Lineární zobrazení
Nechť (V, + , ■) a (W, +, ■) jsou dva vektorové prostory nad týmž tělesem (T, +, ■). Nechť / : V —> W je zobrazení splňující následující podmínky:
(Vu,ve V)(/(u + v) = /(u) + /(v)),
(VSGľ)(VueV)(/H = s./(u)).
Pak / se nazývá lineární zobrazení nebo též homomorns-
mus vektorového prostoru (V, +, ■) do vektorového prostoru (W,+, ■). Je přitom zřejmé, že uvedené dvě podmínky lze nahradit jedinou podmínkou:
(Vs,t e T)(Vu,v G V)(/(s-u + í-v) = 8-f(u)+t-/(v)).
Poněvadž lineární zobrazení / zmíněných vektorových prostorů je současně homomoríismem grupy (V, +) do grupy (W,+), z kapitoly o homomorfismech grup víme, že pak jsou splněny rovněž podmínky:
/(o)=o   a   (VuG V)(/(-u) = -/(u)).
Je-li takové lineární zobrazení / vektorových prostorů (V, +, ■) a (W, +, ■) současně bijekcí množiny V na množinu W, pak říkáme, že / je izomorfismus vektorového prostoru (V, +, ■) na vektorový prostor (W, +, ■).
Poznamenejme ještě, že ačkoliv u obou vektorových prostorů (V,+,-) i (W,+, ■) užíváme týchž symbolů + a ■ pro označení operací sčítání vektorů a vnějšího skalárního násobení, je to jenom kvůli notační jednoduchosti a nevyplývá z toho žádný jiný vztah mezi těmito operacemi v různých prostorech nežli ten, který je dán výše uvedenými definičními podmínkami lineárního zobrazení, resp. izomorfismu vektorových prostorů. Stejná poznámka se týká rovněž nulových vektorů o v obou vektorových prostorech.
1
Příklad. Nechť (T, +, ■) je těleso a nechť m, n jsou přirozená čísla splňující m < n. Potom zobrazení h : Tn —>• Tm dané pro každá s\, S2, S3,..., sn E T předpisem
h((si,s2,ss,...,sn)) =
(si + s2 + s3 H-----h s„, s2 + s3 H-----h s„, s3 H-----h s„, ...
• •• , STO + ■ ■ ■ + Sn, )
je očividně lineárním zobrazením vektorového prostoru (Tn, +, ■) do vektorového prostoru (Tm, +, ■).
Tvrzení. Nechť (U, +, ■), (V, +, ■) a (W, +, ■) jsou vektorové prostory nad tělesem (T, +, ■) a nechť / : U —>• V a g : V—>-W jsou lineární zobrazení vektorových prostorů. Potom složené zobrazení g o / : U —> W je rovněž lineární zobrazení příslušných vektorových prostorů.
Důkaz. Nechť s, t E T jsou libovolné prvky a nechť u, v E U jsou libovolné vektory. Pak vychází
(g o f)(s.u + í-v) = g(f(s-u + í-v)) = g(s -/(u) + t -/(v))
= a.g(f(u))+t. g(f(v)) = s-(g o/) (u) + t ■ (g o f) (v),
což bylo třeba ověřit.
Důkaz tohoto tvrzení byl obdobný důkazu analogického tvrzení pro homomorfismy grup. Rovněž následující tvrzení se dokáže podobně jako odpovídající tvrzení o izomorfismech grup.
Tvrzení. Nechť (V, +, ■) a (W, +, ■) jsou vektorové prostory nad tělesem (T, + , ■) a nechť / : V —> W je izomorfismus těchto vektorových prostorů. Potom inverzní zobrazení f~l : W —>• V je rovněž izomorfismem těchto vektorových prostorů.
Nechť (V, +, ■) a (W, +, ■) jsou vektorové prostory nad týmž tělesem a nechť / : V —> W je lineární zobrazení. Pak pro libovolnou podmnožinu M C V klademe f(M) = {/(u) | u E M}.
2
Podotkněme, že jsme tak mimo jiné též definovali, co je /(U) pro libovolný podprostor U vektorového prostoru (V, +, ■).
Tvrzení. Nechť (V, +, ■) a (W, +, ■) jsou vektorové prostory nad tělesem (T, +, ■) a nechť / : V —> W je lineární zobrazení těchto vektorových prostorů. Pak pro každý podprostor U vektorového prostoru (V, +, ■) je /(U) podprostor ve vektorovém prostoru (W,+, ■). Je-li M C V podmnožina taková, že U = (M), pak platí, že /(U) = </(M)).
Důkaz. Předně pro nulové vektory máme o = /(o), takže o G /(U). Dále pro libovolné vektory x, y G /(U) existují vektory u, v G U takové, že x = /(u) a y = /(v). Odtud pak plyne, že x + y = /(u) + /(v) = /(u + v), takže x + y G /(U). Je-li navíc s E T libovolný prvek, pak s-x = s -/(u) = /(s-u), takže rovněž s-x G /(U). Je tedy /(U) podprostor ve (W, +, ■).
Nechť M C V je podmnožina taková, že U = (M). Stejně jako výše pro libovolný vektor x G /(U) existuje vektor u G U takový, že x = /(u). Podle posledního tvrzení z kapitoly o vektorových prostorech pak ale existují přirozené číslo n, prvky si, S2, • • •, sn G Ta vektory vi, V2,..., vn G M takové, že u = si-vi + S2-V2 + - ■ - + sn-vn. Poněvadž / je lineárni zobrazení, plyne
odtud, že x = /(u) = /(srvi + s2-v2H-----hsn-vn) = sx -/(vi) +
S2 -/(v2) + - ■ - + sn-/(vn). To ale znamená, že x G (f (M)). Takže platí, že /(U) = (/(M)).
Nechť (V, +, ■) a (W, +, ■) jsou vektorové prostory nad týmž tělesem a nechť / : V —> W je lineárni zobrazení. Pak množina vektorů Ker / = {u G V | /(u) = 0} se nazývá jádro lineárního zobrazení /.
Tvrzení. Nechť (V, +, ■) a (W, +, ■) jsou vektorové prostory nad tělesem (T, +, ■) a nechť / : V —> W je lineární zobrazení těchto vektorových prostorů. Pak jádro Ker / tohoto lineárního zobrazení / je podprostor vektorového prostoru (V, +, ■). Navíc
3
platí, že zobrazení / je prosté právě tehdy, když Ker / = {o}.
Důkaz. Pro nulové vektory máme /(o) = o, takže o G Ker /. Dále pro libovolné vektory u, v G Ker / platí, že /(u) = o a /(v) = o, odkud plyne, že /(u + v) = /(u) + /(v) = 0 + 0 = 0, takže u + v G Ker/. Je-li dále s E T libovolný prvek, pak rovněž f(s-u) = s -/(u) = so = o, takže také su G Ker/. Je tedy Ker / podprostor ve (V, +, ■).
Je-li zobrazení / prosté, pak ovšem Ker / = {o}. Nechť naopak Ker/ = {o}. Pak pro libovolné dva vektory u, v G V takové, že /(u) = /(v), platí, že /(u - v) = /(u) - /(v) = o, takže u — v G Ker/, čili u — v = o, a tedy u = v. Je tedy zobrazení / prosté.
Budeme se dále věnovat lineárním zobrazením vektorových prostom konečné dimenze. Nechť tedy (V, +, ■) a (W, +, ■) jsou vektorové prostory konečných dimenzí nad týmž tělesem a nechť / : V —> W je lineárni zobrazení. Pak obraz /(V) prostoru V při tomto zobrazení je podle předposledního tvrzení podprosto-rem ve vektorovém prostoru (W,+,-) a je to podprostor konečné dimenze. Dimenze tohoto podprostoru /(V) se nazývá hodnost lineárního zobrazení /. Podobně jádro Ker / tohoto lineárního zobrazení je podle posledního tvrzemi podprostorem ve vektorovém prostoru (V, +, ■) a je to ovšem podprostor konečné dimenze. Dimenze podprostoru Ker / se nazývá defekt lineárního zobrazení /.
Příklad. Nechť (T,+,■) je těleso a nechť m,n jsou přirozená čísla splňující m < n. Uvažme znovu lineární zobrazení h vektorového prostoru (Tn+, ■) do vektorového prostoru (Tm+, ■) popsané v předchozím příkladu. Pak zobrazení h je očividně sur-jektivní, čili h{Tn) = Tm, takže hodnost zobrazení h je rovna m. Je-li m = n, pak jádro tohoto lineárního zobrazení h je zřejmě Ker/i = {o}, takže defekt zobrazení h je roven 0. Je-li ovšem m < n, pak jádrem Ker h tohoto zobrazení h je podprostor
4
v (Tn+, ■) generovaný například vektory
gj = ((V^o,-i,(v^o, i, (V^o)
m—l i—l n—m—i
pro i = 1, 2,..., n — m. Tyto vektory jsou ale lineárně nezávislé, takže tvoří bázi podprostoru Ker/i. Je tedy defekt zobrazení h roven n — m.
Věta. Nechť (V,+, ■) a (W,+,-) jsou vektorové prostory nad tělesem (T, +, ■) konečných dimenzí a nechť / : V —> W je lineární zobrazení. Pak pro dimenzi n prostoru (V, +, ■) a pro hodnost k a defekt í lineárního zobrazení / platí, že k + í = n.
Důkaz. Zvolme bázi wi, W2,..., podprostoru /(V). Dále zvolme vektory vi, V2,..., G V tak, aby platilo /(vi) = Wi, /(v2) = w2, ..., /(vfc) = wfc. Zvolme také bázi ux, u2,..., u£ podprostoru Ker/. Ukážeme, že potom vektory vi, v2,..., v^, ui, u2,..., U£ tvoří dohromady bázi prostoru (V, +, ■).
Nechť tedy x G V je libovolný vektor. Pak /(x) G /(V), takže existují prvky íi, í2,..., ífc £ T takové, že /(x) = íi-wi + í2-w2 + ■ ■ ■ + ífc-Wfc. Položme y = írvi + í2-v2 + ■ ■ ■ + tk-vk. Pak ovšem /(x) = /(y). Položme dále z = x — y. Pak ale /(z) = /(x) — /(y) = o, takže z G Ker/. Existují tedy prvky si, s2,..., S£ G T takové, že z = si-ui + s2-u2 + - ■ --\-S£-U£. Odtud
plyne, že x = y + z = írvi+í2-v2H-----\-tk-vk + srui + s2-u2 +
■ ■ ■ + S£-U£. To znamená, že vektory vi, v2,..., vk, ui, u2,..., U£ generují celý prostor V.
Ukážeme dále, že jsou tyto vektory lineárně nezávislé. Nechť tedy íi, í2,..., tk G T a si, s2,..., S£ G T jsou takové prvky, že
íi-vi+í2-v2H-----hífc-Vfc + si-ui+ s2-u2H-----\-S£-U£ = o. Odtud
plyne, že íi-vi+í2-v2H-----\-tk-vk = -srui-s2-u2-----S£-U£.
To ale znamená, že íi-vi + í2-v2 + ■ ■ ■ + tk-vk G Ker/, takže /(^i-vi +í2-v2 + ■ —hífc"Vfc) = o. Neboli to znamená, že íi-Wi + í2-w2 + ■ ■ ■ + tk-wk = o. Poněvadž vektory wi, w2,..., jsou lineárně nezávislé, plyne odtud, že t\ = í2 = ■ ■ ■ = tk = 0.
5
Takto dostáváme, že si-ui + S2-U2 + ■ ■ ■ + S£-U£ = o. Poněvadž také vektory ui, U2,..., U£ jsou lineárně nezávislé, plyne odtud též, že si = S2 = • • • = S£ = 0. Tvoří tedy vektory vi, V2,..., Vfc, ui, U2,..., U£ bázi vektorového prostoru (V, +, ■). To ale znamená, že k + í = n.
Základní význam, pokud jde o lineární zobrazení vektorových prostorů konečné dimenze, má následující fakt ozřejmující možnou rozmanitost těchto lineárních zobrazení.
Věta. Nechť (V,+, ■) a (W,+,-) jsou vektorové prostory nad tělesem (T, +, ■) konečných dimenzí. Nechť dále vektory gi, g2,..., gn tvoří bázi prostoru (V, +, ■). Pak pro každou volbu vektorů zi, Z2,..., zn G W existuje jediné lineární zobrazení / : V —>• W těchto vektorových prostorů takové, že /(gi) = zi, ife) = z2, • • •, /(gn) = z„.
Důkaz. Víme, že pro každý vektor u G V existují jednoznačně určené prvky s\, S2, • • •, sn G T, nazývané souřadnice vektoru u v bázi gi, g2,..., gn, takové, že platí u = srgi + S2"g2 + ■ ■ ■ + sn-gn. Definujme zobrazení / : V —>• W tak, že v této situaci každému takovému vektoru u přiřadíme vektor /(u) = si-zi + s2-Z2 + - ■ - + sn-zn z W. Pak se přímo ověří, že / je lineární zobrazení, a je jasné, že / splňuje předepsané podmínky.
Nechť naopak / : V —>• W je lineární zobrazení takové, že /(gi) = zi, /(g2) = z2, /(gn) = z„. Pak pro libovolný vektor u G V vyjádřený ve tvaru u = srgi + S2-g2 + ■ ■ ■ + sn-gn stejně jako v předchozím odstavci platí, že /(u) = si -/(gi) +
S2-/(g2)H-----hsn-/(gn) = srzi + s2-z2H-----hsn-zn. To ukazuje,
že lineární zobrazení / je takto určeno jednoznačně.
Je-li (V, +, ■) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ■) a je-li / : V —>• V lineární zobrazení prostoru (V, +, ■) do něj samotného, pak říkáme,že / je lineární transformace vektorového prostoru (V, + , ■).
6