Matice
Nechť (R, + , ■) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla. Matice typu m j n nad okruhem (R, +, ■) vznikne, když libovolných m-n prvků z R naskládáme do obdélníkového schématu o m řádcích a n sloupcích. Formálně se matice typu m j n nad okruhem (R, + , ■) definuje jako libovolné zobrazení
A: {1,2, ...,m} x {1,2,..., n} R.
Označíme-li pro každá i G {1,2,..., m}, j G {1,2,..., n} pomoci ciij hodnotu v R, kterou zobrazení A přiřazuje dvojici (i, j), pak obvyklý způsob, jak se matice A zapisuje, je ve tvaru
l' a-i-i   Gho   ...   a-i„ \
A =
čln di2 ... a\n 0,21    CL22    • • • Cl2n
yílTOl   Q>m2   • • •    Q>mn J
Pak prvek leží v i-tém řádku a v j-tém sloupci matice A. Stručněji se tato matice často zapisuje ve tvaru
A = (cřjj)j=l,...,m,j=l,...,n
anebo jen ve tvaru A = (a, j) s udáním, že jde o matici typu m j n.
Matici typu m/n, jejíž všechny prvky jsou rovny nulovému prvku 0 okruhu (R, +, ■), značíme jako Omn anebo stručně jen jako O a říkáme, že je to nulová matice.
Přistoupíme k definicím operací s maticemi. Pro libovolné dvě matice A = (a^) a B = (bij) téhož typu m j n nad okruhem (R, +, ■) definujeme jejich součet A + B jako matici C = (cý) typu m/n, kde pro každá i G {1,2,..., m} a j G {1, 2,..., n} je Cý- = clíj +     Takže lze psát, že A + B = (a,j +
Dále pro libovolnou matici A = (a,j) typu ra/n nad okruhem (.R, + , ■) a pro libovolný prvek c E R definujeme násobek c-A
1
matice A prvkem c jako matici D = (dij) typu m/n, kde pro každá i G {1,2,..., m} a j G {1, 2,..., n} je dý- = c-a^-. Takže lze psát, že c-A = (c-a^).
Zejména můžeme k dané matici A = (a^) uvažovat matici (—1)-A, kterou značíme jako —A. (Zde 1 je jednotkový prvek okruhu (R, +, ■) a —1 je prvek k němu opačný.) Vime totiž, že pro libovolný prvek a E R platí ( —l)-a = —(1-a) = —a. To znamená, že pak máme — A = (—a,j). O matici — A říkáme, že je to matice opačná k matici A. Je jasné, že pak platí A+ (—A) = O.
Označíme-li symbolem M&tmn(R) množinu všech matic typu m/n nad okruhem (R, +, ■), pak sčítání matic je binární operací na množině M&tmn(R) a je zřejmý následující fakt.
Tvrzení. (Matmn(R), +) je komutativní grupa.
Pro libovolnou matici A = (a,j) typu m/na libovolnou matici B = ibjk) typu n/p, obě nad okruhem (R, +, ■), definujeme jejich součin A • B jako matici C = (cjfc) typu ra/p, kde pro každá i G {1,2,..., m} a k G {1, 2,..., p} klademe
Takto definované násobení matic je asociativní:
Tvrzení.   Pro libovolnou matici A = (a,j) typu m/n, pro
C = (cfcf) typu p/q, všechny nad okruhem (R, +, ■), platí
Důkaz. Podle definice součinu matic máme A • B = D, kde D = (dik) Je matice typu m/p, přičemž pro libovolná i, k máme
dik = Yľj=i aíj ' bjk- Dále máme (A • B) • C = D • C = F, kde
n
A • (B • C) = (A • B) • C.
2
F = (fa) je matice typu m jg, přičemž pro libovolná i, £ máme
p p n
f a = ^2 dik • cm = ^2      an ' tyk) ' cu-
k=l fc=l j=i
Podobně máme B • C = G, kde G = (gj i) je matice typu n/g, přičemž pro libovolná j, £ máme g^t = Y^k=i ^jk " cu- Dále máme A • (B • C) = A • G = H, kde = (/ijf) je matice typu m/g, přičemž pro libovolná i,£ máme
n n p
Í=l j=l k=l
Odtud ovšem s využitím distributivity a asociativity násobení v okruhu (R, +, ■) pro libovolná i, £ dostáváme
n     p p n
3=1 k=l k=l j=l
To znamená, že H = F, což bylo třeba ukázat.
Násobení matic je dále distributivní vůči sčítání matic:
Tvrzení. Pro libovolnou matici A = (a,j) typu rn/n a pro libovolné matice B = (fy*.) a C = (cjfc), obě typu n/p, přitom vše nad okruhem (R, +, ■), platí
A ■ (B + C) = A-B + A-C.
Pro libovolné matice F = (/ý) a G = obě typu rn/n,
a pro libovolnou matici H = (/ijfc) typu n/p, přitom všechny matice nad okruhem (R, +, ■), platí
[F + G)-H = F-H + G-H.
Důkaz obou rovností se provede podobným způsobem jako důkaz předchozího tvrzení přímým použitím definic sčítání a násobení matic s využitím distributivity v okruhu (R, +, ■).
Matice nad okruhem (R, +, ■) mající týž počet řádků jako sloupců, to znamená matice typu n/n pro nějaké přirozené číslo n se nazývají čtvercové matice řádu n. Je-li A = (a^) taková čtvercová matice řádu n, pak o prvcích au pro i = 1, 2,..., n říkáme, že tvoří hlavní diagonálu matice A.
Čtvercovou matici řádu n nad netriviálním okruhem (R, +, ■), v níž všechny prvky na hlavní diagonále jsou rovny jednotkovému prvku 1 zmíněného okruhu a všechny ostatní prvky jsou rovny nulovému prvku 0 tohoto okruhu, označujeme symbolem En nebo krátce jen E. Máme tedy
/l o o ... o\ 0 1 o ... o 0 0 1 ... o
yo o o ... iy
kde je celkem n řádků a n sloupců. O matici En říkáme, že je to jednotková matice řádu n. Bezprostředně z definice násobení matic totiž plyne, že pro libovolnou matici A = (a,j) typu m j n nad zmíněným okruhem (R, +, ■) platí Em • A = A = A • En.
V souladu s označením zavedeným výše symbolem Matnn(it!) značíme množinu všech čtvercových matic řádu n nad okruhem (R, + , ■)• vedle sčítání také násobení matic je binární operací na množině Matnn(it!) a je evidentní následující fakt.
Tvrzení. (Matnn(iž),+, ■) je okruh.
Poznamenejme, že je-li okruh (R, +, ■) netriviální, pak byť by třeba byl sám komutativní, pro n > 1 okruh (M&tnn(R), +, ■) není komutativní a navíc obsahuje dělitele nuly:
Vezměme například matici Cn = (cý) řádu n, kde en = 1 a Cíj = 0 pro všechny ostatní dvojice indexů a dále matici D n — {dij) řádu n, kde dyi = 1 a dij = 0 pro všechny ostatní dvojice indexů      Pak Cn • Dn = Dn, zatímco Dn • Cn = Onn.
4
Mějme matici
/
A
čin di2 «21 «22
Cťln 0>2n
\
\Cťml Cťm2
mn
)
typu m/n nad okruhem (R, +, ■). Uvažme matici AT typu n/m, která vznikne z matice A záměnou řádků a sloupců, tedy matici
/
A
T
On d2l «12 «22
0>m2
\Cťln   a2n   ■ ■ ■    amn)
O matici AT říkáme, že je to matice transponovaná k matici A. Přímo z definice násobení matic pak plyne následující fakt:
Tvrzení. Je-li (R, +, ■) komutativní okruh, pak pro libovolnou matici A = (d,j),=iv..)m)j=iv..)n a pro libovolnou matici B = {bjk)j=i,...,n,k=i,...,P, obě nad okruhem (R, +, ■), platí
(A-B)
T
BT-AT
Důkaz. Nechť A - B = F. Pak F = (/ífc)*=i,...,m,fc=i,...,p, kde
pro libovolná i, k je = Yľj=i an ' bjk- Přitom (A • B) = F kde FT = (/<*)*=!,...*, i=i,...,m. Nechť dále £T- AT= G. Pak poněvadž AT = (ay)j=i,...,„,i=i,...,m a5T= (6jfc)jfe=i,...j,,j=i,...,n, máme C = (fl'w)ife=i,...j>,t=i,...,mJ kde gki = Yľj=i fyk • a%j pro libovolné indexy k, i. Vzhledem ke komutativitě násobení v okruhu (R, +, ■) odtud vychází, že = pro všechny dvojice indexů k, i, takže FT = G. To bylo třeba dokázat.
5