová cena z bodu b)?
6
Téma E: Plánování automobilové výroby
Společnost Auto Company of America (ACA) vyrábí čtyři typy vozů: malé, kompaktní,
střední a luxusní. ACA také vyrábí nákladní automobily a dodávky. Kapacita dodavatelů
omezuje celkovou výrobní kapacitu na maximálně 1 200 000 vozidel ročně. Malé a kompaktní
vozy jsou vyráběny společně v zařízení s celkovou roční kapacitou 620 000 automobilů.
Střední a luxusní vozy jsou vyráběny v jiném zařízení s kapacitou 400 000 vozů
a zařízení pro nákladní automobily a dodávky má kapacitu 275 000 vozidel. Marketingová
strategie ACA vyžaduje, aby malé a kompaktní vozy tvořily alespoň polovinu produktového
mixu ze čtyř typů vozů. Ziskové marže, tržní potenciál a účinnost využití paliva jsou shrnuty
níže.
zisk tržní potenciál účinnost
Typ ($/vůz) (tisíc ks) (MPG)
malý 150 600 40
kompaktní 225 400 34
střední 250 300 15
luxusní 500 225 12
nákladní 400 325 20
dodávka 200 100 25
Současné vládní normy pro průměrnou účinnost využití paliva vyžadují průměrnou účinnost
využití paliva vozového parku nejméně 27 mil na galon. ACA by ráda použila lineární
programování k porozumění dopadům vládní a firemní politiky na plán výroby.
1. Určete optimální výrobní plán pro ACA. Jaký je maximální zisk a příslušný produktový
mix?
2. Použijte citlivostní zprávu Řešitele k zjištění dopadů nárůstu tržního potenciálu malých
a kompaktních vozidel o 10 kusů. Jak se změní produkce? Jak se změní optimální
zisk?
3. Pomocí stínových cen zjistěte, o kolik by se snížil roční zisk z části a), kdyby požadavek
na účinnost paliva byl zvýšen nad 27 MPG. Rozhodněte, pro jak velké navýšení je
stínová cena platná.
7
Téma F: Volba investičního portfolia
Investiční manažer chce stanovit optimální portfolio pro bohatého klienta. Fond má k dispozici
2,5 milionu dolarů k investování a jeho cílem je maximalizovat celkový dolarový výnos z
růstu a dividend během nadcházejícího roku. Klient prozkoumal osm technologických společností
a chce, aby portfolio obsahovalo pouze akcie těchto společností. Tři ze společností
(S1-S3) jsou především softwarové společnosti, tři (H1-H3) jsou především hardwarové společnosti
a dvě (C1-C2) jsou internetové poradenské společnosti. Klient stanovil, že do každé
z těchto tří oblastí nesmí být přiděleno více než 40 procent investic. Pro zajištění diverzifikace
musí být do každé z osmi akcií investováno alespoň 100 000 dolarů. Navíc musí být
zakoupený počet akcií jakékoli společnosti násobkem 1000.
Tabulka níže uvádí odhady z databáze investiční společnosti týkající se těchto akcií. Odhady
zahrnují cenu akcie, předpokládanou roční růstovou sazbu ceny akcií a předpokládanou
roční dividendu na akcii.
S1 S2 S3 H1 H2 H3 C1 C2
Cena akcie $40 $50 $80 $60 $45 $60 $30 $25
Míra růstu ceny akcie 0,05 0,10 0,03 0,04 0,07 0,15 0,22 0,25
Dividenda $2,00 $1,50 $3,50 $3,00 $2,00 $1,00 $1,80 $0,00
1. Určete maximální výnos portfolia. Jaké optimální množství zakoupených akcií jednotlivých
společností? Jaká odpovídající částka je do nich investována?
2. Srovnejte nalezené řešení, s řešením pro zjednodušenou situaci, kdy počty akcií nemusí
tvořit násobky 1000. O kolik procent celočíselná omezení mění optimální hodnotu
účelové funkce? Jak se změní optimální výše investic?
8
Téma G: Rozvrh Rezervací
Společnost Roth Auto Rentals, která se specializuje na pronájem SUV vozů, sestavuje plán
pro uspokojení poptávky na příští týden. Vrchol poptávky přichází o víkendu, kdy může
nadostatek SUV vozů. Níže jsou uvedeny zaznamenané požadavky zákazníků.
Dny Zákazníků
Pá –Po 1
Pá –So 4
Pá –Ne 5
So– Ne 4
So– Po 3
Ne 2
Cena pronájmu závisí na tom, na které dny se smlouva vztahuje.
Dny Pá –Po Pá –So Pá –Ne So– Ne So- Po Ne
Cena (USD) 119,95 69,95 99,95 74,95 89,95 39,95
Roth Auto Rentals provozuje pouze jeden typ vozidla a očekává, že bude mít k zapůjčení
přes víkend k dispozici deset SUV.
1. Jaký je maximální příjem, který lze získat při uspokojení vybraných objednávek ze
seznamu ?
2. Jaké procento počtu zákazníků je uspokojeno v optimálním řešení a)?
3. Jaké procento poptávky v dolarech je uspokojeno v optimálním řešení a)?
4. Odpovězte znovu na výše uvedené tři otázky pro situaci, kdy by velikost vozového
parku vzrostla na 11-16 vozů.
9
Téma H: Plánování reklamní kampaně
Flamingo Grill je luxusní restaurace ve městě St.Petersburg na Floridě. Management společnosti
Flamingo najal mediální agenturu Haskell & Johnson (HJ) aby naplánovala reklamní
kampaň pro nadcházející sezónu. Vedení společnosti si od HJ vyžádalo doporučení týkající
se rozdělení rozpočtu na televizní, rozhlasovou a novinovou reklamu. Rozpočet kampaně
byl stanoven na 279 000 USD.
Na schůzce s vedením společnosti Flamingo poskytli konzultanti HJ následující informace
o hodnocení efektivity expozice stávajících zákazníků, svůj odhad počtu potenciálních
nových zákazníků oslovených při jednom zveřejnění reklamy a náklady na každou reklamu.
Oslovení Nových Náklady
stávajících zákazníků na zveřejnění
Televize 90 4000 $10,000
Rádio 25 2000 $3,000
Noviny 10 1000 $1,000
Za měřítko účinku reklamy je považován zásah jak stávajících zákazníků, tak potenciálních
nových zákazníků. Jeho velikost je ovlivněna faktory jako image, nápaditost, vizuální a
zvuková přitažlivost a tak dále. Podle očekávání dražší televizní reklama má nejvyšší účinek
na stávající a zároveň největší potenciál pro oslovení nových zákazníků.
Konzultanti HJ upozornili, že údaje týkající se zásahu zákazníků jsou použitelné pouze
pro prvních několik zveřejnění reklamy v každém médiu. Pro televizi uvedl HJ že hodnocení
expozice 90 stávajících a 4000 nových zákazníků zasažených reklamou jsou spolehlivé
jen pro prvních 10 odvysílání televizní reklamy. Očekává se, že po 10 vysíláních se přínos
sníží. Pro účely plánování HJ doporučil snížit hodnocení expozice na 55 a odhad potenciálu
oslovení nových zákazníků na 1500 pro všechny televizní reklamy nad 10. U rozhlasových
reklam: předchozí údaje jsou spolehlivé do maximálně 15 vysílání. Nad 15 odvysílaných
reklam, hodnocení expozice stávajících klesá na 20 a počet zasažených nových zákazníků
klesá na 1200 na reklamu. Podobně, u novinových inzerátů jsou předchozí údaje spolehlivé
do maximálně 20 zveřejnění; expozice stávajících pak klesá na 5 a potenciální počet
dosažených nových zákazníků klesá na 800 pro další reklamy.
Vedení společnosti Flamingo stanovilo jako hlavní cíl reklamní kampaně maximalizaci
celkového oslovení stávajících klientů napříč všemi médii. Co se týče přilákání nových zákazníků,
management rozhodl, že reklamní kampaň musí zasáhnout minimálně 100 000
nových zákazníků. Aby vyvážil reklamní kampaň a využil všech reklamních médií, přijal
manažerský tým Flaminga také následující pokyny.
• Musí se odvysílat alespoň dvakrát více rozhlasových reklam než televizních reklam.
• Maximální počet televizních reklam byl stanoven na 20.
• Rozpočet na televizní reklamu by měl být alespoň 140 000 USD.
• Rozpočet na rozhlasovou reklamu je omezen na maximálně 99 000 USD.
• Rozpočet novinové kampaně by měl činit nejméně 30 000 USD.
HJ souhlasil s tím, že bude pracovat s těmito pokyny a poskytne doporučení, jak by mělo
být 279 000 dolarů na reklamu rozděleno mezi televizi, rozhlas a noviny. Vypracujte model,
který lze použít k optimálnímu rozdělení rozpočtu na reklamu pro Flamingo Grill. Kromě
10
optimálního řešení zahrňte do zprávy diskusi o následujících bodech.
1. Jak by se změnilo řešení, kdyby se do reklamního rozpočtu přidalo dalších 10 000
USD?
2. Po přezkoumání doporučení HJ se manažerský tým Flaminga zeptal jak by se navržené
řešení změnilo v případě, kdyby cílem reklamní kampaně bylo maximalizovat počet
potenciálních nových oslovených zákazníků. Navrhněte mediální plán v rámci tohoto
cíle.
11
Téma I: Centrálně řízené zemědělství
Ministerstvo zemědělství rozvojové země rozhodlo, že bude centrálně řídit výsev plodin.
Země se skládá ze tří regionů, z nichž každý má jiné množství dostupné zemědělské půdy a
vodní kapacitu. Specifika krajů jsou uvedena v tabulce.
Kraj množství půdy (ha) kapacita vody (l)
A 800 600000
B 1200 800000
C 600 375000
Ministerstvo zemědělství stanovilo maximální hodnoty pro výsev jednotlivých plodin v každém
regionu. Pro každou plodina umíme stanovit úroveň spotřeby vody a očekávaný výnos
na hektar. Informace o plodinách jsou uvedeny v tabulce.
Plodina maximum (ha) spotřeba vody (l/ha) výnos (EUR/ha)
Proso 650 1000 200
Třtina 1200 3000 800
Bavlna 1000 2000 600
Regiony se dohodly, že pro výsadbu využijí stejný podíl dostupné hospodářské půdy. Potřebují
určit, kolik hektarů každé z plodin by mělo být zasazeno v každé jednotlivých regionech,
aby se maximalizoval celkový výnos země.
1. Navrhněte a zapište pro úlohu matematický model lineárního programování .
2. Nalezněte optimální řešení.
3. Rozhodněte, která omezení jsou v bodě optima aktivní
12
Téma J: Výcvik prodavačů
Obchodní dům zažívá vždy ke konci kalendářního roku významný nárůst počtu zákazníků.
Aby mohli být zákazníci obslouženi, musí mít obchodní dům ujistit k dispozici dostatek
prodejců. Od července každého roku tedy najímají nové prodavače, kteří musí být zaučeni
stávajícími pracovníky. Výcvik trvá jeden měsíc a jeden prodejce může každý měsíc zaškolit
až 20 nových zaměstnanců (školitelé jsou v průběhu měsíce zodpovědni výhradně za výcvik
a nejsou součástí aktivního prodejního týmu).
Zkušenosti ukazují, že jeden z deseti nových zaměstnanců nedokončí výcvik. Očekávané
měsíční požadavky na prodejní tým v druhé polovině roku jsou uvedeny v tabulce níže. Od
července je k dispozici 150 prodavačů pro prodej nebo výcvik a z personálních záznamů
vyplývá, že na konci každého měsíce z různých důvodů odchází 3 procenta pracovní síly.
Každému novému zaměstnanci se platí 2000 dolarů měsíčně, zatímco každý prodavač dostává
měsíční plat 3000 dolarů s příplatkem 500 dolarů, když jsou přiděleni k výcviku.
Politikou obchodního domu je nepropouštět v druhé polovině roku žádné prodavače.
potřeba
měsíc prodavačů
červenec 120
srpen 135
září 150
říjen 150
listopad 170
prosinec 200
1. Určete pro červenec až prosinec plán výcviku, který splňuje požadavky na poptávku
pracovníků při nejnižších možných nákladech. Jaký je optimální plán náboru zaměstnanců?
Jaká je optimální cena?
2. Jak se změní optimální řešení, povolíte-li částečné úvazky?
3. Pokud by společnost měla na začátku o jednoho prodavače méně (tj. v červenci by
bylo k dispozici 149 prodavačů), jak by se změnily minimální náklady? K zodpovězení
otázky využijte citlivostní zprávu Řešitele.
13
Téma K: Startup cashflow
Startupová firma potřebuje peníze na pokrytí svých peněžních toků pro plánovaný čtyřměsíční
projekt. Očekávané peněžní příjmy a výdaje na období leden až duben jsou následující.
leden únor březen duben celkem
Cash flow (tis. Kč) -150 -450 500 250 150
Začátkem května budou veškeré získané prostředky vyplaceny investorům. Existují dvě
možnosti jak projekt financovat. Jednou z nich je vzít si na začátku ledna dlouhodobou
půjčku. Úrok z této půjčky je 1 procento za měsíc, splatný vždy prvního dne po následující
tři měsíce, jistina je splatná 1. dubna. Půjčka může dosahovat až 400 000 korun a není povoleno
předčasné splacení. Alternativou je krátkodobá půjčka kterou si lze vzít na začátku
každého měsíce. Tato půjčka musí být splacena vždy první den následujícího měsíce s úrokem
1,2 procenta. Na tuto krátkodobou půjčku lze v kterémkoli měsíci použít 300 000 Kč.
Nadbytečné prostředky mohou být na začátku každého měsíce investovány do peněžního
fondu se zhodnocením 0,7 procenta na začátku následujícího měsíce.
Předpokládejme následující načasování peněžních toků: pro období, ve kterých se očekává
hotovostní deficit, musí být vždy k prvnímu dni dostatek prostředků na pokrytí cash
outflow; pro období, ve kterých se očekává peněžní přebytek, nelze hotovost použít až do
konce měsíce, všechny transakce se odehrávají až k prvnímu dni dalšího měsíce.
1. Jaká je maximální částka, kterou lze v květnu vyplatit investorům? Jaká je optimální
částka, kterou si má firma půjčit z jednotlivých možných zdrojů? Popište matematický
model a nalezněte optimální řešení.
2. Určete mezní efekt dodatečné tisícikoruny za každý měsíc plánovacího období.
14
Téma L: ICC Cargo
Jste zodpovědní za nakládku přepravních lodí pro mezinárodní společnost ICC Cargo v
hlavním přístavu na západním pobřeží. Byli jste požádáni o přípravu plánu nakládky pro
nákladní loď směřující do Afriky. Přední zemědělský a potravinářský koncern by chtěl na
palubě lodi přepravit následující komodity:
Komodita tun objem na tunu [m3] zisk z tuny [EUR]
ječmen 4000 40 70
rýže 3000 25 50
kukuřice 2000 60 60
pšenice 1000 50 80
Můžete se rozhodnout naložit jakoukoli kombinaci dostupných komodit. Nicméně loď má
tři nákladové prostory s následujícími omezeními kapacity.
Nákladový prostor hmotnostní kapacita [t] objemová kapacita [m3]
Přední 3000 100000
Střední 5000 150000
Zadní 2000 120000
Do jednoho nákladního prostoru lze umístit více než jeden druh zboží. Nicméně z důvodu
vyvážení musí být hmotnost nákladu v zadním nákladovém prostoru do 10 procent celkové
přepravní hmotnosti a ve středním nákladovém prostoru musí být mezi 40 a 60 procenty
celkové hmotnosti nákladu na palubě.
1. Jaký je maximální zisk a plán nakládky, který ho dosahuje? Jaká je optimální celková
hmotnost a optimální celkový objem nákladu, který se má naložit? Popište matematický
model a nalezněte optimální řešení.
2. Předpokládejme, že by se mohl každý z nákladních prostorů zvětšit. Jaká forma rozšíření
(hmotnostní nebo objemový limit) a v jaké části lodi by společnosti ICC umožnily
nejvyšší zvýšení zisku?
15
Téma M: Spoření na studium
Manželé Newtonovi mají osmiletého syna Isaaca a plánují pro něj příštích deset let spořit,
aby pokryli jeho studijní náklady až Isaac po dosažení 18 let nastoupí na univerzitu. Očekávají,
že budou schopni uložit v jednotlivých obdobích vždy na začátku roku následující
částky:
rok 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
částka ($) 2000 2000 2500 2500 3000 3500 3500 4000 4000 5000
Chtějí investovat bezpečně, proto volí pouze z těchto tří možností:
• roční termínovaný vklad s výnosem 7,5% p. a.
• šestiletý vládní dluhopis s důchodovým výnosem 7,9% p. a., jehož současná tržní cena
je rovna 98% nominální hodnoty
• devítiletý vládní dluhopis s důchodovým výnosem 8,5% p. a., jehož současná tržní
cena je rovna 102% nominální hodnoty
Předpokládejme, že se tyto podmínky nebudou následujících 10 let měnit a že Newtonovi
ze zásady zakoupené dluhopisy drží až do splatnosti.
1. Jak mají rozložit investice mezi jednotlivá aktiva, aby byla naspořená částka pro studium
po uplynutí 10 období maximální (předpokládejme, že dluhopisy lze nakoupit
v libovolném množství)? Popište matematický model a nalezněte optimální řešení.
2. Jak se optimální řešení změní, uvážíme-li, že nominální hodnota dluhopisů je rovna
100 dolarů a tudíž částka, za kterou je nakoupíme, musí být celočíselným násobkem
98 USD pro šestileté dluhopisy, resp. 102 USD pro devítileté dluhopisy?
16
Téma N: Rodinné účty
V domácnosti pana Bushe se platí některé účty měsíčně (nájem, kabelovka, telefon, splátky
hypotéky, apod.), další čtvrtletně, pololetně nebo ročně (předplatné tisku, spoření, doplatky
za vodné a stočné, energie, daně, apod.) V tabulce níže je popsáno letošní rozložení výdajů,
podle kterého odhadují Bushovi výdaje pro příští rok.
Měsíc Leden Únor Březen Duben Květen Červen
Výdaje ($) 800 1200 400 700 600 900
Červenec Srpen Září Říjen Listopad Prosinec
1500 1000 900 1100 1300 1600
Na pokrytí výdajů dává rodina z výplaty stranou každý měsíc 1000 dolarů (odhad celkových
výdajů vydělený 12). Jestliže budou Bushovi ukládat peníze na spořící účet na měsíční bázi,
zhodnotí se jim každý měsíc při úrokové míře 4 % p. a. Jejich banka jim též nabízí čtvrtletní
a půlroční depozitní certifikáty, které jim mohou vynést úrok 5,5 resp. 7 % p.a.
1. Navrhněte roční investiční plán tak, aby byl maximalizován přebytek příjmů na konci
roku. Zapište též matematický model.
2. Formulujte podmínky, za kterých má úloha přípustné řešení.
17
O: Decentralizace firmy
Korporace SmartSolutions sídlící v londýnském City má pět oddělení (A-E). Příští rok plánuje
přesunout některá svá oddělení mimo Londýn, vybranými městy pro relokaci jsou Bristol
a Brighton. Decentralizace by měla přinést úspory výdajů na pronájem budov a pracovní
sílu. Odhad úspor (v tisících liber za rok) při relokaci jednotlivých oddělení do vytipovaných
měst udává tabulka.
A B C D E
Bristol 10 15 10 20 5
Brighton 10 20 15 15 15
Na druhou stranu komunikace mezi odděleními není plně digitalizovaná, a tudíž stěhováním
vzniknou jisté komunikační náklady. Tyto náklady budou přímo úměrné intenzitě
komunikace a jejich odhadované vyčíslení je dáno tabulkami níže (tedy například roční náklady
na komunikaci mezi odděleními B a D, bude-li jedno v Bristolu a druhé v Brightonu,
spočítáme jako 1,2x14x1000 GBP).
Intenzita komunikace
(v tisících jednotek)
A B C D E
A - 0 1 1,5 0
B - - 1,4 1,2 0
C - - - 0 2
D - - - - 0,7
Náklady na jednotku komunikace (GBP)
Bristol Brighton Londýn
Bristol 5 14 13
Brighton - 5 9
Londýn - - 10
Kam mají být jednotlivá oddělení relokována, aby čisté úspory decentralizace byly co nejvyšší?
Popište matematický model a nalezněte optimální řešení.
18
Téma P: Nábor pracovníků
Firma Davis Instruments má dva výrobní závody v Atlantě ve státě Georgia. Poptávka po
její produkci se značně liší měsíc od měsíce, což způsobuje firmě nemalé potíže s plánováním
pokrytí výroby pracovní silou. Nedávno Davis Instruments začal najímat brigádníky od
společnosti WorkForce Unlimited, která se specializuje na poskytování dočasných zaměstnanců
pro firmy v širší atlantské oblasti. WorkForce Unlimited nabídla poskytovat dočasné
zaměstnance na základě tří typů pracovních dohod, které se liší z hlediska délky zaměstnání
a nákladů. Charakteristiky těchto tří typů kontraktů jsou shrnuty v tabulce:
Délka kontraktu Náklady na pracovníka
1 měsíční $2000
2 dvouměsíční $4800
3 tříměsíční $7500
Najmutí pracovníka na delší smluvní období je dražší, protože WorkForce Unlimited má
potíže najít brigádníky, kteří jsou ochotni přijmout dlouhodobější závazky. Během příštích
šesti měsíců Davis Instruments odhaduje následující potřebu brigádníků:
Měsíc leden únor březen duben květen červen
Potřeba pracovníků 10 23 19 26 20 14
Každý měsíc může Davis Instruments najmout libovolný počet zaměstnanců v rámci
každého ze tří typů dohod. Například, pokud najmou pět pracovníků v lednu dle smlouvy
typu 2, WorkForce Unlimited dodá pět lidí, kteří budou pracovat v lednu a únoru. Za tyto
pracovníky bude muset Davis zaplatit 5* 4800 = 24000 USD. Kvůli právě probíhajícím jednáním
o možné fúzi se Davis nechce zavázat k žádné smluvní povinnosti pro brigádníky
přesahující červen.
Firemní program kontroly kvality vyžaduje, aby každý dočasný zaměstnanec absolvoval
školení. Školicí program je vyžadován, i když osoba pracovala pro Davis Instruments v
minulosti. Náklady na školení jsou 875 USD pokaždé, když je zaměstnanec přijat. Pokud je
tedy najat na jeden měsíc, vzniknou náklady na školení ve výši 875 USD, stejně jako když je
najat na dohodu na dva nebo tři měsíce.
Navrhnětě model, který lze použít k určení počtu brigádníků, které by měl Davis Instruments
najmout v jednotlivých měsících v rámci jednotlivých dohod tak, aby byly naplněny
předpokládané potřeby pracovní síly za minimálních celkových nákladů. Nalezněte optimální
řešení a dále odpovězte na následující otázky:
1. Pokud by se náklady na školení každého dočasného pracovníka mohly snížit na 700
USD, jaký vliv by tato změna měla na náborový plán? Vysvětlete.
2. Předpokládejme, že Davis Instruments přijmul na začátku ledna 10 zaměstnanců na
plný úvazek s cílem uspokojit část pracovních požadavků v průběhu příštích šesti měsíců.
Pokud Davis může najmout zaměstnance na plný úvazek za 16,50 USD za hodinu,
jaký efekt by to mělo na celkové pracovní a školící náklady na práci během šestiměsíčního
období ve srovnání se strategií přijímat pouze dočasné pracovníky? Předpokládejme,
že na plný úvazek odpovídá přibližně 160 odpracovaným hodinám měsíčně.
Poskytněte doporučení ohledně rozhodnutí přijmout další zaměstnance na plný úva-
zek.
19
Téma Q: Plánování textilní výroby
Firma Scottsville Textile Mill vyrábí pět různých druhů látek. Každá látka může být tkaná na
jednom nebo více z 38 tkalcovských stavů, kterými firma disponuje. Předpověď obchodního
oddělení ohledně poptávky na další měsíc je uvedena v tabulce spolu s údaji o prodejní ceně
za metr, variabilních nákladech za metr a kupní ceně za metr. Textilka je v provozu 24 hodin
denně a je výroba naplánována na dobu 30 dnů během následujícího měsíce.
Poptávka Prodejní cena Variabilní náklady Nákupní cena
Látka (metry) ($/metr) ($/metr) ($/metry)
1 16 500 0,99 0,66 0,80
2 22 000 0,86 0,55 0,70
3 62 000 1,10 0,49 0,60
4 7 500 1,24 0,51 0,70
5 62 000 0,70 0,50 0,70
Scottsville Textile Mill musí kvůli udržení dobrých dodavatelsko-odběratelských vztahů
uspokojit veškerou poptávku. Množství jednotlivých tkanin, které se nestihne utkat ve Scottsville
Mill kvůli omezené kapacitě tkalcovských stavů, bude firmou zakoupeno z jiného závodu.
Pořizovací cena každé látky je uvedena v tabulce.
Scottsville Textile Mill má dva typy tkalcovských stavů: běžné a dvoulistové. Dvoulistové
tkalcovské stavy jsou všestrannější a lze je použít pro výrobu všech pěti druhů látek. Běžné
tkalcovské stavy dokážou vyrobit pouze tři tkaniny. Z 38 stavů firmy Scottsville Textile Mill
je pouze 8 dvoulistových a zbylých 30 je běžných. Produkce jednotlivých tkanin na každém
typu stavu je uvedena v tabulce. Čas potřebný k přechodu z výroby jedné látky na druhou
je zanedbatelný a nemusí být uvažován.
Dvoulistový Běžný
Látka (metrů/hodinu) (metrů/hodinu)
1 4.63 —
2 4.63 —
3 5.23 5.23
4 5.23 5.23
5 4.17 4.17
Navrhněte model, který lze použít k naplánování optimální výroby pro textilní továrnu
Scottsville, a zároveň určete, kolik metrů každé látky je nutné zakoupit od dalšího závodu.
Vycházejte z předpokladu, že cílem firmy je maximalizace celkového zisku. Zahrňte do
zprávy diskusi a analýzu následujících položek:
1. Odhadněte přínos dodatečného tkalcovského stavu (Firma zvažuje koupi devátého
tkalcovského stavu s dvěma listy). Jaký je váš odhad navýšení měsíčního zisku?
2. Jak by se změnilo optimální řešení, pokud by cílem firmy místo maximalizace zisku
byla minimalizace celkových nákladů?
20
Téma R: Táborový jídelníček
Hlavní kuchař letního dětského tábora plánuje sestavení denního jídelníčku pro 100 dětí,
přičemž k dispozici má 9 druhů základních potravin. Složení potravin z hlediska důležitých
výživových komponent a jejich ceny (vše přepočteno na 100g potraviny) ukazuje tabulka:
energ. bílk. Fe vit. A vit. C chol cena
[kJ] [g] [mg] [jed] [mg] [mg] [Kč]
vepřové maso 1200 18,4 3,1 20 0 83 12
máslo 3000 0,6 0,2 2500 0 120 11,2
chleba 1160 7,2 0,8 0 0 1 1,5
brambory 300 1,6 0,6 40 10 0 1,2
jablka 240 0 0,5 60 2 0 1,5
eidam 1260 31,2 0,6 1100 0 71 10,6
kuře 650 20,2 1,5 0 0 57 6
jogurt 450 7 0,2 260 0 11 4,5
jahody 150 0 0,8 60 60 0 12
Maloobchod, který tábor zásobuje, může dodat maximálně 40 kg každé potraviny. Dle doporučení
nutričních odborníků by denní dávka výživy pro děti a dospívající měla obsahovat
minimálně 80 g bílkovin, 15mg železa, 6000 jednotek vitamínu A a 200 mg vitamínu C. Pro
zajištění celodenního stravování pro 100 dětí máme sestavit optimální skladbu jídelníčku
při respektování doporučení nutričních expertů. Navrhněte matematický model a nelezněte
optimální řešení, jestliže
1. Chceme sestavit jídelníček s co nejnižšími náklady. Určete pomocí stínových cen, které
z nutričních omezení má největší vliv na výslednou cenu.
2. Chceme sestavit jídelníček s co nejvyšší energetickou hodnotou, jehož náklady nepřesáhnou
130 Kč na osobu a den. Porovnejte s předchozím řešením.
3. Zjistěte, jaké rozmezí denního limitu pro obsah cholesterolu nebude mít žádný vliv na
řešení předchozí části.
Nalezená řešení porovnejte.
21