9. AFINNÍ PODPROSTORY A
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH
ROVNIC
Jan Paseka
Masarykova Univerzita Brno
9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN
bstrakt přednášky
této kapitole se budeme opět věnovat loustavám lineárních rovnic. Dokážeme, že nnnožina řešení každé lineární (homogenní) loustavy tvoří afinní (lineární) podprostor /hodného sloupcového prostoru Kn a obráceně, caždý takový afinní (lineární) podprostor lze
opsat jakožto množinu řešení vhodné lineární homogenní) soustavy.
/ celé kapitole K označuje pevné těleso, m, n sou přirozená čísla.
9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN
bsah přednášky
Afinní podprostory a SLR
9.1    Pod prosto r řešení   .........
9.2    Frobeniova věta   ..........
9.3    Parametrické a všeobecné rovnice
9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN
odprostor řešení I
Afinní podprostory a soustavy lineárních rovnic
i   Podprostor řešení homogenní soustavy a jeho báze
lechť A e Kmxn, b e Km. Uvažujme homogenní oustavu lineárních rovnic s maticí A
9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN
odprostor řešení II
ále uvažme nehomogenní soustavu s maticí A pravou stranou b
nožiny jejich řešení označíme
sp.
9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN
odprostor řešení III
ředpisem y
obražení <p : Kn ->• Km, přičemž 71(A) = Ker<^
'. toho okamžitě vyplývá
"vržení 9.1.1 Pro libovolnou matici A e Kmxn nnožina 11(A) řešení homogenní soustavy \. • x = 0 tvoří lineární podprostor vektorového wostoru Kn.
9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN
odprostor řešení IV
každou bázi prostoru 71(A) nazýváme undamentálním systémem řešení soustavy
'otom každé řešení příslušné homogenní soustavy můžeme jednoznačně vyjádřit jako ineární kombinaci vektorů z fundamentálního ystému řešení, a naopak, každá lineární ;ombinace vektorů fundamentálního systému je ;ešením příslušné soustavy.
rundamentální systém řešení najdeme "'" '■■jícím postupem:
9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN
odprostor řešení V
Matici A upravíme pomocí ERO na redukovaný rtupňovitý tvar B e Kmxn.
Množinu {1,..., n} rozdělíme na dvě podmnožiny J a «/', podle toho, zda se v j-tém sloupci matice B nachází nebo nenachází vedoucí prvek nějakého jejího řádku.
)značme k počet prvků množiny J' a zapišme ji 'e tvaru J' = {ji <j2<...< jk}-
9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN
odprostor řešení VI
ro každý index ji e J' sestrojíme vektor
- = (vu,...,vni)T g Kn takto:
ro j g J vypočítáme hodnoty Vß k uvedeným lodnotám parametrů vilh..., vjki tak, aby celý ektor v/ vyhovoval podmínce B • v/ = 0.
•otom vektory ví, v2,..., vfc tvoří bázi »odprostoru řešení 71(A). Přitom zřejmě platí
; = n - h(A).
9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN
odprostor řešení VII
'říklad 9.1.2 Předpokládejme, že jsme matici A omočí ERO už upravili na redukovaný tupňovitý tvar
0   0
1   0 0   1
o o
edoucí prvky řádků se nacházejí ve sloupcích
9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN]
odprostor řešení VIII
edy neznámé x2 a x5 si zvolíme za parametry a eznámé xx, x% a x4 si vyjádříme s jejich pomocí.
Dotom vektory ví, v2 tvoří bázi pod prostoru fundamentální systém) řešení
^(A) = K(B) C R5.
9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN:
odprostor řešení IX
vrzem 9.1.3 Pro libovolnou matici A e Kmxn úati
dim7£(A) = n-h(A).
9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN!
odprostor řešení NS I
vržení 9.1.4 Nechť A e Kmxn, b e Km.
Pokud z € 1Z(A | b), x e 11(A), pak
z + xeft(A|b).
9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN!
odprostor řešení NS II
vržení 9.1.5 Nechť A e Kmxn, b e Km. Pokud oustava A • x = b má aspoň jedno řešení, tak í(A | b) je afinní podprostor v Kn se zaměřením í (A). To znamená, že
9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN!
robeniova veta I
Frobeniova věta a řešení nehomogenní soustavy
ěta 9.2.1 (Frobenius) Nechť A e Kmxn,
t e j^m_ potom nehomogenní soustava A • x = b
?á řešení právě tehdy když h(A\b) = h(A).
9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN:
robeniova věta II
_ oustava A • x = b má alespoň jedno řešení 5 e Kn právě tehdy, když b e Imip (kde o(x) = A • x). Pak K(A | b) = z + 11(A).
-robeniova věta říká: nehomogenní soustava \. • x = b nemá řešení právě tehdy, když se při jpravě její rozšířené matice (A | b) na edukovaný stupňovitý tvar objeví nějaký řádek varu (0,..., 01 d) e Kn+\ kóeO^deK. fakovýto řádek totiž zodpovídá rovnici 0 = d.
9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN!
robeniova veta III
okud upravíme pomocí ERO rozšířenou matici A | b) na redukovaný stupňovitý tvar (B | c), kde g Kmxn a c g Km, tak B je též v redukovaném itupňovitém tvaru.
5otom 1l(A | b) = K(B | c) f 0 právě tehdy, když >e žádný vedoucí prvek nějakého řádku matice B | c) nenachází v posledním, t. j. n + 1-ním loupci.
9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN!
robeniova veta IV
ostupem popsaným v paragrafu 9.1.
lech J, J' a k mají dříve uvedený význam, edno řešení z = (zi,..., zn)T nehomogenní
loustavy dostaneme volbou parametrů ^ = ... = Zjk = 0 pro ji e J'. Zbývající hodnoty ■j potom vypočítáme tak, aby z vyhovovalo »odmínce B • z = c, t. j. Zj = Cj pre j e J.
9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN:
robeniova veta V
'říklad 9.2.2 Předpokládejme, že jsme matici A | b) pomocí ERO už upravili na redukovaný 'tupňovitý tvar
10   0   3   1/4 0   10  4    2
0   0   0   0
9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN!
robeniova veta VI
Jedoucí prvky řádků se nacházejí ve sloupcích , 2 a 3.
edy neznámé x±, x5 a xQ si zvolíme za »arametry a neznámé xi, x2a x% si vyjádříme omočí nich.
9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN!
robeniova veta VII
otom vektory ví, v2, v3 tvoří bázi podprostoru ešení 71(A) = 11(B) c IR6 příslušní homogenní oustavy.
onečně volbou parametrů x4 = x5 = xQ = 0
ehomogenní soustavy.
9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN!
robeniova veta VIII
ýsledek můžeme zapsat do tabulky
11 iíj
arametrické a všeobecné rovnice I
.3   Parametrické a všeobecné rovnice afinních podprostorů
aždý afinní podprostor M c Kn má tvar
f,  .  .  .   , U^j
9. AFINNÍ PODPROSTORY  A SOUSTAVY LIN:
arametrické a všeobecné rovnice I
b znamená, že pro libovolné xgF platí x g M
»rávě tehdy, když existuje t = (či,..., tk)T G Kk ak, že
x = p + ex. • t,
;de jsme uspořádanou Mici a, jako obyčejně totožnili s maticí (uíj) g Knxk se sloupci
9. AFINNÍ PODPROSTORY  A SOUSTAVY LIN:
arametrické a všeobecné rovnice II
ovnost x = p + a • t je maticovým zápisem arametrických rovnic afinního podprostoru
\f C Kn.
lektor t g Kn nazýváme vektorem parametrů a eho složky ti,... ,tk e K parametry.
9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN!
arametrické a všeobecné rovnice IV
o rozepsaní do složek
Ulkt k
U2ktk
ostaneme obvyklejší tvar, se kterým jsme sa v imenzi n = 2 resp. n = 3 už potkali středoškolské analytické geometrii.
11 iíj
arametrické a všeobecné rovnice V
sou-li navíc vektory m,..., uk lineárně lezávislé, což můžeme vždy dosáhnout ynecháním „nadbytečných vektorů", pak »arametrické rovnice podprostoru M nám přímo ■káží jeho dimenzi: dimM = k.
9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN!
arametrické a všeobecné rovnice V
!ápis afinního podprostoru M c Kn ve tvaru í = p + [a], kde p g M a a je nejaká ispořádaná &-tice, která generuje jeho zaměření )irM (můžeme si dovolit předpokládat, že cn je lokonce báze v DirM), budeme nazývat jeho parametrickým vyjádřením.
arametrické vviádření M = d + \o\ afinního
arametrické vyjádření M = p + [a] afinního odprostoru můžeme přímo přepsat do jeho arametrických rovnic x = p + a. ■ t, (t g Kk). Jaopak, z jeho parametrických rovnic můžeme "iV získat jeho parametrické vyjádření.
ttSIIIMť
9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LINEA
arametrické a všeobecné rovnice VII
aždá soustava lineárních rovnic A • x =
; rozšířenou maticí (A | b) e i^mx(n+1) (pokud má ešení), popisuje afinní podprostor
Z(A I b) C Kn.
yřešit soustavu lineárních rovnic A • x = 1 namená vlastne najít nějaké pěkné arametrické rovnice afinního podprostoru
>ÍAIb).
11 iíj
arametrické a všeobecné rovnice VII
5chť tedy M = p + [a] je afinní podprostor v n, daný bodom p e Kn a uspořádanou ft-ticí = (ui,..., Ufc) vektorů z iT\ kterou ztotožníme
naticí a = (nu) G Knxk se sloupci u7.
9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN:
arametrické a všeobecné rovnice I
arametrické rovnice x = p + a • t podprostoru f, kde x = (#!,..., xn)T g Kn je vektor
G Kfc je vektor
arametrů, můžeme přepsat do tvaru
terý lze reprezentovat pomocí blokové matice
In alp).
9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN
arametrické a všeobecné rovnice
Jase metoda bude založená na eliminaci tarametrů í1?... ,tk úpravou této matice pomocí RO.
/latici (In | a | p) budeme upravovat na řádkově ikvivalentní matici tak, aby prostřední blok vo ýsledné matici byl ve stupňovitém tvaru. Mohou ak nastat dvě možnosti
9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN!
arametrické a všeobecné rovnice X
všechny řádky prostředního bloku výsledné matice jsou nenulové. V tomto případě M = V a všeobecné rovnice tohoto podprostoru tvoří prázdná soustava (t.j. soustava, která neobsahuje žádnou rovnici).
9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN!
arametrické a všeobecné rovnice XII
2) h{a) < n. Pak můžeme prostřední blok
I výsledné matice rozdělit do dvou pod sebou umístěných bloků [C J, kde horní blok D je
stupňovitá matice typu h(a) x k, která má všechny řádky nenulové, tedy dolní nulový blok má rozměr (n - h(a)) x k.
9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN!
arametrické a všeobecné rovnice XII
ibto rozdělení prostředního bloku indukuje rozdělení celé výsledné matice do bloků
A'	lpi	ľ^_
"XI	röl	Mb"
afinního podprostoru M, t.j. platí
M = p + [a] = 7£(A|b).
9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LI]
arametrické a všeobecné rovnice Xľ\
Popsaný algoritmus můžeme stručně shrnout do následujícího schématu
OL    p
ERO
A'\	lpi	L^-
XH	röl	[b~
kde D je matice v stupňovitém tvaru s nenulovými řádky (jejichž počet je tedy nutně
h(D) = h(a)).
WKtSi
arametrické a všeobecné rovnice XV
A;-tice a můžeme vybrat bázi zaměření
irM = [a]: je tvořená vektory KÁ. n -i « . . . « KÁ. n
kde
natice D, ve kterých se nacházejí vedoucí prvky
I        \r   r       li       o
ejich radku.
9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN!
arametrické a všeobecné rovnice XV
vržení 9.3.1 NechťB e Knxm, C e Knxk, p e Kn. Pokud bloková matice (B | C | p) je řádkově ekvivalentní s blokovou matici
A'	D	ľ^_
A\	röl	Mb"
kde D je matice v stupňovitém tvaru s nenulovými řádky, tak
9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LI]