Okruhy a tělesa
Budeme se zabývat strukturami se dvěma binárními operacemi. Mějme tedy množinu R, na níž jsou zadány dvě binární operace + a ■. Takovou strukturu zapisujeme jako trojici (R, +, ■). Předpokládejme navíc, že tato struktura splňuje následující podmínky:
(R, +) je komutativní grupa, (R, ■) je monoid,
platí následující distributivní zákony: pro každá a, b, c G R je splněno
a ■ (b + c) = a-b + a-c    a    (a + b) • c = a-c + b-c.
Pak struktura (iž, +, ■) se nazývá okruh. Operace +, resp. ■ se pak nazývají sčítání, resp. násobení. Neutrální prvek grupy (R, +) se potom nazývá nulový prvek daného okruhu a označuje se symbolem 0. Inverzní prvek k prvku a G R v grupě (R, +) se nazývá opačný prvek k prvku a a označuje se symbolem —a. Pro libovolné dva prvky a, b G R budeme symbolem a — b označovat prvek a + (—b). Neutrální prvek monoidu (R, ■) se nazývá jednotkový prvek daného okruhu a označuje se symbolem 1.
Příklady. Trojice (Z, +, ■), (Q, +, ■), (R, +, ■), kde + a ■ jsou obvyklé operace sčítání a násobení v rámci číselných množin, jsou okruhy.
Pro libovolné n G N trojice (Zn, +, ■), kde + a ■ jsou operace sčítání a násobení zbytkových tříd podle modulu n, je okruh.
Tvrzení. Buď (R, +, ■) okruh. Pak pro libovolná a, 6, c G R platí
a • 0 = 0 ■ a = 0,
a • (—b) = (—a) • b = —(a ■ b),
a • (b — c) = a-b — a-c    a    (a — b) • c = a-c — b-c.
1
Důkaz. Poněvadž 0 + 0 = 0, dostáváme a • 0 = a • (0 + 0) = a-O+a-0. Přičtením prvku — (a-0) k oběma stranám této rovnosti obdržíme 0 = a-0. Obdobně se zjistí, že 0 = 0-a.
Poněvadž b + (—b) = 0 a a - 0 = 0 podle předchozího, dostáváme 0 = a- 0 = a-(6 + (—b)) = a-b + a-(—b). Přičtením prvku — (a-b) k oběma stranám této rovnosti obdržíme — (a-b) = a-(—b). Obdobně se zjistí, že — (a-b) = (—a)-b.
Nakonec a • (b — c) = a • (b + (—c)) = a-6 + a-(—c) = a-b + (—a-c) = a-b — a-c podle předchozího. Obdobně se zjistí, že (a — b) • c = a-c — b-c.
Buď R = {e} jednoprvková množina, na níž jsou definovány binární operace + a ■ jediným možným způsobem, totiž tak, že e + e = e a e • e = e. Pak (R, +, ■) je okruh, který se nazývá triviální okruh. Platí v něm 0 = e a 1 = e, takže 0 = 1. Ve skutečnosti pro libovolný okruh (R, +, ■) platí, že (R, +, ■) je triviální okruh právě tehdy, když 0 = 1. Skutečně, je-li 0 = 1, pak pro libovolný prvek a E R platí, žea = a- l = a- 0 = 0, takže R = {0} a (R, +, ■) je tedy triviální okruh.
Buď (R, +, ■) okruh. Je-li operace ■ na R komutativní, tedy je-li (R, •) komutativní monoid, pak (R, +, ■) se nazývá komutativní okruh. Všechny doposud uvedené příklady okruhů byly komutativní okruhy.
Buď (R, +, ■) okruh. Platí-li pro nějaké dva prvky a, b G R, že a ^ 0, b ^ 0, avšak a • b = 0, pak prvky a, b se nazývají dělitelé nuly v okruhu (R, +, ■). Neobsahuje-li okruh (R, +, ■) žádné dělitele nuly, znamená to, že množina R—{0} je uzavřená vzhledem k operaci ■. Je-li navíc okruh (R, +, ■) netriviální, znamená to, že (R— {0}, ■) je monoid. Netriviální komutativní okruh (R, +, ■) neobsahující žádné dělitele nuly se nazývá obor integrity.
Příklady. Všechny výše uvedené číselné okruhy (Z,+, ■), (Q, +, ■), (M, + , ■) jsou obory integrity.
2
Okruh zbytkových tříd (Zn, +, ■), kde n G N, je oborem integrity právě tehdy, když n je prvočíslo.
Tvrzení. Netriviální komutativní okruh (R, + , ■) je obor integrity právě tehdy, když splňuje následující zákon o krácení:
(\/a£R-{0})(\/b,c£R)(a-b = a-c => b = c).
Důkaz. Jsou-li a £ R — {0} a 6, c G R taková, že a - b = a - c, pak 0 = a-b — a-c = a • (b — c). Je-li nyní (R, +, ■) obor integrity, neobsahuje žádné dělitele nuly, takže b — c = 0, a tedy b = c.
Je-li naopak (iž, +, ■) netriviální komutativní okruh, v němž platí zákon o krácení, pak pro libovolné prvky a, b G R takové, žea^O a a-b = 0 platí a-b = 0 = a-0, takže 6 = 0. Neobsahuje tedy okruh (R, +, ■) žádné dělitele nuly, čili jde o obor integrity.
Buď (R, +, ■) netriviální okruh. Pak každý prvek a G R, který je invertibilním prvkem monoidu (R, ■), se nazývá jednotka okruhu (.R, +, ■) a prvek k němu inverzní se značí symbolem a-1. Jednou z obecně mnoha jednotek okruhu (R, +, ■) je jeho jednotkový prvek 1. Podle posledního důsledku z kapitoly o grupách množina všech jednotek okruhu (R, +, ■) je uzavřená vzhledem k operaci ■ a tvoří vzhledem k této operaci grupu.
Netriviální komutativní okruh (R, +, ■), jehož všechny nenulové prvky jsou jednotkami, se nazývá těleso. Jinak řečeno, netriviální komutativní okruh (R, +, ■) je tělesem, jestliže množina R — {0} je uzavřená vzhledem k operaci ■ a přitom (R — {0}, ■) tvoří grupu. Je jasné, že každé těleso je oborem integrity.
Příklady. Okruhy (Q, +, ■), (R, +, ■) a (C, +, ■) všech racionálních, reálných a komplexních čísel jsou tělesa.
Pro každé prvočíslo p je okruh zbytkových tříd (Zp, +, ■) tělesem. Plyne to z poslední věty v kapitole o zbytkových třídách.
Věta. Každý konečný obor integrity je těleso.
Důkaz. Nechť (R, +, ■) je konečný obor integrity. Pak je to
3
netriviální komutativní okruh. Vezměme libovolný prvek a E R — {0}. Pak množina {a-r \ r E R} má týž počet prvků jako R, neboť v (R, +, ■) platí zákon o krácení. Takže R = {a-r\ r G R}. Poněvadž 1 E R, existuje tedy prvek b E R takový, že a • b = 1. Je tedy každý prvek a E R — {0} jednotkou okruhu (R, +, ■), takže (R, +, ■) je těleso.
Nechť (R, +, ■) je okruh s nulovým prvkem Oas jednotkovým prvkem 1 a nechť S C R je podmnožina splňující následující tři podmínky:
{Va,beS){a + beS k a-b E S), 0,1 E S,
(Va G S)(-a E S).
Pak říkáme, že S je podokruh okruhu (R, +, ■). Potom totiž množina S* je uzavřená vzhledem k operacím + a ■ a přitom trojice (S, +, ■) je opět okruh.
Je-li (R, +, ■) těleso a je-li S C R podokruh tohoto tělesa takový, že je splněna ještě následující podmínka:
(VaGS,-{0})(cT1GS'),
pak říkáme, že S je podtěleso tělesa (R, +, ■). Potom totiž trojice (S, +, ■) je sama tělesem.
Příklady. Množina Z všech celých čísel je podokruhem těles (Qj +)")) +i") i (Q +, ■). Množina Q všech racionálních čísel je podtělesem těles (R, +, ■) i (C, +, ■).
Nechť (R, +, ■) a (S, #, *) jsou dva okruhy s jednotkovými prvky lala nechť / : R —> S je zobrazení. Řekneme, že / je homomorfismus okruhu (R, +, ■) do okruhu (S, #, *), jsou-li splněny následující podmínky:
(VaJ6GÄ)(/(a + 6) = /(a)#/(6))J
4
(VaJ6GÄ)(/(a-6) = /(a)*/(6))J /(1) = 1.
Poněvadž pak /je homomorfismem grupy (R, +) do grupy (S, +), podle prvního tvrzení v kapitole o homomorfismech grup potom platí rovněž podmínky
/(0)=©    a    (Vo£fi)(/(-o) = -/(a)), kde 0, resp. GD jsou nulové prvky v okruzích (R, +, ■), resp. (S, #, *).
Příklady. Pro libovolné n G N je zobrazení /i : Z —>• Zn dané pro každé a G Z předpisem /i(a) = [a]n homomorfismem okruhu (Z, +, ■) do okruhu (Zn, +, ■)•
Zobrazení ~ : C —> C přiřazující každému komplexnímu číslu z G C číslo ž k němu komplexně sdružené je homomorfismem okruhu (C, +, ■) do něj samotného.
Pro skládání okruhových homomorfismů platí analogické tvrzení jako pro skládání homomorfismů grup. Zádáme-li, aby ho-momorfismus okruhu (R, +, ■) do okruhu (S, #, *) byl současně bijekcí množiny R na množinu S, dostáváme pojem izomorfismu těchto dvou okruhů a mluvíme o izomorfních okruzích. Inverzní zobrazení k takovému izomorfismu je pak rovněž izomorfismem. Obdobnou argumentací jako v kapitole o podgrupách a homomorfismech grup lze dokázat rovněž následující fakt.
Tvrzení.   Nechť (R, +, ■) a (S1, #, *) jsou okruhy a nechť / : R —)• S je homomorfismus okruhu (R, +, ■) do okruhu (S1, #, *). Pak obraz f(R) při tomto homomorfismů je podokruh okruhu
Poznámka. V takové situaci pak trojice (f(R), #, *) sama je okruhem. Je-li zmíněný homomorfismus / navíc prostým zobrazením množiny R do množiny S, jde o bijekci množiny R na množinu f(R), a tedy o izomorfismus okruhu (R, +, ■) s okruhem (f(R), #, *), který sám je podokruhem okruhu (S1, #, *).
5