Matematika II — jaro 2005 — 2. termín A 2.6.2005 (10 bodů) Definujte pojem kořen polynomu a jeho násobnost. Zformulujte větu o počtu a násobnosti kořenů polynomu nad tělesem. Dejte příklad polynomu nad Q, který nemá žádný kořen. Charakterizujte polynomy nad C, které nemají žádný kořen. (lOkrát ±1 bod (správně 1 bod, chybně —1, bez odpovědi 0)) Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!): (a) ano — ne okruhů. Zobrazení / : C —► E dané předpisem f(a + bi) = a2 — b2 je homomorfismus (b) ano (c) ano (d) ano (e) ano (f) ano nad ne Okruh polynomů nad tělesem C je okruh s jednoznačným rozkladem. ne Součet dvou lineárních polynomů nad tělesem E je lineární polynom. ne Jednotková matice je ve schodovitém tvaru. ne Determinant čtvercové matice nad komplexními čísly je reálné číslo. ne Množina {(x,y,x + y) E E3 | x,y E E} je podprostor vektorového prostoru E3 (g) ano — ne Dimenze konečněrozměrného vektorového prostoru je maximální počet lineárně nezávislých vektorů. (h) ano — ne Dimenze vektorového prostoru matic typu 2x2 nad E je 2. (i) ano — ne Součet dvou řešení nehomogenní soustavy je opět řešení této soustavy. (j) ano — ne Zobrazení / : E3 —► E3 dané předpisem f(x,y,z) = (y,z,x) je izomorfismus vektorových prostorů nad E. 3. (10 bodů) Určete všechny kořeny polynomu / = 2x5 + 3x4 — 5x3 + 5x2 + 8x + 2 E C[x], víte-li, že má kořen 1 + i a alespoň jeden racionální kořen. Rozložte polynom / na ireducibilní faktory postupně nadQ,E,C. 4. (10 bodů) Rozložte racionální lomenou funkci x3 (x - l)(x - 2)(x - 3) na součet parciálních zlomků nad E. 5. (10 bodů) Jsou dány matice typu n x n: A /I 1 1 0 1 1 0 0 1 V 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1\ 1 1 / 1 0 0 B I 0 1 1 1 0 0 \ 0 0 0 0 1 0 1 1 Určete matici X typu n x n takovou, aby A ■ X = B. 6. (10 bodů) V Z5 řešte soustavu lineárních rovnic 2x + Ay + z + u = = A Ax + y + 3z + Au = = A x + Ay + 2z + Au = = 3 Kolik má daná soustava řešení? 7. (10 bodů) Ve vektorovém prostoru E4 nad tělesem E doplňte vektor u do báze « = ((2,1,0,-1),(0,3,1,0),(1,-1,0,1),u) tak, aby vektor v = (1, 0,1, —3) G E4 měl v bázi a souřadnice (1, —1,-1, l)a. Ověřte, že a je báze vektorového prostoru E4. 8. (10 bodů) Nalezněte matici lineárního zobrazení

(/) = (x-2)-f v bazích a = (x + 1, 2x), ß = (x + 2,x2 — x,x2 + 3). (Připomeňme, že Ri[a;] a R2[a;] jsou vektorové prostory všecň polynomů nad R stupně nejvýše 1, resp. 2.) Matematika II — jaro 2005 — 2. termín B 2.6.2005 1. (10 bodů) Definujte pojemy okruh, obor integrity a těleso. Dejte příklad okruhu, který není těleso. Charakterizujte n G N taková, že Zn je těleso. 2. (lOkrát ±1 bod (správně 1 bod, chybně —1, bez odpovědi 0)) Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!): (a) ano — ne Zobrazení / : C —► C dané předpisem f(a + bi) = a — bi]e homomorfismus okruhů. (b) ano — ne Okruh polynomů nad tělesem Q je okruh s jednoznačným rozkladem. (c) ano — ne Součin dvou lineárních polynomů nad tělesem E je kvadratický polynom. (d) ano — ne Jednotková matice je symetrická. (e) ano — ne Determinant čtvercové matice nad Q je racionální číslo. (f) ano — ne Množina {(x, y, z) G E3 | 4z = x — y, x, y G E} je podprostor vektorového prostoru E3 nad E. (g) ano — ne Dimenze konečněrozměrného vektorového prostoru je počet vektorů v bázi. (h) ano — ne Dimenze vektorového prostoru matic typu 2x3 nad E je 5. (i) ano — ne Rozdíl dvou řešení nehomogenní soustavy je opět řešení této soustavy. (j) ano — ne Zobrazení / : E2 —► E2 dané předpisem f(x,y) = (x — y, y — x) je izomorfismus vektorových prostorů nad E. 3. (10 bodů) Určete všechny kořeny polynomu / = 2x5 — 9x4 + 13x3 — 7x2 — 4x + 2 G C[x], víte-li, že má kořen 1 + i a alespoň jeden racionální kořen. Rozložte polynom / na ireducibilní faktory postupně nad Q, E, C 4. (10 bodů) Rozložte racionální lomenou funkci (x- l)(x-2)(x + l) na součet parciálních zlomků nad E. 5. (10 bodů) Jsou dány matice typu n x n: A /I 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1\ 1 1 1 1 V 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 B I ( 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 \ 0 0 0 0 1 0 1 1 Určete matici X typu n x n takovou, aby B ■ X = A. 6. (10 bodů) V Z5 řešte soustavu lineárních rovnic 3x + 2y + z + 2u Ax + 3y + z + 2u x + 2y + 4z + Au 1 0 4 Kolik má daná soustava řešení? 7. (10 bodů) Ve vektorovém prostoru E4 nad tělesem E doplňte vektor u do báze « = ((1,0,2,0), (-1,2,0,1), (0,1,1,-1),u) tak, aby vektor v = (1, 3,1, 2) G E4 měl v bázi a souřadnice (2, 3,1, 2)a. Ověřte, že a je báze vektorového prostoru E4. 8. (10 bodů) Nalezněte matici lineárního zobrazení

(/) = (2* + 1) • / v bazích a = (x — 2,1), ß = (—x2 + 1, 3x — 1, —x2 + 2x). (Připomeňme, že Ri[a;] a R2[a;] jsou vektorové prostory všech polynomů nad R stupně nejvýše 1, resp. 2.)