CVIČENÍ 1: OPAKOVÁNÍ MATEMATIKY
Funkce
1. Co je to funkce? Co je to závislá a nezávislá proměnná?
2. Nakreslete grafy následujících funkcí:
(a) p = 2x — 5
(b) x2 = 5 - yfx{
(c) x2 = 5 - x\
(d) x2 = 4/xi
(e) S(p) = s1(p) + s2(p),
kde si(p) = p a S2(ř>) = 2p.
(f) 5(p) = ai(p) + a2(p),
kde si(p) = 2p a S2(p) = p — 1 pro p > 1 a s2 (p) = 0 pro p < 1.
3. Nakreslete křivku, která odpovídá této rovnici: 10 = min{xi, x2}.
4. Co je to spojitá funkce? Jaký je opak spojité funkce?
5. Co je to monotónní funkce? Jak vypadá pozitivní a negativní monotónní funkce?
6. Jak vypadá konvexní a konkávni funkce?
7. Co je to inverzní funkce? Utvořte inverzní funkci od následujících funkcí:
(a) y = ax + b
(b) y = b/x
(c) y = ex
Logaritmus
8. Co je to logaritmus? Nakreslete funkci y = ln x.
9. Zlogaritmujte výraz x\x\. Derivace
10. Co je to derivace? Jaký je vztah mezi derivací a sklonem funkce? Jaký je vztah mezi derivací a konvexností (konkávností) funkce?
11. Co je to součinové pravidlo? Co je to řetězové pravidlo?
12. Zderivujte následující funkce podle p:
(a) D(p) = 50 - 2p
(b) D(p) = 30p-2
(c) D(p) = (2p + a)(-b)
(d) R(p) = pq(p)
13. Co je to parciální derivace? Zderivujte následující funkce podle x\ a x2:
(a) U{x\, x2) = axi + bx2
(b) f{x1,x2)=x<tx\
(c) U(xi, x2) = alnxi + bx2
(d) U(xi,x2) = a^/xl + bx2
(e) U(Xl,x2) = {x\+xlY
Optimalizace
14. Vyřešte následující problém:
max c ln x\ + d ln x2
za podmínky p±xi + p2x2 = m,
kde 0<c<l,0<d<l,pi>0,p2>0am>0 jsou konstanty.