Sbírka příkladů z okruhů a polynomů pro předmět Matematika II Kapitoly a příklady označené hvězdičkou přesahují svým obsahem nebo obtížností požadavky ke zkoušce. 1 Okruhy Komplexní čísla 1. Určete všechna komplexní řešení rovnice xn = 2 pro «eN. [ á/2(cos ^ _|_ i sin Mil); k = 0,..., n - 1 ] 2. Nalezněte rovnici, jejíž všechna komplexní řešení tvoří v Gaussově rovině rovnostanný trojúhelník se středem v nule a jedním vrcholem v i. [x3 = —i ] 3. Řešte v C kvadratickou rovnici x2 + (1 + 3i)x + i — 2 = 0. [-i,-l-2i] 4* Určete všechna komplexní řešení rovnice x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0. [Jsou to páté odmocniny z jedné, různé od 1; tj. X]. = cos ^p1 + i sin ^p1, k = 1,2, 3,4. Jinak zapsáno: ,r-, - V5-1 , a/10+2V5. _ V5+1 , V10-2V5. _ ^5+1 _ V 10-2^5 ■ _ ^5-1 _ a/i0+2x/5 . n */-l 4 "T 4 ři **-2 4 ~T 4 s, J-3 4 4 í,j-4 4 4 i J Okruhy, podokruhy 5. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, •): a) M = {a + 2i | a G R}, [ne b) M = {a + 2i | a G C}, [ano c) M = {a + 6i | a G R, 6 G N}, [ne d) M = {3a + bi \ a G Z, b G Z}, [ne e) M = {a + 26i | a G Z, 6 G Z}, [ano f) M = {Jr | a G Z, A; G N}. [ano 6. Určete, které prvky náleží nejmenšímu podokruhu okruhu (C, +, •) obsahujícímu číslo a pro [k + /a/3; k,leZ [k0 + ki\/2 + k2\/4 + k3\/8 + k4\/í6; k0,ki,k2, k3, kA G Z [k + li;k,l G Z [&o + ^i6;^o,^i e z [k0 + kx£7 + .. . + k5^; k0, ku .. ., k5 G Z [A;0 + fci7T + ... + A;„7Tn; n G N; k0, fc1;..., kn G Z [A; + /A/ň; k,l eZ [k0 + ki{/ň+ k2v/n2;k0, k\,k2 G Z [k + ly/ni; k, l G Z 7. Nechť (i?, +, •) je komutativní okruh. Rozhodněte, zda je okruh taky a) (R, +, D), kde D je operace definovaná vztahem »D b = a ■ b + b ■ a pro libovolné a, 6 G i?, [Ne b)(i?,+,+). [JVe Obory integrity, invertibilní prvky okuhů, tělesa 8. Rozhodněte, zda daná podmnožina A okruhu racionálních čísel (Q, +, •) je okruh, případně obor integrity. Jde-li o okruh, charakterizujte jeho invertibilní prvky. a) A = {- | p G Z, q G N, 3 \ q} [obor integrity; inv. prvky: -, kde p, q G Z, 3 \p, q ] b) A = {p- | m G Z, n G N} [obor integrity; inv. prvky: ±3fc, kde k G Z ] c) A = {^ | m G Z, n G N} [o&or integrity; inv. prvky: ±2fc • 3;, kde k, / G Z ] a) a = a/3, b) a = a/2, c) a = i, d) a = cos ?f + i sin ?f = £3, e) a = cos If- + i sin ^ = £7, f) a = 7T, g) a = A/ň, h) a = A/ň, i) a = A/ňi. 1 9. Rozhodněte, zda následující podmnožina M okruhu komplexních čísel (C, +, •) je okruh, obor integrity, případně těleso. Jde-li o okruh, charakterizujte jeho invertibilní prvky. a) M = {a + bi | a, b G Z} [obor integrity ] b) M = {a + b ■ a/5 | a, b G Q} [těleso ] c) M = {a + b ■ Š/l | a, b G Q} [nie ] d) M = {a + b ■ ±^p± | a, 6 G Q} [těleso } 10. Rozhodněte, zda (M, ©, ©) je okruh, obor integrity, těleso: a) M = Zx (B y = x + y — l,x©y = x-y — 1 [nie ] b) M = Zjx©y = x + y — 1, xQy = x + y — xy [obor integrity ] c) M = Q, operace jako v b) [íéleso ] d) M = Q x Q, (x, y) © (m, -y) = (x + u, y + v), (x, y) © (u, v) = (xu + 2yv, xv + yu) [těleso ] e) M = Z2 x Z2, (x, y) © (m, -y) = (x + m, y + -y), (x, y) © (m, -y) = (xu + y-y, x« + yu + yw) [íě/eso ] 11* Nalezněte invertibilní prvky okruhu ({a + b ■ 1+^3t | a, 6 G Z}, +, •) [i,-1,1 - e,-1+ £,£,-£, kde e 12* Pro prvky z příkladu 6 najděte nejmenší podtěleso tělesa (C, +, •) obsahující daný prvek. 1 + V3Í 2 Homomorfismy okruhů 13. Rozhodněte, zda zobrazení / a, 6 G M dáno: a) f{a + bi) = a + b, b) f(a + bi) = a2 + b2, c) f{a + bi) = a — bi. je homomorfismus okruhu (C,+, •) do okruhu (C,+,•), je-li pro [Ne] [Ne] [Ano } 14* Určete, zda je okruh (Z2, +, •) x (Z3, +, •) oborem integrity. Je izomorfní s okruhem (Z,q, +, •)? 15. Dokažte, že okruh (Z, ©, ©) z příkladu 10 b) je izomorfní s okruhem (Z, +, •). 16. Určete všechny čtveřice (a, 6, c, d) G M4 takové, že předpis a(r + si) = (ar + bs) + (cr + ds)i, pro r, s G M, definuje homomorfismus a : C —> C okruhu C do sebe. Pro které z nich se jedná o izomorfismus? 17* BuďQ(a/Š) = {a + 6a/3 | a, 6 G Q} podokruh okruhu (R, +, •)• Ukažte, že (Q(a/Š), +, •) je těleso. Dokažte, že libovolný okruhový homomorfismus a : Q(a/3) —> C je identický na množině racionálních čísel, tj. Vr G Q : a(r) = r. Popište všechny okruhové homomorfismy a. : Q(a/3) —> C. Které z nich jsou izomorfismy? 2 Polynomy Dělení v okruzích polynomů 18. V Q[x] dělte se zbytkem polynomy a) (x5 + x3 - 2x + 1) : (-x3 + x + 1), b) (3x3 + lOx2 + 2x - 3) : (5x2 + 25x + 30), c) (12x4 + 3x3 - 4x + 3) : (2x2 - 1), d) (x6 + x4 + x2 + 1) : (x2 - x + 1). 19. V Q[x] dělte se zbytkem polynomy: a) (2x3 + 3x2 - 4x + 5) : (x - 2), b) (4x4 - 3x2 - x + 2) : (3x + 1). - 2, zbytek: x2 + 3 - 1, zbytek: 9x + 27 [podíl: 6x2 + |x + 3, zbytek: — |x + 6 [podíl: x4 + x3 + x2, zbytek: 1 [podíl: [podíl: [podíl: [podíl: 2x2 + 7x + 10, zbytek: 25 I-3 4 2 9X 23, £, zbytek: 166 2 Kořeny polynomů 20. Uvažme polynom /(#) = x6 — 6x5 + 9x4 + 8x3 — 24x2 + 16 G Q [x]. Dokažte, že c = 2 je kořenem polynomu / a určete jeho násobnost n. [n = 4 ] 21. Určete hodnotu koeficientu a G Q tak, aby polynom f = x5 — ax2 — ax + 1 G Q [x] měl dvojnásobný kořen c= -1. [a = -5 ] 22. Dokažte, že pro každé n G N je c = 1 dvojnásobným kořenem polynomu nxn+1 — (n + \)xn + 1 G Z[x]. Taylorův rozvoj polynomu 23. Vyjádřete polynom f(x) = x4 + 2x3 — 3x2 — Ax + 1 v mocninách lineárního polynomu x + 1. [/(x) = (x + l)4 - 2(x + l)3 - 3(x + l)2 + 4(x + 1) + 1 ] 24. Vyjádřete polynom f(x) = (x - 2)4 + 4(x - 2)3 + 6(x - 2)2 + 10(x - 2) + 20 bez počítání jednotlivých mocnin polynomu x — 2. [f (x) = x4 - 4x3 + 6x2 + 2x + 8 ] Racionální kořeny polynomů 25. Nalezněte všechny racionální kořeny polynomu v C[x] a určete jejich násobnost. a) 12x6 + 8x5 - 85x4 + 15x3 + 55x2 + x - 6 b) 4x7 - 16x6 + x5 + 55x4 - 35x3 - 38x2 + 12x + 8 c) 4x7 - 23x5 + 17x4 + 31x3 - 49x2 + 24x - 4 d) 2x7 - 3x6 - 20x5 - x4 + 66x3 + 91x2 + 48x + 9 e) 4x5 + 8x4 - 27x3 - 79x2 - 56x - 12 f) 4x5 - 35x3 + 15x2 + 40x + 12 h) 5x3 -8x2 + llx + 6 i) 12x4 - 7x3 - 19x2 - 3x + 2 j)3x5-x4 + ix3-|x2 + |x k) 6x4 + x3 + x2 - 16x - 12 1) 9x6 - 21x5 - 17x4 + 15x3 - 42x2 - 34x - 6 m) 4x6 - 12x5 + 9x4 - 12x2 + 36x - 27 n) 2x7 - 3x6 - 8x5 + 6x4 + 10x3 + x2 + 4x + 4 o) x4 + x3 - 2x2 - 3x - 1 p) x5 - 4x4 + 4x3 + 2x2 - 5x + 2 [1,2,-3 i _i i ' 2' 2' 3 [2,2,2, 1 1 2' 2 1 1 [1,1,1, i, i,-2,-2] [3,3,-|,-l,-l,-l,-l] [o, Z, Z, 2j 2 -■í 9 9 _I _I °i Äi Äi 2' 2 .2 I I 3' 2' 2 1 "3' 4 [o, 2 2 3' 3 r 2 3 I- 3' 2 3' 3' r3 3 1-2' 2 [2,2,-1,-1,-1 [-1,-1 -1,1,1,1,2 3 q) / = 12x7 - 56x6 + 115x5 - 141x4 + 103x3 - 35x2 - 3x + 9 [-!,§,§ ] r) g = 8x7 - 44x6 + 70x5 - 17x4 - 24x3 + 10x2 + 2x - 1 L2' 2' 2 J 26. Určete takové a G C, pro něž má polynom / = 2x6 — x5 — ííx4 — x3 + ax2 + 2ax + 8 G C [x] kořen 2. Pro toto a určete všechny racionální kořeny polynomu / včetně násobností. [a = 10; kořeny: 2, 2, -2, -\ } 27. Určete všechna a G Z, pro něž má polynom x4 + 2x3 — 3x2 + ax — 4 racionální kořen, [a G {—83, —8, 4,19} ] Rozklad polynomů 28. Napište rozklad polynomu na součin ireducibilních faktorů postupně nad Q, R, C: 5 2 _ 1 , 1 6 2 """ 3 '62 b) 5x3 -8x2 + llx + 6 c) 12x4 - 7x3 - 19x2 - 3x + 2 ({) 3X5 _ x4 i Ix3 _ 8^2 i 4X e) 6x4 + x3 + x2 - 16x - 12 f) 4x6 - 12x5 + 9x4 - 12x2 + 36x - 27 g) 9x6 - 21x5 - 17x4 + 15x3 - 42x2 - 34x - 6 [Q,R,C:(x+|)(x-i)(x-l)] [Q,R: 5(x+|)(x2-2x + 3) [C : 5(x + |)(x - 1 - Ía/2)(x - 1 + Ía/2) [Q:12(x+|)(x-i)(x2-x-l) [R, C : 12(x + |)(x - I)(x - i - %(x -\ + % [Q, R : 3x(x - |)2(x2 + x + 1) [C:3x(x-|)2(x+|-^3)(x+i + ^3) [Q, R : 6(x + |)(x - |)(x2 + x + 2) [C : 6(x + |)(x - |)(x + \ - ^)(x + \ + i^) [Q:4(x-|)2(x4-3) [R : 4(x - |)2(x + ^3)(x - ^3)(x2 + a/Š) [C : 4(x - |)2(x + <ß)(x - ýš)(x - i 2 2 J 37. Uveďte příklad polynomu v R[x], resp. v Z[x], jehož kořenem je a) 1 + i, [R[x],Z[x] :x2 -2x + 2 ] b) 2 + VŠi, [R[x],Z[x] :x2 -4x + 27] c) a/3 — hi. [R[x], Z[x] : x4 + 44x2 + 784; R[x] : x2 - 2a/Šx + 28 ] Polynomy nad Zp 38. Nalezněte všechny kořeny polynomu x5 + 5x4 — x2 — x + 3 v Z7. [[1]7, [%, [5]7, [6]7, [6]7 ] 5 39. Určete všechny ireducibilní polynomy nad a) Z2 stupně menšího než 5, [x,x+l,x2 + x + l, x3 + x+l, x3+x2 + l, x4 + x+l,x4+x3 + l, x4+x3 + x2 + x+l ] b) Z3 stupně menšího než 4. [x, x+1, x+2, 2x, 2x+l, 2x+2, x2+l, 2x2+2, x2+x+2, x2+2x+2, 2x2+x+l, 2x2+ 2x+l,x3+2x+l,2x3+x+2,x3+2x+2, 2x3+x+l,x3+x2+2, 2x3 + 2x2 + l,x3 + 2x2 + l,2x3+x2 + 2,x3+x2+x+ 2, 2x3+2x2+2x+l, x3+x2+2x+l, 2x3+2x2+x+2, x3+2x2+x+l, 2x3+x2+2x+2, x3+2x2+2x+2, 2x3+x2+x+l ] 40. Nalezněte všechny kořeny polynomu x6 — x5 — x4 — x3 — x2 — x +1 G Z3 [x] v Z3 [x] a určete jejich násobnost. [[-1]3,[-1]3,[-1]3,[-1]3,[1]3,[1]3] 41. Určete nějaký prvek a G Z5 takový, že polynom x3 + x2 + ax + 1 je ireducibilní nad Z5. [aG{[0]5,[3]5,[4]5}] 42. Určete všechny prvky a G Z7, pro které je polynom x3 + x2 + x + a ireducibilní nad Z7. [«G{[2]7,[5]7}] 43. Udejte příklad polynomu a) g G Z5[x], který je stupně 5, má dvojnásobný kořen 2 a žádné jiné kořeny nemá, [x3 + x2 + x + 3 ] b) g G Z2[x], který je stupně 5, není ireducibilní a nemá žádný kořen, [x5 + x4 + 1 ] c) g G Zs[x], který je stupně 4, není ireducibilní a nemá žádný kořen, [x4 + 2x2 + 1 ] d) g G Zs[x], který je stupně 5, není ireducibilní a nemá žádný kořen, [x5 + x4 + 2x3 + x + 2 ] e) g G Z5[x], který je stupně 6, má dvojnásobný kořen 2, jednoduchý kořen 4 a který nemá žádné další kořeny. [x6 + 2x5 + 3x4 + 2x3 + 4x2 + x - 1 ] 44. Rozložte polynomy na ireducibilní faktory. a) x6 + x5 + x2 + 1 G Z2[x] [(x3 + x2 + l)(x2+x+ l)(x + l) ] b) x7 + 3x6 + 2x5 - x4 + 3x3 - x2 + x + 1 G Z5[x] [(x + l)2(x + 2)3(x2 + 2) ] c) x5 +x4 +x3 +x2 + X + 1 G Z2[x] [(x+ l)(x2 +X+ l)2 ] d) x7 - x6 + 2x4 + x3 - x2 + 2 G Z5[x] [(x + 2)(x + l)2(x2 + 2)(x2 + 3) ] e*) x5+x4+x3 -x2 + l gZ3[x] [(x-1)(x2 -x-1)(x2 + 1) ] f) x4 + x3 + x + 1 G Z2[x] [(x2 + x + l)(x + l)2 ] g*) x5 + 3x3 + x + 3 G Z5[x] [(x + 2)(x2 + x + l)(x2 + 2x + 4) ] h) x5 + x3 + 2x2 + 2 [(x + 2)(x2 + x + 4)(x2 + 2x + 4) ] Eisensteinovo kritérium * 45. Ukažte, že polynom f(x) je ireducibilní nad Q: a) f(x) = xn + p; n G N, p je prvočíslo, [plyne z E. k. volbou prvočísla p ] b) /(x) = x6+x3 + l. [f (x) = (x - l)6 + 6(x - l)5 + 15(x - l)4 + 21 (x - l)3 + 18(x - l)2 + 9(x - 1) + 3 ] [plyne z E. k. volbou prvočísla p = 3 ] 46. Najděte n G N takové, že polynom x2 — n je ireducibilní nad Q, ale nesplňuje podmínku Eisensteinova kritéria. [n = 8] 47. Najděte n G N tak, aby polynom p(x) = xn + n a) byl ireducibilní nad Q, [n = 2] b) nebyl ireducibilní nad Q. [n = 4 : p(x) = x4 + 4 = (x2 + 2x + 2)(x2 - 2x + 2), n = 27 : p (x) = x27 + 27 = (x9 + 3)(x18 - 3x9 + 9) ] 48. Určete, který z polynomů f (x) = x5 + 3x3 — 9x + 3 G Z[x] a g(x) = x4 + 4x3 + 5x2 — 3 G Z[x] je ireducibilní nad Z a který lze nad Z rozložit na součin polynomů nižšího stupně. Napište rozklady polynomů / a g na ireducibilní faktory nad Z. [/ Je ireducibilní: f(x) = x5 + 3x3 — 9x + 3, plyne z E. k. pro p = 3 ] [g není ireducibilní: g(x) = (x2 + x — l)(x2 + 3x + 3) ] 6 Euklidův aloritmus, Bezoutova rovnost 49. Nalezněte polynomy /(x), g(x) G Q [x], které jsou stupně 3, každý z nich má alespoň jeden alespoň dvojnásobný kořen a jejich největší společný dělitel je: a) x2 + x — 6, [f(x) = x3 - x2 - 8x + 12 = (x - 2)2(x + 3); g(x) = x3 + 4x2 - 3x - 18 = (x - 2)(x + 3)2 ] b) x2 + x - 2, [f(x) = x3 - 3x + 2 = (x - l)2(x + 2); g(x) = x3 + 3x2 - 4 = (x - l)(x + 2)2 ] c) x2 + 2x - 3. [fix) = x3 + x2 - 5x + 3 = (x - l)2(x + 3); gix) = x3 + 5x2 + 3x - 9 = (x - l)(x + 3)2 ] Vyjádřete největší společný dělitel polynomů /, g Bezoutovou rovností. [x2 +x _ q = f(_l)+gl.x2 + x_ 2 = /(_!) + í7I;x2 + 2x - 3 = f{-\)+g\ } 50. Nalezněte polynomy f(x), g(x) G Q [x], které jsou stupně 4, každý z nich má alespoň jeden alespoň trojnásobný kořen a jejich největší společný dělitel je: a) x2 + x-2, [/(x) = x4-x3-3x2 + 5x-2 = (x- l)3(x + 3);#(x) = x4 + 5x3 + 6x2-4x-8 = (x-l)(x + 3)3 ] b) x2 + 2x - 3, [/(x) = x4 - 6x2 + 8x - 3 = (x - l)3(x + 2); g(x) = x4 + 8x3 + 18x - 27 = (x - l)(x + 2)3 ] c) x2 - 2x - 3. (f(x) = x4 - 8x3 + 18x2 - 27 = (x - 3)3(x + 1); g(x) = x4 - 6x2 - 8x - 3 = (x - 3)(x + l)3 ] Vyjádřete největší společný dělitel polynomů /, g Bezoutovou rovností. /(22X+ 32 J + <7(— 32 X + 32J J 51. Pro dané dvojice polynomů f,g& K[x] najděte normovaný polynom, který je jejich největším společným dělitelem. Najděte koeficienty do příslušné Bezoutovy rovnosti. a) / = x4 + 1, g = x3 — 1 [(/, g) = í = f{\x2 - \x + \) + g{-\x3 + \x2 -\x-\)\ b) / = x4 + 3x3 - x2 - 4x - 3, g = 3x3 + 10x2 + 2x - 3 [(/, g) = x + 3 = /(§x - 1) + g(-£ + |x) ] c) / = x5 - 5x4 + 4x3 + 8x2 - 8x - 3, g = x4 - 2x3 - 7x2 + 8x + 3 [(/, g) = x2 - 3x - 1 = /(|x +%)+ g{-\x2 + |x + §) ] Násobné kořeny * 52. Nalezněte všechny aspoň dvojnásobné kořeny polynomu: a) x6 + 6x5 + 15x4 + 20x3 + 12x2 - 4, b) x4-2x3 -x2 + 2x + l, c) x4 + 6x3 + 7x2 — 6x + 1. 53. Rozložte v C[x] na lineární faktory polynom a) x4 + 2ix3 + x2 + 2ix + 1, víte-li, že má dvojnásobný kořen, b) x4 + 6x2 — 8ix — 3, víte-li, že má trojnásobný kořen. c) x4 — 4x2 + 16x + 32, víte-li, že má alespoň jeden kořen vícenásobný. d) x5 + 10x3 — 20ix2 — 15x + Ai, víte-li, že má čtyřnásobný kořen. e) x3 — 6ix + 4 — 4«, víte-li, že má dvojnásobný kořen. f) x4 + 6x2 + 8ix — 3, víte-li, že má trojnásobný kořen. [—1 + *, —1 -i [1+V5 1--y/5 L 2 ' 2 r-3+yi3 -3--v/Í3 [(X 2 -\- 2 J (X 2 2 > i [(x-i)3(x + 3i) } [(x + 2)2(x - 2 + 2i)(x -2-2i)\ [(x-i)4(x + 4i) ] l(x + l + i)2(x-2-2i) } [(x + i)3(x-3i) } 7 Rozklad racionální lomené funkce na součet parciálních zlomků . R a) a6+2a4+a2 54. Rozložte racionální lomenou funkci na součet parciálních zlomků nad Q. x2-x+l r-i i i i x-i <- x x2 a2 + l (a2 + l)2 n a3-4a2-4a-2 U) a6-2a3 + l r 1________1________x+1 i x+1 \-x-l (x-1)2 x2+x+l ' (a2+a+l)2 3a4 + 3a2-7a-7 x5 -3a4 +4a3 - 12a2 +4a-12 r 2 i x+3 i 2a-l c) d) x4+x2-l íx-3 ' x2 + 2 ' (a2+2)2 a6-10a3+25 r a; , a; +5a—1 la3-5 "^ (a3-5)2 5 4 3,2, t X —x —X +X +a — 1 -8 r a;—1 , 3a —3 , 3a —3 p\ a —a —a + a +a-e/ a6-6a4 + 12a2-S La2-2 ^ (a2-2)2 ^ (a2-2)3 c\ 4a4+2a3 + 15a2+7 X/ a5-2a4 + 6a3-12a2 + 9a-18 r 3 i a+4 i 2a-2 g) 8a3-9a2-18a+22 íx-2 ' a2 + 3 ' (a2+3) 2 i 312 4a4-16a3 + 25a2-21a+9 1_____i a+3 l-2a-3 ^ (2a-3)2 ^ a2-a+l n 21a3-16a2-12a+l n> 9a4-3a3 + 13a2 + lla+2 r 1 i 1 i 2a-3 ■\ íx V 2a5- 3a4+2a3-17a2-7a-7 l-3a+l ' (3a+l)2 ' a2-a+2 7a4 + 6a3-3a2+4a+4 r -1 i 3 1 a-l \-2x+l ' x-2 (a-2)2 a2 + l •\ 8a4+2a3+3a2+3a+6 ■>> 3a5+5a4 + 7a3 + 9a2 + 2a-2 r 1 1,2, a-2 íx+1 (a+1)2 ' 3a-l ' a2 + 2 5a3+7a2-6a-10 +4a4+2a3-4a2 + 8a+16 1 a V a5-5a4+7a3-2a2+4a-8 íx+2 ' (a+2)2 (a+2)3 ' a2-2a+2 a3-2a2-a+16 ____ a-8 r^l________1__ , 2_________a+1 l-a-2 (a-2)2 ' (x-2)3 x2+x+l 8