PŘEBYTEK SPOTŘEBITELE A TRH – řešené příklady Přebytek spotřebitele 1. Spotřebitel může nakupovat pouze dva statky, statek 1 a statek 2. Jeho užitková funkce je u(x1, x2) = min{x1, x2}, kde x1 je množství statku 1 a x2 je množství statku 2. Příjem spotřebitele je m = 24. Původní ceny jsou (p1, p2) = (2, 1). Nové ceny jsou (p1, p2) = (3, 1). Spočítejte kompenzační a ekvivalentní variaci spotřebitele. Řešení V tomto případě se kompenzační variace rovná částce, kterou bychom museli po zvýšení ceny dát spotřebiteli, aby na tom byl stejně jako před zvýšením ceny. Potřebujeme najít takový důchod ˆm, při kterém by spotřebitel měl po změně ceny stejný užitek jako před změnou ceny s důchodem m = 24. Poptávka po dokonalých komplementech spotřebovávaných v poměru 1:1 je x1 = x2 = m p1 + p2 . Pro důchod ˆm tedy bude platit, že u ˆm p1 + p2 , ˆm p1 + p2 = u m p1 + p2 , m p1 + p2 ˆm p1 + p2 = m p1 + p2 ˆm 3 + 1 = 24 2 + 1 ˆm = 32. Kompenzační variace se rovná CV = ˆm − m = 32 − 24 = 8. V tomto případě se ekvivalentní variace rovná částce, kterou bychom museli před zvýšením ceny vzít spotřebiteli, aby na tom byl stejně jako po zvýšení ceny. Potřebujeme najít takový důchod m∗ , při kterém by spotřebitel měl před změnou ceny stejný užitek jako po změně ceny s důchodem m = 24. Pro důchod m∗ tedy bude platit, že u m∗ p1 + p2 , m∗ p1 + p2 = u m p1 + p2 , m p1 + p2 m∗ p1 + p2 = m p1 + p2 m∗ 2 + 1 = 24 3 + 1 m∗ = 18. Ekvivalentní variace se rovná EV = m − m∗ = 24 − 18 = 6. Následující obrázek znázorňuje řešení tohoto příkladu. Původní linie rozpočtu je označena BL a nová linie rozpočtu BL . Čárkovaně je znázorněna linie rozpočtu při nových cenách a příjmu ˆm. Tečkovaně linie je vyznačena rozpočtu při původních cenách a důchodu m∗ . x1 x2 BLBL IC IC 24 8 12 32 18 CV EV 2. Spotřebitel může nakupovat pouze dva statky, statek 1 a statek 2. Jeho užitková funkce je u(x1, x2) = 10x1 − x2 1/2 + x2, kde x1 je množství statku 1 a x2 je množství statku 2. Statek 2 je kompozitní statek, tedy p2 = 1. Jak se změní přebytek spotřebitele, když se cena statku 1 sníží z p1 = 5 na p1 = 3. Řešení Abychom mohli zjistit, jak pokles ceny změní přebytek spotřebitele, musíme nejdřív odvodit poptávku spotřebitele po statku 1. Jelikož má spotřebitel má monotónní (a spojité) preference, bude hledat na své linii rozpočtu takový spotřební koš, při kterém bude jeho užitek maximální. Řešíme tedy následující úlohu: max x1,x2 u(x1, x2) = 10x1 − x2 1/2 + x2 při omezení m = p1x1 + p2x2. Z linie rozpočtu si můžeme vyjádřit např. množství statku 2 a dosadit x2 = m p2 − p1x1 p2 . (1) Dosazením zpět do užitkové funkce získáme neomezenou optimalizační úlohu s jednou neznámou max x1 u(x1) = 10x1 − x2 1/2 + m p2 − p1x1 p2 . Množství statku 1 x∗ 1, pro které má tato funkce extrém, najdeme tak, že položíme první derivaci rovnou nule: du(x1) dx1 = 10 − x1 − p1 p2 = 0. Tento extrém je maximum, protože pro druhou derivaci platí, že d2 u(x1) dx2 1 = −1 < 0. Protože p2 = 1, poptávka po statku 1 je x∗ 1 = 10 − p1. Změna v přebytku spotřebitele je ∆CS = 5 3 (10 − p1) dp1 ∆CS = 10p1 − p2 1 2 5 3 ∆CS = 10 × 5 − 52 2 − 10 × 3 + 32 2 ∆CS = 12. Alternativně můžeme spočítat změnu v přebytku spotřebitele jako rozdíl v obsahu ploch mezi křivkou inverzní poptávky p1 = 10−x∗ 1 a cenou, tedy ∆CS = (10 − 3) × 7 2 − (10 − 5) × 5 2 ∆CS = 24,5 − 12,5 = 12. Tržní poptávka a rovnováha 3. Tržní poptávka po vstupenkách na fotbal je p(q) = 100 − q/1 000, kde p je cena vstupenky a q množství vstupenek. Stadion má kapacitu ¯q = 30 000 diváků. Při jaké ceně dosáhnou pořadatelé maximálního příjmu. Řešení Hledáme takové množství, při kterém bude maximální celkový příjem TR(q) = p(q)q. Pokud bychom nebyli omezeni kapacitou stadionu, řešili bychom následující úlohu max q TR(q) = p(q)q = 100q − q2 /1 000 Hledáme extrém funkce. Derivací celkových příjmů podle q získáme funkci mezních příjmů, kterou položíme rovnu 0, tedy MR(q) = 100 − q∗ /500 = 0 q∗ = 50 000. Protože je druhá derivace záporná (− 1 500 < 0), celkový příjem při množství q∗ je maximální. Tedy pokud bychom nebyli omezení kapacitou stadionu, pořadatelé by maximalizovali příjem při ceně p∗ = 100 − q∗ /1 000 = 50. Stadion však pojme pouze 30 000 diváků. Protože je funkce mezních příjmů kladná pro q < 50 000, maximálního příjmu dosáhneme při plné kapacitě stadionu ¯q = 30 000. Cena při množství ¯q = 30 000 bude ¯p = 100 − ¯q/1 000 = 70. 4. Poptávka na trhu s alkoholem je qD = a − 2pD a nabídka na tomto trhu je qS = c+18pS. Předpokládejte, že vláda uvalí novou daň ve výši 50 Kč na litr alkoholu. Kolik korun z daně uvalené na litr alkoholu zaplatí poptávající a kolik nabíze- jící? Řešení V rovnováze se poptávané množství rovná nabízenému množství: q∗ D = q∗ S a − 2p∗ D = c + 18p∗ S. Pokud není statek x zdaněný, bude se poptávková a nabídková cena rovnat, tedy p∗ D = p∗ S = p∗ . Rovnovážnou cenu můžeme tedy vypočítat takto: a − 2p∗ = c + 18p∗ p∗ = a − c 20 . Pokud je na statek x uvalena množstevní daň ve výši t, bude v rovnováze platit, že p∗ D = p∗ S + t p∗ D = p∗ S + 50. (2) Řešíme tedy dvě rovnice o dvou neznámých a − 2p∗ D = c + 18p∗ S p∗ D = p∗ S + 50. Substitucí najdeme nabídkovou cenu a − 2(p∗ S + 50) = c + 18p∗ S p∗ S = a − c 20 − 5. Nabízející zaplatí z daně uvalené na litr alkoholu rozdíl mezi původní rovnovážnou cenou p∗ a rovnovážnou nabídkovou cenou p∗ S, tedy p∗ − p∗ S = 5. Poptávkovou cenu vypočítáme z rovnice (2) p∗ D = a − c 20 − 5 + 50 p∗ D = a − c 20 + 45. Poptávající zaplatí z daně uvalené na litr alkoholu rozdíl mezi rovnovážnou poptávkovou cenou p∗ D a původní rovnovážnou cenou p∗ , tedy p∗ D − p∗ = 45. 5. Poptávka po statku x je q = 100 − p a nabídka statku x je q = 10+0,5p, kde q je množství a p je cena. Vláda stanovila cenu statku x na ¯p = 50. Aby vláda předešla nedostatku, rozhodla se, že zaplatí nabízejícím takovou množstevní dotaci s, aby byl trh v rovnováze. Jak velká bude tato do- tace? Řešení Dotace musí být tak vysoká, aby se poptávané množství statku x při ceně ¯p rovnalo nabízenému množství při ceně ¯p a dotaci s. Musí tedy platit, že 100 − ¯p = 10 + 0,5(¯p + s) 100 − 50 = 35 + 0,5s s = 30. Při množstevní dotaci s = 30 bude trh s regulovanou cenou ¯p = 50 v rovnováze.