1 ÚVOD Cílem mé práce je sestavit sbírku úloh z lineární algebry. Ta je určena především pro posluchače prvního semestru oboru odborná informatika. Látka je rozložena do deseti kapitol, které jsou uspořádány v souladu se skripty [5] doc. RNDr. P. Zlatoše, CSc. a s přednáškami a cvičeními RNDr. M. Čadka, CSc. a Mgr. M. Sekaniny, Ph.D. Jejím základem jsou cvičení ve skriptech [4] prof. J. Slováka, DrSc, která však podstatně rozšiřuje. V každé kapitole připomínám nejdůležitější věty a definice potřebných pojmů, z nichž některé jsou ve stručnosti popsány v seznamu použitého značení. Dále jsou zde obsaženy řešené příklady, které čtenáři poskytují návody na řešení daných problémů, a úlohy k procvičení a důkladnému pochopení látky. Příklady i cvičení jsou řazeny postupně od jednodušších po složitější a s některými typy se student setká také v zápočtových a zkouškových testech. Výsledky cvičení je pak možné zkontrolovat v závěru sbírky. Sbírka dává studentům možnost ověřit si své znalosti samostatným řešením úloh. Takových sbírek sice existuje celá řada (např. [1] nebo [3]), avšak ty jsou bud obtížně dostupné nebo nepokrývají vše, co se v současné době přednáší v prvním semestru lineární algebry na Masarykově univerzitě. 2 SEZNAM POUŽITÉHO ZNAČENÍ Uvedené značení je používáno v celé sbírce a ve většině případů koresponduje se značením v [5]. a, b, c běžné skaláry - prvky pole K a, /3,7 báze vektorových prostorů C množina všech komplexních čísel dimV dimenze vektorového prostoru V Dir V zaměření vektorového prostoru V E jednotková matice EŘO elemetrární řádkové operace en standardní báze v Rn (/)/?,£» matice lineárního zobrazení / v bazích a,f3 (idv)/3,o: matice přechodu od báze a k bázi f3 Im / obraz zobrazení / K obecné pole skalárů Kn množina všech uspořádaných n-tic prvků z K Kn[x] množina všech polynomů v proměnné x nad K stupně nejvýše n Ker / jádro zobrazení / [M] lineární obal množiny M MatTOj„(K) množina všech matic typu m x n nad polem K Mat„(K) Matn,n(K) N množina všech přirozených čísel R množina všech reálných čísel R+ množina všech kladných reálných čísel Si(Á) i-tf sloupec matice A Tr (A) stopa matice A U, V, W vektorové prostory u,v,w vektory x, y, z neznámé, vektory (x)a souřadnice vektoru x v bázi a Z množina všech celých čísel Zn množina zbytkových tříd modulo n 3 1. OPAKOVÁNÍ, POČÍTÁNÍ S KOMPLEXNÍMI ČÍSLY Komplexní čísla jsou čísla tvaru z = a + ib, kde a E R se nazývá reálná část komplexního čísla z, b E R se nazývá imaginární část komplexního čísla z a pro i (tzv. imaginární jednotku) platí i2 = — 1. Tento tvar komplexního čísla se nazývá algebraický tvar komplexního čísla z. Pro komplexní čísla u = a+ib, v = c+id definujeme operace sčítání, odčítání a násobení takto: u ± v = (a ± c) + i(b ± d) u ■ v = (ac — bd) + i(ad + bc) Číslo ~2 = a — ib se nazývá komplexně sdružené k číslu z = a + ib, číslo — z = — a — ib je opačné komplexní číslo k číslu z = a + ib. Reálné číslo \z\ = V a2 + b2 se nazývá absolutní hodnota komplexního čísla z = a + ib. Platí \z\2 = z ■ ž. Komplexní číslo, pro které platí \z\ = 1, se nazývá komplexní jednotka. Číslo z~x s vlastností z • z~x = 1 se nazývá převrácené číslo komplexního čísla z. Platí z - W Podíl komplexních čísel u = a + ibav = c + id^Oje definován jako součin u • v-1. Komplexní čísla znázorňujeme v kartézské soustavě souřadnic xy (tzv. rovina komplexních čísel nebo také Gaussova rovina). Komplexní číslo z = a + ib, z ^ 0 můžeme rovněž zapsat v goniometrickém tvaru z = r(cosa + isma), kde r E (0,2tt) je rovno \z\, cosa = j^sina = jjj. Číslo a E R se nazývá argument komplexního čísla z. Sčítání komplexních čísel odpovídá sčítání vektorů v rovině. Násobení komplexního čísla z reálným skalárem k odpovídá stejnolehlosti v rovině s koeficientem k se středem v počátku; F (z) = kz. Násobení komplexního čísla z komplexní jednotkou (cosct + i sin a) odpovídá otočení v rovině o úhel a okolo počátku; F (z) = z(cos a + i sin a). Násobení komplexního čísla z pevným komplexním číslem r (cosa + isma) odpovídá složení stejnolehlosti a otočení; F (z) = zr(cosa + i sinct). Číslo z e C se nazývá n-tá odmocnina čísla a + ib E C právě tehdy, když je kořenem rovnice zn = a + ib. K řešení rovnice zn = a + ib použijeme goniometrický tvar komplexního čísla. Píšeme zn = a + ib = R(cos a + isma), kde R, a jsou známé. Číslo z hledáme ve tvaru z = r(cos (p + i sin cp). 4 Z rovnosti zn = rn(cos(p + ism(p)n = rn (cos nip + ismrup) = R(cosa + i sin a) vyplývá rn = R, tedy r = \[R~ a rup = a + 2kir, tedy = f + = 0,1, ...,n - 1. Existuje n řešení rovnice. Příklad: Řešte rovnici z3 = 8i. Řešení: Komplexní číslo 8i převedeme na goniometrický tvar: |8í| = 8, cos a = 0, sinct = 1, a = | 8i = 8(cos | + i sin |). Tedy r3(cos3<£ + ísin3<^) = 8(cos — + í sin —) z čehož dostáváme r3 = 8 r = 2 3íp = - + 2k-K = - + y 7T Nyní za k dosadíme čísla 0,1,2, určíme jednotlivé úhly a vypočteme všechna řešení rovnice: k = 0 k = 1 k = 2 % <^0 = l = 30° äi = 2(cos30° + í sin 30°) = -s/3 + y?i = f + §tt = |tt = 150° =>zi = 2(cos 150° + i sin 150°) = -y/Š + % <^2 = | + |tt = |tt = 270° => z2 = 2(cos 270° + i sin 270° = -2% Cvičení: 1. Jsou dána komplexní čísla a = — 6 + 2i,b = 3 + 5i. Vyjádřete v algebraickém tvaru čísla (a) (a-6)3 (b) ab (c) f 2. Upravte a vyjádřete v algebraickém tvaru čísla: (a) (3i-7)(8 + i) (b) -i + 2i(3-4í) (c) *g (d) Cpi (l+2Q(2+«)(3-2Q w (i-02 (f) (^t)2 - (S)3 5 3. Určete všechna reálná čísla x,y, pro která platí (a) (1 + i)x + (13 + 7i)y = 0, (b) 4(2 + i)x + (1 - 4i)y = (3 + i)x - 4(2i - l)y - 7 + 9i. 4. Řešte následující rovnice: (a) (1 + i)z = 2i (b) (8 - 3i)z = l + iVŽ (c) (5 - i)z = ^ 5. Napište v goniometrickém tvaru komplexní čísla (a) -1 + iy/Š (b) -Vž(i-i) (c) 6. Řešte následující rovnice: (a) x3 = 8 (b) z4 + 2 = 0 (c) x3 + 1 = 0 (d) z5 - 1 = 0 (e) 7a;3+ 24 = 0 6 2. POLE A VEKTOROVÉ PROSTORY Polem rozumíme množinu K se dvěma význačnými prvky - nulou a jedničkou a dvěma binárními operacemi na K - sčítáním a násobením takovými, že platí následujících deset axiomů: (1) (Vo,&gK)(o + 6 = 6 + o) (2) (Vo, b, c g K) (o + (b + c) = (o + b) + c) (3) (Vo g K)(a + 0 = a) (4) (Vo g K)(36 g K)(a + 6 = 0) (5) (Vo,&gK)(o-6 = 6-o) (6) (Vo,6,c G K)(o • (6 • c) = (o • 6) • c) (7) (Vo g K)(l - o = o) (8) (Vo g K \ {0})(36 g K)(o • b = 1) (9) (Vo, b, c g K) (o • (b + c) = o • 6 + o • c) (10) 0 ^ 1 2.1 ZBYTKOVÉ TŘÍDY Pro každé n g N značí Zn = {A; g N, A; < n} = {0,1,n - 1} množinu zbytkových tříd modulo n se dvěma bimárními operacemi - sčítáním a násobením takovými, že Vo, b g Zn platí (1) o + b = zbytek po dělení (o + b) : n, (2) a ■ b = zbytek po dělení (o • b) : n. Příklad: Najděte opačné a inverzní prvky k prvkům množiny Z5. Řešení: Opačným prvkem koje podle axiomu (4) takové b, pro které platí o + b = 0. Jak snadno zjistíme z tabulky pro sčítání v Z5, opačným prvkem k 1 je 4, ke 2 je to prvek 3, k 0 je to opět 0. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1 2 3 Tabulka 1: Tabulka pro sčítání v Z5. Inverzním prvkem k o je podle axiomu (8) takové b, pro které platí o • b = 1. V tabulce pro násobení v Z5 vidíme, že inverzním prvkem k 1 je opět 1, ke 2 je to prvek 3, ke 4 opět 4. K 0 inverzní prvek neexistuje. 7 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1 Tabulka 2: Tabulka pro násobení v Z5. Příklad: Řešte v Z5 rovnici 3a; + 4 = 3. První řešení: Rovnici upravíme přičtením opačného prvku ke 4 k oběma stranám rovnice. Tedy 3a;+ 4+1 = 3 + 1 3a; = 4. Dále celou rovnici vynásobíme inverzním prvkem ke 3, čímž dostaneme 2 • 3a; = 2-4 1 - ar = 3. Druhé řešení: Rovnici opět upravíme na tvar 3a; = 4. V multiplikativní tabulce pro násobení v Z5 najdeme prvek, který dá v součinu s 3 výsledek 4. Tímto prvkem je 3, což je přímo řešením rovnice. Poznámka: V Zn pro n prvočíslo má rovnice ax + b = c pro a / 0 právě jedno řešení. V Z„ pro n složené mohou nastat případy, kdy má rovnice více řešení, právě jedno řešení nebo nemá řešení žádné. Cvičení: 1. V Zp řešte rovnici 2x + 1 = 2 pro p = 3,5, 7. 2. V Zp řešte rovnici 7a; + 9 = 8 pro p = 11,13. 3. V Zp řešte rovnici 4a; + 3 = 0 pro p = 5, 7,11. 4. V Z8 najděte všechna řešení rovnic (a) 4a; + 6 = 5 (b) 4a; + 6 = 2 5. V Z9 najděte všechna řešení rovnic (a) 5a; + 7 = 4 (b) 8a; + 4 = 7 6. V Z6 najděte rovnice, které (a) mají více řešení, (b) mají právě jedno řešení, (c) nemají žádné řešení. 8 7. V Z7 nejděte všechna řešení rovnic (a) r5 = 1 (b) xs = 6 8. V Zn najděte všechna řešení rovnic (a) x2 + x = 9 (b) x2 + 2x = 8 9. Najděte všechna řešení rovnice x3 + 2x = 2 (a) v Z5 (b) v Z6 (c) v Zr 2.2 VEKTOROVÉ PROSTORY Nechť K je pole. Vektorovým prostorem nad polem K nazýváme množinu V s význačným prvkem 0 a dvěma binárními operacemi - sčítáním + : V x V —>■ V a násobením ■:KxV4V takovými, že platí: (1) (Vw, v G V) (u + v = v + u) (2) (Vw, v, w G V) (w + (v + w) = (u + v) + (3) (V«eV)(0 + « = M + 0 = u) (4) (Vu G V)(3v G V)(u + v = 0) (5) (Vifc, / G K)(Vu G V) (A; • (/ • u) = (kl) ■ u) (6) (VugV)(1-ií = «) (7) (Vifc G K)(Vu,v G V)(ifc- (u + v) = ifc-u + jfc-v) (8) (Vifc, / G K) (Vu G V) ((ifc + Z) • u = k ■ u + / • u) Nejčastějším případem vektorového prostoru nad polem K je pro libovolné n G N množina Kn = {(£!,...,£„); £i,...,2ľn G K} všech uspořádaných n-tic prvků z K spolu s operacemi x + y = (aľi, ...,xn) + (2/1,3/„) = (xi + yi, ...,xn + yn), CX — c[x\, ■ ■ ■, Xft) — (c^l, ■■■, CXyi) , kde x = (x\, ...,xn) G Kn,y = (yi, ...,yn) G Kn a c G K. Roli nuly v Kn hraje uspořádaná n-tice 0 = (0,0), opačným prvkem k x = (x\,xn) G Kn je prvek —x = —{x\, ...,xn) = ( X\ , ..., Xn) . Příklad: Zjistěte, zda množina R+ = {x G R, x > 0} s operacemi x © y = x ■ y, a 0 x = xa pro x ,y G R+, a G R tvoří vektorový prostor nad polem R. 9 Řešení: Abychom zjistili, zda je daná množina vektorovým prostorem, musíme ověřit všech osm axiomů vektorového prostoru: (1) x © y = y © x Důkaz: x(By = x- y = y- x = y(Bx (2) (x © y) © z = x © (y © z) Důkaz: (x © y) © z = (x ■ y) ■ z = x ■ (y ■ z) = x © (y © z) (3) Neutrální prvek pro © je 1. Důkaz: x ®1 = x • 1 = x (4) Inverzní prvek pro © k prvku £ je K Důkaz: x®l = x-- = l x x (5) (a • b) 0 x = a 0 (b 0 x) Důkaz: (a-b)®x = xa'b = (xb)a = a®(b®x) (6) 1 (D x = x Důkaz: l0a; = a;1 = a; (7) a 0 (x © y) = (a 0 x) © (a 0 y) Důkaz: a 0 (x © y) = (x ■ y)a = xa ■ ya = (a 0 x) © (a 0 y) (8) (a + 6) 0 x = (a 0 a) © (b 0 a) Důkaz: (a + 6) 0 z = x^a+b"> = xa ■ xb = (a 0 x) © (b 0 x) Daná množina splňuje všech osm axiomů, tvoří tedy vektorový prostor. Cvičení: 1. Zjistěte, zda jsou následující množiny vektorové prostory nad R. Pokud ne, určete, které axiomy vektorového prostoru nejsou splněny. (a) V = {(x,y,z)} s operacemi (x, y, z) + (x1, y', z') = (x + x', y + y', z + z'), k(x, y, z) = (kx, y, z) (b) V = {(x,y)} s operacemi (x, y) + (x1, y') = (x + x', y + y'), k{x, y) = {2kx, 2ky) (c) V = {(x,y),x > 0} se standardními operacemi sčítání vektorů, tj. (x, y) + (x' ,y') = (x + x', y + y'), a násobení vektoru skalárem, tj. k(x, y) = (kx, ky). (d) V = {(x,y)} s operacemi (x, y) + (x1, y') = (x + x' + 1, y + y' + 1), k(x, y) = (kx, ky) (e) Množina všech n-tic reálných čísel tvaru (x, x,... , x) se standardními operacemi sčítání vektorů a násobení vektoru skalárem. (f) V = {(1,x)} s operacemi (1, x) + (1, x') = (1, x + x'), k(l, x) = (1, kx) 10 (g) Množina všech matic typu 2 x 2 s reálnymi koeficienty se standardními operacemi sčítání matic a násobení matic skalárem. sčítání matic a násobení matic skalárem. 2. Uvažte, zda může vektorový prostor obsahovat dva různé nulové prvky (vektory). Pokud ano, splňují oba axiom (4)? Zdůvodněte. 3. Uvažte, zda mohou k vektoru u ve vektorovém prostoru existovat dva různé opačné vektory (—u)\, (—14)2- Pokud ano, splňují oba axiom (5)? Zdůvodněte. 4. Nechť V = C a K = R. Ukažte, že C je vektorový prostor nad R. 5. Ukažte, že množina polynomů stupme nejvýše 2 s reálnými koeficienty = {a^x1 + a\x + ao, a2, ai, ao £ R} tvoří vektorový prostor. 6. Nechť V = C2 [x] je množina polynomů stupně nejvýše 2 s komplexními koeficienty. Ukažte, že V tvoří vektorový prostor nad C i nad R. (h) Množina všech matic typu 2x2 tvaru standardními operacemi sčítání matic a násobení matic skalárem. (i) Množina všech matic typu 2x2 tvaru standardními operacemi 11 3. MATICE, OPERACE S MATICEMI Definujme nejprve základní operace s maticemi. Sčítání matic: Nechť A = (a^-) a B = (bij) jsou matice typu m x n. Pak A + B = (dij) + (b^) je matice typu m x n pro i = 1,m, j = 1,n. Násobení matic skalárem: Nechť A = (o^-) je matice typu m x n, a E R je skalár. Pak a • A = (a • dij) je matice typu m x n pro i = 1,m, j = 1,n. Násobení matic: Nechť A = (a^) je matice typu m x n, B = (bjk) je matice typu n x p. Pak j4£? = C = (c^) je matice typu m x p a = $^j=i a«A'í; Pro * = 1> ■■■imij = l,...,n,k = l,...,p. Transponování matic: Nechť ^4 = (a^) je matice typu m x n. Pak j4t = (ojj) je matice typu n x m pro i = 1, ...,m,j = 1, ...,n. Stopa matice, ozn. Tr(yl), je součet prvků matice na hlavní diagomále. Tr(Ä) je definována pouze pro čtvercové matice. Příklad: Mějme matice Vypočtěte matice 2L> - 5F,A + 3C,CT,AT,2C + 4i?T, AB, EC, CE, F2 - 3D. Dále vypočtěte stopy matic A,F. Řešení: ,2 1/ -7/ \4 2 y VO -35/ V 4 37 Součet A + 3C není definován. CT = (3 2 -1) A 2C + 4ET = 2 I 2 I + 4 I 0 ľ 1 AB = 0 3 V1 o '2-2 + 1-3 2-0+1-1 2-1 + 1--1 2-4+1--1 0- 2 + 3-3 0-0 + 3-1 0-l + 3-(-l) 0-4 + 3-(-1) 1- 2 + 0-3 1-0 + 0-1 1 ■ 1 + 0 • (-1) l-4 + 0-(-l) 12 EC=(1 O -2)[ 2 ] = (1 -3 + 0-2 + (-2)(-l)) = (5) 3 \ / 3-1 3-0 3 -(-2) \ / 3 0 -6N CE = I 2 1(1 0 -2) = 2-1 2-0 2 • (-2) ) = I 2 0-4 ■V Ví"1)-1 (-l)'O (-1) • (-2)7 V-l O 2 "-■"-G -oč -r)-»e "^-(i a-e í)-(=s í Tr(Z?) = 2,Tr(F) = —6, pro ostatní matice není stopa definována. Cvičení: 1. Uvažme matice nad Z A=[ 2 1|,*=(-1 0 2),C=('J ° l ~5V=(Í ÍYE /1\ -3 0 \7/ G=^0 1 -4J,*=(; _°7),/=(l 0 -2 4). (a) Které matice můžeme násobit s A zleva a zprava? (/?) Spočtěte (pokud je definováno): (a) El (b) JE (c) D3 + 4DH-H2 (d) G2-3F (e) A - F (f) A-GFA (g) BACE — BFBT 2. Uvažme matice 4='Í ?)'B=(» _21)'C=(3 í 6)'B=|-1 ° 1UE Spočtěte (je-li definováno): (a) (45)C + 25 (b) 2AT + C (c) DT — ET (d) (D - Ef 13 (e) DTET - (ED)T (f) (AB)C (g) A(BC) (h) Tr(D) (i) Tr(D - 3E) (j) 4Tr(75) (k) Tr(A) (1) Tľ(DDT) (m) CTAT + 2ET 3. Mějme A a B blokové matice: ' Axx I A12 A B .A 21 A 22, /BÍÍ Jejich součin lze vyjádřit: AB B\2 #22, AiiBu + A12B21 A21 Bu + A22B21 A11B12 + A12B22 A21B12 + ^22-622 za předpokladu, že bloky matic A a B mají vhodné rozměry. Tato metoda se nazývá blokové násobení. Vynásobte následující matice blokově a výsledek ověřte obyčejným maticovým násobením: (a) A í-l 0 1 4 5 \ 2 (b) A V 1 í-l 0 1 4 1 / 5 \ 2 (c) A V1 3-10 2 1 4 1 / B f2 1 1 4 \ -3 5 1 2 B = — — — 7 -1 l 0 3 1 "3/ f 2 1 1 4 \ -3 5 1 2 B = — — — 7 -1 l 0 3 1 "3/ ( 2 -4 1 \ 3 0 2 1 -3 5 V 2 1 4 ) 14 4. Ukažte, že má-li A nulový řádek a B je matice taková, že AB je definován, pak AB obsahuje také nulový řádek. Taktéž ukažte, že má-li B nulový sloupec a AB je definován, pak i AB má nulový sloupec. 5. Nechť E = (e^) je matice typu n x n splňující 1 1 pro i = j I 0 pro i ^ j Ukažte, že AE = E A = A pro libovolnou matici A typu n x n. E se nazývá jednotková matice. 6. Najděte matici A = (a^) typu 4x4 splňující následující podmínky: (a) Oij = i+j (b) @>ij — $ íl (c) pro \i — j\ > 1 7. Maticí A tvaru n x n takovou, že (a) = a, Au = 1 pro všechna i / 2 a yl^ = 0 pro i ^ j, (b) Ais = A22 = A3i = Au = 1 pro i>4a = 0 pro všechny ostatní dvojice ij, (c) A13 = a, Au = 1 pro všechna i a A^ = 0 pro všechny ostatní dvojice ij vynásobte obecnou matici B = (Bij) tvaru n x m zleva a obecnou matici C = (Ci j) tvaru m x n zprava. Jak se výsledky násobení liší od matice B, resp. C? 8. Najděte matici A typu 2x2 takovou, že zobrazení \-> A , R2 —>■ R2, je stejnolehlost se středem v a koeficientem 3. (x\ í 2>x — 2v 10. Kolik existuje matic A typu 3x3 takových, že platí: 15 11. Matice B se nazývá odmocninou matice A, jestliže platí BB = A. '2 2N (a) Najděte odmocninu matice A — ^ . . (b) Kolik existuje různých odmocnin matice A = í (c) Mají všechny matice typu 2x2 odmocninu? Vysvětlete. 12. Nechť O je nulová matice typu 2x2. (a) Existují matice A typu 2x2 takové, že A ^ O a AA = 01 Dokažte. (b) Existují matice A typu 2x2 takové, že A ^ O a AA = A? Dokažte. 13. Ukažte, že násobení sloupcového vektoru v R2 maticí A = í cosa sma\ re_ ysmcK cos a J zentuje otočení v rovině o úhel a. Spočtěte Ä2, A3 (obecně Ak). 14. Nechť A = (j z). Dokažte, že An = (a2n_1 0,2x1 Y kde {an\ je Fibonacciho posloupnost a ai = 1, tt2 = 1, an = an_i + an-2- 15. Orientovaný graf G je tvořen množinou vrcholů V = {1,2,..., n} a množinou hran H = {(i,j):i,jeV}. Matice grafu G je definována takto: = 1 právě, když (i, j) E H, = 0 právě, když (i, j) g H. Cesta délky A; je tvořena posloupností čísel ii,Í2, ■ h, h+i takových, že (11,12), (12, h), ■ (ik,h+i) e H. Určete, jaký je vztah mezi A2, A3, ...,Ak a cestami délky 2, 3,k. 16 4. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Příklad: Řešte systém rovnic v R užitím Gaussovy eliminace. 2X\ + 3X2 — #4 = 1 3xt + 2x2 + 4£3 - 2x± = 0 X\ — x2 + 4£3 — x± = 2 Řešení: Rozšířená matice soustavy je 2 3 0 -1 | 1\ 3 2 4 -2 | 0 1 -1 4 -1 | 2) Pomocí EŘO (elementárních řádkových operací) upravujeme na schodovitý tvar. Poslední řádek matice dáme na první místo, potom jeho (—2)-násobek přičteme k původnímu prvnímu řádku, který posuneme na druhé místo, a jeho (—3)-násobek přičteme k původnímu druhému řádku, který posuneme na třetí místo. Tak dostaneme matici 1-1 4 -1 | 2 \ 0 5 -8 1 |-3 0 5 -8 1 | -6/ Přičtením (—l)-násobku druhého řádku k třetímu dostaneme matici 1-1 4 -1 | 2 \ 0 5 -8 1 |-3 0 0 0 0 | -3/ Už z tohoto tvaru vidíme, že soustava odpovídající poslední matici nemá řešení, jelikož obsahuje rovnici 0 = —3. Tedy ani původní soustava (přestože obsahuje více neznámých než rovnic) nemá řešení. Příklad: Uvažujme soustavu A:X\ + 3X2 + 6£3 = 1 3xx + 5x2 + 4£3 = 10 xi - 2x2 + 2z3 = -9 tří rovnic o třech neznámých nad polem R. 17 Řešení: Rozšířená matice soustavy je Pomocí EŘO upravujeme na redukovaný schodovitý tvar. Třetí řádek dáme na první místo. Jeho (—l)-násobek přičteme k původnímu prvnímu řádku, který dáme na druhé místo, a jeho (—3)-násobek přičteme k původnímu druhému řádku, který nyní dáme na třetí místo. (—2)-násobek druhého řádku přičteme k (ll)-násobku prvního řádku a jeho (—l)-násobek přičteme ke třetímu řádku. Výsledná matice už je v redukovaném schodovitém tvaru. Matice odpovídá soustavě rovnic llxt + 18x3 = -25 IIX2 — 2X3 = 37, která je ekvivalentní s původní soustavou. Proměnnou £3 si zvolíme za parametr t E R. Z první rovnice určíme X\\ -25 - 18í llxi + 18í = -25 = -25 - 18í xi = 11 Z druhé rovnice určíme xd d x =---, y =---, z =--; c — 1 c — 1 c — 1 (b) pro c = l,d = 0 doplníme hodnoty parametrů do upravené matice soustavy, z níž již lehce určíme, že soustava má nekonečně mnoho řešení, která jsou tvaru x = — 5 + 4p, y = 2 — 3p, z = p, kde p E R je parametr; (c) pro c = 1, d ^ 0 soustava obsahuje rovnici 0 = d, v tomto případě tedy nemá řešení. Cvičení: 1. Řešte soustavu rovnic v R a Z5 užitím Gaussovy eliminace. xi + x2-3xs = -1 2x\ — X2 — 3x^ = 5 £i + £2 + £3 = 3 xi + 2x2 - 3£3 = 1 20 2. Řešte soustavu rovnic v R, Z5 a Z7 užitím Gaussovy eliminace. 2xi — x2 + £3 — £4 = 1 2x\ — X2 — 3x± = 2 3x\ — xz + £4 = —3 2a;i + 2£2 — 2x3 + 5£4 = —6 3. Řešte soustavu rovnic v R užitím Gaussovy eliminace. 2xx - 3x2 + 17z3 - 29xA - 36x5 = 22 2xx - 3x2 + 18£3 - 27xA + 33z5 = 21 12zi - 18aľ2 + 102aľ3 - 174a;4 - 216z5 = 132 2xx - 3x2 + 2l£3 - 24a;4 - 30z5 = 20 2xx - 3x2 + 24£3 - 21aľ4 - 27z5 = 19 Soustavu řešte také jako homogenní. 4. Řešte soustavu rovnic v C užitím Gaussovy eliminace. (a) x + 2iy = 5 + 4i [3-i)y + {6-2i)z = 10 2x — z = 5 + 3% x + y + z = 5 + 2í (b) (1 + i)x + 3iy = —i (1 + 2i)x + (1 - i)y = 6 + i (c) (1 + i)x + (1 - i)y = 6 + 4í ix + (1 + 2i)y = -3 + 5í 5. Řešte soustavu rovnic v R užitím Gaussovy eliminace. x\ + 3x2 — 2xz + 2x5 = 0 2X\ + §X2 — §Xz — 2x4 + 4X5 — 3£6 = — 1 5xz + 10a;4 + 15xq = 5 2x\ + 6x2 + 8X4 + 4X5 + 18#6 = 6 21 6. Řešte soustavu rovnic v R užitím Gaussovy eliminace. 2xi + 2x2- x^ + x*, = 0 —x\ — X2 + 2xz — 3x4 + £5 = 0 x\ + x2 - 2xs - x5 = 0 xs + £4 + £5 = 0 7. Řešte soustavu rovnic v R užitím Gaussovy eliminace. 3x\ — 2x2 = —1 4x\ + 5x2 = 3 7£i + 3x2 = 2 8. Řešte následující systém rovnic, kde a, b, c jsou konstanty. x1 + x2 + xs = a 2xi + 2x3 = b 3X2 + 3£3 = C 9. Řešte následující systém rovnic. 2X\ — X2 + 3£3 + 4£4 = 9 x\ — 2xs + 7a;4 = 11 3x\ — 3x2 + £3 + = 8 2£i + x2 + 4£3 + 4£4 = 10 10. Řešte následující systém rovnic. 7x\ + 3x2 — 2x3 = 1 —x\ + 6x2 — 3xz = 2 -lOzi + 15£2 - ll£3 = 4 Soustavu řešte také jako homogenní. 11. Zjistěte, pro které hodnoty parametrů a a b má soustava v R (i) právě jedno řešení, (ii) více než jedno řešení, (iii) žádné řešení, (a) ax + y — 2z = 1 x — y + z = 0 (1 + a)y — z = b 22 (b) x — ay — 2z = b x + (1 — á) y = 6 — 3 x + (1 - a)y + az = 2b - 1 12. Zjistěte, pro které hodnoty parametrů a a b má soustava v Z5 (i) právě jedno řešení, (ii) více než jedno řešení, (iii) žádné řešení. 2x + 3y = 1 3£ + Ay + az = 2 d>x + 4az = b 13. V Z5 řešte soustavu rovnic x + y = 1 2z + 3z = 0 4a; + y + 2z = 1 Napište výčtem všechny prvky množiny řešení. 14. V Z5 řešte následující systém rovnic v závislosti na parametrech a a b. ax + y = b ay + z = 2b x + az = 4 15. Určete parametry a, b, c tak, aby následující systém měl právě jedno řešení. ax + by = c cx + az = b bz + cy = a 16. Řešte soustavu rovnic v závislosti na parametrech a, b. ax + by + z = 1 x + aby + z = b x + by + az = 1 23 5. INVERZNÍ MATICE Řekneme, že matice A e Matn(K) má inverzní matici, jetliže existuje matice B e Matn(K) taková, že AB = BA = E. Ke každé matici existuje nejvýše jedna inverzní matice. Značíme ji A~x. Matici, která má matici inverzní, nazýváme regulární maticí. Metoda výpočtu inverzní matice spočívá v použití EŘO. Nechť A je matice typu n x n. Vytvoříme blokovou matici B tak, že zapíšeme A a jednotkovou matici E vedle sebe - A nalevo, E napravo: (aX\ ■■■ aln | 1 ••• 0^ B= : ■. : | : ■. : \ani ■■■ ann | 0 ••• 1/ Matici B upravujeme nejdříve na schodovitý tvar. Pokud je ve schodovitém tvaru v levém bloku řádek ze samých nul, inverzní matice k A neexistuje. Pokud tento případ nenastane, pokračujeme v řádkových úpravách tak, abychom v levém bloku dostali jednotkovou matici. (Tento postup se nazývá zpětmá Gaussova eliminace.) V pravém blokuje potom A-1. Příklad: Najděte inverzní matici k matici A = Řešení: Vytvoříme blokovou matici tak, že A napíšeme nalevo, E napravo a upravujeme pomocí EŘO na schodovitý tvar (přímou Gaussovou eliminací). 1 1 1 | 1 0 0\ /l 1 1 | 1 0 0\ /l 1 1 | 1 0 0N 2 3 3 j 0 1 o]~[0 1 1 j —2 1 0|~[0 1 1 j —2 1 0 -1 -3 -2 j 0 0 1/ \0 -2 -1 | 1 0 1/ \0 0 1 j -3 2 1, Ze schodovitého tvaru vidíme, že A-1 existuje. Matici tedy dále upravujeme na redukovaný schodovitý tvar (zpětnou Gaussovou eliminací). | 4 -2 -l\ /l 0 0 | 1 -1-1-010 1-3 2 1 VO 0 1 3-10 Tedy A~l = \ 1 -1 -1 -3 2 1 Správnost výpočtu ověříme vynásobením A s A~x. 24 Příklad: Najděte inverzní matici k matici C = Řešení: Napíšeme blokovou matici nalevo s maticí C, napravo s jednotkovou maticí a upravujeme na redukovaný schodovitý tvar: A -2 | 1 0\ V i I 0 l) První řádek vynásobíme —i, od druhého řádku odečteme nový první řádek. í\ 2i | -i 0\ 1^0 -i | i l) K prvnímu řádku přičteme dvojnásobek druhého řádku, druhý řádek vynásobíme i. /I 0 | i 2\ \0 1 | -1 i) Cvičení: 1. Vypočtěte inverzní matice k daným maticím. A E 8 5 11 7 A i i V1 B 1 3 1 4 1\ -1 -1 2. Mějme matice ^ = (5 2) ' 5 = (4 , C = ^ (a) Najděte jejich inverze. (b) Ukažte, že i. (A'1)'1 = A ii. (BT)-1 = {B~l)T iii. (AB)"1 = B~lA~l iv. (ABC)"1 = C~lB-lA-1 3. Najděte inverzní matice k daným maticím. K 7 ô N O L cos a — sin a sin a cos a (\ 1 0 0 1 1 0\ 0 0 1 1 - 0 1J M (2-n 1 V 1 4. Najděte inverzní matice k následujícím maticím v C. A E 1 + i 1-i 2 i -i 2N 0 1. B 2 i 1 0 C 1 1-i 2-2>i 4 26 6. VEKTOROVÉ PODPROSTORY, LINEÁRNÍ ZÁVISLOST A NEZÁVISLOST, LINEÁRNÍ OBALY 6.1 VEKTOROVÉ PODPROSTORY Množima S C V se nazývá lineární podprostor vektorového prostoru V, jestliže 5^0 a pro všechny skaláry a G K a vektory x, y E S platí (1) x + yES (2) axES Tzn. neprázdná množina S C V je lineární podprostor právě tehdy, když je uzavřená vzhledem k operacím sčítání vektorů a násobení vektoru skalárem. Příklad: Určete, zda množina M = {(x,y) E R;x > 0,y > 0} tvoří vektorový podprostor v R2. Řešení: Pokud M tvoří vektorový podprostor, musí splňovat výše uvedené podmínky. Ověříme nejprve uzavřenost množiny M vzhledem k operaci sčítání vektorů. Jestliže vektor x = (xi,x2) > 0 (zápis (xi,x2) > 0 znamená x\ > 0 a x2 > 0) a vektor y = (2/1,2/2) > 0, pak i jejich součet x + y = (x\ + y\, X2 + 2/2) > 0. Nyní ověříme uzavřenost množiny M vzhledem k operaci násobení skalárem. Nechť a E R. Pak a(x,y) = (ax,ay). Pro a > 0 je podmínka splněna, ale pro a záporné je (ax, ay) < 0. Tedy M netvoří vektorový podprostor. Cvičení: 1. Zjistěte, zda daná množina tvoří vektorový podprostor v R2. (a) M = {(x,y)EB?;x-y>0} (b) M = {{x,y)E-R2;x = y + l} 2. Určete, které z následujících množin tvoří vektorové podprostory v R3. (a) iV = {(a,l,l)GR3} (b) N ={(a,b,c) EB?;b = a + c} 3. Určete, které z následujících množin tvoří vektorové podprostory v Matn(K). (a) M = {(^c E Mat2(K); a + b + c + d = 0} (b) M = {A E Matn(K); Tr(yl) = 0} 4. Určete, které z následujících množin jsou vektorové podprostory v Rs[a;]. (a) P = {a0 + aix + a2x2 + asxs; a0 = 0, en, a2, a3 E R} (b) P = {a0 + aix + a2x2 + asxs; a0,ai,a2,as E Z} 27 6.2 LINEÁRNÍ ZÁVISLOST A NEZÁVISLOST, LINEÁRNÍ OBALY Nechť u\,...,un E V,ai,...,an E K. Vektor u = a\U\ + ... + anun se nazývá lineární kombinací vektorů u\, ...,un s koeficienty a\, ...,an. Řekneme, že vektory u\, ...,un jsou - lineárně nezávislé, jestliže pro libovolné koeficienty a\, ...,an E K platí cliUi + ... + anun = 0 ai = a2 = ... = an = 0, - lineárně závislé, jestliže nejsou lineárně nezávislé. Tzn. existuje-li jejich lineární kombinace s alespoň jedním nenulovým koeficientem rovnající se nulovému vektoru. Nechť M = {u\,Uk} ^ 0 je konečná podmnožina V. Množina {a\U\ + ... + dkUk] a\,...,ak E K} všech konečných lineárních kombinací vektorů U\,...,Uk se nazývá lineární obal množiny M, ozn. [M]. Jestliže M = 0, potom [0] = {0}. Příklad: Zjistěte, zda jsou vektory vx = (1, -1,0, 2)T, v2 = (2,2, -1,3)T, v3 = (0,1,1,0)T, v± = (3,2, 0, 5)T lineárně závislé v R4 nad R. Určete jejich lineární obal. Řešení: Vektory ^1,^2,^3,^4 jsou lineárně nezávislé, právě když rovnice v neznámých axvi + a2v2 + asvs + a4v4 = 0 má právě jedno řešení, a to a\ = a2 = a3 = a4 = 0. Porovnáním souřadnic můžeme tuto rovnici psát jako soustavu rovnic ai + 2ci2 + 3a4 = 0 —ai + 2ci2 + 0,3 + 2a4 = 0 -a2 + a3 = 0 2ai + 3ci2 + 5a4 = 0 Nyní napíšeme matici soustavy a soustavu řešíme Gaussovou eliminací. /I 2 0 3\ (1 2 0 3\ A 2 0 3\ (1 2 0 3\ -1 2 1 2 0 4 1 5 0 4 1 5 0 4 1 5 0 -1 1 0 0 -1 1 0 0 0 5 5 0 0 1 1 V2 3 0 V -1 0 -v \o 0 1 V 0 0 0/ Soustava má více řešení, tzn. že vektory jsou lineárně závislé. Vedoucí prvky řádků výsledné matice jsou v prvním, druhém a třetím sloupci, tedy tyto tři vektory (sloupce) jsou lineárně nezávislé. Protože výsledná a původní matice jsou řádkově ekvivalentní, pořadí vektorů ve výsledné matici odpovídá pořadí vektorů v matici původní. Hledané lineárně nezávislé vektory jsou tedy první, druhý a třetí sloupec původní matice, tzn. vektory ^1,^2,^3. 28 Nyní se ptáme, zda je vektor v± lineární kombinací vektorů «1,^2,^3, neboli zda v± patří do lineárního obalu tvořeného vektory ^1,^2,^3. Pokud ano, existují koeficienty Ci,02,03 splňující rovnici C1V1 + C2V2 + C3V3 = V4. Matici této soustavy opět převedeme na schodovitý tvar. (1 2 0 3\ (l 2 0 3\ -1 2 1 2 0 4 1 5 0 -1 1 0 0 0 1 1 V2 3 0 V 0 0 0/ Soustava má řešení, tj. vektor v4 je lineární kombinací vektorů «1,^2,^3, tedy E [^1,^2,^3]. Všimněte si, že poslední řádkové úpravy jsou stejné jako úpravy, při nichž jsme zjišťovali, zda jsou «1,^2,^3,^4 lineárně závislé. Příklad: Zjistěte, zda jsou polynomy 1 + x, 1 — x, 2 + x — x2 lineárně závislé v R^a;]. Řešení: Pokud jsou dané polynomy lineárně nezávislé, musí být rovnice a\ (l+x)+02(1 — x) + a3(2 + x — x2) = 0 splněna pouze pro koeficienty a\ = a2 = a3 = 0. Předpokládejme tedy jejich nezávislost. Pak platí oi(l + x) + 02(1 - x) + a3(2 + x - x2) = 0 Roznásobením závorek dostaneme rovnici ai + a\X + a2 — a2x + 2a3 + asx — asx2 = 0 a následným sečtením koeficientů u stejných mocnin x získáme rovnici (ai + a2 + 2a3) + (ai - a2 + as)x + (-as)x2 = 0 Z poslední rovnice plyne, že koeficienty u mocnin x° = 1, x1 = x, x2 musí být rovny nule: «i + «2 + 2a3 = 0 «i - 0,2 + a3 = 0 -03 = 0 Řešíme danou soustavu 11 2 I 0\ /l 1 2 I 0\ 1-1 1 j 0 ] ~ I 0 2 1 j 0] 0 0 -1 j 0/ \0 0 1 j 0/ Soustava má jediné řešení. Tedy polynomy 1 + x, 1 — x, 2 + x — x2 jsou lineárně nezávislé. 29 Příklad: Nechť «1,^2,^3 jsou lineárně nezávislé vektory ve vektorovém prostoru V. Potom v\ — V2, V2 — vz, V2 + vz jsou rovněž lineárně nezávislé. Dokažte. Řešení: Nechť ai(vi - v2) + a2{v2 - v3) + az{v2 + vz) = 0 Úpravou dostáváme aiVi - axv2 + a2v2 - (hVn + a3v3 + azv2 = 0 a dále Gl^l + ("Ol + O2 + 03)^2 + (-O2 + 03)^3 = 0 Z nezávislosti vektorů «1,^2,^3 plyne 01 = 0 -ai + a2 + a3 = 0 -a2 + a3 = 0 Řešíme danou soustavu 1 0 0 I 0\ /l 0 0 I 0\ -1 1 1 j 0 - 0 1 1 j 0 0 -1 1 j 0/ \0 0 1 j 0/ Řešením soustavy dostáváme a\ = a2 = a3 = 0. Tedy vektory «i — v2 — V3, v2 + v3 jsou lineárně nezávislé. Cvičení: 1. Zjistěte, zda jsou lineárně závislé nebo nezávislé následující vektory v R™. Určete jejich lineární obal. (a) Ui = (1,0,2),«2 = (2,0,1),«3 = (1,2,0) (b) Ui = (-3, 0,4), «2 =(3, 2,5), «3 = (6,-1,1) (c) Ui = (1,-y/2,-1),U2 = (1-^,2,1 + y/2),u3 = {VŽ, -2 -y/2,-2- V2) (d) Ui = (-1,-1,1,1),«2= (1,-1,1,-1), u3= (-1,1,1,- 1),«4 =(1,1,1,1) (e) Ui = (3,8, 7, -3), u2 = (1,5, 3,-1), us = (2,-1,2, 6), u4 = (1,4,0,3) (f) Ui = (1,0, -2,3),u2 = (-1,3,0,0),us = (2,0,1,1),u4 = : (1,6,-1,4) 2. Z následujících vektorů vyberte maximální podmnožinu lineárně nezávislých vektorů (a) Vl = (l,0,l),v2 = (2,5,4),^ = (3,6,1),^ = (l,-l,0),v5 = (1,1,5) (b) Vl = (1,0,2,4),V2 = (2,3,-1,0),^ = (3,3,1,4),^= (1,1,1,1),^5 = (2,2,0,3), ve = (1,0,0,0) 30 3. Zjistěte, zda jsou lineárně závislé nebo nezávislé následující polynomy v Rn[a:]. (a) 1 - x,x - x2,x2 - x3,x3 - 1 (b) 1 + x,x + x2,x2 +x3,x3 + 1 (c) 2 - x + 4a:2,3 + 6a: + 2a:2,2 + 10a: - 4a:2 (d) 1 + 3a: + 3a:2, x + 4a:2,5 + 6a: + 3a:2, 7 + 2a: - a:2 4. Zjistěte, zda vektor x = (7,2, —2) patří do lineárního obalu množiny vektorů (a) {(1,0, -1), (2,1, 0), (0,1,2), (1,1,1), (5,2, -1)} (b) {(2,1, -1), (-2,1, -1), (1, 0,0), (4,7, -7)} 5. Je dána množina M = {1 + 2a: — a:2,2 — x + a:2,5 + a:2} polynomů v R^íe]. Zjistěte, zda polynom (a) -6-2a: (b) 1 + x + a:2 patří do lineárního obalu množiny M. 6. Nechť u, v, w, z jsou lineárně nezávislé vektory vektorového prostoru V. Zjistěte, zda jsou lineárně závislé nebo nezávislé vektory (a) u + v, u — v, u + v + w (b) u — v, v — w, w — u (c) u + v + w,v + w + z,w + z + u, z + u + v 31 7. BÁZE A DIMENZE VEKTOROVÉHO PROSTORU, SOUŘADNICE, SOUČTY A PRŮNIKY PODPROSTORŮ Vektorový prostor V je konečněrozměrný, jestliže v něm existuje konečná podmnožina {u\, ...,un} taková, že každý vektor u E V je lineární kombinací vektorů u\, ...,un. Báze konečnědimenzionálního prostoru V je množina {u\, ...,un} taková, že (1) každý vektor u E V je lineární kombinací {u\, ...,un}, (2) vektory u\, ...,un jsou lineárně nezávislé. Tyto dvě vlastnosti jsou ekvivalentní s tím, že každý vektor u E V lze psát ve tvaru n u = ^2,xiui (1) i=l právě jedním způsobem. Je-li V konečněrozměrný, mají všechny jeho báze stejný počet prvků. Dimenze koneč-něrozměrného vektorového prostoru V je číslo dimV udávající počet prvků nějaké jeho báze. Nechť a = {u\,un} je báze prostoru Va«eV. Potom u lze jednoznačně vyjádřit ve tvaru (1). Sloupcový vektor (u)a \XnJ nazýváme sloupcem souřadnic a skaláry x\,...,xn souřadnicemi vektoru u v uspořádané bázi a. Označme e* E K™ vektor skládající se ze samých nul, kromě i-té složky, která je 1. Potom e = (ei,en) je báze vektorového prostoru K". Nazýváme ji standardní nebo také kanonickou bazí tohoto prostoru. Pro libovolný vektor x = (x\, ...,xn)T E Kn platí x — X\d-\ -\- • • • -\- xnen, proto (x)e = x, tj. každý vektor x E V splývá se svými vlastními souřadnicemi ve standardní bázi. Nechť S, T jsou podprostory vektorového prostoru V. Množina S + T = {x + y; x E S, y E T} je opět podprostor vektorového prostoru V, nazývá se součet podprostorů S a T. Jestliže S n T = 0, součet S + T se nazývá přímý. 32 Nechť V je konečněrozměrný vektorový prostor. Potom platí dim S + dim T = dim(S + T) + dim(S n T) Příklad: Najděte nějakou bázi a určete dimenzi lineárního obalu množiny M ve vektorovém prostoru V. (a) V = R4, M = {(1,2,3,4), (-2, -3, -4, -5), (3,4, 5,6), (-4, -5, -6, -7), (5, 6,7, 8)}, (b) V = Ra[x], M = {1 + x + x3,1 - x, 2x - x2,2 - x2, 2x + x2 + x3}. Řešení: (a) Souřadnice vektorů množiny M ve standardní bázi R4 zapíšeme do sloupců matice, kterou upravíme řádkovými úpravami na schodovitý tvar, z něhož určíme lineárně nezávislé vektory. A -2 3 -4 5\ A -2 3 -4 5 \ A -2 3 -4 5\ 2 -3 4 -5 6 0 1 -2 3 -4 0 1 -2 3 -4 3 -4 5 -6 7 0 2 -4 6 -8 0 0 0 0 0 \4 -5 6 -7 *) V> 3 -6 9 -12) V> 0 0 0 0/ Třetí, čtvrtý a pátý vektor jsou lineární kombinací prvních dvou vektorů, které jsou lineárně nezávislé a tvoří tedy bázi množiny M. Tzn. ckm = {(1, 2,3,4), (—2, —3, —4, —5)}, dim[M] = 2. (b) Souřadnice polynomů množiny M ve standardní bázi prostoru Rs[a;], tj. v bázi (l,x,x2,x3), zapíšeme do sloupců matice a provádíme řádkové úpravy. 0 2 A i i -i 0 0-1 \1 o o 2 0\ 0 2 -1 1 0 2) (\ 1 0 0 -1 1 0 0-1 \o o o 2 0\ -1 1 -1 1 0 0/ V tomto případě jsou lineárně nezávislé první tři vektory, tedy ckm = {{l + £ + £3,l — x, 2x - £2},dim[M] = 3. Příklad: Doplňte množinu M = {(-1,1,0,0), (0,-1,1,0), (0, 0,-1,1)} na bázi R4. Řešení: Jsou-li vektory množiny M lineárně nezávislé, lze ji doplnit na bázi celého R4 a to výběrem z nějaké generující množiny v R4. K daným vektorům tedy doplníme další vektory (nejlépe vektory tvořící standardní bázi R4) a pomocí Gaussovy eliminace vybereme bázi R4: /-l 0 0 1 -1 0 0 1 -1 V 0 0 1 1 0 0 0\ 0 10 0 0 0 10 0 0 0 1/ /-l 0 0 0-10 0 0-1 \ o o o 1 o o 0\ 110 0 1110 1111/ 33 Vidíme, že vektory množiny M jsou lineárně nezávislé a že doplněním kteréhokoliv z přidaných vektorů k M získáme bázi R4. Příklad: Najděte souřadnice vektoru v v bázi a vektorového prostoru V: (a) V = R3, v = (1,2,3),o = ((1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)), (b) V = Mat2(R),v=(J *),«=((J jJ),(J J),(í J),(í J Řešení: Vektor v vyjádříme jako lineární kombinaci prvků báze a. Výpočet souřadnic pak převedeme na řešení systému lineárních rovnic, který má vždy jediné řešení, neboť a je báze V. (a) Nechť (l,2,3) = a(l,l,0) + 6(l,0,l) + c(0,l,l) Potom (1,2,3) = (a + b,a + c,b + c) Porovnáním získáme systém a + b = 1 a + c = 2 b + c = 3 Rozšířenou matici systému upravíme na redukovaný schodovitý tvar: Řešením systému je a = 0, b = 1, c = 2, tedy (v)a = (0,l,2)T (b) Postupujeme analogicky jako v (a): 3 4J=aU o)+b[o o)+C[l o)+d[l \ Úpravou dostáváme systém a+b+c+d = 1 6 + c + cř = 2 c + d = 3 d = 4 34 jehož řešením je a = — 1, b = —1, c = —1, d = 4. Potom (i;)a = (-l,-l,-l,4)T Příklad: Nechť Px = [Mt],P2 = [M2] v R4, kde Mx = {Ul = (4,0,-2,6), u2 = (2,1,-2, 3), «3 = (3,1,-2,4)} M2 = {^ = (1,-1,0,2), i;2=(2,2,-1,3), U3 = (0,1,1,0)} Najděte P\ + P2,P\C\ P2, jejich báze a dimenze. Řešení: Protože Pt + P2 = {x + y;x E Pt,y E P2}, platí Pi + P2 = [Mx U M2]. Pomocí EŘO určíme bázi [Mi U M2]: /4 2 3 1 2 o\ U 2 3 1 2 o\ 0 1 1 -1 2 1 0 1 1 -1 2 i -2 — 2 -2 0 -1 1 0 -2 -1 1 0 2 3 4 2 3 0/ vo -3 -2 2 0 /4 2 3 1 2 0> /4 2 3 1 2 o\ 0 1 1 -1 2 1 0 1 1 -1 2 1 0 0 1 -1 4 4 0 0 1 -1 4 4 V> 0 1 -1 6 6y \o 0 0 0 2 V Vidíme, že vektory U\,u2,uz,v2 jsou lineárně nezávislé, tedy P\ + P2 = [wi,it2,it3,v2] R4, dim(Pi + P2) = 4. Nyní nechť £ G Pi l~l P2. Potom platí: Tedy x = axui + a2u2 + a3*u3 G Px x = biVi + b2v2 + 63v3 G P2 aiUi + a2*u2 + a3*u3 = bi vi + 62v2 + bsvs > ai«i + a2u2 + a3*u3 - bxvx - b2v2 - bzvz = 0 Soustavu přepíšeme do matice soustavy, pomocí EŘO upravíme na schodovitý tvat a určíme koeficienty ax,63: /4 0 -2 Ve 2 3 1 1 -2 -2 3 4 -1 Tedy ax = r, a2 = -p, a3 předchozího to znamená: 2 0 \ 1 -2 -1 0 1 -1 -2-3 OJ -r, h =r,b2 = /4 2 3 -1 0 111 0 0 11 \0 0 0 0 -2 0 \ -2 -1 -4 -4 -2 -2/ -p, 63 = p, kde p,reR jsou parametry. Podle 35 Pi n P2 = {x = rui - pu2 - rus;p,r E R} = {x = r(ux - u3) - pu2;p,r E R} = {i = r(l,-l1012)+p(-21-l121-3);p1rGR} = [(1,-1, 0,2), (-2,-1,2,-3)] Tentýž výsledek dostaneme s použitím vektorů Vi,v2,v3 : P\ n P2 = {x = rvi - pv2 + pv3;p,r E R} = {x = rvi + p(vs - v2);p,r E R} = {i = r(l,-lI0,2)+p(-21-l121-3);PlreR} = [(1,-1, 0,2), (-2,-1,2,-3)] dim(Pi n P2) = 2 Cvičení: 1. Doplňte množinu M na bázi vektorového prostoru V: (a) M = {(1, -2, 0, 0), (2,1,1, 3), (0,1,0,1)}, V = R4 (b) M = {1 - x, 1 + x + a;2, a;2 - a;3}, V = R3[a;] m={(í 0-0 o)-(2 í)}-v=M*»a 2. Který z vektorů iti, «2, «3, «4 doplňuje množinu a na bázi prostoru R4? (a) a = ((1, -2,1, -1), (1,0, -1, -1), (1,1, -2,0)), Ul = (-1,2,-1,1),«2= (3,-1,-2,-1), «3 = (2,1,0,-2),«4= (2,1,-3,-2) (b) « = ((1,3,0,-1),(1,0,0,-1),(0,2,1,0)), Ul = (-1,1,-1,1), u2= (3,-1,0,-3), u3= (2,1, 0,-2), «4= (1,-2,0,-1) 3. Najděte bázi a určete dimenzi lineárního obalu množiny M: (a) M = {(1,2,3), (1,1,0), (0,1,1), (1,1,1), (1,0,0)} (b) M = {2x - 1, xs + x + 1, x2 + x, 2a;2 + 1, a;3 + 3a;2 + 2a; + 2} <«>-={(! !)•(-! "M i)-G 9-C 01 4. Najděte nějakou bázi vektorového prostoru M = {(x\,xn) E Rn; x\-\-----\-xn = 0}, doplňte ji na bázi celého Rn a určete dimM. 5. Určete dimenzi podprostoru P vektorového prostoru Rn[x]: (a) F = {/GRn[a;];/(0) = 0} (b) P = {/GRn[a;];/(0) = /(l) = 0} 6. Nechť Pí = {fE-R5[x];f(x) = f(-x)} P2 = {f EK5[x]-f(x) = -f(-x)} P3 = {fEK5[x];f(l) = f(2) = 0} jsou podprostory v Rs[a;]. (a) najděte jejich báze, 36 (b) určete Pľ nP3, (c) určete P2 + Ps, (d) ukažte, že součet P\ + P2 je přímý. 7. Uvažujme vektorový prostor Mat2(R) reálných matic typu 2x2 a jeho podmnožimu P všech matic A = (ajj) takových, že au + a22 = 0. (a) Dokažte, že P je vektorový podprostor. (b) Napište nějakou bázi podprostoru P. (c) Doplňte tuto bázi na bázi prostoru Mat2(R) a v této bázi napište souřadnice jednotkové matice. 8. Nechť vektory Vi,v2,vs tvoří bázi vektorového prostoru V. Ukažte, že vektory U\ = v\, u2 = v\ + v2, uz = v\ + v2 + vz také tvoří bázi V. 9. Najděte souřadnice vektoru v v bázi a vektorového prostoru V. (a) v = (2,1,1), a = ((2,7, 3), (3,9,4), (1,5, 3)), V = R3 (b) <; = (2,l,l),a=((l,0,l),(l,0,0),(l,l,l)),V=R3 (c) v = (0,0, 2, 7), a = ((4,2, -1, -6), (3,1,1, -2), (1,2,1,1), (2, 3,1,0)), V = R4 (d) v = (1,1,1,1), a =((0,0,0,-5), (1,2,3,1), (1,0,-1,0), (0,1,1,0)), V = R4 (e) v = 4 - Ax - 2x3, a = (1 - x2,1 + x, 1 - x), V = R2[x] (f) v = x3 + x2 + x + 1, a = (1 + x3, x + x3,x2 + x3,x3),V = Tls[x] «-(;;).«-{(} K í)-(íi).(ií)}.v-*cB). = í1 0 = / í1 0 1 ^ŕ1 1 *W 0 0 °\ {,V \2 1 4^'° 0 OJ ' ^0 0 OJ ' ^0 0 0y/ ' ^-1 0 OJ' 10. Souřadnice vektoru u v bázi a = (ui,u2,us,Uí) jsou (ai, a2, a3, a4)T. Jaké jsou jeho souřadnice v bázi /? = (wi + «4, «2 + ^3, «3,«4)? Zdůvodněte. 11. Nechť P\ = [Mi],P2 = [-W2] ve vektorovém prostoru R3, resp. R4. Najděte nějakou bázi a určete dimenzi podprostorů P\ + P2, P\ n P2. (a) Mx = {(1, 2, -1), (-1,0,2), (2, -1,0), (1,1,1)} M2 = {(0,2,1),(1,4,0)} (b) M1 = {(1,1,1),(1,2,3),(-1,0,1)} M2 = {(2, 0,3), (3,1,5), (1,3,3)} (c) Mx = {(1, -1,0,1), (1, 2,0,3), (3, 0, 0,5)} M2 = {(0,-1,1,4),(0,2,3,2),(0,0,1,2)} 37 (d) Mx = {(1,1,1,1), (1,1, -1, -1), (1, -1,1, -1)} M2 = {(1,-1,-1,1),(1,-1, 0,0),(3,-1,1,1)} 12. Ve vektorovém prostoru R4 najděte průnik podprostorů V\ a V2, kde V\ = [(1,1,1,1), (1,0,1,0)],V2 = [(1,1, 0, 0), (0,1,1,1), (0,1,1,0)]. Spočtěte průnik součtu V\+V2 s podprostorem generovaným vektorem v = (1, —2,3, —4). 13. V prostoru polynomů Re[x] uvažte podprostory V\ = [x2 + 2a;3,— x3 + x6],V2 = [2 + x2, -1 + x6, x2 + xs + 2xi],V3 = [x2 + x6,1 + 3£3 + x5, xs]. Spočtěte jejich součet a průnik. 14. Nechť V je reálný vektorový prostor, V\, ...,vn E V. Označme S = {(ci,cn) E Rn; civí +----h cnvn = 0}. Dokažte následující tvrzení: (a) S je lineární podprostor vektorového prostoru Rn. (b) Vektory v\, ...,vn jsou lineárně nezávislé, právě když dimS = 0. 38 8. LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ Nechť U, V jsou vektorové prostory nad tímtéž polem K. Zobrazení / : U —>■ V se nazývá lineární, jestliže / zachovává operace vektorového součtu a skalárního násobku, tj. (1) Vx,yeV:f(x + y) = f(x) + f(y) (2) Va E K, Vx E U : f [a ■ x) = a ■ f {x) Jestliže U=V, lineárni zobrazení / : U —>■ U se nazývá endomorfismus vektorového prostoru U. Nechť U, V jsou vektorové prostory, {u\,un} je báze Uat)i, —,vn jsou vektory ve V. Potom existuje jediné lineárni zobrazení / : U —>■ V takové, že f(ui) = Vi,i = 1,2,...,n. Zobrazení / je dané předpisem /(oiui + a2u2 + ... + anun) = Oi/(ui) + a2f(u2) + ... + anf(un) = oiVi + a2v2 + ... + anvn Nechť / : U —>■ V je lineárni zobrazení. Podmnožina Ker/ = {x E U; f (x) = 0} vektorového prostoru U se nazývá jádro, podmnožina Imf = {y e\;y = f{x),x EU} se nazývá obraz lineárního zobrazení /. Množina Ker/ je podprostor vektorového prostoru U, množina Im/ je podprostor vektorového prostoru V. Lineárni zobrazení / : U —>■ V je isomorfismus právě tehdy, když Ker/ = {0}, Im/ = V. Příklad: Zjistěte, zdaje zobrazení / : R3 —>■ R2 lineární. Jestliže je, najděte Ker/, Im/. (a) f(x) = (l + 2ľi,2ľ2), (b) f (x) = {xi + x2, xi - x3), (c) /(s) = (1,2), (d) f{x) = {Xl\-2x2). Řešení: V případech (a) a (c) není obrazem nulového vektoru nulový vektor, zobrazení / tedy není lineární. Ukážeme, že / není lineární ani v případě (d). Nechť a = —l,x = (1,0,0). Potom f(ax) = /(-l, 0,0) = (1, 0) + (-1,0) = (-1)/(1, 0,0) = a f (x) a první z podmínek lineárního zobrazení není splněna. Zobrazení / jev případě (b) lineární, protože pro libovolné x, y E R3 a pro libovolné a, b E R platí: f{ax + by) = f{axi +byi,ax2 + by2, axz + byz) = = (axi + byi + ax2 + by2, axx + byx - (ax3 + by3)) = = {axi + ax2, axi - axs) + (byt + by2, byx - bys) = = af(x)+bf(y) 39 Určíme Ker/: Nechť f (x) = 0. Potom x\ + X2 = 0,x\ — x^ = 0, úpravou dostáváme X2 = —x\,xz = x\. Zvolíme-li x\ = t, pak Ker/ = {(t,-t, t); t E R} Určíme Im/: Obrazy vektorů standardní báze e3 ve zobrazení / jsou vektory (1,1), (1, 0), (0, —1). Podprostor Imf je lineárním obalem těchto vektorů, tj. Im/ = [(1,1), (1,0), (0, -1)] = [(1, 0), (0,1)] = R2 Příklad: Ukažte, že násobení maticí A E MatTOj„(K) je lineární zobrazení. Řešení: Nechť f(x) = Ax. Aby / bylo lineární, musí splňovat oba axiomy uvedené na začátku této kapitoly. Protože (1) Vx, y E K" : f (x + y) = A(x + y) = Ax + Ay = f (x) + f (y), (2) Va E K, Vx E Kn : f(ax) = A{ax) = aAx = af(x), oba axiomy jsou splněny a tedy zobrazení / je lineární. Znamená to, že pro libovolnou matici A E MatTOj„(K) je přiřazením x \-> Ax definováno lineární zobrazení mezi vektorovými prostory Kn —>■ Km. Příklad: Je dáno lineární zobrazení / : R4 —>■ R4, f (x) = (x\ + X2 + £3 + x±, —x\ — X2—X3 — x±,Xi — X2 + X3 — £4, — 2xi + 2x2 — 2xs + 2x4). Určete Ker/, Im/ a najděte nějakou bázi Ker/ a Im/. První řešení: Lineární zobrazení / zapíšeme jako násobení maticí: f (x) = Ax /l -1 1 V-2 1 1 -1 -1 -1 1 1 \ -1 X2 -1 X3 2 J \x,J Určíme jádro: Protože Ker/ = {u E R4 : f(u) = Au = 0}, řešíme vlastně homogenní soustavu čtyř rovnic o čtyřech neznámých: /l 1 1 1\ (1 1 1 -1 -1 -1 -1 0 2 0 2 1 -1 1 -1 0 0 0 0 \-2 2 -2 2/ 0 0 0/ Ze schodovitého tvaru dostáváme: x\ = s,X2 = t,x$ = —s,x^ = —t, s,t E R. Tedy Ker/ = {«(10, -1, 0) + ŕ(0,1, 0,-l),s, t E R}, aKerf = {(1,0, -1,0), (0,1, 0, -1)}. Nyní určíme obraz: Protože Im / = {/(«) : u E R4}, tvoří Im / obrazy vektorů standardní báze, přesněji jejich lineárně nezávislá podmnožina. Tzn. Im/ = {f(a\ei + a2e2 + a3e3 + a4e4),aj E R} = {ai/(ei) + a2/(e2) + a3/(e3) + a4/(e4),aj E R} = 40 [/(ei),/(e2),/(e3),/(e4)] = [s1(Ä),s2{A),s3(A), sA{A)], kde Si(Á) značí i-tf sloupec matice A. Tedy bázi obrazu tvoří lineárně nezávislé sloupce matice A. Imf = {oi/(ei) + a2f{e2),a1,a2 E R} = {oi(l,-1,1, -2) + a2(l,-1,-1,2), ax, a2 E R}, almf = {(1, -1,1, -2), (1, -1, -1, 2)} Druhé řešení: Při řešení využijeme EŘO. Vytvoříme blokovou matici typu 4x8 tak, že do levého bloku zapíšeme souřadnice vektorů standardní báze e4 v R4, do pravého bloku zapíšeme souřadnice jejich obrazů ve zobrazení /. Protože / je lineární zobrazení, tato vlastnost zůstane zachována i po vykonání libovolné EŘO. Jestliže matici upravíme pomocí EŘO tak, aby byl pravý blok ve schodovitém tvaru, pak nenulové řádky pravého bloku budou souřadnice vektorů nějaké báze podprostoru Im/ c R4, řádky levého bloku, které odpovídají nulovým řádkům pravého bloku, budou souřadnice vektorů nějaké báze podprostoru Ker/ c R4. Tedy /l 0 0 0 | 1 -1 1 -2\ / 1 0 1 0 0 j 1 —1 —1 2 -1 0 0 1 0 | 1 -1 1 -2 ~ -1 \0 0 0 1 j 1 —1 —1 2 / \ 0 0 1 o -1 o o 0 o 1 o 0 1 1 -1 1 -2\ 0 0-24 0 0 0 0 0 0 0 0 / a z upravené matice dostáváme: aKer/ = {(-1,0,1,0), (0,-1, 0,1)} aIm/ = {(l,-l,l,-2),(0,0,-2,4)} Ker/ = {o(-l, 0,1,0) + 6(0, -1,0,1); a, b E R} Im/ = {a(l, -1,1, -2) + 6(0, 0, -2, Á); a, b E R} Příklad: Najděte předpis nějakého lineárního zobrazení / : R3 —>■ R3 tak, aby Ker/ Řešení: Doplníme bázi ctKer/ = \ I 0 ) , I 1 ) > vektorem I 1 ) na bázi /3 prostoru R3. IW WJ w Definujme /-obrazy vektorů báze /? tak, aby byly splněny podmínky úlohy: Tímto je zobrazení / jednoznačně určeno. Zobrazení / zapíšeme pomocí násobení maticí, tj. ve tvaru f(x) = Ax. Protože Ax = f{x1,x2,x3) = x1f 0 +x2f 1 +x3f 0 41 potřebujeme pro nalezení matice A ještě určit / | 0 |. Platí: Proto Vzhledem k tomu, že platí A x2 - xs 0 ^2 - x3j f(X) = (x2 ~ £3,0,£2 - XZ) Cvičení: 1. Nechť V je vektorový prostor, v £ V je pevně zvolený vektor. Zjistěte, zda zobrazení / : V —>■ V je lineární, jestliže (a) f(x) = x + v, (b) f(x) = v. 2. Zjistěte, zda je zobrazení / : Rn —>■ Rn lineární. Pokud ano, najděte Ker/, Im/ a zapište jej pomocí násobení maticí. Zjistěte, zda je / isomorfismus. (a) f(x,y) = (x,y2) (b) f(x,y) = (2x + 3y,x-y) (c) f(x,y) = (x,l-y) (d) f(x,y,z) = ((x + y)2,x -y,x + y + z) (e) f(x, y, z) = (x - 2y + z, 2x - y + z, 2>y - z) 3. Zjistěte, zdaje zobrazení A : Rm[x] —>■ Rn[^] lineární. Pokud ano, určete Ker/, Im/. (a) m = n = 2,(Af)(x) = f(-x), (b) m = n = 2,(Af)(x)=xf'(x), (c) m = 4,n = 2, (Af)(x) = f"'(x) - 2f"(x), 42 (d) m = 4,n = 2, (Af)(x) = f"(x) + x2. 4. Následující zobrazení napište pomocí násobení maticí, tj. ve tvaru f (x) = Ax. (a) identické zobrazení id : R3 —>■ R3, (b) kolmá projekce do osy generované vektorem (1,0,0) v prostoru R3, (c) kolmá projekce do roviny generované vektory (0,1,0), (0,0,1) v prostoru R3, (d) násobení pevné zvoleným skalárem a E R v prostoru R3, (e) překlopení podle roviny xz v prostoru R3; najděte obraz vektoru (2,-5,3) v zobrazení /, (f) otočení o úhel —60° v prostoru R3; najděte obraz vektoru (3, —4) v zobrazení /, (g) otočení o úhel 30° kolem osy x; najděte obraz vektoru (—2,1,2) v zobrazení /. 5. Nechť násobení vektoru x maticí A reprezentuje otočení v rovině xy o úhel ip. Jaký bude výsledek násobení vektoru x matici AT1 6. Zjistěte, zda je lineární zobrazení / : R3 —>■ R3, f (x) = (xi + x2,x2 + xs,Xi + xs) isomorfismus. Pokud ano, najděte předpis pro inverzní isomorfismus. 7. Určete dimenzi obrazu a jádra zobrazení, které je definováno jako násobení maticí A= (4 4) vMat^(R) (a) zprava, (b) zleva. 8. Nechť / : Mat2(R) —>■ Mat2(R) je lineární zobrazení definované předpisem Zjistěte dimKer/ a dimlm/. 9. Nechť a = {vuv2), kde vx = (-2, l),v2 = (1,3), je báze R2 a / : R2 -»■ R3 je lineární zobrazení takové, že f{v\) = (—1, 2, 0), f(v2) = (0,-3,5). Najděte předpis pro f(xi,x2) a určete /(2,—3). 10. Lineární zobrazení / : R3 —>■ R3 zobrazuje vektor Wj na vektor Ví, i = 1,2,3. Najděte matici tohoto zobrazení ve standardních bázích a určete jeho předpis, jestliže «1 = (-2,3, -5), u2 = (0,1,3), us = (2, 0, 0), Vl = (-1,1,1),^ = (1,1,-1)^3 = (-2,1,2). 11. Lineární zobrazení / : Mat2(R) —>■ R zobrazuje matici A4 na číslo Ci,i = 1,2,3,4. Určete Ker/, Im/ a najděte předpis zobrazení /, jestliže ci = 1, c2 = 0, c3 = 3, c4 = 0. 43 12. Jsou dány vektory u = (1,2,— 3),v = (2,1,— 2),w = (1,-4,5) z R3. Zjistěte, zda existuje lineární zobrazení / : R3 —>■ R2 takové, že (a) /(«) = (1,2),/(V) = (2,3),/H = (1,3), (b) f(u) = (-2,1), f (v) = (1,1), f(w) = (8, -1). 13. Určete jádro a obraz lineárního zobrazení / : R4 —>■ R4, f(x\, X2, £3, £4) = (x\ + 2x2 + + 4a;4, Ax\ + d>X2 + 2x% + x±, x\ — 2x2 + 3£3 — x±, x\ + X2 + £3 +£4). Najděte nějakou bázi Ker/ a Im/. 14. Určete předpis lineárního zobrazení / : R3 —>■ R4, pro které platí /(l, 0,1) = (1, 0,1,0), /(l, 1,0) = (0,0, 0, 0), /(0,1,1) = (0,1,0,1). 15. Najděte dimenzi a bázi obrazu průniku podprostorů V\ a V2 C R4 při zobrazení / : R4 —>■ R5. Přitom f(x, y, z,w) = (x + 2y + 3z + w, 2x — 3y — z — 12w, —x + y + 5w, -y - z - 2w, 2x - 3y - z - 12«;), Vi = [(2, -1, -1,1), (-2, 3,1, -1)],V2 = [(0,2,0, 0), (1,1,1,1)]. Dále zjistěte dimenzi vzoru podprostorů W C R5 generovaného vektorem (1,1,1,1,1). 16. Nechť j3 = (vi,v2), kde Vi = (1,3),«2 = (—1,4), je báze R2 a A = ^ ^ 5^ Je matice lineárního zobrazení / : R2 —>■ R2 v bázi /?. (a) Najděte (f(Vl))0, (/(v2))^ (b) najděte /(«i),/(v2), (c) určete předpis pro f(x\,X2), (d) vypočtěte /(1,1). 44 9. MATICE LINEÁRNÍHO ZOBRAZENÍ, MATICE PRECHODU Nechť / : U —>■ V je lineárni zobrazení, a = (u\,un),fi = (v\, ...,Vk) jsou uspořádané báze vektorových prostorů U, V. Nechť /K) = J2ai- (2) j = 1,n. Matice A («11 «12 &21 &22 aln \ \a>kl 0-k2 • • • O-kn J se nazývá matice lineárního zobrazení / :U->Vv bázích a, /3 a značí se {f)pia- Všimněte si, že j-tf sloupec matice {f)p,a Je {fiuj))p, tj. sloupec souřadnic vektoru f (uj) v bázi /?. Definiční vztah (2) můžeme přepsat ekvivalentně takto: (f(ui),f(u2),...,f(un)) = (vi,U2,...,V/fc)(/)^a (3) Jestliže £ g U, potom tj. souřadnice vektoru /(#) v bázi /? dostáváme vynásobením matice {f)pia zprava sloupcem souřadnic vektoru x v bázi a. Nechť a = (u\, ...,un),fi = (v\, ...,vn) jsou dvě báze vektorového prostoru V nad polem K. Potom existuje matice A = (a^) taková, že (4) kde j = 1,n. Matice A se nazýva matice přechodu od báze a k bázi /?, nebo také matice záměny báze a bazí /?. Protože A je matice identického zobrazení id : V —>■ V v bazích a,fi, značí se (idy)^. Definiční rovnost (4) můžeme přepsat takto: (ui,...,Un) = (Vi, ...,Vn)(Ídv)p,a Tento vztah hraje důležitou roli při výpočtu matice přechodu. Matice (idy)/?,£») (idy)aj/8 Jsou navzájem inverzní, tj. platí (Ídv)j8,a(idv)a>|8 = (täv)a,p(idv) P,<* = E Souřadnice libovolného vektoru x E V v bazích a, /3 jsou dány vztahy [x)p = (Ídy)Pfií(x)a, (x)a = (idy)a>p(x)p (5) 45 Nechť / : Vi —>■ V2 je lineární zobrazení, ai,j3i jsou dvě báze Vi, 0:2,^2 jsou dvě báze V2. Potom mezi maticemi (f)a2,ai a (f)p2,Pi Je vztah Pokud Vi = V2 = V, dostáváme (/W = (idv)/3!a(/)a,a((idv)/?>a)"1 U)a,a = (Ídv)a,/3(/)/3!/3((Ídv)a,/?)"1 Nechť / : U —>■ V, g : V —>W jsou lineární zobrazení, a,f3,y jsou postupně báze prostorů U, V, W. Potom složení zobrazení / a g je opět lineární zobrazení a platí Příklad: Určete matici lineárního zobrazení / : R3 —>■ H2, f(xi,x2,x3) = (x\ + 2x2 — 3x3,2xi) v bázích a, /3, jestliže (a) a = £3,j3 = £2, (ÍdVi)ai,/3i (/)a2,ai = (Ídv2)a2,/32 (/)/32,/31(idV1)/9i,ai (9°f) 7,Q — (g)* (0,-4,1) Řešení: (a) Určíme obrazy vektorů báze ct ve zobrazení /: /(l, 0,0) = (1,2), /(0,1, 0) = (2, 0), /(0,0,1) (-3,0) Vzhledem k tomu, že j3 = £2, platí Protože a = £3, přímo z předpisu / dostáváme f(x) = (—11,0). (b) Postupujeme analogicky jako v (a). /(I, 2, 0) = (5, 2), f (-2,1,0) = (0, -4), f (3,1, -1) = (8, 6) Nyní vyjádříme vypočítané vektory jako lineární kombinaci prvků báze /3: (5,2) = o(2,1) + 6(0,2) = (2a, a + 2b) 46 Řešením systému 2a = 5 a + 26 = 2 dostáváme a = |,6 = — |. Analogicky (0,-4) = 0(2,1)-2(0,2) (8,6) = 4(2,1)+ 1(0,2) Zapsáním koeficientů lineárních kombinací do matice dostáváme (/W = (_2i _°2 fj Potom což znamená, že f(x) = 4(2,1) + 9(0,2) = (8, 22). Příklad: V R3 jsou dány báze a = ((1,0,0), (1,1, 0), (1,1,1)), p = ((-1,1,0), (1,1, 0), (0,0,1)). Určete matici (idRa)^, tj. matici přechodu od báze a k bázi /?, a matici (idn,8)ajjg, tj. matici přechodu od báze fi k bázi a. Pomocí těchto matic vypočtěte (x)p, (y)a, jestliže (a;)a = (-l,3,0r,(^ = (2,4,7f. Řešení: Nejprve určíme (idRa)^. Vyjádříme vektory báze a jako lineární kombinaci vektorů báze /?. (1,0,0) = a(-l, 1, 0) + 6(1,1,0) + c(0,0,1) = (-a + b, a + 6, c) Porovnámím dostáváme -a + 6 = 0,a + 6 = 0,c=0 Řešením systému jea=—|,6=|,c = 0. Analogicky se vypočte, že (1.1.0) = 0(-l, 1,0)+ 0(1,1,0)+ 0(0,0,1) (1.1.1) = 0(-l,l,0) + l(l,l,0) + l(0,0,l) Zapsáním koeficientů lineárních kombinací do matice dostáváme /-i 0 0 (ldR»)/8,a =2 11 \ 0 0 1 K výpočtu můžeme rovněž použít vztah (5) a vyřešit soustavu A = B(idR3)0!Oí 47 kde sloupce matic A a B jsou tvořeny vektory bazí a a /3. Po úpravě dostáváme (idR3)^,a = B~lA Matici (idn,a)ajjg určíme jako inverzní matici k (idRa)^. -\ 0 0 | 1 0 0\ í-\ 0 0 I 1 0 0\ /l 0 0 I —2 0 0 | 1 1 I 0 1 o] ~ í o ii|iio]~íoio| 1 1-1 0 0 1|00l/ \0 01 |001/ \0 0 1 I 0 0 1 a proto (idRa)Qjje Dále (y)a 1 o o i tedy (^ = (I,|,or,(y)a = (-4,-l,7F. Příklad: Nechť báze a, /3 prostoru R3 jsou stejné jako v předchozím příkladě. (a) Nechť / : R3 —>■ R3 je endomoríismus, jehož matice v bázi a je {f)a,a Určete jeho matici v bázi /?. Určete obrazy vektorů x,y,z v endomoríismu /, jestiže x= (1,2,3), (y)a =(1,2, 3), (z)0 = (l,2,3). (b) Určete matici endomoríismu / ve standardní bázi prostoru R3 a najděte jeho předpis. Řešení: (a) Protože (f)Pip = (idRa^J/^^idRa)^, (/k Abychom mohli určit f(x), potřebujeme najít souřadnice vektoru x v bázi a (nebo /?). Nechť (1, 2,3) = a(l, 0,0) + 6(1,1, 0) + c(l, 1,1) = (a + b + c, 6 + c, c) 48 Porovnáním dostáváme a = —1,6 = — l,c = 3. Potom (/(*))« : tedy f(x) = 2(1, 0, 0) - 2(1,1,0) + 2(1,1,1) = (2, 0, 2) Analogicky (/(y))« (/(*))/» = f(y) = 4(1,0,0) + 3(1,1,0) + 5(1,1,1) = (12,8, 5) f(z) = i, 0) + ^(1,1, 0) + 3(0,0,1) = (2,1, 3) (b) Určíme matice přechodu (id-Rs)£3í0l, (idR3)0,e3. Přímo dostáváme (ÍdR3)£3,o: Matici (idRs^g = ((idR3)e3j0:) 1 určíme pomocí EŘO: '1 1 1 | 1 0 0\ /l 1 0 | 1 0 -l\ /l 0 0 | 1 -1 0 01 1 | 010-010 | 01-1 -010 jo 1 -1 .0011001/ \0 0 1 | 0 0 1 / \0 0 1 | 0 0 1 tj- (ÍdR3)a,£3 Nyní vypočteme (/)£3,£3 = (idR3)£3!J/)a!JidR3)a!£3. (/)e3,£3 Protože 49 platí f (x) = {2xi,xi + x2- x3, x2) Příklad: Nechť a = ((1, O, -1,2, 3), (-2,1,4, -3, !)),£= ((0,1,2,1,7), (-1,2,5, 0,11)) jsou dvě báze podprostoru P vektorového prostoru R5. Určete matici přechodu (a) od báze a k bázi /?, (b) od báze fi k bázi a. Řešení: Označme a = («i,«2)>/? = (fi,^)- (a) Vyjádříme vektory U\,U2 jako lineární kombinaci vektorů V\,V2- (1, 0, -1, 2, 3) = o(0,1,2,1, 7) + 6(-l, 2, 5,0,11) = (-b, a + 26,2a + 56, a, 7a + 116) (-2,1,4, -3,1) = c(0,1,2,1,7) + d(-l, 2,5,0,11) = (-d, c + 2d, 2c + 5d, c, 7c + lid) Porovnáním dostáváme a = 2,b = — 1, c = —3, d = 2, tj. Příklad: V R3 je dána báze a = ((1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)). Zkonstruujte bázi p tak, aby matice byla maticí přechodu (a) od báze fi k bázi a, (b) od báze a k bázi /?. Řešení: Označme A a B matice, jejichž sloupce tvoří vektory bazí a a /3. (a) Nechť M je maticí přechodu od báze /3 k bázi a. Pak podle (5) platí B = AM, tedy (b) Matici (idp)Qjj8 určíme jako inverzní matici k (idp)^^: /l 1 0 5=1 0 1 \0 1 1 1 1 2 1 0 0 1 2 1 2 1 2 2 3 3 2 2 1 Takže 0= ((2,2,2), (1,3,2), (2,3,1)). 50 (b) Nechť nyní je M maticí přechodu od báze a k bázi /3. Pak podle (5) platí BM = A, tj. B = AM~l. M~l určíme pomocí EŘO a -1 2 2 2 2 -1 1 -2 1 Tedy p = 2,1), 1(2, 2, -2),|(2, -1,1)). Cvičení: 1. Matice lineárního zobrazení / : R3 ->■ R3 v bázi a = ((1, 0,1), (0,1,1), (1,1,0)) je {f)a,a = Najděte předpis zobrazení /. Zjistěte, zda je / isomorfismus. 2. Nechť / : Ri[x] —>■ Ri[x] je lineární zobrazení definované předpisem f(a + bx) = a + b(x + 1) a 7 = (6 + 3a;, 10 + 2x), 6 = (2, 3 + 2x) jsou báze prostoru Ri[a;]. Najděte matici zobrazení / (a) v bázi 7, (b) v bázi 6. 3. Určete matici endomorfismu A : H^x] —>■ H^x], A(f) = 3/" + 4/' + /, v bázi (a) a = (1,x,x2,x3), (b) £ = (1 + x, 1 - x,x2 + a;3, a;2 - x3). Zjistěte, zda je A isomorfismus. 4. Vektor x £ R3 má v bázi a = (ui,u2, us) souřadnice (x)a = (1, —3, 2)T. Určete jeho souřadnice v bázi fi = (^1,^2,^3), jestliže víme, že (a) ui = 2>vi + 2v2 + v3, u2 = v2- 2v3, u3 = vx - v3, (b) vi=ui + u2 + u3, v2 = u2 + u3, v3 = u3. 5. Lineární zobrazení A : Rs[a;] —>■ R3[x] je ve standardní bázi e prostoru R3[x] dáno maticí / 1 1 1 1 \ -1 -1 -1 -1 1-11-1 V-i 1-11/ Najděte všechny polynomy / £ R3[x] s vlastností A(f) = 1 — x. 6. Určete matici lineárního zobrazení / : Mat2(R) —>■ Mat2(R),/(X) = AX v bázi jestliže p=({\ lY(\ ])),A=(11 l 51 7. Najděte matici lineárního zobrazení (p : R3 —>■ R4 daného pomocí nějaké matice A typu 4x3 předpisem ■ R2H, f{ax2 + bx + c) = (a — b)x2 + (a — c)x+(b — c). (a) Dokažte, že / je lineární zobrazení. (b) Najděte všechny polynomy, které leží v jeho jádře. (c) Napište matici zobrazení / ve standardní bázi e = (l,x,x2). 9. Najděte předpis lineárního zobrazení / : R2 —>■ R3, které má v bazích a = ((1, —1), (l,l)),/3 = ((1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)) vektorových prostorů R2 a R3 matici 10. Ve vektorovém prostoru R3[x] jsou dány báze a = (1, x, x2, x3), f3 = {1 + x, 1 — x,x2 + 3). Najděte matici přechodu (a) od báze a k bázi /?, (b) od báze fi k bázi a. 11. Nechť a a fi jsou báze v R3. Najděte matici přechodu od báze a k bázi /?. Pomocí této matice určete souřadnice vektoru w = (—5,8, —5) v bázi /?, jestliže (a) a= ((-3,0,-3), (-3, 2,-1), (1,6,-1)), p= ((-6, -6,0), (-2, -6,4), (-2, -3,7)), (b) a = ((2,1,1), (2, -1,1), (1,2,1)),p = ((3,1, -5), (1,1, -3), (-1,0,2)). 12. Nechť / : R2 —>■ R3 je lineární zobrazení v bazích a = ((1,3), (—2,4)) a fi = ((1,1,1), (2,2,0), (3, 0, 0)) definované předpisem '((» Najděte matici přechodu od báze a k bázi /?. 13. Najděte lineární zobrazení / : R3 —>■ R2, které má v bazích a,fi matici 1 0 2N -1 1 0 jestliže (a) a, /3 jsou standardní báze prostorů R3 a R2, (b) a = ((1,1, 0), (1, -2, 0), (0,0,1),/?= ((2, -1), (0,1)). 14. Matice lineárního zobrazení / : R3 ->■ R2 v bazích a = ((1,0,1), (1,0,0), (1,1,1)), ((-l,2),(l,l))je (l 2 3^ U)P, Určete obrazy vektorů x = (1, — 2,3),y = (—1,0,4) v endomorfismu /. Ve standardních bazích na R3 a R5 je dáno zobrazení / maticí A a zobrazení g maticí B. A (1 2 -1\ 1 0 1 3 2 0 -1 1 0 \-2 0 1/ B Odkud kam tato zobrazení jdou? Najděte matice jejich kompozic. Zjistěte, zda jde o isomorfismy. 53 10. AFINNÍ GEOMETRIE Afinní podprostor prostoru Kn je množina M = P + [u\,uk], kde P E Kn, E Kn. Každý prvek x E M můžeme jednoznačne napsat ve tvaru k X = P + i=l kde t\,...tk E K jsou parametry. Toto vyjádření se nazývá parametrické vyjádření nebo parametrická rovnice podprostoru M. Afinní podprostor lze popsat soustavou lineárních rovnic Ax = b kde A E MatTOj„(K),6 E Km. Množina řešení této soustavy {x;Ax = b} je bud 0 nebo afinní podprostor. Toto vyjáření se nazývá obecná rovnice afinního podprostoru. Zaměřením afinního podprostoru M C K nazýváme vektorový podprostor Dir M = [ui, ...,uk] Dimenzí afinního podprostoru M C Kn, ozn. dim M, nazýváme dimenzi jeho zaměření, tedy dim M = dim Dir M Nechť S, T jsou dva podprostory afinního prostoru V. Řekneme, že podprostory S a T jsou rovnoběžné, jestliže buďto Dir S C Dir T nebo Dir T C Dir S (rovnoběžné podprostory tedy mohou i splývat). Dále řekneme, že tyto proprostory jsou různoběžné, mají-li alespoň jeden společný bod a přitom nejsou rovnoběžné. Konečně řekneme, že tyto podprostory jsou mimoběžné, jestliže nejsou rovnoběžné a nemají žádný společný bod. Příklad: Určete parametrické rovnice podprostoru M zadaného rovnicemi M : x\ + X2 — Xz + £4 = 9 X\ — X2 + #3 — #4 = —3 Řešení: Soustavu přepíšeme do matice, kterou nejprve pomocí EŘO upravíme na schodovitý tvar: /l -1 -1 1 | 9 \ íl 0 0 0 | 3\ \l -1 1 -1 | -2>) ~ \0 1 -1 1 | 6J 54 Z upravené matice získáme parametrický popis následujícím způsobem: Vedoucí členy řádků se nacházejí v prvním a druhém sloupci, proto si neznámé £3 a £4 zvolíme za parametry a neznámé X\ a x2 pomocí nich vyjádříme. Zvolíme-li £4 = t, xs = s, potom X2 = 6 — s + t, x\ = 3. Parametrická rovnice pak má tvar M : Xi = 3 X2 = 6 — s + t x3 = s £4 = t Příklad: Najděte obecné rovnice afinního podprostoru M vektorového prostoru R4, kde M : (x1,x2,x3,x4í) = (1,0,2, 2) + ri(l,-1,0,0) + í2(l, 2, 0,-1). Řešení: Parametrické rovnice x = P + at přepíšeme do tvaru Ex = at + P, kde P = (1,0, 2, 2) je bod a a = ((1, —1, 0, 0), (1,2,0, —1)) vektory, které tvoří afinní podprostor M, a x = (x\,X2,xz,Xi)T je vektor neznámých a i = (£1,^2) vektor parametrů. Soustavu rovnic Ex = at + P přepíšeme do matice tvaru (E\a\P): /l 0 0 0 1 1 1 1\ 0 1 0 0 -1 2 0 0 0 1 0 0 0 2 \o 0 0 1 0 -1 2/ Matici budeme upravovat pomocí EŘO tak, aby prostřední blok ve výsledné matici byl ve schodovitém tvaru. (1 0 0 0 1 1 i\ 1 1 0 0 0 3 1 0 0 1 0 0 0 2 V 1 0 3 0 0 V Obecné rovnice podprostoru M určují koeficienty levého a pravého bloku, a to v řádcích, ve kterých jsou v prostředním bloku samé nuly. Tedy £3 = 2 Xl + X2 + 3£4 = 7 Dosazením se přesvědčíme, že bod P této soustavě skutečně vyhovuje. Příklad: V prostoru R4 zjistěte vzájemnou polohu podprostoru (a) 7T : d>X\ + X2 + 22:3 = 5, 5x\ — X2 + 2^4 = 3, p : Xi + 5x2 - 4£3 = -3, 2x2 - xs + x± = -2, (b) p : Xi + 2x2 - xs = 1, Xi + xs + 2x± = 3, p:(3,-l,0,0) + í(-3,2,l,l), 55 (c) p: (3,-1,0,0) + s(-l, 1,1,0) +ŕ(2,1,0,1), p:(3,l,0,0) + r(-l,2,l,l). Řešení: (a) Hledáme společný bod podprostorů 7r a p, tj. bod i? = (xi, #2, £3, £4), jehož souřadnice splňují rovnice podprostorů 7r i p. Řešíme tedy systém rovnic 3xi + x2 5x\ — x2 Xi + 5x2 2x3 2xA 4z3 5 3 -3 -2 2£2 - XS + Xi = Pomocí EŘO upravíme jeho rozšířenou matici na schodovitý tvar /3 1 2 0 1 5\ 5 -1 0 2 1 3 1 5 -4 0 -3 \0 2 -1 1 1 -v ze kterého dostáváme X\ = l,2ľ2 (\ 5 0 1 0 0 \o o -4 -1 3 0 0 0 -1 1 -3\ -1 4 "V 1, £4 = —1, což je jediné řešení daného systému. Podprostory tt, p jsou tedy různoběžné a jejich průsečíkem je bod R = (1, 0,1,-1). (b) Bod Q leží na přímce p, pokud Q = (3 — 3í, — 1 + 2t, t,t),t E R. Aby bod Q ležel i v rovině p, musí jeho souřadnice splňovat rovnici roviny p, tedy musí platit 3-3í + 2(-l + 2ŕ)+ -r = 1 3-3í + í + 2í = 3 Ekvivalentní úpravou dostaneme rovnici 0-r = 0 která je splněna pro každé t E R. To znamená, že každý bod přímky p je zároveň bodem roviny p, tedy přímka p leží v rovině p. (c) Bod Q leží v rovině p, pokud Q = (3 — s + 2t, — 1 + s + t, s, t), a leží na přímce p, pokud Q = (3 — r, 1 + 2r, r,r). Řešíme tedy nehomogenní soustavu rovnic -s + 2t + r s + t + 2r s — r t - r 3-3 1 + 1 0 0 Její rozšířenou matici upravíme pomocí EŘO na schodovitý tvar: f-\ 2 1 I 0\ /l 2 1 I 0 \ 1 1 -2 j 2 0 3 -1 j 2 1 0 -1 j 0 ~ ' 0 0 1 j -2 \ o 1 —1 I 0/ \o o o I 1 / 56 Soustava nemá řešení, tzn. že p n p = 0. Vyřešíme-li tuto soustavu jako homogenní, zjistíme, že vektory určující zaměření roviny p a přímky p jsou lineárně nezávislé, tedy rovina a přímka jsou mimoběžné. Příklad: V prostoru R3 najděte příčku mimoběžek p : (1,2,-1) + s(l,—1,1), q : (0,9, -2) + ŕ(l, 0,0) rovnoběžnou s vektorem (1, 2,0). Řešení: Protože vektory (1, —1,1),(1,0,0),(1,2,0) jsou lineárně nezávislé, taková přímka existuje. Stačí nalézt průsečík přímky q s rovinou p : (1,2,-1) + s(l, —1,1) + r(l,2,0). Abychom tento průsečík nalezli, musíne řešit rovnici (0,9, -2) + r(l, 0, 0) = (1, 2, -1) + s(l, -1,1) + r(l, 2,0) přičemž nám stačí znát hodnotu parametru t. Rozepsáním do složek dostaneme nehomogenní soustavu tří rovnic o třech neznámých t — s — r = 1 s - 2r = -7 -s = 1 Odtud spočítáme t = 3 (s = — 1, r = 3) a bod (3,9, —2) je průsečíkem přímky q s rovinou p. Hledaná příčka je pak (3,9, —2) + r(l, 2,0). Příklad: V prostoru R3 najděte příčku mimoběžek p : P + su = (3,3,3) + s(2,2,1) a q : Q + tv = (0,5, — 1) + ŕ(l, 1,1), která prochází bodem A = (4,5, 3). Řešení: Snadno zjistíme, že jak vektory (1, 2, 0), (2,2,1), (1,1,1) (kde (1,2,0) = A-P), tak vektory (4,0,4), (2, 2,1), (1,1,1) (kde (4, 0,4) = A — Q) jsou lineárně nezávislé, takže příčka existuje. Potřebujeme najít průsečík přímky q s rovinou p : (4,5,3) + r(l,2,0) + s(2, 2,1). Pro hledaný průsečík tak dostáváme soustavu t-r-2s = 4 í - 2r - 2s = 0 í - s = 4 odkud t = 0. Průsečík přímky q s rovinou p je R = (0,5,-1) a hledaná příčka je (0,5, -1) + o(4, 0,4) = (0,5, -1) + a(l, 0,1). Příklad: V prostoru R4 uvažujme roviny p : x\ + x2 = 3, £3 + £4 = 4 a a : X\ + £3 = 1, X2 — £4 = 3 a bod M = (2,-2,3,-3). Najděte přímku q, která prochází bodem M, protíná rovinu a a je rovnoběžná s rovinou p. Řešení: Nechť r je rovina procházející bodem Maje rovnoběžná s rovinou p. Pak souřadnice bodu M splňují její rovnici, kterou získáme dosazením souřadnic bodu M do rovnice 57 roviny p a dopočítáním příslušných koeficientů. Xi+ x2 = c Xz + £4 = cl dosazením souřadnic bodu M dostáváme 2- 2 = 0 3- 3 = 0 tedy c = cl = 0 a r : Xi + x2 = 0 £3 + £4 = 0 Bod P tvořící druhý bod přímky q je průsečíkem rovin a a r. Řešíme systém rovnic £1 + £3 = 1 x2 — £4 = 3 £1 + £2 = 0 £3 + £4 = 0 jehož matici převedeme pomocí EŘO na schodovitý tvar /l 0 1 0 1\ (1 0 1 0 0 1 0 -1 3 0 1 0 -1 3 1 1 0 0 0 0 0 -1 1 -4 \o 0 1 1 v V> 0 0 2 -v ze kterého dostáváme a?i = — 1, x2 = 1, £3 = 2, £4 = —2. Tedy P = (—1,1, 2, —2) a přímka 5 má rovnici q : M + t(P — M) = (2, -2,3, -3) + t(-3,3, -1,1) Příklad: Najděte průnik afinních podprostorů Q\ : (3, 0, —3, 3)+a(l, 0, —1,0)+6(0,2,0,1), g2 : (4, -2, -4,2) + s(0, 0,1, -1) + t(l, 2,0, 0). Řešení: Nechť X E Qi C\ Q2. Pak platí X = A + awi + bu2 = B + sv\ + tv2 tedy awi + bu2 — sv\ — tv2 = B — A 58 Soustavu přepíšeme do matice a upravíme na schodovitý tvar / 1 0 0 -1 | 0 2 0 -2 | -10-1 0 | \ 0 1 1 oj odkud a = p,b = p, s = p,t = —p. Tedy X = B - pvi + pv2 = B + p(v2 - v i) = 1 \ /l 0 0 -1 -2 0 10-1 -1 ~ 0 0 1 1 -1/ \0 0 0 0 1\ -1 o o/ /4\ 2 4 V2/ /1\ 2 -1 Podobně pomocí vektorů Ui,u2 dostaneme /3\ /1\ X = A + pui + pu2 = A + p(m + w2) 0 -3 V s y ■p 2 -1 V 1 J Cvičení: 1. Napište paramerické rovnice roviny, jestliže jsou zadány její (a) tři body A = (-1,1,0), B = (2,1,6), C= (3,0,4), (b) dva body = (1,2, -3), B = (0, 2,1) a směrový vektor u = (2,1,-1), (c) bod A = (3,1, —2) a dva lineárně nezávislé směrové vektory u = (—1,2,1), v = (3,-4,2). 2. Najděte obecnou rovnici roviny určené (a) třemi body A = (1,-1,1), B= (2,1,-3), C= (1,4,2), (b) dvěma body A = (4,1,2), B = (2, —2, 3) a směrovým vektorem u = (3, —2,1), (c) bodem A = (3,3,3) a směrovými vektory u = (1, — 1,1), v = (—1,1,1). 3. Zjistěte, které z bodů A = (1,2, -1), B = (1,2,2), C = (3,1,2), D = (—4,2,0) leží v rovině (a) (x, y, z) = (6,2, -2) + t(5,0, -1) + s(l, 1,0), (b) x = 1 + 2t, x = 3-2t + s, z = 4 - 2t + 2s, (c) a; + 17y + 5z - 30 = 0. a tvt • • t - ., w , w i , , \2x — y + z — 9 = 0 4. Najdete parametrické vyjadrení pnmky v R° zadané p : < . Jak I £ + y — z = 0 vypadají rovnice všech rovin procházejících danou přímkou p (tzv. svazek rovin)? 59 5. Najděte parametrické vyjádření podprostoru v R4 zadaného obecnými rovnicemi. (a) x\ + X2 — 2x4 = 6, x\ + 2x2 + £3 — £4 = 11, x\ + X2 — £4 = 8, (b) xi + 2£2 - £3 = 4, £2 + £3 + £4 = 5, 2a;i + Ax2 - xs = 11. 6. Určete vzájemnou polohu přímek v prostoru R2, resp. R3; v případě, že jsou různo-běžné, najděte jejich průsečík. (a) p : 2>x + Ay - 20 = 0, q : x = A - 8t, y = 2 + 6t, (b) p : (z, j/) = (2, -9) + r(l, -1), q:(x,y) = (1, -1) + r(5,2), (c) p : x = 3 — 6t, y = — 1 + At, z = t, q : x = — 2 + 3í, y = 4, z = 3 — t, íx + z-1 = 0 jx-2y + 3 = 0 [3x + y-z + 13 = 0 ' 9[y + 2z-8 = 0 ' 7. Určete vzájemnou polohu rovin v R3; v případě, že jsou různoběžné, napište para-merické rovnice jejich průsečíku. (a) p : x + y + 2z — 3 = 0, a : x — y + z — 1 = 0, (b) p: (x,y,z) = (-1,3,-2)+ ŕ(0,l,l) + s(l,-1,-2), a:x-y + z + 6 = 0. 8. V prostoru R3, resp R4, zjistěte vzájemnou polohu přímky a roviny; v přídadě růz-noběžnosti určete jejich průsečík. (a) p : x = 2 + At, y = -1 + t, z = 2 - t, a : Ax + y - z + 13 = 0, Í2x-y + 3z + A = 0 A r o n b p: < " , a:Ax-5y-z + 8 = 0, \x — 2y — 2z + 2 = § (c) p : Xi + X2 = 0, £2 + £3 = 0, xs + £4 = 0, p: (0,3, 0,1) + s(l, 0,-1,0) + r(l, 2, -2,0), (d) p : xi + a;2 = 0, x2+xs = 0, xs + a;4 = 3, p : (1, -1,1, 2) + s(-l, 1,0, 0) + r(0,0, -2,2), (e) p : (4, -2, 3, -1) + ŕ(l, -1,1, -1), p : Xi + £3 + £4 = 4, xi + £2 + £3 = 3. 9. V prostoru R4 zjistěte vzájemnou polohu (a) roviny (1,0, 2, 2) + r(l, -1, 0, 0) + s(l, 2, 0, -1) a přímky (0,0, -6,5) + r(l, 2, -3,0), (b) nadroviny (2,1,1,1) + r(l, 1,1,1) + s(l, 1,1, -1) + ŕ(l, 1, -1, -1) a přímky (3,2,0, -2) + u(l, 1,-1,1), (c) rovin (2, 3,1,3) + s(-l, 1,0, 2) + (0,2, -3,2), (-l,0,2,l) + «(2,4,-9,2) + V(l, 1,1,1) 60 10. V prostoru R4 (a) určete parametry a,b tak, aby přímka (1,2,1,2) + r(l,a, 0,2) ležela v rovině (l,l,2,6) + s(l,2,l,2)+í(l,l,2,2), (b) v závislosti na parametru a určete vzájemnou polohu rovin (3, —1, —1, 6) + s{-2,1, -2,1) + t(4, -1, -1,0), (4,1,3, a) + u(0, -2,0,1) + v{2, 2, -1, -1). 11. V prostoru R5 určete vzájemnou polohu podprostorů: (a) (l,l,l,l,l)+r(2,-8,3,-5,-9), (l,l,2,-l,3) + s(l,-l,0,2,3) + í(0,2,-l,3,5), (b) (-2,10,-l,2,-l) + r(2,-8,3,-5,l), (l,l,2,-l,3) + s(l,-l,0,2,3) + í(0,2,-l,3,5). 12. V prostoru R3 najděte příčku mimoběžek (a) (x,y,z) = (1,-1,2) +í(l,-1,3), (x,y,z) = (3,-1,1) + í(2,1,4), která prochází bodem M = (3, -2,13). (b) = = tŤj, (x,y,z) = (2, 0,1) + í(l, — 1,1) rovnoběžnou s přímkou x — y + z + 11 = 0, x — 3y — z — 6 = 0. (c) x — 2 = ^i3- = =^--l x — 3 = y = ^jp, která je rovnoběžná s průsečnicí rovin 23-3-15 = 0, x -y + 324 = 0. (d) (l,3,4)+í(l,0,2) a 2x-z + 2 = 0, y-3 = 0, která prochází bodem (13,17,29). 13. V prostoru R3 napište parametrické rovnice přímky, která prochází bodem A = (3, —2, —4) rovnoběžně s rovinou p : 3a; — 2y — 3z — 7 = 0 a protíná přímku p : 2a; + 3y + 8 = 0, y + z + 3 = 0. 14. V prostoru R3 určete přímku q, která prochází bodem M = (3, 2,1), protíná přímku p : X\ — X2 = 1, X\ + Xz = 6 a je rovnoběžná s rovinou p : 2a;i + x2 + Xz = 5. 15. V prostoru R4 určete přímku q, která (a) prochází bodem M = (8,9,-11,-15) a protíná přímky p : (1,0,-2,1) + s(l, 2, -1, -5), r : (0,1,1, -1) + t(2,3, -2, -4), (b) prochází bodem M = (1,2, —1, —2), protíná rovinu a : X\ + x2 = 1, Xz — x^ = 3 a je rovnoběžná s rovinou p : X\ + Xz = —5, a;2 + x^ = 3, (c) prochází bodem M = (1,0,3,1), protíná přímku p : (7,0,0,0) + í(0,1,0,1) a je rovnoběžná s nadrovinou p : X\ + x2 + Xz + x^ = 0. 16. V prostoru R5 určete přímku q, která prochází bodem M = (5,3,4,6,2) a protíná roviny p : (3,1, 0,4,0) + a(0,1, 0, 0,0) + 6(0,0,1,0,1) a tt : (0,1, -2,1,0) + c(l,0,0,0,0) + d(0,0,0,1,0). 17. Najděte příčku mimoběžek p : (1,5,2,-1) +í(l,2,l,0), q : (0,-1,1,1) + í(3,1, 0,1) procházející bodem M = (0,1, —5, —3). 61 18. Najděte parametrickou a implicitní rovnici nadroviny a v R4 určenou body B\ = (-1,0,-1,0), B2 = (0,2,0,1),B3 = (0,-2,2,0),54 = (1,0,0,-1). Určete její zaměření. 19. V R4 najděte obecné rovnice afinního podprostoru (a) M : {Xl,X2,xz,x^) = (1,0,0,0) + s(l,-1,1,0) + r(3,-2,0,1), (b) M : (x1,x2,xs,xi) = (0,3,l,3) + s(l,l,-2,-2) + r(l,5,-4,0). 20. Najděte průnik afinních podprostoru (a) Px : (2,3,1,3) + o(-l, 1,0,2) + 6(0,2, -3,2), P2 : (-1,0, 2,1) + s(2,4, -9, 2) + ŕ(l, 1,1,1), (b) Pl : (-9,2,1, -5) + o(5, -1,0, 2) + 6(3,1, 2, 0), P2 : (l,2,3,4) + r(l,0,0,0) + s(0,l,0,0)+í(0,0,l,0). 21. V R2 je dán trojúhelník ABC. Označme po řadě A', B', C středy jeho stran BC, AC, AB. Dokažte, že platí {A' -A) + {B' -B) + (C - C) = 0. 62 ŘEŠENÍ KE CVIČENÍM: 1. OPAKOVÁNÍ, POČÍTÁNÍ S KOMPLEXNÍMI ČÍSLY 1. (a) -486 - 702*; (b) -28 + 24i; (c) + ±§i. 2. (a) -59 + 17«; (b) 8 + 5i; (c) § + \i; (d) -é + 4»; (e) -f +5*; (f) -1 - *■ 3- (*)x = o,y = o; (b) i = -iy = | 4. (a) 1-H; (b) ^fi + ^fii; (c) + 5. (a) 2(cos §7r + ísin §tt); (b) 2(cos f tt +«sin §tt); (c) 2-\/3(cos ^7r + ísiny7r). 6. (a) £o = 2,x\ = — 1 + í-\/3, #2 = —1 — í-\/3; (b) xo = &(l + i),Xl = 3f(-l + i),x2 = -3f(l + i),x3 = 4^(1 - i); (c) z0 = ±(1 + ^)^1 = — l,x2 = \(1 — iVŠ); (d) x0 = l,Xi = cos §7r + í sin |tt, £2 = cos |7r + í sin |tt, £3 = cos |7r + 2sin§7r,£4 = cos §7r + ísin§7r; (e) x0 = ^/f(1 + ív^Š),^ = -2a^,x2 = v/f (1 - ív^Š)- 2. POLE A VEKTOROVÉ PROSTORY 2.1 zbytkové třídy. 1. p = 3 : x = 2, p = 5 : x = 3, p = 7 : x = 4. 2. p = 11 : x = 3, p = 13 : x = 11. 3. p = 5 : £ = 3, p = 7 : x = 1, p = 11 : x = 2. 4. (a) nemá řešení; b) x = 1,3,5,7. 5. (a) x = 3; b) £ = 6. 6. (a) např. 2x = 0,2x = 2,2x = 4,3x = 0,3x = 3; (b) 5x = c,c = 0,1,2,3,4, 5; (c) např. 2x = l,2x = 3, 3z = 4,3z = 5,4z = 3. 7. (a) z = 1,2,4; (b) x = 3, 5, 6. 8. (a) £ = 4, 6; (b) x = 2,7. 9. (a) x = 2,4; (b) nemá řešení; (c) £ = 4, 5. 2.2 vektorové prostory 1. (a) ne, není splněn axiom (8); (b) ne, není splněn axiom (5) a (6); (c) ne, není splněn axiom (4); (d) ne, není splněn axiom (7) a (8); (e) ano; (f) ano; (g) ano; (h) ne, není splněn axiom (3) a (4); (i) ano. 2. ne, 0\ = 0\ + o2 = o2. 3. ne, (—u)\ = (—u)\ + [u + (—u)2] = [{-u)i +u] + {-u)2 = {-u)2. 3. MATICE A OPERACE S MATICEMI 1. (a) zleva B, F, G, zprava C, D, H; (j3) (a) (d) ;(b) (29); (c) 12 -20 26 -92 / 1 0 -2 4 \ -3 0 6 -12 0 0 0 0 \ 7 0 -14 28 / -2-6 0 \ í-4 -2\ 2 1 1 ) ; (e) není definováno; (f) I 5 59 ) ; (g) (113). 2. (a) není defino- 2 -9 -14/ \-7 -13/ (7 2 4\ í~5 ° ~X\ ° ° °\ í3 45 9\ váno;(b) ^ 1 *J;(c) I 4 -1 1 I ; (d) viz (c); (e) ÍO 0 0 I ; (f) í 11 -11 17 1; 63 /15 3 12^ (g) viz (f); (h) 5; (i) -25; (j) 168; (k) není definována; (1) 61; (m) 14 0 7 \12 12 13, -1 23 -10N 3. (a) I 37 -13 8 29 23 41 /2 3 4 5\ /l 1 1 1\ 1 2 4 (b) (b) AnBii nelze vynásobit; (c) 21 -15 -11 -15 44 6. (a) A 3 4 5 6 4 5 6 7 \5 6 7 8/ /l 0 0 0\ 0 a 0 0 0 0 10 \0 0 0 1/ /O 0 1 0\ 0 10 0 10 0 0 \0 0 0 1/ /l o 1 3 9 27 \1 4 16 64/ ; (c) /-i -íi i\ -i -i -i i i -i -i -i Vi í-i -i/ 7. pro n = 4 (a) A v 5 vynásobí a-krát druhý sloupec, v C vynásobí a-krát druhý řádek; (b) v B přehodí první a třetí sloupec, v C přehodí první a třetí řádek; (c)A a 0\ v B přičte k prvnímu sloupci a-násobek třetího sloupce, v C přičte \0 0 0 1/ k prvnímu řádku a-násobek třetího řádku. 8. A = 0 10 0 0 0 10 3 0 0 3 9. A 3 -2 -1 1 10. (a) jedna: A = ^1 -1 0 j ; (b) žádná. 11. (a) ± ^j; (b) 4 : ; (c) ne, např. -1 0 1 0 Q 1J . 12. (a) ano, např. Q j ; (b) ano, např. Q j . 15. Ak = (a,/), a*/ = počet cest z i do j délky k. 0 1 4. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC I. v R: nemá řešení; vZ5:i1 = 0,i2 = 2,i3 = 1.2.vR:i1 = 0, x2 = 2, xs = |, x± = — |; v Z5 : £i = 0,£2 = 2, £3 = 0,^4 = 2; v Z7 : x\ = 0,£2 = 2, £3 = 4, £4 = 1. 3. £1 = ^-^,£2 = í,xs = \,x± = —§,£5 =0,ieR; homogenní soustava: xi = 3s — 39í, #2 = 2s,xs = 2t,Xi = -4t,x5 = 2t, s,t E R. 4. (a) z = 3 + 2í, y = l-i,z = 1 + i; (b) £ = 1 — 2i,y = i; (c) x = 3 — i, y = 2%. 5. x\ = —3r — 4s — 2í, #2 = r, £3 = —2s,£4 = s, X5 = t,xe = l,r, s, t, E R. 6. x\ = —s — t, x2 = s, x% = —t, £4 = 0, £5 = t, s, t E R. 7. nemá řešení. 8. x\ = a — \c,x2 = a — \b,x% = — a + \b + |c. 9. xi = — l,x2 = 0, £3 = 1,£4 = 2. 10. nemá řešení; homogenní soustava: X\ = 3í, x2 = 23í, £3 = 45. II. (a) (i) a * -1 : x = jf^,y = ^ + = f=L; (ii) a = -1,6 = 1 : s = 64 t — 1, y = t, z = —1, t E R; (iii) a 26+3a+4 „ _ 6+2. a -1,6 ^ 1; (b) (i) a ^ O : x -3a2-a6-4g+26+4 y z = ^±2; (ii) a = 0,6 = —2 : x = —2 + 2p,y = —3 — 2p,z = p,p E R; (iii) a = 0,6 ^ -2. 12. (i) nikdy; (ii) 6 = l,a lib.: x = 2 + 2ap,y = 4 + 2ap,z = p,p E Z5; (iii) 6 ^ l,a lib. 13. [1,0,1], [2,4,2], [3, 3,3], [4, 2,4], [0,1,0]. 14. právě jedno řešení pro a ŕ 4 4+g26-2g6 a3+l ' » 2g26-4g+6 a3+l ~~ g3+l [4,1,0], [0, 2,1], [1, 3,2], [2,4, 3], [3, 0,4]; žádné řešení pro a = 4,6 ^ 2. 15. a = ±c, 6 = 0. 16. právě jedno řešení pro a ^ 1, a ^ -2,6 ^ 0 : x = (a_^+2) , V = b(a-\)(a+2)»* = o-6 . „í™ í „ _ _ g . x _ íy _ i_2í,2 = í,í e R nebo pro 4g2-g6+26. více reseni pro a 4,6 (o-l)(o+2) a = —2,6 = a a = —2, b ^ a. ; více reseni pro a a = t,y = L>„ _ a : z = ŕ, y ^,z = t,t E R; žádné řešení pro a l,i / o nebo 1. A- 7 -11 B-1 /ll 1 1\ 11-1-1 1-1 1 -1 \i -í-i i/ /154 -179 -205 235 \ 36 42 48 -55 7 -8 E-i = \ 5. INVERZNÍ MATICE 1 -: 0 1 12 -5 4 --1 -i _ f-7 5 i _ 3 -2 41 -30 ^—59 43 6 V 1 3. K~l -1 i aó—0"f -8 9 1 1 J -7 a 2. (a) A-1 l 1, \ 2 -2 1 / V-i -19\ 8 111 -159^ 2 3N -5 3 n S-J= { K f),c-1 5 10 L"1 cos a sin a - sin a cos a M"1 = -\ n—1 JV" /l -1 1 -1 0 1-11 0 0 1-1 (-l)n_1\ (-I)""2 (-1)"-3 /o 1 1 1 0 1 V 1 ••• yo o o o o 4 -1 + i 1 1 4. A 1-i 1 ,6 . 3. ] R-l 3 3, -i -2 2 Z 1 3 ■•• 1 1 Oj 0 1 -i 2i J r-i = _j_ i+9i V -2 + 3í 6. VEKTOROVÉ PODPROSTORY, LINEÁRNÍ ZÁVISLOST A NEZÁVISLOST, LINEÁRNÍ OBALY 6.1 vektorové podprostory 1. (a) ne, neplatí (1); (b) ne, neplatí (1),(2). 2. (a) ne, neplatí (1), (2); (b) ano. 3. (a) ano; (b) ano. 4. (a) ano; (b) ne, neplatí (2). 65 6.2 lineární závislost a nezávislost, lineární obaly 1. (a) LNZ; (b) LNZ; (c) LZ, [uuu2,u3] = [ui,u2]; (d) LNZ; (e) LNZ; (f) LZ, [Ul,u2,u3,uA] = [ui,u2,us]. 2. (a) Vi,v2,v3; (b) Vi,v2,Vi,Ve. 3. (a) LZ; (b) LZ; (c) LNZ; (d) LZ. 4. (a) ne; (b) ano. 5. (a) ano; (b) ne. 6. (a) LNZ; (b) LZ; (c) LZ. 7. BÁZE A DIMENZE VEKTOROVÉHO PROSTORU, SOUŘADNICE, SOUČTY A PRŮNIKY PODPROSTORŮ 1. Stačí přidat např. (a) (0,0,0,1); (b) x; (c) ^ . 2. (a) us; (b) žádný. 3. (a) (1,0,0), (l,l,0),(l,2,3),dimM = 3;(b)2a;-l,a;3+a;+l,a;2+a;,dimM = 3;(c) ^ , ^ ~^ , j),dimM = 3. 4. např. M = [(-1,1,0,.., 0), (-1,0,1,.., 0),.., (-1, 0,0,1)], dimM = n-l,Rn = MU (1, 0,0). 5. (a) dimP = n-1; (b) dimP = n-2. 6. (a) Px = [x\x2,l],P2 = [x*,ař,x],P3 = [{x-l){x-2)x3 ,{x-l){x-2)x2 ,{x-l){x-2)x, (x-l)(x- 2)];(b)[^-5a;2 + 4];(c)[P1]U[P3].T.(b)např.[P] = |^ j) , (° j) , (j ^jlto a = [P]U (j °) , (E)a = (1,0, -1,2). 9. (a) (-5,4, Of; (b) (0,1, lf; (c) (11, -3, 67, -5lf; (d) (-i I, i, 0); (e) (2, -1,3f; (f) (1,1,1, -2)r; (g) (1,0,2,3)r; (h) (1,1, -1,-1, 3, -4)r. 10. (u)p = (ai, ci2, a3 — a2, a4 — ai)T. 11. ozn. /? - báze P\ + P2, 7 - báze P\ n P2. (a) např. /3 = £3,dim(JP1 + JP2) =3,7= [(0,2,1), (1,4,0)]; (b) např. f3 = e3, dim(Pi + P2) =3,7 = [(3,5,7)]; (c) např. £ = £4,dim(Pi + P2) = 4,7 = 0; (d) např. p = e4,dim(Pi + P2) = 4,7 = [(1,-1,1,-1),(1,o, 1,0)]. 12. v1nv2 = [(1,2,1,2)],iyí + v2)nv = [(i,-2,3,-4)]. 13. V1 + V2 + Vs = [x2 + 2x3, -x3 + xe ,2 + x2, x2 + x3 + 2x4, x2 + xe ,1 + 3x3 + x5],V1r\V2 = [x2 + xe], vx n y3 = [z2 + z3 + A v2 n vs = 0 vx n v2 n v3 = 0. 8. LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ 1. (a), (b) ano pro v = 0, ne pro « / 0. 2. (a), (c), (d) ne; (b) ano, Ker/ = {0},lm/ = [(2,1), (3,-1)], A = (e) ano, Ker/= [(1,-1,-3)],Im/= [(1,2,0), (-2,-1,3)], /l -2 1\ 4=2-1 1 . 3. (a) ano, KerA = {0}, ImA = R2[z]; (b) ano, KerA = Ro[x], ImA = \0 3 -lj {a\x + a2x2,a\,a2 E R}; (c) ano, Ker/ = {a + bx;a,b E R} = Ri[x]; (d) ne. 4. (a) /l 0 0\ /l 0 0\ /0 0 0\ /o 0 0\ /l 0 0\ 0 1 0 ;(b) 0 0 0 ;(c) 0 1 0 ; (d) 0 a 0 ; (e) 0 -1 0 ,/(2,-5,3) = \0 0 1/ \0 0 0/ \0 0 1/ \0 0 a J \0 0 1/ 66 a o (2,5,3); (f) [ K T)>/(3,-4) = (^,-^); (g) |0 f -\ I ,/(-2,1,2) 2 ' 2 ví ve>; | " 2 ,0 I (—2, ^ 2, 1+2v/3~). 5. otočení o úhel —6. / je isomorfismus, / x(a;) = \[x\ — x2+x3,x\ + £2 —£3, —#i+£2+ #3)- 7. (a), (b) dimKer/ = 2,dimlm/ = 2. 8. dimKer/ = l,dimlm/ = 3. 9. f(xux2) = i(3zi - a;2,-9a;i - 4x2,5Xl + 10aľ2),/(2,-3) = ±(9,-6,-20). 10. (/)e3,es = ^ 2 ^ T^J '/W = (-^1-|^2 + |^3, ^1 +^2 +^3, X1 + ^X2~^X3). 11. / ( 0,1 0,2 ) = |ai+|a2+2a3—04.12. (a) neexistuje; (b) existuje, f(x) = |((4+a)xi+(—5+ \03 a4 / 4a)a:2 + 3aa;3, (1 + 6)aľi + (1 + 46)aľ2 + 36aľ3), a, kR. 13. aKerf = {(9, -10, -7, 8)}, aImf = {(5, 0, 0,1), (0,5, 0,1), (0,0,1, 0)}. 14. f(x) = \{xi~x2+xz, -xi+x2+x3,xi~x2+xz, -xi + x2 + x3). 15. dimIm^ H V2) = 1, aim(Vlnv2) = {(2, -3,1, -1, -3)}, áim(f-\W)) = 0. 16. (a) (/fa)), = (l,-2f ^/(^ = (3,5)r; (b) /(Vl) = (5, -5)r, /(i*) = (-2,29f; (c) f{xux2) = ±{18xl + x2,-107xl + 24x2); (d) ±(19,-83). 9. MATICE LINEÁRNÍHO ZOBRAZENÍ, MATICE PŘECHODU 1. f(x) = (-2xi + x2,x2 - x3,-x3),f je isomorfismus. 2. (/)7j7 = ( f q j ■ 3. (a) (Ä)aj0l (\ 4 6 0\ 0 1 8 18 0 0 1 12 \0 0 0 1 / ; (b) G4k 4 2 3 /3 -2 16 -2\ 2 -1 -10 8 0 0 7 -6 \0 0 6 5 / je isomor- fismus. 4. (a) (a^ = (5,-l,5)T; (b) (x)p = (1,-4,5)T. 5. f E {-s+ \ + (-Í+ |)a; + sa;2 + / 1 0 2 0\ ^ ^ 2 ^ _ d~xAC, kde sloupce matic C a d tx3;s,t eR}. 6. (/)^ 10 0 0 \0 111/ '1 -1 0 jsou tvořeny vektory bazí 7 a S. 8. (b) Ker/ = {a;2 + a; + 1}; (c) (/)e,e = I 1 0 —1 ,0 1 -1 1 9. f{xi,x2) = \{Axx - 2aľ2,2aľi + 2aľ2,a;i - x2). 10. (a) (f)^ 0 0\ -2 -\ o o 1 1 /l 1 o o \ 1-10 0 0 0 11 \o o 1-1/ 21 0 0 2 2 ; (b) 3 3 3 4 1 . 11. (a) (/W = I -f -i| -I ] , (w)p = (g, -f, f )r; (b) o ! ! 67 /3 2 §\ /O 0\ 1-2 -3 -i 1^ = (-I,f,6)T. 12. l-i 1 .13. (a)/(a;) = (^ + 2^3,-^1 + ^2); (b) /(a;) = (4zi + 2^ + 12^3, -3an -3^-6^). 314. /(a;) = (3,-12), f{y) = (-3,-21). 15. / : R3 ->■ R5, g : R5 ->■ R3; zobrazení / o g : R5 ->■ R5 je dáno maticí AB, nejedná se o isomorfismus, zobrazení g o f : R3 —>■ R3 je dáno maticí BA, jedná se o isomorfismus. 10. AFINNÍ GEOMETRIE 1. (a) (z,^) = (-l,l,0) + í(l,0,2) + s(4,-l,4); (b) (x,y, z) = (1,2, -3) + í(-l, 0,4) + s(2,l,-l); (c) {x, y, z) = (3,1, -2) + í(-l, 2,1) + s(3, -4,2). 2. (a) 22x - y + 5z - 28 = 0; (b) x - 5y - a3z + 27 = 0; (c) x + y - 6 = 0. 3. (a) A, D; (b) 5, C; (c) A, C, D. 4. p : (x, y, z) = (3, —3, 0) + í(0,1,1), svazek rovin: a(2x — y + z — 9) + 6(x + y — z) = 0,(o,6) ^ (0,0). 5. (a) (7,3,0,2)+ ŕ(l,-1,1,0); (b) (3,2, 3,0) + í(-2,-1, 0,1). 6. (a) totožné; (b) různoběžné, R = (—4,-3); (c) mimobéžné; (d) různoběžné, R = (—3,0,4). 7. (a) x = 2 + 3t,y = 1 + t, z = -2í; (b) totožné. 8. (a) (-2,-2,3); (b) přímka leží v rovině; (c) mimoběžné; (d) přímka leží v rovině; (e) různoběžné, P = (2,0,1,1). 9. (a) protínají se v bodě (—|,— y, 2,5); (b) přímka leží v nadrovině; (c) protínají se v přímce (1,2,3,4) + ŕ(2,4,-9,2). 10. (a) a = 3,6 = 2; (b) pro a = ^ se protínají v přímce (4, —|i,3, ||) + í(10, —2, —5,1), pro a / j mimoběžné. 11. (a) rovnoběžné; (b) protínají se v bodě (0,2,2,-3,0). 12. (a) x = 3 + t, y = -2, z = 13 + 8í; (b) x = 1 + 2í, y = — 2 + t, z = 3 — í; (c) x — 4 = y — 1 = ^; (d) příčka neexistuje, přímky jsou totožné. 13. x = 3 + 5í, y = -2 +10í, z = -4 + 9í. 14. q : (3, 2,1) + í(-l,-1, 3). 15. (a) (8,9,-ll,-15) + í(6,7,-8,-ll); (b) q : (1,2,-1,-2) + í(-2,0,2,0); (c) q : (1,0,3, l) + s(6,-1,-3, -2). 16. q : (5,3,4, 6,2)+ ŕ(2,1,3,2,1). 17. příčka neexistuje. 18. lxux2, xs,x4) = (-1,0, -1,0) + r(l, 2,1,1) + s(l, -2, 3,0) + í(2,0,1, -1), -10^ + 7x2 + 82:3 — 12£4 = 2. 19. (a) 2x\ + 3£2 + £3 = 2, —x1 — x2 + £4 = —1; (b) 3£i + £2 + 2^3 = 5,4Xl+xs+x4 = 4. 20. (a) X = (—1,0,2, l)T+p(2,4, -9,2)T = (2, 3,1,3)T+p(2,4, -9, 2)T; (b) X = (-9,2,1, -5)T + p(3,1,2, 0)T =(1,2,3,4)T + p(3,1, 2, 0)T. 68 LITERATURA [1] H. Anton, C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 8th Edition, Applications Version, Willey, 2000. [2] L. Bican: Lineární algebra, Matematický seminář SNTL, Praha, 1979. [3] P. Kaprálik, J. Tvarožek: Zbierka riešených príkladov z lineárnej algebry a analytickej geometrie, Alfa, Bratislava, 1987. [4] J. Slovák: Lineárni algebra, elektronický učební text, http://www.math.muni.cz/~slovak, Brno, 1995. [5] P. Zlatoš: Lineárna algebra a geometria, skripta MFF UK v Bratislavě, 1999.