Vlastnosti polynomů
Buď (R, +, ■) komutativní okruh. Pak +, ■) je také komu-
tativní okruh. Řekneme, že polynom / G R[x] dělí polynom g G R[x], jestliže existuje polynom w G R[x] takový, že g = f-w. Pak rovněž říkáme, že polynom / je dělitel polynomu g, a píšeme / | g. Následuje věta o dělení polynomů se zbytkem.
Věta. Nechť (R, +, ■) je komutativní okruh, nechť /, g G R[x] jsou dva polynomy splňující g ^ 0 a nechť vedoucí koeficient polynomu g je jednotka okruhu (R, +, ■). Pak existují polynomy g, r G R[x] takové, že platí
f = g-q + r,  st(r) < st(flf).
Přitom tyto polynomy g, r jsou určeny jednoznačně.
Poznámka. Polynom q se potom nazývá podíl a polynom r zbytek po dělení polynomu / polynomem g.
Důkaz. Dokážeme nejprve existenci potřebných polynomů g, r. Je-li st(/) < st(g), pak můžeme vzít q = 0 a r = /. Předpokládejme tedy dále, že st(/) > st(g). Položme n = st(/) a k = st (g). Pak tedy máme n > k > 0. Budeme postupovat indukcí vzhledem k n. Je-li n = 0, pak k = 0, čili g je nenulový konstantní polynom, který viděn jako prvek okruhu (R, +, ■) je podle předpokladu v tomto okruhu jednotkou. Existuje zde tedy k němu prvek inverzní který chápán zase jako konstantní polynom v R[x] je inverzním prvkem ke g v okruhu +, ■).
Pak můžeme položit q = g~l-f a r = 0. Nechť tedy dále n > 1. Podle indukčního předpokladu pak požadované polynomy z tvrzení věty existují, bereme-li místo / libovolné polynomy stupně menšího než n. Nechť /n, resp. g^ jsou vedoucí koeficienty polynomů /, resp g. Pak g^ je podle předpokladu jednotka okruhu (.R, +, ■), takže existuje k ní inverzní prvek g^1. Uvažme polynom
1
P = (/nS'fc 1)xn~k-g. Tento polynom p je stupně n a má vedoucí koeficient roven fn. Vezměme nyní polynom h = f — p. Pak polynom h je stupně menšího než n. Podle zmíněného indukčního předpokladu tedy existují polynomy g, r G R[x] takové, ze h = g-q + r a st(r) < st(g). Cili / — p = g-g + r, odkud plyne / = p + g-g + r. Podle definice polynomu p odtud plyne / = g-(fng^1xn~k + g) + r, což dokazuje existenci polynomů požadovaných v tvrzení věty také pro polynom /.
Dokážeme dále jednoznačnost polynomů g, r požadovaných v tvrzení věty. Nechť tedy g, g', r, r' G iž[aj] jsou takové polynomy, že platí / = g-q + r a také / = g-q' + r', přičemž st(r) < st(g) a také st(r') < st(g). To znamená, že pak máme g-q + r = g-q' + r', takže dostáváme g-(q — q') = r' — r. Jestliže g ^ g', takže g — q' ^ 0, položme £ = st(g — g'), a kromě toho opět také k = st(g). Nechť gk, resp. g^ jsou vedoucí koeficienty polynomů g, resp. q —q'. Poněvadž g^ ^ 0 a je podle předpokladu jednotka okruhu (R, +, ■), plyne odtud, že také g^ q^ ^ 0. To ale znamená, že g-(q — q') je polynom stupně k + í s vedoucím koeficientem gkqi- Na druhé straně ovšem st(r' — r) < max{st(r), st(r')} < st(g), čili st(r' — r) < fc. Ovšem k < k + neboť £ > 0, což znamená, že st(r' — r) < st(g-(g — g')). To je ale ve sporu s tím, že g-(q — q') = r' — r. Nutně tedy musí být g = g', takže q —q' = 0, odkud plyne, že také r' — r = 0, čili r = r'.
Buď (.R, +, ■) komutativní okruh. Polynom h G R[x] se nazývá společný dělitel polynomů /, g G iž[aj], jestliže /i | / a také /i | g. Polynom s G R[x] se nazývá největší společný dělitel polynomů f,g G jestliže s | / a s \ g a navíc je splněna podmínka, že pro každý polynom w G R[x] takový, že w \ f a w | g, platí, že w \ s. Odnikud ale neplyne, že největší společný dělitel daných dvou polynomů f,g G R[x] musí vždy existovat, ani že je snad určen jednoznačně. Uvedeme, za jakých předpokladů se lze k těmto požadavkům přiblížit.
2
Tvrzení. Buď (R, + , ■) obor integrity. Nechť /, g G R[x] jsou libovolné dva polynomy takové, že existuje jejich největší společný dělitel s G R[x]. Pak největší společní dělitelé polynomů /, g jsou právě všechny polynomy tvaru a-s, kde a G R[x] je konstantní polynom odpovídající jednotce okruhu (R, +, ■).
Poznámka. To znamená, že je-li (R, +, ■) obor integrity, pak největší společný dělitel dvou polynomů z R[x], pokud existuje, je určen jednoznačně až na násobek jednotkou z okruhu (R, +, ■).
Důkaz. Nechť t G R[x] je libovolný největší společný dělitel polynomů /, g. Pak z definice plyne, že s \ t i t\s. Existují tedy polynomy a, b E R[x] takové, že t = a-s a s = b-t. To znamená, že například t = a-b-t. Odtud podle poznatků o stupních polynomů z minulé kapitoly plyne, že st(í) = st(a-b-t) = st(a-6) + st(í). Je-li st(ť) = —oo, tedy je-li t nulový polynom, pak také s je nulový polynom, takže máme kupříkladu t = 1-s. Je-li st(í) > 0, pak z předchozí rovnosti se stupni polynomů plyne, že st(a-b) = 0, takže st(a) + st(b) = 0, a tedy st(a) = st(b) = 0. Jsou tedy a, b konstantní polynomy, a poněvadž 14 = t = a-b-t a také (iž[aj],+, ■) je obor integrity, plyne odtud krácením, že 1 = a-b, takže a, b jsou jednotky okruhu (R, +, ■).
Naopak je-li t = a-s, kde a je jednotka okruhu (R, +, ■), pak s | í, a dále máme s = a-1-í, takže rovněž t \ s. To má za následek, že z toho, že s | / a s | g, plyne také, že t \ f a t\g. Je-li dále w G polynom takový, ze w \ f a u> | g, pak u> | s, a poněvadž s | í, plyne odtud, že u> 11. Je tedy í rovněž největší společný dělitel polynomů /, g.
Věta. Buď (.R, +, ■) těleso. Pak pro libovolné dva polynomy /, g G R[x] existuje jejich největší společný dělitel v R[x].
Důkaz. Jsou-li oba polynomy /, g nulové, je jejich největším společným dělitelem nulový polynom. Je-li právě jeden z polynomů /, g nulový, pak jejich největším společným dělitelem
3
je druhý z těchto polynomů, tedy ten polynom, který je nenulový. Předpokládejme tedy dále, že oba polynomy /, g jsou nenulové. Pak mají tyto polynomy nenulové vedoucí koeficienty, a ty jsou přitom jednotkami v (R, +, ■), neboť jde o těleso. Pak se k nalezení největšího společného dělitele polynomů /, g použije podobně jako v kapitole o celých číslech následující Euklidův algoritmus. Provádí se postupně dělení se zbytkem, tentokrát podle první věty této kapitoly. To znamená, že se hledají polynomy ť/o, <7i, • • •, qn, Qn+i £ R[x] a nenulové polynomy ro, n,..., rn G R[x] takové, že platí:
f = 9-qo + r0, st(ro) < st(flf),
9 = rQ-qi + n, st(ri) < st(r0),
ro = rrq2 + r2, st(r2) < st(ri),
n = r2-g3 + r3, st(r3) < st(r2),
rn-2 = rn-rqn + rn,   st(rn) < st(r„_i),
rn-l = rnmqn+l-
Poslední dělení je tedy vlastně tvaru rn_i = rn-qn+\ + rn+i, kde ale rn+i je nulový polynom. Poněvadž st(g) > st(ro) > st(ri) > st(r2) > ..., musí tato posloupnost dělení opravdu skončit uvedeným způsobem, což znamená, že buďto již ro je nulový polynom pokud g | /, anebo skutečně existuje n G N U {0} takové, že rn+i je nulový polynom. V situaci, kdy ro je nulový polynom, položme n = — 1 a označme ještě r_i = g. Pak stejnou argumentací jako v kapitole o celých číslech dospějeme ke zjištění, že je to polynom rn, který je největším společným dělitelem polynomů f,g.
Buď (R, + , ■) komutativní okruh. Je-li / G R[x] nenulový polynom, jehož vedoucí koeficient je jednotkovým prvkem okruhu (R, +, ■), čili je roven 1, říkáme, že / je normovaný polynom.
4
Z předchozí věty a z tvrzení jemu předcházejícího plyne následující fakt.
Důsledek. Buď (R, +, ■) těleso. Pak pro libovolné dva polynomy f,g G R[x], z nichž alespoň jeden je nenulový, existuje normovaný polynom v R[x], který je jejich nej větším společným dělitelem, a tento polynom je jediný.
V situaci z právě uvedeného důsledku značíme normovaný nej větší společný dělitel polynomů /, g symbolem (/, g). Navíc pro nulový polynom 0 klademe (0, 0) = 0.
Z předchozí věty o existenci největšího společného dělitele pro libovolné dva polynomy nad daným tělesem a z jejího důkazu prostřednictvím Euklidova algoritmu plyne podobně jako v kapitole o celých číslech následující Bezoutova rovnost:
Věta. Buď (R, +, ■) těleso. Pak pro libovolné dva polynomy f,g G R[x] existují takové dva polynomy u,v G R[x], že platí rovnost (/, g) = f-u + g-v.
Poznámka. Jsou-li oba polynomy /, g nekonstantní, pak lze zvolit polynomy u,v tak, že st(u) < st(g) a st (v) < st(/).
Důkaz. Tvrzení věty samo se odvodí z Euklidova algoritmu obdobnou argumentací jako v kapitole o celých číslech. Podrobnou analýzou stupňů polynomů vystupujících v těchto argumentech je možné obdržet také tvrzení uvedené v poznámce.
Buď (R, +, ■) těleso. Pak polynomy f,g G R[x] se nazývají nesoudělné, jestliže (/, g) = 1.
Důsledek. Buď (R, +, ■) těleso. Jestliže pro nějaké polynomy f,g,h G R[x] platí f\g-h a současně (/, g) = 1, pak odtud plyne, že f\h.
Důkaz. Postupujeme analogicky jako v kapitole o celých číslech. Jestliže tedy (/, g) = 1, pak podle předchozí věty existují
5
polynomy u, v E R[x] takové, že 1 = f-u + g-v. Vynásobením polynomem h odtud dostáváme h = f-h-u + g-h-v. Jestliže nyní / | g-h, plyne odtud, že f \h.
Nechť (R, +, ■) je komutativní okruh. Říkáme, že polynom / G R[x] je ireducibilní nad R, jestliže / není konstantní polynom a jestliže neexistují polynomy g,h G R[x], oba nikoliv konstantní polynomy, pro něž by platilo / = g-h.
Poznamenejme, že je-li (R, +, ■) těleso a jsou-li /, g G R[x] dva normované polynomy, které jsou ireducibilní nad R, pak buďto / = g, anebo (/, g) = 1.
Věta. Buď (R, +, ■) těleso. Pak pro každý nenulový polynom / G R[x] existují číslo k G NU{0}, konstantní polynom a G R[x] a normované polynomy pi,p2, ■ ■ ■ ,Pk G R[x] ireducibilní nad R takové, že platí
/ = a-prp2- • • • -Pk-Tento rozklad polynomu / je přitom jediný až na pořadí činitelů
Pl,P2, • • • ,Pk-
Poznámka. Tuto skutečnost označujeme slovy, že v případě, když (R, +, ■) je těleso, okruh +, ■) je okruhem s jedno-
značným rozkladem.
Důkaz. Existenci uvedeného rozkladu lze dokázat indukcí vzhledem ke stupni polynomu / podobně, jak byla dokázána-existence rozkladů přirozených čísel na součin prvočísel.
Jednoznačnost zmíněného rozkladu lze dokázat s využitím předchozího důsledku argumenty podobnými těm, jimiž byla dokázána jednoznačnost rozkladů přirozených čísel na součin prvočísel.
6