Matematika II — jaro 2005 — 2. test — sk. B — 2.5.2005
Jméno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hodnocení
UČO: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. (1 bod) Spočítejte součiny matic A · B a B · A, pokud existují, kde
A =
1 2 −1
−1 2 0
, B =


1 2
−1 0
2 1

 .
A · B =
−3 1
−3 −2
B · A =


−1 6 −1
−1 −2 1
1 6 −2


2. (1 bod) Nechť C = (cij) je matice typu n krát n daná vztahem
cij =
1 pro i ≤ j
0 pro i > j.
Spočítejte druhý řádek v součinu D = C · C, D = (dij). d2j = j − 1
3. (2 body) Určete determinant matice F.
F =




0 1 0 1
2 −1 0 1
1 2 1 1
2 1 1 0



 |F| = 2
4. (2 body) Určete matici inverzní k matici G.
G =


1 0 1
0 2 −1
1 1 2

 G−1
=
1
3


5 1 −2
−1 1 1
−2 −1 2


5. (2 body) Určete všechna řešení následující soustavy lineárních rovnic v tělese reálných
čísel. x1 + 2x2 + 2x3 = 1
2x1 + 5x2 + 3x3 = 0
2x1 + 3x2 + 5x3 = 4
{(5 − 4t, −2 + t, t) | t ∈ R}
6. (2 body) Určete všechna reálná čísla a, b taková, že následující soustava lineárních rovnic
v tělese reálných čísel má jedno, resp. nekonečně mnoho, resp. žádné řešení.
(Množinu řešení již není třeba vypisovat.)
x1 + 2x2 + 3x3 = 0 Řešení: jedno ⇐⇒ a = 5
2x1 + 3x2 + 4x3 = 1 nekonečně ⇐⇒ a = 5 ∧ b = 2
3x1 + 4x2 + ax3 = b žádné ⇐⇒ a = 5 ∧ b = 2
Matematika II — jaro 2005 — 2. test — sk. O — 2.5.2005
Jméno: . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . Hodnocení
UČO: . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
1. (1 bod) Spočítejte součiny matic A · B a B · A, pokud existují, kde
A =


2 1
0 −1
2 1

 , B =
1 2 −1
−1 3 0
.
A · B =


1 7 −2
1 −3 0
1 7 −2

 B · A =
0 −2
−2 −4
2. (1 bod) Nechť C = (cij) je matice typu n krát n daná vztahem
cij =
1 pro i ≤ j
−1 pro i > j.
Spočítejte první řádek v součinu D = C · C, D = (dij). d1j = 2j − n
3. (2 body) Určete determinant matice F.
F =




0 3 0 1
1 −1 0 1
1 2 1 1
2 1 1 0



 |F| = 6
4. (2 body) Určete matici inverzní k matici G.
G =


1 0 −1
0 2 −1
−1 1 2

 G−1
=
1
3


5 −1 2
1 1 1
2 −1 2


5. (2 body) Určete všechna řešení následující soustavy lineárních rovnic v tělese reálných
čísel. 3x1 + 5x2 + 2x3 = 2
x1 + x2 − 2x3 = 0
x1 + 2x2 + 2x3 = 1
{(−1 + 6t, 1 − 4t, t) | t ∈ R}
6. (2 body) Určete všechna reálná čísla a, b taková, že následující soustava lineárních rovnic
v tělese reálných čísel má jedno, resp. nekonečně mnoho, resp. žádné řešení.
(Množinu řešení již není třeba vypisovat.)
x1 + x2 + x3 = 1 Řešení: jedno ⇐⇒ a = 1
x1 + 3x2 + 2x3 = 0 nekonečně ⇐⇒ a = 1 ∧ b = 3
2x1 + ax3 = b žádné ⇐⇒ a = 1 ∧ b = 3
Matematika II — jaro 2005 — 2. test — sk. Z — 2.5.2005
Jméno: . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . Hodnocení
UČO: . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
1. (1 bod) Spočítejte součiny matic A · B a B · A, pokud existují, kde
A =
3 1 −1
−1 2 0
, B =


1 2
−1 0
−2 1

 .
A · B =
4 5
−3 −2
B · A =


1 5 −1
−3 −1 1
−7 0 2


2. (1 bod) Nechť C = (cij) je matice typu n krát n daná vztahem
cij =
2 pro i ≤ j
0 pro i > j.
Spočítejte druhý řádek v součinu D = C · C, D = (dij). d2j = 4(j − 1)
3. (2 body) Určete determinant matice F.
F =




0 1 0 1
2 −1 0 1
1 2 −1 1
2 2 1 0



 |F| = −12
4. (2 body) Určete matici inverzní k matici G.
G =


0 1 1
2 0 −1
1 1 2

 G−1
=
1
3


−1 1 1
5 1 −2
−2 −1 2


5. (2 body) Určete všechna řešení následující soustavy lineárních rovnic v tělese reálných
čísel. x1 + 2x2 + 2x3 = 1
2x1 + 5x2 + 3x3 = 1
2x1 + 3x2 + 5x3 = 3
{(3 − 4t, −1 + t, t) | t ∈ R}
6. (2 body) Určete všechna reálná čísla a, b taková, že následující soustava lineárních rovnic
v tělese reálných čísel má jedno, resp. nekonečně mnoho, resp. žádné řešení.
(Množinu řešení již není třeba vypisovat.)
x1 + x2 + x3 = 1 Řešení: jedno ⇐⇒ a = 4
x1 + 2x2 + 3x3 = 1 nekonečně ⇐⇒ a = 4 ∧ b = 2
2x1 + 3x2 + ax3 = b žádné ⇐⇒ a = 4 ∧ b = 2
Matematika II — jaro 2005 — 2. test — sk. Žl — 2.5.2005
Jméno: . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . Hodnocení
UČO: . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
1. (1 bod) Spočítejte součiny matic A · B a B · A, pokud existují, kde
A =


−1 2
−1 0
3 −1

 , B =
1 2 1
−1 2 0
.
A · B =


−3 2 −1
−1 −2 −1
4 4 3

 B · A =
0 1
−1 −2
2. (1 bod) Nechť C = (cij) je matice typu n krát n daná vztahem
cij =
2 pro i ≤ j
−2 pro i > j.
Spočítejte první řádek v součinu D = C · C, D = (dij). d1j = 4(2j − n)
3. (2 body) Určete determinant matice F.
F =




0 −1 0 1
2 −1 0 −1
−1 2 1 1
2 1 1 0



 |F| = 2
4. (2 body) Určete matici inverzní k matici G.
G =


1 0 −1
0 2 1
−1 −1 2

 G−1
=
1
3


5 1 2
−1 1 −1
2 1 2


5. (2 body) Určete všechna řešení následující soustavy lineárních rovnic v tělese reálných
čísel. 3x1 + 5x2 + 2x3 = 3
x1 + x2 − 2x3 = 3
x1 + 2x2 + 2x3 = 0
{(6 + 6t, −3 − 4t, t) | t ∈ R}
6. (2 body) Určete všechna reálná čísla a, b taková, že následující soustava lineárních rovnic
v tělese reálných čísel má jedno, resp. nekonečně mnoho, resp. žádné řešení.
(Množinu řešení již není třeba vypisovat.)
x1 + x2 − x3 = 1 Řešení: jedno ⇐⇒ a = −5
x1 + 3x2 + 2x3 = 1 nekonečně ⇐⇒ a = −5 ∧ b = 2
2x1 + ax3 = b žádné ⇐⇒ a = −5 ∧ b = 2