4
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
1. VÝPOČET DETERMINANTU
Teorie
1.1. Definice. Nechť M = {1, 2,... , n} je konečná množina o n prvcích. Pak bijektivní zobrazení a množiny M na sebe se nazývá permutace množiny M.
1.2. Definice. Nechť a = (r\,r2, ■ ■ ■ ,rn) je libovolná permutace, řekneme, že dvojice r^rj je inverze v permutaci a, jestliže i < j a r i > r ý
Znaménko permutace a, je číslo signa = (—l)k, kde k je počet inverzí v permutaci a.
1.3. Definice. Nechť a = (r\,..., rn), r = (s\,..., sn) jsou dvě permutace, nechť existují indexy i ^ j tak, dále r*; = Sk pro A; 7^ i,j. Potom řekneme, že permutace r vznikla z permutace a provedením jedné transpozice.
1.4. Věta. Provedení jedné transpozice zméní paritu dané permutace.
1.5. Definice. Nechť A = (a^) je čtvercová matice řádu n nad polem .ří. Pak determinant matice A, je číslo z pole .ří, označené detA (resp. \A\) a definované vztahem
kde a je libovolná permutace z množiny všech permutací n-prvkové množiny M = {1, 2,..., n} označené 5n. Šumaje tedy přes všechna a E Sn, tj. přes všechny permutace množiny M. Součin signa^(1)1^(2)2 ■ ■ ■arj{n)n se nazývá člen determinamtu.
1.6. Věta. JVeciiť matice B vznikne z matice A
1. záměnou dvou různých řádků, pak det B = — detA
2. vynásobením jednoho řádku číslem t E K, pak det B = t det A
1.7. Věta. Hodnota determinantu matice A se nezmění, jestliže
1. k jednomu řádku matice A přičteme libovolný násobek jiného řádku
2. k jednomu řádku matice A přičteme libovolnou lineární kombinaci ostatních řádků
3. jeden řádek matice A ponecháme beze změny a k ostatním řádkům přičteme jeho libovolné násobky
1. Výpočet determinantu
5
1.8. Definice. Nechť A = (a^) je čtvercová matice řádu n; nechť je zvoleno k jejích řádků a sloupců k < n & 1 < ii < i2 < • • • < ik < n,l < ji < j2 < • • • < jk < n. Pak matice
M
lÍ2Jl
H\J2
M232
^kj2
■ ■ ah
jk
... a
'Í23k
\
J
se nazývá submatice matice A určená řádky %i,...,%k a sloupci ji,... ,jk- Její determinant det M se nazývá minor řádu k matice A.
Zbývajícími (n — A;) řádky a (n — k) sloupci je určena tzv. doplňková submatice M k sub-matici M a její determinant det M se nazývá doplněk minoru det M. Označme % = h + ^2 + • • • + h + ji + J2 + • • • + jk- Pak číslo (—1)SM det M se nazývá algebraický doplněk minoru det M.
1.9. Věta. (Laplaceova věta) Nechí A = (o^-) je čtvercová matice řádu n, nechi je pevně zvoleno k řádků matice A, kde 0 < k < n. Pak determinant matice A je roven součtu všech (™) součinů minorů řádu k, vybraných ze zvolených k řádků, s jejich algebraickými doplňky.
_Řešené příklady
Úloha 1: Spočtěte determinant matice
A
(l
0
1
V 2
o 2 o
0 1\ 3 1
-1 1
1 OJ
(a) převedením na schodovitý tvar pomocí elementárních úprav, které nemění hodnotu determinantu
(b) užitím Laplaceovy věty
Řešení: (a) Převedeme na schodovitý tvar. Nejprve ke třetímu řádku přičteme -1 násobek prvního řádku a ke čtvrtému řádku přičteme -2 násobek prvního řádku. Pak ke čtvrtému řádku přičteme | násobek druhého řádku.
det
/ 1    0 0    1 \
0 2 3 1 10-11
\ 2  -3 1 OJ
det
/ 1 0 0     1 \
0 2 3 1
0 0-10
\ 0 -3 1    -2 /
det
/ 1 0   0     1 \
0 2   3 1
0 0-10
\0 0   % -\J
6
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
Nyní přičteme ke čtvrtému řádku 5 násobek třetího řádku, čímž dostáváme schodovitý tvar a determinant se rovná součinu prvků na hlavní diagonále.
det
/ 1 0   0     1 \
0 2   3 1
0 0-10
\ 0 0   0 -\j
12 (-!)(--) = 1
(b) Uděláme Laplaceův rozvoj podle prvního řádku:
/ 1    0 0    1 \
0 2 3 1 10-11
\ 2  -3 1    0 /
det
ldet
2     3 1 0    -1 1 -3    1 0
+ (-l)4+1ldet
0 2 3
1 0 -1
2 -3 1
(-9-3-2) - (-9-4-2) = 1
Úloha 2: Rozvojem podle více řádků určete determinant matice
A
(  1 0     2     0 \
3 0-10
4 15 1 \ -3 -1    0    -2 /
Řešení: Vybereme si první a druhý řádek, protože tyto řádky obsahují nejvíce nul. V rozvoji pak musíme postupně procházet všechny dvojice sloupců. Vidíme, že všechny členy determinantu kromě druhého jsou nulové a výpočet se tedy velmi zjednoduší.
det(A) = (-l)1+2+1+2det( J  o)det(^  \ ) + (-1)^+» det ( \  \ )
det
(-i -12)+(-1)WWtó(J o)det(-i o)+M)
1+2+2+3
-(-l)-+«det[  \ Mdet(_43  ^ ) = (-l)M* ( J  _\ !2
1. Výpočet determinantu
7
(-1) (-1 - 6) (-2 + 1)
Úloha 3: Spočtěte determinant matice
	í	1	2	3    ..	n —	1	n	\
		-1	0	3    ..	n —	1	n	
A =		-1	-2	0    ..	n —	1	n	
		-1	-2	-3 ..	.   —n -	h 1	0	/
řádu n.
Řešení: Ke všem řádkům přičteme první řádek / 1
det
2 0
-1 -2 -1 -2
3 3 0
n n n
n \
n n
det
-3  ...   -Ti+1 0/
/ 1 2 3
0 2 2.3
0 0 3
0 0 0
n
1	n
1)	2n
1)	2n
n!
n
Úloha 4: Odvoďte rekurentní vztah pro výpočet determinantu matice
( x + y    xy       0     ...0     0 \ 1     x + y    xy    ...   0 0 0        1     x + y  ...   0 0
V
0        0 0..
řádu n.
Řešení: Uděláme Laplaceův rozvoj podle prvního sloupce
1  x + y J
det An = (x + y) det
(x + y    xy    ...   0     0 \ 1     x + y  ...   0 0
\    0 0
1  x + y J
8
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
+ (-l)2+1det
( xy O
1   x + y
O O
O O
V
o
o
1  x +
v J
První matice je vlastně shodná s původní maticí, pouze je o řád menší. U druhé matice provedeme Laplaceův rozvoj podle prvního řádku. Pak dostáváme
det An = (x + y) det Ai-i _ xy det Ai-2 ■
Úloha 5: Určete determinant matice řádu n (tzv. Vandermondův determinant).
/ 1
Vn{xi,x2, ...,xn)= det
X2
1 xr,
xt
x\-2
„n-2
X.
n-2
Řešení: Od každého sloupce, kromě prvního, odečteme X\ násobek předchozího sloupce. Budeme postupovat od posledního sloupce až ke druhému.
Vn{xi,x2, ...,xn)= det
/ 1      0 0
1    X2 — X\    xl — X\X2
y 1   Xn     X\    Xn     X\Xn    . . .
o
0
\
x,
n-2
XiX,
n—S r^n—l
xixl 2 )
Nyní uděláme Laplaceův rozvoj podle prvního řádku a jednotlivé prvky determinantu upravíme vytýkáním.
Vn{xi,x2, ...,xn)= det
( X2-X1    X2{x2~Xi)    ...    x" 3{X2-Xi)    X" 2(X2~X1) ^
X3-X1   x3(x3-xi)   ...   x^~s(x3-xi) xn~2{xz-xi)
y Xn     X\    Xn[xn     Xi)    . . .    Xn    {Xn     Xi)    Xn    {Xn     Xi) J
Vytknemeli z každého řádku, zůstane nám determinant, který je Vandermondův determinant řádu n — 1 s parametry x2, ■ ■ ■, xn.
Vn{xi,x2, ...,xn) = (x2- xi) {x3 -xi)... {xn - xi) det
/ 1    X2 .. 1    XZ    . .
\ 1   xn ..
n-3      n-2 \ 2 2 n-S n-2
~n-2 •
1. Výpočet determinantu 9 A tedy
Vn(x1,x2,.. -,xn) = (x2 - xi) (xs - Xi) ... (xn - Xi)Vn_i{x2,. . .,xn)
Tím jsme získali rekurentní formuli, která platí pro n > 1. Indukcí teď snadno nahlédneme výsledné řešení.
Vn(x1,x2, ...,xn) = (x2- xi) (xs - xi)... (xn - xi) (xs -x2)...{xn-x2)......(xn- Xn_i)
Vn(x!, X2, . . . , Xn) =     Yl (Xi~Xj) l<j<i<n
_Cvičení
1. Spočtěte počet inverzí v dané permutaci:
(a) (2,1,7,9,8,6,5,3,4)
(b) (9,8,7,6,5,4,3,2,1)
2. Určete paritu následujících permutací:
(a) (4,6,1,5,3,2)
(b) (6,3,1,2,4,5)
(c) (3,7,6,2,4,1,5)
(d) (4,1,3,7,2,5,6)
3. Určete x, y tak, aby pořadí
(a) (1,2,7,4, x, 5,6, y, 9) bylo sudé.
(b) (5, l,y, 8,9,4, x, 6, 3) bylo liché.
4. Zjistěte paritu následujících permutací.
(a) (n,n- 1,...,2,1)
(b) (1,3,5,..., 2n - 3,2n - 1, 2,4,..., 2n)
(c) (2,4,6,...,2(n-l),2n,l,3,...,2n-l)
(d) (2,5,8,..., 3n - 1,1,4,7,..., 3n - 2,3,6, 9,..., 3n)
(e) (2,1,4,3,. ..,2n,27i-l)
5. Rozhodněte, zda se daný součin vyskytuje v determinantu matice A řádu n.
(a) n = 6, a3i a43 au a52 a66 a25
10
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
(b) n = 8, a72 ai7 a43 a2i a64 035 «56
6. Určete všechny členy determinantu matice A řádu 4, které obsahují prvky 012, 034-
7. Spočtěte determinant matice podle definice.
A
-2 3 1 4
B
D
8. Spočtěte determinant úpravou na schodovitý tvar.
-1 4
C
-1
3
4
C
G
/ 3
/ 1
V -2
-2\
■2 1
-3-5 2 0 2 1-2-4
V -1    0 3 1 /
/  2 1-1    2 -1 \
-4 3 2    -1 1
3 5-21-2
2 2-13-1
B
V-l 2
D
1  3 y
-3	9	3	6 \
-5	8	2	7
4	-5	-3	-2
7	-8	-4	
/2	1	0 2	
1	0	2 1	2
1	2	1 0	2
0	2	2 1	1
\2	1	1 2	0/
/  1 -2   3     1 \
5-963
-1 2    -6 -2
V 2 8  6  1 y
/O    1   1   1 \
1    1   1 1
22 i   i 0
3    3 u
3 3
0 0/
2 3 4 \
2 -5 13
-2 10 4
9 -8 25 /
		(2 1	3	1\	
E1 -		1 0	1	1	
.T -		0 2	1	0	
		^0 1	2	3^	
/	1	3	1	5	3\
	-2 -7		0	-4	2
	0	0	1	0	1
	0	0	2	1	1
V	0	0	0	1	1/
	/	1 -	1	1	-2
J
1
3 -1 1  -1 4 3 0
3 3
8  -13 /
1. Výpočet determinantu
K
M
í	7	6	9	4 -	4\	
	1	0	-2	6 6		
	7	8	9	-1 -	6	L
	1	-1	-2	4 5		
	-7	0	-9	2 -		
í	1	5	3 5	-4\		
	3	1	2 9	8		
	-1	7	-3 8	-9		iV =
	3	4	2 4	7		
	1	8	3 3	5 y1		
	f 4	4	-1	0 -1	8	\	
	2	3	7	5 2	3		
	3	2	5	7 3	2		
	1	2	2	1 1	2		
	1	7	6	6 5	7		
	^2	1	1	2 2	1	J	
í	-5	-7	-2	2	-2	16 \	
	0	0	4	0	-5		0
	2	0	-2	0	2		0
	6	4	6	-1	15		-5
	5	-4	10	1	14		6
	3	0	-2	0	3		o /
O
Q
/ 4 3	3	5\
3 4	3	2
3 2	5	4
\ 2 4	2	3/
/ 3	2	4
4	-3	2
5	-2	-3
V "3	4	2
	4	-2	0     5 \
	3	2	-2 1
	-2	1	3 -1
V	2	3	-6  -3 /
5 \
-4 -7
9 y
R
f 6	3 8	-4\
5	6 4	2
0	3 4	2
V4	1 -4	6 y
9. Spočtěte determinant matice pouze užitím Laplaceovy věty a definice.
A
( 1 6 1 4 1
3 4  5 6 \
4 3 2 1 3 4 0 0 2 10 0 0 0  0 0
B
\ 2  1  0  0  0  0 / 10. Spočtěte determinant řádu n > 1.
	1	0	2	0	3	o\
	5	1	4	2	7	3
	1	0	4	0	9	0
	8	1	5	3	7	6
	9	1	5	4	3	8
v	1	0	7	0	9	0/
/ a x x
x a x x x a
XXX
x x \
x x
x x
x a
B
X	y	0 ..	. 0	0
0	x	y ■■	. 0	0
0	0	x   . .	. 0	0
0	0	0 ..	. x	y
y	0	0 ..	. 0	x
12
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
C
E
/ oo 1 1
1 oi 0
1 0 a2
1 0 0
V y oo
1 1 \
o o
o o
0 CLn J
D
a0	«1	a2   ..		an
-yi	Xi	0 ..	0	0
0	-2/2	x2   ■ ■	0	0
\
%n J
í
a0	-1	0	0 .	. 0	0
	X	-1	0 .	. 0	0
«2	0	X	-1 .	. 0	0
0 0
0
o
o o
11. Spočtěte determinant matice řádu n > 1 úpravou na schodovitý tvar
x -1 0   x J
	í	0	1	1  ..	. 1	1\		í	1	2	3 ..	a —	1	a\
			1	0 ..	. 0	0			-1	0	3 ..	a —	1	a
A =			0	1  ..	. 0	0	B =		-1	-2	0 ..	a —	1	a
		an	0	0 ..	. 0	1J			-1	-2	-3 ..	.   -a H	h 1	
C
/ 2 2 2 2 2 2 2  2 2
V3
2 2
2 3 \
3 2 2 2
2 2
/ 1-71 1 1
1
1 — n 1
1 1
1 — n
1  1 -n
	í	1	n	n .	..   n n ^			( X\		«12	«13		Ol(n-	-i)	
		n	2	n .	..   n n			X\		X2	«23		«2(n-	-i)	G2re
E =		n	n	3 .	..   n n	F		Xi		X2	£3		«2(n-	-i)	ft3n
	V	n	n	n .	..   n n j			\ Xi		X2	£3			1	y
	í		1		1	1	1	\				f 1	2 3		.   n —
			ai		ai	ai - 61	ai					2	3 4		.   n —
G =					■   a2 - 62	02	a2			H	=	3	4 5		n
			—	6„  ..	a„		an J					V n	n n		n
2  n — 1 n \
1     n n
n n
n n
1. Výpočet determinantu
13
/ 1 ai a2 1 ai + bi a2 1     ai     a2 + 62
V 1     «i a2      ...   an + bn J
12. Odvoďte rekurentní vztah pro výpočet determinantu matice.
(2	1	0						f 3	2	0 ..			o\				
1	2	0		. 0				1	3	2			0				
0	1	2		. 0		Bn	=	0	1	3			0				
v°	0	0		■ 2 J					0	0 ..			3 J				
í5	6	0	0	0 ..	. 0	o\					íl	2	0	0	0 ..	. 0	o\
4	5	2	0	0 ..	. 0	0					3	4	3	0	0 ..	. 0	0
0	1	3	2	0 ..	. 0	0					0	2	5	3	0 ..	. 0	0
0	0	1	3	2 ..	. 0	0	D,		1 —		0	0	2	5	3 ..	. 0	0
0	0	0	0	0 ..	. 3	2					0	0	0	0	0 ..	. 5	3
	0	0	0	0 ..	. 1	3)						0	0	0	0 ..	. 2	5/
E„
í 7 5 0 2 7 5 0  2 7
0  0 \ 0 0 0 0
/ x +1 x 0 1 x + 1 x 0        1     x + 1
G
2n
1°	0 0 .		2 7	)		\	0		0	0	
f x	0 ..	0	y\			( 1	1	0	0 ..	. 0	o\
0	x   . .	y	0			1	1	1	0 ..	. 0	0
					Hn —	0	1	1	1 ..	. 0	0
0	y ■■	x	0								
\y	0 ..	0	x)			\°	0	0	0 ..	. 1	
13. Řešte rovnici: (a) det
x - 1 2-x
(b) det
srna; cos a;
-3cos£ sin a;
0 0 0
0 0 0
1  x+1 J
2 sin2 - f
14. Spočtěte determinant (užijte postupu z úlohy 5).
14
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
A
C
/ 1  -1 1 -1 \
2    2 2 2
12 4 8
\ 1  -2 4 -8 /
B
(1	1	1	1	1	\
2	1	-2	3	-1	
4	1	4	9	1	
8	1	-8	27	-1	
V 16	1	16	81	1	/
1
Xi + 1
1
x2 + 1
\
v
X
x\
n-l
X\
x
n-2 „n-l
Jun
X2
Tn-2 x2
Xn + 1 ^.2   i „
X,
n-l
~ra-2 i
15. Laplaceovým rozvojem podle třetího sloupce spočtěte determinant matice
A
( x -1 0 0 \
0    z -1 0
0    0 z -1
\ a0 ai a2 a3 /
16. Vyjádřete polynom stupně n pomocí determinantu stupně n — 1. (Využijte výsledku předchozího příkladu.)