Buď A = (ajj) čtvercová matice řádu n > 1 nad komutativním okruhem (R, +, ■). Pro zvolené indexy i, j G {1, 2,..., n} označme Aíj čtvercovou matici řádu n — 1, která vznikne z matice A vynecháním jejího i-tého řádku a j-tého sloupce. Pak prvek okruhu (R, + , ■)
Ajj = (—iy+J ■ \Aíj\
se nazývá algebraický doplněk prvku     v matici A.
Vztah uvedený v následující větě se nazývá Laplaceův rozvoj determinantu \A\ podle i-tého řádku matice A.
Věta. Buď A = (a,j) čtvercová matice řádu n > 1. Pak pro libovolný řádkový index i G {1, 2,..., n} platí
|A| = au ■ Aťi + ai2 • Ai2 H-----h aín ■ Ain.
Poznámka. Analogický vztah platí také pro sloupcové indexy. To znamená, že je možno provést stejným způsobem Laplaceův rozvoj determinantu také podle některého sloupce. To opět plyne z tvrzení o determinantech transponovaných matic.
Důkaz. Pro libovolné indexy i, j G {1,2,..., n} označme A^ matici řádu n, která vznikne z matice A tak, že v i-tém řádku matice A ponecháme pouze prvek a ostání prvky tohoto řádku nahradíme nulami. Pak opakovanou aplikací jednoho z dřívějších tvrzení o determinantu matice, jejíž některý řádek lze zapsat jako součet nějakých dvou řádků, dostáváme
\A\ = \Af\ + \Af\ + ... + \A^\.
Zvolme nyní index j G {1, 2,..., n} a zkoumejme determinant Přehoďme v matici A^ i-tý řádek s (i — l)-ním řádkem, potom (i — l)-ní řádek s (i — 2)-hým řádkem, atd., až nakonec druhý řádek s prvním řádkem. Tím se původně i-tý řádek matice A^ ocitne na pozici prvního řádku a řádky, které mu původně předcházely, se objeví v nezměněném pořadí až za ním.
Proveďme dále podobnou operaci se sloupci takto vzniklé matice. Tedy přehoďme j-tý sloupec s (j — l)-ním sloupcem, potom (j — l)-ní sloupec s (j — 2)-hým sloupcem, atd., až nakonec druhý sloupec s prvním sloupcem. Matici, která takto nakonec vznikne, označme symbolem        Při transformaci matice A^
na matici      bylo provedeno celkem i+j — 2 změn spočívajících v přehození dvou řádků nebo dvou sloupců, takže podle příslušného dříve uvedeného tvrzení pro determinanty těchto matic platí
\Af\ = (-l)i+i.\Äf\.
Přitom v matici se prvek a,j objeví zcela vlevo nahoře a v prvním řádku napravo od něj budou samé nuly. Kromě toho po vynechání prvního řádku a prvního sloupce matice zůstane právě matice Aíj. Aplikujme nyní definici determinantu na determinant \Ä^\. V této definici se ovšem uplatní pouze ty permutace a G Sn, pro něž cr(l) = 1, neboť jinak příslušný člen determinantu \Ä^\ obsahuje nulový činitel z prvního řádku matice a je tudíž roven nule. Permutace a G Sn s vlastností cr(l) = 1 lze ovšem chápat jako permutace množiny {2,..., n}. Chápeme-li tato čísla jednou jako řádkové indexy a podruhé jako sloupcové indexy, jedná se o ty řádky a sloupce matice v nichž je právě uložena matice A^. Navíc pro paritu p(cr) takové permutace a není podstatné, chápeme-li ji jako permutaci množiny {1,2,..., n} nebo {2,..., n}. To ale ukazuje, že členy determinantu \Ä^\ odpovídající permutacím a G Sn s vlastností cr(l) = 1 jsou právě součiny prvku a^- s libovolnými členy determinantu \Ajj\. Takže dostáváme
\Ä^\ = a,ij • \Aij\.
Dosazením z této rovnosti do předchozího vztahu a jeho následným použitím v úvodním vyjádření determinantu \A\ na počátku tohoto důkazu obdržíme dokazovanou rovnost.
Buď A = (ajj) čtvercová matice řádu n > 1. Řekneme, že tato matice A je v polorozpadlém tvaru, existuje-li index k G {1,2,..., n— 1} takový, že buďto = 0 pro všechna i = + 1,..., n a j = 1,..., k, anebo a^- = 0 pro všechna i = 1,..., a j = + 1,..., n. Zavedeme-li čtvercové matice B = (ajj)i=i,...,fc,j=i,...,fc a C = (ajj)i=fc+i,...,n,j=fc+i,...,n a dále matice F = (aij)i=iv..)fc)j=fc+iv..)n a G = (ajj)i=fc+i,...,n,j=i,...,fc) pak takovou matici A lze schematicky psát v jednom ze tvarů
A={ocj    neb0 a=(gc)'
kde O představuje nulovou matici, pokaždé odpovídajícího typu.
Tvrzení. Je-li A = (a^) čtvercová matice řádu n v jednom z polorozpadlých tvarů tak, jak byly popsány výše, pak pro její determinant platí \A\ = \B\ • \C\.
Důkaz. Předpokládejme například, že = 0 pro všechna i = k + 1,..., n a j = 1,..., k. Uvažme libovolnou permutaci c G Sn a jí odpovídající člen p(a) • aia^ya2a{2y ■ ■ ■ -ana{n) determinantu \A\. Je-li zde pro některé i G {k + 1,... ,n} splněno čt(«) G {1,..., k}, pak čij^j) = 0, takže dotyčný člen determinantu |A| je roven nule. Stačí tedy uvažovat pouze ty permutace čt G Sn, které pro každé i G {fc + 1,..., n} splňují čt(«) G {fc + 1,..., n}. Tyto permutace pak ale také pro každé i G {1,..., k} splňují a(i) G {1,..., k}. To jsou pak ovšem právě permutace tvaru čt = g o 77, kde g je libovolná permutace množi-ny {1,..., k} a r\ je libovolná permutace množiny {& +1,..., n}. Příslušný člen determinantu \A\ lze pak zapsat ve tvaru
p(cr) ■ cti^i)-a2f7(2)- • • • -CW(„)
" afc+lí7(fc+l)" • • • 'anr){n)i
neboť z kapitoly o permutacích víme, že p(g o 77) = p(p) ■ p(ry). Vidíme tedy, že členy determinantu \A\, které je třeba uvažovat, jsou právě součiny libovolného členu determinantu \B\ s libovolným členem determinantu \C\. To ukazuje, že \A\ = \B\ • \C\.
Následuje Cauchyova věta.
Věta. Pro každé dvě čtvercové matice A = (a^) a B = (bij) stejného řádu n platí \A-B\ = \A\ • \B\.
Důkaz. Sestavme čtvercovou matici H řádu 2n tvaru
H
kde O je nulová čtvercová natice řádu n a — E je opačná matice k jednotkové matici E řádu n. Pak podle předchozího tvrzení víme, že \H\ = |A| ■ Upravujme nyní matici H tak, aby na místě, kde v ní původně byla matice A, vznikla nulová matice O. Toho lze dosáhnout přičítáním vhodných násobků posledních n řádků matice H, tedy řádků matice (—E B), k jejím prvním n řádkům, tedy k řádkům matice (A O). Podle jednoho z dřívějších tvrzení víme, že se těmito úpravami nemění hodnota determinantu \H\. Všimněme si podrobně, jaké úpravy s maticí H je třeba udělat. Matici H lze detailně vypsat ve tvaru
H
au	ai2 • •		0	0 ..	■ 0\
021	a22  • •	■ «2n	0	0 ..	. 0
	an2  ■ ■		0	0 ..	. 0
-1	0 ..	. 0	611	&12   • •	• hn
0	-1   ..	. 0		&22   • •	■ hn
0	0 ..	. -1	Ki	bu2 ■■	bnn J
\
Nyní, aby se pro zvolený index i G {1, 2,..., n} objevily v i-tém řádku matice H na prvních n pozicích nuly, je třeba k němu přičíst (n + l)-ní řádek matice H vynásobený prvkem au, dále (n + 2)-hý řádek matice H vynásobený prvkem a^, atd., až nakonec 2n-tý řádek matice H vynásobený prvkem a,n. Tímto způsobem se ovšem současně na místě původně nulové matice O
v matici H objeví nová čtvercová matice C řádu n. Takže po provedení všech popsaných úprav obdržíme čtvercovou matici K řádu 2n tvaru
Přitom pro determinant této matice platí \K\ = \H\. Zvolme kromě indexu i G {1, 2,..., n} dále index j G {1, 2,..., n} a zjistěme, jaký prvek c^- se objeví v matici C v jejím i-tém řádku a j-tém sloupci. Tedy určeme, jaký prvek se po výše specifikovaných úpravách objeví v i-tém řádku a v (n + j)-tém sloupci matice K. Půjde zřejmě o prvek Cý- = an-b\j + a,2-&2j + ■ ■ ■ + ain'bnj-To ale znamená, že C = A • B. Podotkněme, že pak tedy máme \C\ = |^4--B|. Přehodíme-li nakonec v matici K první řádek s (n + l)-ním řádkem, druhý řádek s (n + 2)-hým řádkem, atd., až n-tý řádek s 2n-tým řádkem, obdržíme čtvercovou matici L řádu 2n v polorozpadlém tvaru
Poněvadž jsme provedli celkem n popsaných výměn řádků, pro determinanty matic K a L platí |K| = ( —l)n-|L|. Dále podobně jako na začátku podle tvrzení předcházejícího této větě víme, že \L\ = \-E\ ■ \C\ = (-l)n- \C\, takže \L\ = (-l)n-\A-B\. Odtud a z předchozí rovnosti nakonec plyne, že \K\ = |^4--B|. Protože \K\ = \H\ a viděli jsme, že \H\ = \A\ • dostáváme tak, že \A-B\ = \A\ • \B\.