Determinanty Nechť A = (a,j) je čtvercová matice řádu n nad komutativním okruhem (R, +, ■). Pak determinant matice A je prvek z R označovaný symbolem \A\ a definovaný předpisem 1^1 = " aMl)'a2 3. Počty členů v těchto pravidlech však velmi rychle rostou — pro dané n je těchto členů celkem n\. Tvrzení. Pro libovolnou čtvercovou matici A = (a^) řádu n nad komutativním okruhem (R, +, ■) platí \AT\ = \A\, tedy transponováním matice A se hodnota determinantu této matice nemění. Důkaz. Ukážeme, že ve vyjádření obou determinantů podle definice se objevují tytéž členy. Buďcr G Sn libovolná permutace. Jí odpovídá člen p(cr) • dia(i)-ci2a(2)' ■ ■ ■ 'ana{n) determinantu \A\. Vezměme nyní inverzní permutaci a~l a uvažme k ní součin p{a~l) • aa-i{X) 1 -0,0-1(2)2- • • • •a(J-i(n)n. Podle definice transponované matice AT je ovšem tento součin členem determinantu \ÁT \. Z kapitoly o permutacích ale víme, že p(a~l) = p(cr). Vzhledem ke komutativitě násobení v okruhu (R, +, ■) odtud plyne, že oba uvedené součiny jsou stejné. Jsou tedy oba zmíněné determinanty součty stejných členů, takže jsou si rovny. Tvrzení. Pozůstává-li některý řádek dané čtvercové matice A = (a,j) řádu n z nulových prvků okruhu (R, +, ■), pak \A\ = 0. Důkaz. Potom totiž každý člen p(cr) • dia{i)'a2a{2)' ■ ■ ■ 'ana{n) determinantu \A\ obsahuje nulový činitel, totiž prvek a^), kde i je index dotyčného nulového řádku matice A. Poznámka. Analogické tvrzení platí rovněž pro sloupce matice A. Plyne to bezprostředně z předchozího tvrzení o determinantech transponovaných matic. Podobně tomu bude i v dalších tvrzeních tohoto typu. Tvrzení. Jsou-li některé dva řádky dané čtvercové matice A = (a,j) řádu n stejné, pak \A\ = 0. Důkaz. Nechť řádky matice A s indexy k, í, kde k ^ í, jsou stejné, takže akj = aij pro všechna j = 1, 2,..., n. Uvažme libovolnou permutaci a G Sn a k ní permutaci r = a o [k £). Pak r(k) = a (i) a t (i) =a(k), takže afcr(fc) = a£a^ a aÍT^ = aknn Ofci + c-au ak2 + c-afô «nl ai2 «n2 a nn Označme jako D matici, která vznikne z matice A tak, že místo fc-tého řádku matice A se zde zopakuje její í-tý řádek. Pak matice D má dva stejné řádky, a tudíž \D\ = 0. Podle předchozích dvou tvrzení ovšem máme \B\ = |A|+c-|D|, takže vychází \B\ = \A\. Buď A = (ajj) čtvercová matice řádu n nad komutativním okruhem (R, +,■). Řekneme, že A je horní trojúhelníková matice, jestliže = 0 pro všechna i, j G {1, 2,..., n} splňující i > j, tedy jestliže všechny prvky matice A ležící pod hlavní diagonálou jsou rovny nulovému prvku okruhu (R, +, ■). Podobně řekneme, že A je dolní trojúhelníková matice, jestliže = 0 pro všechna i, j G {1, 2,..., n} splňující i < j. Tehdy jsou nulové všechny prvky matice A ležící nad hlavní diagonálou. Tvrzení. Buď dána čtvercová matice A = (a^) řádu n. Je-li A horní trojúhelníková matice anebo dolní trojúhelníková matice, pak \A\ = a\\-a a(k), a existuje í G {1, 2,..., n}, pro něž í < a(£). To plyne z faktu, žel + 2H-----\-n = cr(l) + cr(2) H-----h cr(n), a z toho, že čt ^ ^{i,2,...,n}- Je-li ovšem matice A v jednom z uvedených dvou trojúhelníkových tvarů, znamená to, že člen p(cr) ■ aio-(i)-a2o-(2)" • • • 'ana{n) determinantu \A\ odpovídající kterékoliv neidentické permutaci a G Sn je roven nule. Takže platí uvedené tvrzení. Toto poslední tvrzení spolu s předchozími poznatky dává metodu, jak v některých případech usnadnit výpočet determinantů vyšších řádů. Týká se to zejména situací, kdy je dána čtvercová matice A řádu n nad nějakým tělesem (R, +, ■). Tehdy je možno takovou matici vždy převést například na horní trojúhelníkovou matici opakovanou aplikací řádkových úprav popsaných v předposledním ze shora uvedených tvrzení (tyto úpravy nemění hodnotu determinantu) v kombinaci s přehazováním řádků a sloupců matice (tím se může měnit znaménko determinantu).