Úlohy o lineárních zobrazeních vektorových prostorů
Úloha 1. Nechť lineární zobrazení r] : R3 —>• R4 je dáno svou maticí
/ 2    1    3 \
V-2 -1 -3/
vzhledem k bázi
f1 = (2,3,3),f2 = (l,2,3),f3 = (l,l,2)
prostoru R3 a bázi
gi = (l,2,2,2),g2 = (0,l,2,2), g3 = (0,0,l,2),g4 = (0,0,0,l)
prostoru R4. Nechť lineární transformace ů : R4 —> R4 je dána svými hodnotami
0((1, 0,0,0)) = (0,-1,-1,-1), 0((0,1,0,0)) = (1,0,-1,-1), 0((O, 0,1,0)) = (1,1,0,-1), 0((O, 0,0,1)) = (1,1,1,0)
na vektorech kanonické báze prostoru R4. Přesvědčte se, že ů je izomorfismus prostoru R4 na R4, najděte matici složeného lineárního zobrazení
íT 1 o n : R3 -)> R4
vzhledem ke kanonickým bázím prostorů R3 a R4 a napište vztahy, podle nichž se pro libovolný vektor x = [x\, X2, £3) prostoru R3 vypočtou složky jeho obrazu y = (2/1,2/2, ž/3, ž/4) v R4 při uvedeném složeném zobrazení.
1
Řešení. Lineární transformace ů má vzhledem ke kanonické bázi prostoru R4 matici
1     1 1\ 0    1 1 -1 0
B
/ 0
-1 -1
V-i
-i -i
i
0/
Metodou elementárních řádkových úprav zjistíme, zda k této matici existuje matice inverzní:
/ 0 1 1 1 -10 11 -1-10 1
V-l -1 -1 0
1 0 0 0\
0 10 0
0 0 10
0 0 0 1/
/l o o o
0 10 0
0 0 10
\0 0 0 1
0 -1 1 -1\
1 0-11
-1 1 1 -1
0
1
-1
0/
B~
že lineární trans-
K matici B je tedy inverzní maticí matice
/ 0   -1 1 -1\ 10-11
-11 0-1
Vl   -1 1 OJ
Matice B je tedy regulární, což znamená, formace ů je izomorfismus. Maticí inverzního izomorfismu vzhledem ke kanonické bázi prostoru R4 je matice B~l.
Maticí přechodu od kanonické báze prostoru R3 k bázi fi, f2, f3 je matice
/2 1 ŕ S=   3 2 1 \3 3 2,
Maticí přechodu od báze fi, f2, f3 ke kanonické bázi prostoru R3 je tedy inverzní matice S~x. Metodou elementárních řádkových úprav
(l 0 0
0 1 o
yO  0 1
1
2
2
zjistíme, že
L   1 -r
S"1=Í(-3   1 1 1 x 3  -3 1
T =
Maticí přechodu od kanonické báze prostoru R4 k bázi gi,g2, g3,g4 je matice
/l 0 0 0\ 2 10 0 2 2 10 \2 2 2 1/
Maticí přechodu od báze gi, g2, g3, g4 ke kanonické bázi prostoru R4 je tedy inverzní matice T_1. Lineární zobrazení r\ má tudíž vzhledem ke kanonickým bažím prostorů R3 a R4 matici
■ A - S~x = T ■ A - S~x.
Vynásobením vyjde, že
T-A-S~l =
/ 4   -3   1 \ 1-12 -3   6 -1 \-4  11 -5/
Maticí složeného lineárního zobrazení ů 1 orj je pak součin matic
B~l - T ■ A - S~l.
Vychází tedy, že
B~l - T ■ A - S~l =
/O -4 2\
3 2-3
1 -9 6
\0 4 -2/
3
Znamená to, že pro libovolný vektor x = (xi, X2, £3) prostoru R3 a jeho obraz y = (yi, 7/2, ž/3, ž/4) v ^4 P" zobrazení      o 77 platí:
yi = -4x2 + 2x3, y2 = 3xi + 2x2 - 3x3, y3 = xi - 9x2 + 6x3, ž/4 =       4x2 - 2x3.
Úloha 2. Nechť lineární zobrazení £ : R3 —>• R4 je dáno svými hodnotami
£((1,-1,0)) = (0,-1,-1,0), £((0,1,-2)) = (2, 2, 2,1), £((0,0,2)) = (1,2,3,3)
a nechť lineární zobrazení \ : R4 —y R3 je dáno svými hodnotami
X((l, 0,0,0)) = (1,1,0), X((l, 1,0,0)) = (0,2,1), X((l, 1,1,0)) = (1,0,1), X((l, 1,1,1)) = (1,1,1).
Zjistěte, zda složené lineární zobrazení, tedy lineární transformace x 0 £ : R3 —>• R3 je izomorfismus prostoru R3 na R3, a je-li tomu tak, najděte matici inverzní lineární transformace (x°£)_1 vzhledem ke kanonické bázi prostoru R3.
Řešení. Vektory
f1 = (l,-l,0),f2 = (0,l,-2),f3=(0,0,2) tvoří bázi prostoru R3 a vektory
gl = (l,0,0,0),g2 = (l,l,0,0),
g3 = (l,l,l,0),g4 = (l,l,l,l)
4
A
tvoří bázi prostoru R4. Lineární zobrazení £ má vzhledem k bázi fi, f2, ís prostoru R3 a kanonické bázi prostoru R4 matici
/O   2 1\ -12 2 -12 3 VO   1 3/
Lineární zobrazení x má vzhledem k bázi gi, g2, g3, g4 prostoru R4 a kanonické bázi prostoru R3 matici
/l 0 1 r 5=1 2 0 1 \0 1 1 1,
Maticí přechodu od kanonické báze prostoru R3 k bázi fi, f2, Í3 je matice
/ 1    0 0' P=   -1   1 0 \0  -2 2y
Maticí přechodu od báze fi, f2, h ke kanonické bázi prostoru R3 je tedy inverzní matice P~l. Elementárními řádkovými úpravami
0
0
1
-2
zjistíme, že
Maticí přechodu od kanonické báze prostoru g3,g4 je matice
/l 1 1 1\
Q= 0111 w      0 0 11
\o 0 0 1/
k bázi gi,g2,
5
Maticí přechodu od báze gi,g2,g3,g4 ke kanonické bázi prostoru R4 je tedy inverzní matice Q~l. Elementárními řádkovými úpravami
/l	1	1	1	1	0	0	o\		(1	0	0	0	1	-1	0	o\
0	1	1	1	0	1	0	0		0	1	0	0	0	1	-1	0
0	0	1	1	0	0	1	0		0	0	1	0	0	0	1	-1
\o	0	0	1	0	0	0	v			0	0	1	0	0	0	1/
zjistíme, že
o\
o
-1
1/
/l -1 o 0   1 -1 0   0 1
\o o o
Maticí lineárního zobrazení £ vzhledem ke kanonickým bažím prostorů R3 aR4 je pak matice A • P 1 a maticí lineárního zobrazení x vzhledem ke kanonickým bažím prostorů R4 a R3 je matice B • Q-1. Maticí lineární transformace x ° £ vzhledem ke kanonické bázi prostoru R3 je tudíž součin matic B • Q~l • A • P~l. Vynásobením matic vyjde, že
B-Q-1 -A- P-1
Metodou elementárních řádkových úprav zjistíme, zda k této matici existuje matice inverzní:
K matici B ■ Q'1 ■ A ■ P"1 je tedy inverzní matici matice
1    0 -ť (B • Q'1 • A • P'1)'1 = (-2   1 2
5  -4 -4,
6
Matice B • Q-1 • A • P-1 je tedy regulární, což znamená, že lineární transformace x o £ je izomorŕismus. Maticí inverzního izo-morŕismu (x ° vzhledem ke kanonické bázi prostoru R3 je pak uvedená inverzní matice (B • Q-1 • A • P-1)
7