Báze a dimenze vektorových prostorů
Buď (V,+, ■) vektorový prostor nad tělesem (T,+, ■). Nechť ui, U2,..., un je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s\,S2, • • •, sn E T, z nichž alespoň jeden je různý od nuly 0, takové, že si-Ui + S2-U2 + ■ ■ ■ + sn-un = o, řekneme, že vektory ui, U2,..., un jsou lineárně závislé. Tedy konečná posloupnost vektorů z V je lineárně závislá, existuje-li lineární kombinace těchto vektorů s koeficienty z T, jež nejsou všechny nulové, taková, že výsledkem této lineární kombinace je nulový vektor.
Je-li n = 1, tedy máme-li co do činění s posloupností skládající se pouze z jediného vektoru u z V, pak uvedená definice dává, že vektor u je lineárně závislý právě tehdy, když u = o. Pro n > 1 se hodí následující kritérium.
Tvrzení. Nechť (V,+, ■) je vektorový prostor nad tělesem (T, +, ■). Posloupnost vektorů Ui, 112,..., un z V, kde n > 1, je lineárně závislá právě tekdy, když existuje index i E {1,2,...,n} takový, že vektor u« je lineární kombinací vektorů Ui,..., u,_i,
Důkaz. Jsou-li vektory ui, 112,..., un lineárně závislé, existují prvky si, S2,..., sn E T, z nichž alespoň jeden je nenulový, takové, že si-ui+S2"U2+- ■ -+sn-un = o. Nechť i E {1, 2,..., n} je takový index, že s, ^ 0. Pak odtud plyne, že u« = (—si~1-si)-ui +
----h (-S^-Si-iy-ULi-i + (-S^-Sí+iJ-Uí+i H-----h (-S^-SnJ-Un.
Naopak je-li vektor u« lineární kombinací vektorů Ui,..., u,_i, Ui+i,..., u„, pak existují prvky ti,..., U-i, ti+h ..., tn E T takové, že Ui = íi-uiH-----hít-i-Ui-i+^t+i-Ui+iH-----\-tn-un. Odtud
plyne, že íi-uH-----híi-rUj_i + (-l)-Uj+íj+i-Uj+iH-----Hn-un =
o, přičemž koeficient u u« je —1, čili je nenulový.
Poznamenejme, že obsahuje-li například posloupnost vektorů Ui, U2,..., un z V nulový vektor o anebo obsahuje-li tato posloupnost dvakrát tentýž vektor, pak je lineárně závislá.
Buď (V, +, ■) opět vektorový prostor nad tělesem (T, +, ■). Není-li posloupnost vektorů ui, 112,..., un z V lineárně závislá, řekneme, že tato posloupnost je lineárně nezávislá. Jinak řečeno, vektory ui, 112,..., un jsou lineárně nezávislé, jestliže pro libovolná s\, S2, • • •, sn E T splňující si-Ui+S2-U2+- ■ -+sn-un = o platí, že si = 6'2 = • • • = sn = 0.
Poznamenejme, že je-li Ui, U2,..., un lineárně nezávislá posloupnost vektorů z V, pak každá podposloupnost vybraná z této posloupnosti je rovněž lineárně nezávislá.
Je-li M C V konečná podmnožina, M = {ui, 112,..., un}, pak místo značení (M) pro podprostor generovaný množinou M, jenž byl předmětem studia v minulé kapitole, píšeme stručně jen (ui, U2,..., un). Platí následující Steinitzova věta o výměně.
Věta. Buď (V, + , ■) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ■). Nechť vi,..., vTO, wi,..., wn jsou takové vektory z V, že je splněno Vi, ..., vTO E (wi,..., w„> a vektory vx,..., vm jsou přitom lineárně nezávislé. Pak platí m < n a při vhodném přečíslování vektorů wi,..., wn platí rovněž
(wi,...,w„> = (vi,...,vTO,wTO+i,...,wn).
Důkaz se provede indukcí vzhledem k m s využitím posledního tvrzení z minulé kapitoly.
Buď (V, +, ■) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ■). Řekneme, že konečná posloupnost ui, 112,..., un vektorů z V je báze vektorového prostoru (V, +, ■), jestliže
• vektory ui, 112,..., un jsou lineárně nezávislé a přitom
• vektory ui, 112,..., un generují celý prostor V, což znamená, že (ui,u2,... ,un) = V.
Poznamenejme ale, že odnikud neplyne, že by v daném vektorovém prostoru musela nějaká báze existovat, ani že by snad měla být jen jediná, pokud existuje.
Příklady. Nechť (T, +, ■) je těleso. Viděli jsme, že pak kartézská mocnina Tn = {(si, s2,..., sn) \ Si, s2,.. •, sn 6 T1} spolu s přirozeně definovanými operacemi sčítání + a skalárního násobení ■ tvoří vektorový prostor (Tn, +, ■) nad tělesem (T, +, ■). Pak vektory
e1 = (l,0,0,...,0,0), e2 = (0,l,0,...,0,0), e3 = (0,0,l,...,0,0),
en = (0,0,0,...,0,1)
očividně tvoří bázi vektorového prostoru (Tn, +, ■). Říkáme, že je to kanonická báze prostoru (Tn,+, ■). Existuje ale mnoho jiných bází. Kupříkladu následující vektory
f1 = (1,1,1,...,1,1), f2 = (0,1,1,...,1,1), f3 = (0,0,1,...,1,1),
fn = (0,0,0,...,0,1)
tvoří rovněž bázi vektorového prostoru (Tn, +, ■).
Buď opět (T, +, ■) těleso. Viděli jsme také, že pak okruh polynomů (T[x], +, ■) tvoří vektorový prostor nad tělesem (T, +, ■). Tento vektorový prostor ale nemá žádnou bázi. Opravdu, pokud by nějaká báze tohoto prostoru existovala, byla by to konečná posloupnost polynomů /i, /2, ■ ■ ■, fm z T[x], která by kromě jiného měla tu vlastnost, že by pomocí lineárních kombinací generovala celou množinu T[x\. Ve skutečnosti zde ale platí, že (/i) f2, ■ ■ ■, /m) 7^ T[x\. Stačí si totiž všimnout stupňů polynomů /1, f2, ■ ■ ■, /to- Existuje jistě přirozené číslo n takové, že st(/i) < n, st(/2) < n, ..., st(/TO) < n. To ale znamená že pak pro každý polynom g z (/1, /2,..., fm) platí st (g) < n. Polynomy /1, f2,..., fm tedy negenerují celou množinu T[x].
Tvrzení. Nechť (V, +, ■) je nenulový vektorový prostor nad tělesem (T,+, ■). Existuje-li konečná podmnožina M C V taková, že (M) = V, pak z každé podmnožiny N C V s vlastností, že (N) = V, lze vybrat nějakou bázi prostoru (V, +, ■).
Důkaz. Ukážeme nejprve, že pokud (N) = V, pak za předpokladu existence konečné podmnožiny M C V s vlastností, že (M) = V, existuje konečná podmnožina L C N taková, že (L) = V. Pro každý vektor u G M totiž máme u G (N), takže podle posledního tvrzení z minulé kapitoly existuje přirozené číslo n, vektory vi,..., vn G N a prvky t\,..., tn G T takové, že u = íi-Vi + ■ ■ ■ + tn-vn. Vyberme pro každý vektor u G M takové vektory vi,..., vn G N a sestavme ze všech těchto vybraných vektorů množinu L. Pak L C N a L je konečná množina, neboť množina M je konečná. Navíc odtud plyne, že M C (L), takže (M) C (L). Poněvadž (M) = V, znamená to, že (L) = V.
Ukážeme dále, že pro každou konečnou podmnožinu L C V splňující (L) = V platí, že z ní lze vybrat bázi prostoru (V, +, ■). Poněvadž V ^ {o}, musí být L / I a také L ^ {o}. Vypišme vektory množiny L do posloupnosti wi, W2,..., w^. Jsou-li tyto vektory lineárně nezávislé, pak již tvoří bázi prostoru (V, +, ■). Jsou-li naopak lineárně závislé, pak k > 1 a podle úvodního tvrzení této kapitoly existuje index j G {1, 2,..., k} takový, že vektor Wj je lineární kombinací zbývajících vektorů této posloupnosti. To ale znamená, že Wj G (wi,..., Wj_i, wj+i,..., w^), takže máme (w1, w2,..., wfc) = (w1,..., Wj_i, wj+1,wk). Je tedy možné z množiny generátorů L vektor Wj vyškrtnout, aniž se změní podprostor, který tato množina generuje. Opaku-jeme-li tento postup několikrát, nakonec dostaneme vybranou podposloupnost vektorů, tedy podrobněji řečeno, zůstanou nám indexy «i, «2, • • •, U G {1, 2,..., k} splňující i\ < 12 < • • • < ii takové, že bude platit (wi, W2,..., w^) = (w^, Wj2,..., w^) a přitom vektory w^, Wj2,..., budou již lineárně nezávislé. Budou tedy tyto vektory tvořit bázi vektorového prostoru (V, +, ■).
Věta. Nechť (V,+,-) je nenulový vektorový prostor nad tělesem (T,+, ■). Tvoří-li posloupnosti vektorů f*i,f2,...,fTO a gi, g2,..., gn dvě báze vektorového prostoru (V, +, ■), pak platí rovnost m = n.
Důkaz. Podle definice pojmu báze vektorového prostoru jsou vektory fi, f2, ■ ■ ■, fm lineárně nezávislé a přitom fi, f2, ■ ■ ■, fm G (gij g2, • • •, gn)- Podle Steinitzovy věty o výměně tedy platí, že m < n. Podobně ale vektory gi, g2, • • •, gn Jsou lineárně nezávislé a přitom gls g2,..., gn G (fi, f2,..., fTO). Takže opět podle Steinitzovy věty o výměně platí, že n < m. Celkem tedy m = n.
Ve tvrzení předcházejícím této poslední větě jsme viděli, že každý nenulový vektorový prostor, který je generován nějakou konečnou množinou vektorů, má také nějakou bázi. V poslední větě jsme dále viděli, že pak všechny báze takového prostoru mají stejný počet vektorů. Můžeme tedy zavést následující pojem. Je-li (V, +, ■) nenulový vektorový prostor nad tělesem (T,+, ■), který obsahuje konečnou podmnožinu M C V takovou, že (M) = V, a který tudíž má i nějakou bázi, pak počet n vektorů kterékoliv báze tohoto prostoru se nazývá dimenze vektorového prostoru (V, +, ■)• O prostoru (V, +, ■) samotném pak říkáme, že je to vektorový prostor konečné dimenze. Mezi takové prostory řadíme i nulový vektorový prostor ({0},+, ■), jehož dimenzi klademe rovnu 0.
Příklad. Buď (T, +, ■) těleso a n přirozené číslo. Pak z prvního z předchozích příkladů plyne, že dimenze vektorového prostoru (Tn, +, ■) je rovna n.
Tvrzení. Nechť (V, +, ■) je nenulový vektorový prostor konečné dimenze n nad tělesem (T, +, ■). Nechť vi, V2,..., vTO jsou lineárně nezávislé vektory z V. Pak m < n a existují vektory wTO+i,..., wn G V takové, že posloupnost vektorů Vi, V2,..., vTO, wTO+i,..., wn tvoří bázi vektorového prostoru (V, +, ■).
Důkaz. Nechť wi,W2,...,w„ je nějaká báze vektorového prostoru (V,+, ■). Pak vi, v2,..., vTO G (wi,w2,... ,w„). Podle Steinitzovy věty o výměně je tedy m < n a při vhodném přečíslování vektorů wi, W2,..., wn platí, že (wi, w2,..., wn) = (vi, v2,..., vTO, wTO+i,..., wn). Podle předchozího tvrzení to ovšem znamená, že z vektorů Vi, v2,..., vTO, wm+i,..., wn lze vybrat bázi prostoru (V, +, ■). Poněvadž těchto vektorů je ale jenom n, podle předchozí věty musí tyto vektory samy už tvořit bázi vektorového prostoru (V, +, ■).
Nechť (V, +, ■) je nenulový vektorový prostor nad tělesem (T, +, ■). Řekneme, že vektory vi, v2,..., vTO z V tvoří minimální množinu generátorů prostoru (V, +, ■), jestliže tento prostor generují, tedy splňují (vi, v2,..., vm) = V, avšak pro každou podmnožinu M C {vi, v2,..., vTO}, M ^ {vi, v2,..., vTO} je již (M) ^ V. Dále řekneme, že vektory wi, w2,..., wn z V tvoří maximální lineárně nezávislou posloupnost vektorů v prostoru (V, +, ■), jsou-li tyto vektory lineárně nezávislé, avšak pro kterýkoliv vektor z G V vektory wi, w2,..., wn, z jsou již lineárně závislé. Dodejme, že v této situaci musí ovšem vektor z být lineární kombinací vektorů wi, w2,..., wn. Takže pak vektory wi, w2,..., wn rovněž generují celý prostor (V, +, ■). Odtud a z předchozích výsledků potom plyne následující chrakterizace bází vektorového prostoru (V, +, ■).
Důsledek. Buď (V, +, ■) nenulový vektorový prostor nad tělesem (T, +, ■). Pak pro libovolnou posloupnost Ui, u2,..., un vektorů z V jsou následující tři podmínky ekvivalentní:
(i) Ui, u2,..., un tvoří minimální množinu generátorů prostoru (V,+,-),
(ii) Ui, u2,..., un tvoří maximální lineárně nezávislou posloupnost vektorů v prostoru (V, +, ■),
(iii) Ui, u2,..., un je báze prostoru (V, +, ■).
Každý podprostor vektorového prostoru konečné dimenze je sám prostorem konečné dimenze:
Tvrzení. Buď (V, + , ■) vektorový prostor konečné dimenze n nad tělesem (T, +, ■). Pak pro každý podprostor W C V platí, že prostor (W, +, ■) sám je konečné dimenze, a je-li m jeho dimenze, pak m < n, přičemž m = n právě tehdy, když W = V.
Důkaz. Je-li W = {o}, není co dokazovat. Předpokládejme tedy, že W ^ {o}. Podle předchozího tvrzení žádná posloupnost lineárně nezávislých vektorů z W nemůže mít více než n vektorů. Vyberme lineárně nezávislou posloupnost wi, W2,..., wm vektorů z W tak, aby jejich počet m byl nejvyšší možný. Pak ovšem m < n a přitom wi, W2,..., wm zřejmě tvoří maximální lineárně nezávislou posloupnost vektorů v podprostoru W, takže jde o bázi prostoru (W, +, ■). Má tedy tento prostor konečnou dimenzi m. Přitom zmíněnou bázi lze doplnit dalšími vektory z V na bázi celého prostoru (V, +, ■). Je-li ovšem m = n, pak již Wi, W2,..., wTO musí být bází prostoru (V, +, ■), takže W = V.
Tvrzení. Nechť (V, +, ■) je nenulový vektorový prostor konečné dimenze nad tělesem (T, +, ■) a nechť vektory f*i, f2, ■ ■ ■, fn představují některou bázi tohoto prostoru. Pak pro každý vektor u G V existují jednoznačně určené prvky s\, S2,..., sn G T takové, že u = si-fi + S2-f2 + ■ ■ ■ + sn-ín.
Poznámka. Prvky si, S2,..., sn se pak nazývají souřadnice vektoru u v bázi f*i, f2,..., fn.
Důkaz. Existence prvků si, S2,..., sn plyne z faktu, že vektory f*i, f2,..., fn generují prostor (V, +, ■). Jejich jednoznačnost plyne z lineární nezávislosti vektorů f*i, f2, ■ ■ ■, fn následující úvahou. Nechť íi, Í2, • • •, tn G T jsou obecně jakékoliv prvky takové, že u = ŕi-fi + Í2-Í2 + ■ ■ ■ + tn-ín. Odečtením odtud dostáváme, že
o = (si — ti) • fi + (s2 - h) • h H-----\- {sn — tn) • fn- To znamená,
že si — t\ = 0, S2 — Í2 = 0, • • •, sn — tn = 0, takže máme si = t\, S2 — Í2, ■ ■ ■, sn = tn.
Nechť ještě jednou (V, +, ■) je nenulový vektorový prostor konečné dimenze n nad tělesem (T, +, ■) a nechť fi, f2,..., fn je některá jeho báze. Nechť r G T je libovolný prvek a nechť u, v G V jsou libovolné dva vektory. Nechť si, S2, • • •, sn, resp. t\, Í2, • • •, tn jsou souřadnice vektoru u, resp. v v bázi fi, f2, ■ ■ ■, fn- Pak
si + ti, S2 + Í2, • • •, sn + tn jsou souřadnice vektoru u + v a r-si, r-S2,..., r-sn jsou souřadnice vektoru ru,
obojí ovšem opět v bázi fi, f2, ■ ■ ■, fn- Z této skutečnosti je patrno, že zobrazení
Cflf2   f_ : V —> Tn
přiřazující každému vektoru u G V uspořádanou n-tici jeho souřadnic (si, S2, • • •, sn) v bázi fi, f2, ■ ■ ■, fn je bijekcí množiny vektorů V na kartézskou mocninu Tn, která přitom zachovává operace sčítání + i vnějšího skalárního násobení ■ ve vektorových prostorech (V, +, ■) a (Tn, +, ■). V tomto smyslu je tedy zobrazení Cf^fjj,...^ izomorfismem vektorového prostoru (V, +, ■) na vektorový prostor (Tn, +, ■). Oba tyto prostory jsou nad tělesem (T, +, ■) a je takto možno na ně hledět jako na dvě kopie jednoho a téhož vektorového prostoru. Přesně bude pojem izomorfismu dvou vektorových prostorů nad týmž tělesem zaveden později.