Sbírka příkladů z okruhů a polynomů pro předmět Matematika II
Kapitoly a příklady označené hvězdičkou přesahují svým obsahem nebo obtížností požadavky ke zkoušce.
1     Okruhy
Komplexní čísla
1.  Určete všechna komplexní řešení rovnice xn = 2 pro «eN.
2.  Nalezněte rovnici, jejíž komplexní řešení tvoří v Gaussově rovině rovnostanný trojúhelník se středem v nule a jedním vrcholem v i.
3.  Řešte v C kvadratickou rovnici x2 + (1 + 3i)x + i — 2 = 0.
4* Určete všechna komplexní řešení rovnice x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0.
Okruhy, podokruhy
5.  Rozhodněte, zda množina M je podokruhem okruhu (C, +, •):
a)  M = {a + 2i | a G R},
b)  M = {a + 2i | a G C},
c)  M = {a + bi | a G R, b e N},
d)  M = {3a + bi | a G Z, b G Z},
e)  M = {a + 2bi \ a G Z, b G Z},
f)  M = {Jr   aeZ,ž:eN}.
6.  Určete, které prvky náleží nejmenšímu podokruhu okruhu (C, +, •) obsahujícímu číslo a pro
a)  a = a/3,
b)  a = s/2,
c)  a = i,
d)  a = cos 3- + «sin ^- = £3,
e)  a = cos ^ + i sin ^ = £7,
f)  a = 7T,
g)  a = A/ň, h) a = -y/n, i) a = i/m.
7.  Nechť (i?, +, •) je komutativní okruh. Rozhodněte, zda je okruh i
a)  (R, +, D), kde D je operace definovaná vztahem »D b = a ■ b + b ■ a pro libovolné a, 6 G i?,
b)  (R,+,+).
Obory integrity, invertibilní prvky okuhů, tělesa
8.   Rozhodněte, zda následující podmnožina A okruhu racionálních čísel (Q, +, •) je okruh, případně obor integrity. Jde-li o okruh, charakterizujte jeho invertibilní prvky.
&)A={£\P<=Z,q<=N,3U}
b)  A = {%k I m G Z, n G N}
c)  A = {^ I m G Z, n G N}
9.   Rozhodněte, zda následující podmnožina M okruhu komplexních čísel (C, +, •) je okruh, obor integrity, popřípadě těleso. Jde-li o okruh, charakterizujte jeho invertibilní prvky.
a)  M = {a + bi | a, b G Z}
b)  M = {a + b ■ a/5 I a, b G Q}
c)  M = {a + b ■ aJ/5 I a, b G Q}
d)  M = {a + b ■ i±^3i \a,beQ}
1
10. Rozhodněte, zda je (M, ©, ©) okruh, obor integrity, těleso:
a)  M = WjX (& y = x + y — í,x Q y = x ■ y — 1
b)  M = Zjx©y = x + y — 1, x © y = x + y — xy
c)  M = Q, operace jako v b)
d)  M = Q x Q, (x, y) © (m, -y) = (x + m, y + v), (x, y) © (m, v) = (xu + 2y-y, xv + í/m)
e)  M = Z2 x Z2, (x, y) © (m, -y) = (x + m, y + -y), (x, y) © (w, -y) = (xw + yv, xv + yu + yv)
11* Nalezněte invertibilní prvky okruhu ({a + b ■ 1+^3t | a, 6 G Z}, +, •)
12* Pro prvky z příkladu 6 najděte nejmenší podtěleso tělesa (C, +, •) obsahující daný prvek.
Homomorfismy okruhů
13. Uvažujme zobrazení / : C —> C definované takto:
a)  f{a + bi) = a + b,
b)  f(a + bi) = a2 + b2,
c)  f{a + bi) = a — bi,
pro a, 6 G M. Rozhodněte, zda je / homomorfismus okruhu (C, +, •) do okruhu (C, +, •).
14* Určete, zda je okruh (Z2, +, •) x (Z3, +, •) oborem integrity. Je izomorfní s okruhem (Z,q, +, •)?
15.  Dokažte, že okruh (Z, ©, ©) z příkladu 10 b) je izomorfní s okruhem (Z, +, •).
16.  Určete všechny čtveřice (a, 6, c, d) G M4 takové, že předpis a(r + si) = (ar + bs) + (cr + ds)i, pro r, s G M, definuje homomorfismus a : C —> C okruhu C do sebe. Pro které z nich se jedná o izomorfismus?
17* BuďQ(a/Š) = {a + 6a/3 | a, 6 G Q} podokruh okruhu (R, +, •)• Ukažte, že (<Q>(VŠ), +, •) je těleso. Dokažte, že libovolný okruhový homomorfismus a : Q(v/3) —> C je identický na množině racionálních čísel, tj. Vr G Q : a(r) = r. Popište všechny okruhové homomorfismy a : Q(a/3) —> C. Které z nich jsou izomorfismy?
2    Polynomy
Dělení v okruzích polynomů
18.  V Q[x] dělte se zbytkem polynomy
a)  (x5 + x3 - 2x + 1) : (-x3 + x + 1),
b)  (3x3 + lOx2 + 2x - 3) : (5x2 + 25x + 30),
c)  (12x4 + 3x3 - 4x + 3) : (2x2 - 1),
d)  (x6 + x4 + x2 + 1) : (x2 - x + 1).
19.  V Q[x] dělte se zbytkem polynomy
a)  (2x3 + 3x2 - 4x + 5) : (x - 2),
b)  (4x4 - 3x2 - x + 2) : (3x + 1).
Kořeny polynomů
20.  Uvažme polynom / = x6 — 6x5 + 9x4 + 8x3 — 24x2 + 16 G Q[x]. Dokažte, že c = 2 je kořenem a určete jeho násobnost.
21.  Určete hodnotu koeficientu a G Q tak, aby polynom / = x5 — ax2 — ax + 1 G Q [x] měl dvojnásobný kořen c= -1.
22.  Dokažte, že pro každé n G N je c = 1
a)  dvojnásobným kořenem polynomu nxn+1 — (n+ í)xn + 1 G Z [x],
b)  trojnásobným kořenem polynomu x2n — nxn+1 + (n+ l)xn_1 — 1 G Z[x].
2
Taylorův rozvoj polynomu
23.  Vyjádřete polynom / = x4 + 2x3 — 3x2 — 4x + 1 v mocninách lineárního polynomu x + 1.
24.  Vyjádřete polynom f = (x — 2)4 + 4(x — 2)3 + 6(x — 2)2 + 10(x — 2) + 20 bez počítání jednotlivých mocnin polynomu x — 2.
Racionální kořeny polynomů
25.  Nalezněte všechny racionální kořeny polynomu v C[x] a určete jejich násobnost.
a)  12x6 + 8x5 - 85x4 + 15x3 + 55x2 + x - 6
b)  4x7 - 16x6 + x5 + 55x4 - 35x3 - 38x2 + 12x + 8
c)  4x7 - 23x5 + 17x4 + 31x3 - 49x2 + 24x - 4
d)  2x7 - 3x6 - 20x5 - x4 + 66x3 + 91x2 + 48x + 9
e)  4x5 + 8x4 - 27x3 - 79x2 - 56x - 12
f)  4x5 - 35x3 + 15x2 + 40x + 12
h) 5x3 -8x2 + llx + 6
i) 12x4 - 7x3 - 19x2 - 3x + 2
i)  3X5 _ x4 _|_  lx3 _  8^2 _|_ 4X
k) 6x4 + x3 + x2 - 16x - 12
1) 9x6 - 21x5 - 17x4 + 15x3 - 42x2 - 34x - 6
m) 4x6 - 12x5 + 9x4 - 12x2 + 36x - 27
n) 2x7 - 3x6 - 8x5 + 6x4 + 10x3 + x2 + 4x + 4
o) x4 + x3 - 2x2 - 3x - 1
p) x5 - 4x4 + 4x3 + 2x2 - 5x + 2
q) / = 12x7 - 56x6 + 115x5 - 141x4 + 103x3 - 35x2 - 3x + 9
r) g = 8x7 - 44x6 + 70x5 - 17x4 - 24x3 + 10x2 + 2x - 1
26.  Určete takové a G C, pro něž má polynom / = 2x6 — x5 — llx4 — x3 + ax2 + 2ax + 8 G C [x] kořen 2. Pro toto a určete všechny racionální kořeny polynomu / včetně násobností.
27.  Určete všechna a G Z, pro která má polynom x4 + 2x3 — 3x2 + ax — 4 racionální kořen.
Rozklad polynomů
28.  Napište rozklad polynomu na součin ireducibilních faktorů postupně nad Q, R, C.
b)  5x3 -8x2 + llx + 6
c)  12x4 - 7x3 - 19x2 - 3x + 2
d)  3X5 _ x4 _|_ Ix3 _ 8X2 _|_ i.x
e)  6x4 + x3 + x2 — 16x — 12
f)  9x6 - 21x5 - 17x4 + 15x3 - 42x2 - 34x - 6
g)  4x6 - 12x5 + 9x4 - 12x2 + 36x - 27
29.   Napište rozklady na součin ireducibilních polynomů postupně nad C, R, Q těch polynomů z Příkladu 25, u kterých znáte dostatek racionálních kořenů.
30.  Určete všechny kořeny polynomu
a)  / = 4x5 - 4x4 - 5x3 - 7x2 + x + 2 G C [x],
b)  / = 4x5 - 12x4 - 13x3 - 13x2 + 3x + 4 G C [x],
víte-li, že má tři kořeny racionální. Rozložte tento polynom na ireducibilní faktory postupně nad Q, R, C.
3
Komplexně sdružené kořeny
31.  Určete všechny kořeny polynomu f = x7 — 4x6 + 8x5 — 7x4 + 8x2 — 8x + 4 G C [x], víte-li, že má dvojnásobný kořen 1 + i. Rozložte tento polynom na ireducibilní faktory postupně nad Q, R, C
32.  Mezi všemi normovanými polynomy s reálnými koeficienty, které mají jednoduchý kořen — ^ a dvojnásobný kořen 3 + 2i, nalezněte polynom nejmenšího stupně. Rozložte tento polynom na ireducibilní polynomy nad
Q,R,C.
33.   Určete všechny kořeny polynomu f = x6 — 7x5 + 20x4 — 30x3 + 37x2 — 55x + 50 G C [x], víte-li, že má dvojnásobný kořen 2 — i. Rozložte jej na ireducibilní faktory postupně nad Q, R, C
34.  Mezi všemi normovanými polynomy s reálnými koeficienty, které mají dvojnásobný kořen | a dvojnásobný kořen
a)  1 — i,
b)  1 - 2i,
nalezněte polynom nejmenšího stupně. Zapište rozklad tohoto polynomu na ireducibilní faktory postupně nad Q,R,C.
35.  Nalezněte všechny kořeny polynomu x4 + Ax2 + x + 6 G C[x] a určete jejich násobnost, víte-li, že jedním z kořenů je číslo ~1+2      ■
36.  Víme, že polynom / = 4x6 — 4x5 + 4x4 — 4x3 + 5x2 — 3x + 1 G C[x] má dvojnásobný kořen | + |i. Určete zbývající kořeny polynomu /.
37.  Uveďte příklad polynomu v R[x], resp. v Z[x], jehož kořenem je
a)  1 + i,
b)  2 + VŠi,
c)  a/3 — hi.
Polynomy nad Zp
38.  Nalezněte všechny kořeny polynomu x5 + 5x4 — x2 — x + 3 v Z7.
39.  Určete všechny ireducibilní polynomy
a)  nad Z2 stupně menšího než 5,
b)  nad Z3 stupně menšího než 4.
40.  Nalezněte všechny kořeny polynomu x6 — x5 — x4 — x3 — x2 — x +1 G Z3 [x] v Z3 [x] a určete jejich násobnost.
41.  Určete nějaký prvek a G Z5 takový, že polynom x3 + x2 + ax + 1 je ireducibilní nad Z5.
42.  Určete všechny prvky a G Z7, pro které je polynom x3 + x2 + x + a ireducibilní nad Z7.
43.  Udejte příklad polynomu
a)  g G Z5[x], který je stupně 5, má dvojnásobný kořen 2 a žádné jiné kořeny nemá,
b)  g G Z2[x], který je stupně 5, není ireducibilní a nemá žádný kořen,
c)  g G Zs[x], který je stupně 4, není ireducibilní a nemá žádný kořen,
d)  g G Zs[x], který je stupně 5, není ireducibilní a nemá žádný kořen,
e)  g G Z5[x], který je stupně 6, má dvojnásobný kořen 2, jednoduchý kořen 4 a který nemá žádné další kořeny.
44.  Rozložte polynomy na ireducibilní faktory.
a)  x6 + x5 + x2 + l gZ2[x]
b)  x7 + 3x6 + 2x5 - x4 + 3x3 - x2 + x + 1 G Z5[x]
c)  x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 G Z2 [x]
d)  x7 - x6 + 2x4 + x3 - x2 + 2 G Z5[x] e*) x5 + x4 + x3 - x2 + 1 G Z3[x]
f)  x4 + x3 + x + l gZ2[x] g*) x5 + 3x3+x + 3gZ5[x]
4
Eisensteinovo kritérium *
45.  Ukažte, že polynom
a)  xn + p, kde n G N, p je prvočíslo,
b)  x6 + x3 + 1,
je ireducibilní nad Q.
46.  Najděte n G N takové, že x2 — n je ireducibilní, ale nesplňuje podmínku Eisensteinova kritéria.
47.  Najděte n G N tak, aby polynom xn + n
a)  byl
b)  nebyl ireducibilní nad Q.
48.   Určete, který z polynomů f = x5 + 3x3 — 9x + 3 G Z[x] a g = x4 + Ax3 + 5x2 — 3 G Z[x] je ireducibilní nad Z a který lze rozložit na součin polynomů nižšího stupně. Napište rozklady polynomů / a g na ireducibilní faktory nad Z.
Euklidův aloritmus, Bezoutova rovnost
49.  Nalezněte polynomy f,g& Z[x], které jsou stupně 3, každý z nich má alespoň jeden alespoň dvojnásobný kořen a jejich největší společný dělitel je
a)  x2 + x — 6,
b)  x2 + x - 2,
c)  x2 + 2x - 3.
Vyjádřete největší společný dělitel polynomů /, g Bezoutovou rovností.
50.  Nalezněte polynomy f,g G Z[x], které jsou stupně 4, každý z nich má alespoň jeden alespoň trojnásobný kořen a jejich největší společný dělitel je
cL )   X     ~~p X — ^j
b)  x2 + 2x - 3,
c)  x2 - 2x - 3.
Vyjádřete tento největší společný dělitel polynomů /, g Bezoutovou rovností.
51.   Pro dané dvojice polynomů f,g& R[x] najděte normovaný polynom, který je jejich největším společným dělitelem. Najděte koeficienty do příslušné Bezoutovy rovnosti.
a)  / = x4 + 1, g = x3 — 1
b)  / = x4 + 3x3 - x2 - Ax - 3, g = 3x3 + lOx2 + 2x - 3
c)  / = x5 - 5x4 + Ax3 + 8x2 - 8x - 3, g = x4 - 2x3 - 7x2 + 8x + 3
Násobné kořeny *
52.  Nalezňte všechny aspoň dvojnásobné kořeny polynomu
a)  x6 + 6x5 + 15x4 + 20x3 + 12x2 - 4,
b)  x4 -2x3 -x2 + 2x + í,
c)  x5 — 5x4 + 5x3 — 5x + 1,
d)  x4 + 6x3 + 7x2 — 6x + 1.
53.  Rozložte v C[x] na lineární faktory polynom
a)  x4 + 2ix3 + x2 + 2ix + 1, víte-li, že má dvojnásobný kořen,
b)  x4 + 6x2 — 8ix — 3, víte-li, že má trojnásobný kořen.
c)  x4 — Ax2 + Í6x + 32, víte-li, že má alespoň jeden kořen vícenásobný.
d)  x5 + ÍOx3 — 20ix2 — 15x + Ai, víte-li, že má čtyřnásobný kořen.
e)  x3 — 6ix + A — Ai, víte-li, že má dvojnásobný kořen.
f)  x4 + 6x2 + 8ix — 3, víte-li, že má trojnásobný kořen.
5
Rozklad racionální lomené funkce na součet parciálních zlomků
54. Rozložte racionální lomenou funkci na součet parciálních zlomků nad
a)
x6+2x4+x2 x3 -Ax2 -Ax-2
K6-2a;3 + l
3z4 + 3a;2-7a;-7 x5 -3x4 +4x3 - 12a;2 +4x-12
x4+x2-l K6-10a;3+25
b)
c) d) e)
'■)   x&-2x4 + 6x3-12x2 + 9x-l& \        8x3 -9x2 -18Z+22
h)
i)
j)
K6-6a;4 + 12a;2-8 4z4+2a;3 + 15a;2+7
4a;4-16a;3 + 25a;2-21a;+9
21z3-16a;2-12a;+l
9a;4-3a;3 + 13a;2 + lla;+2
3z4+2a;3-17a;2-7a;-7
2a;5-7a;4 + 6a;3-3a;2+4a;+4
8z4+2a;3+3a;2+3a;+6 3a;5+5a;4 + 7a;3 + 9a;2 + 2a;-2 i^\          5z3+7a;2-6a;-10
Kl   K5+4a;4+2a;3-4a;2 + 8a;+16 K3-2a;2-a;+16
1)
c5-5a;4+7a;3-2a;2+4a;-8
6