Matematika II — jaro 2005 — 3. termín — 9.6.2005
1. (10 bodů) Definujte pojem matice (typu m × n). Definujte sčítání a násobení matic. Dejte příklad
dvou nenulových matic jejichž součin je nulová matice. Definujte pojem hodnost matice. Pro matici
typu n × n uveďte podmínku, která využívá pojem determinant matice, a která je ekvivalentní s
faktem, že daná matice má hodnost n.
2. (10krát ±1 bod (správně 1 bod, chybně −1, bez odpovědi 0)) Odpovězte (škrtnutím nehodícího se
ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a) ano — ne (P(N), ∩, ∪) je okruh. (Zde P(N) je množina všech podmnožin množiny N.)
(b) ano — ne Jestliže polynom nad tělesem T nemá kořen, pak je ireducibilní nad T.
(c) ano — ne Násobnost kořene polynomu nad tělesem je menší nebo rovna stupni tohoto
polynomu.
(d) ano — ne Každá homogenní soustava lineárních rovnic má řešení.
(e) ano — ne Determinant jednotkové matice typu n × n je n.
(f) ano — ne Prázdná množina je podprostor libovolného vektorového prostoru.
(g) ano — ne Podmnožina lineárně nezávislé množiny vektorů je lineárně nezávislá.
(h) ano — ne Dimenze vektorového prostoru polynomů stupně menšího než 4 je 3.
(i) ano — ne Množina všech řešení nehomogenní soustavy tvoří vektorový prostor.
(j) ano — ne Zobrazení f : R → R dané předpisem f(x) = sin x je lineární zobrazení vektorových
prostorů nad R.
3. (10 bodů) Nalezněte všechna a, b ∈ R taková, že polynom f = x4
− x3
+ 2x2
+ ax + b ∈ C[x] má
kořen 1+2i. Pro tyto dvojice a, b rozložte polynom f na ireducibilní faktory postupně nad Q, R, C.
4. (10 bodů) Rozložte racionální lomenou funkci
x5
x3 − 1
na součet parciálních zlomků nad R.
5. (10 bodů) Určete všechna a ∈ R taková, že k matici
A =


1 a a
1 1 a
1 1 1


existuje matice inverzní. Tuto inverzní matici určete.
6. (10 bodů) V R řešte soustavu lineárních rovnic
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 5
x2 + 2x3 + 3x4 = 4
x3 + 2x4 = 3
ax1 + x4 = b
v závislosti na parametrech a, b ∈ R.
7. (10 bodů) Ve vektorovém prostoru R4
nad tělesem R je dána množina vektorů
{(0, 3, 2, 1), (2, −1, 0, 3), (1, 1, 1, 2), (1, 0, 3, 3)}.
Vyberte z této množiny maximální lineárně nazávislou podmnožinu vektorů. Doplňte tuto podmnožinu
na bázi R4
pomocí vektorů z množiny
{(0, 1, −2, −1), (1, 0, −1, 1), (1, 2, 3, 1), (1, 0, 1, 2)}.
8. (10 bodů) Buď dáno lineární zobrazení ϕ : R3[x] → R3[x] předpisem
ϕ(a3x3
+a2x2
+a1x+a0) = (2a1 −a3)x3
+(−a0 +2a1 +a2 −a3)x2
+(a0 +2a1 −a2 +a3)x+(a0 −a2).
Určete bázi a dimenzi jádra Ker(ϕ) zobrazení ϕ.
Určete bázi a dimenzi obrazu Im(ϕ) zobrazení ϕ.
Rozhodněte, zda je zobrazení ϕ injektivní.
Rozhodněte, zda je zobrazení ϕ surjektivní.
Rozhodněte, zda je zobrazení ϕ izomorfismus vektorových prostorů.