Matematika II — jaro 2005 — 2. termín 2.6.2005 1. (10 bodů) Definujte pojem kořen polynomu a jeho násobnost. Zformulujte větu o počtu a násobnosti kořenů polynomu nad tělesem. Dejte příklad polynomu nad Q, který nemá žádný kořen. Charakterizujte polynomy nad C, které nemají žádný kořen. 2. (lOkrát ±1 bod (správně 1 bod, chybně — 1, bez odpovědi 0)) Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!): (a) ano — ne Zobrazení / : C —> IR dané předpisem f (a + bi) = a2 — b2 je homomorfismus okruhů. (b) ano — ne Okruh polynomů nad tělesem C je okruh s jednoznačným rozkladem. (c) ano — ne Součet dvou lineárních polynomů nad tělesem IR je lineární polynom. (d) ano — ne Jednotková matice je ve schodovitém tvaru. (e) ano — ne Determinant čtvercové matice nad komplexními čísly je reálné číslo. (f) ano nad ] ne Množina {(x,y,x + y) E IR3 | x, y E IR} je podprostor vektorového prostoru (g) ano — ne Dimenze konečněrozměrného vektorového prostoru je maximální počet lineárně nezávislých vektorů. (h) ano — ne Dimenze vektorového prostoru matic typu 2x2 nad IR je 2. (i) ano — ne Součet dvou řešení nehomogenní soustavy je opět řešení této soustavy. (j) ano — ne Zobrazení / : IR3 —> IR3 dané předpisem f(x,y,z) = (y,z,x) je izomorfismus vektorových prostorů nad IR. 3. (10 bodů) Určete všechny kořeny polynomu / = 2x5 + 3x4 — 5x3 + 5x2 + 8x + 2 E C [x], víte-li, že má kořen 1 + í a alespoň jeden racionální kořen. Rozložte polynom / na ireducibilní faktory postupně nad Q,1R, C. 4. (10 bodů) Rozložte racionální lomenou funkci (x-l)(x-2)(x-3) na součet parciálních zlomků nad IR. 5. (10 bodů) Jsou dány matice typu n X n: / 1 1 1 ... 1 1\ ( 1 0 0 .. . 0 o\ 0 1 1 ... 11 1 1 0 .. . 0 0 A = 0 0 1 ... 11 a B = 1 1 1 .. . 0 0 0 0 0 ... 11 1 1 1 .. . 1 0 0 0 ... 0 l) 1 1 .. . 1 Určete matici X typu n x n takovou, aby A ■ X = B. 6. (10 bodů) V Z5 řešte soustavu lineárních rovnic 2x 4x x 4y y 4y z + 3z + 2z + u = 4 4-u = 4 4u = 3 Kolik má daná soustava řešení? 7. (10 bodů) Ve vektorovém prostoru IR4 nad tělesem IR doplňte vektor u do báze a = ((2,1, 0, -1), (0, 3,1, 0), (1, -1, 0,1), u) tak, aby vektor v = (1, 0,1, —3) G IR4 měl v bázi a souřadnice (1, —1, — 1,1)Q. Ověřte, že a je báze vektorového prostoru IR4. 8. (10 bodů) Nalezněte matici lineárního zobrazení ip : M.i[x] —> M,2[x] daného předpisem C dané předpisem f(a + bi) = a — bí je homomorfismus okruhů. (b) ano — ne Okruh polynomů nad tělesem Q je okruh s jednoznačným rozkladem. (c) ano — ne Součin dvou lineárních polynomů nad tělesem IR je kvadratický polynom. (d) ano — ne Jednotková matice je symetrická. (e) ano — ne Determinant čtvercové matice nad Q je racionální číslo. (f) ano — ne Množina {(x, y, z) G IR3 | 4z = x — y, x, y G IR} je podprostor vektorového prostoru IR3 nad IR. (g) ano — ne Dimenze konečněrozměrného vektorového prostoru je počet vektorů v bázi. (h) ano — ne Dimenze vektorového prostoru matic typu 2x3 nad IR je 5. (i) ano — ne Rozdíl dvou řešení nehomogenní soustavy je opět řešení této soustavy. (j) ano — ne Zobrazení / : IR2 —> IR2 dané předpisem f(x, y) = [x — y,y — x) je izomorfismus vektorových prostorů nad IR. 3. (10 bodů) Určete všechny kořeny polynomu / = 2x5 — 9x4 + 13x3 — 7x2 — 4x + 2 G C [x], víte-li, že má kořen 1 + í a alespoň jeden racionální kořen. Rozložte polynom / na ireducibilní faktory postupně nad Q, IR, C. 4. (10 bodů) Rozložte racionální lomenou funkci (x - l)(x - 2)(x + 1) na součet parciálních zlomků nad IR. 5. (10 bodů) Jsou dány matice typu n x n: / 1 1 1 ... 1 1\ ( 1 0 0 .. . 0 o\ 0 1 1 ... 11 1 1 0 .. . 0 0 0 0 1 ... 11 1 1 1 .. . 0 0 A = a B = 0 0 0 ... 11 1 1 1 .. . 1 0 0 0 ... 0 l) 1 1 .. . 1 Určete matici X typu n x n takovou, aby B ■ X = A. 6. (10 bodů) V Z5 řešte soustavu lineárních rovnic 3x + 2y + z + 2ií = 1 4x + 3y + z + 2ií = 0 x + 2y + 4z + 4-u = 4 Kolik má daná soustava řešení? 7. (10 bodů) Ve vektorovém prostoru IR4 nad tělesem IR doplňte vektor u do báze a = ((1, 0, 2, 0), (-1, 2, 0,1), (0,1,1, -1), u) tak, aby vektor v = (1, 3,1, 2) G IR4 měl v bázi a souřadnice (2, 3,1, 2)Q. Ověřte, že a je báze vektorového prostoru IR4. 8. (10 bodů) Nalezněte matici lineárního zobrazení ip : M.i[x] -