Okruhy polynomů
Polynomy například s reálnými koeficienty si představujeme jako výrazy tvaru
anxn + an-\xn~l + ■ ■ ■ + a\x + ao,
kde n G N U {0} a ao, ai,..., an_i, an G M. Je ovšem možné si dále představovat, že takový polynom má rovněž koeficienty an+i, an+2,... u mocnin xn+\ xn+2,... a že všechny tyto další koeficienty jsou rovny nule. Můžeme tedy tento polynom vnímat jako směrem doleva nekonečný výraz, v němž je ale jen konečný počet nenulových koficientů. Poněvadž uvedený polynom je plně určen tím, jaké má koeficienty, můžeme místo něj uvažovat přímo jen posloupnost jeho koeficientů, tedy posloupnost
(ao, ai,..., an_i, an, an+i, an+2,...).
Tuto představu můžeme dále zobecnit tak, že místo reálných čísel budeme brát koeficienty z nějakého obecného pevně daného okruhu (R, +, ■). To nás vede k následující definici toho, co je polynom.
Buď (R, +, ■) okruh. Polynom nad okruhem (R, +, ■) je libovolná nekonečná posloupnost
/ — (/o, /l) f2, ■ ■ ■ )j
kde /o,/i,/2j--- Jsou prvky z R, taková, že pro všechny indexy k G {0,1,2,...} s výjimkou jenom konečně mnoha indexů platí f k = 0. Pak prvky /o,/i,/2--- se nazývají koeficienty polynomu /. Množinu všech polynomů nad okruhem (R, +, ■) označujeme symbolem R[x].
Vrátíme-li se ještě jednou k počáteční představě polynomů jakožto výrazů a vzpomeneme-li si, jakým způsobem, jde-li o polynomy s reálnými koeficienty, se tyto výrazy sečítají a násobí,
1
pak přímočarým zobecněním příslušných vzorců na případ polynomů s koeficienty z obecného okruhu (R, + , ■) dostáváme následující definici sečítání a násobení v rámci množiny R[x] všech polynomů nad (R, + , ■). Tyto operace, aniž by hrozilo nebezpečí záměny, budeme rovněž značit symboly +, ■.
Buď (R, +, ■) libovolný okruh. Pak pro kterékoliv dva polynomy / = (/o, /i, /2,...) a g = (g0, g1,g2,...)z R[x] definujeme součet / + g těchto polynomů jakožto polynom
/ + 9 = (/o + 9o, fi + 9i, h + 92, ■ ■ ■),
takže pro každý index k G {0,1, 2,... } platí (/ + g) k = f k + 9k, a dále definujeme součin f-g těchto polynomů jakožto polynom
f-g = {h0,h1,h2,...),
kde ho = f0-g0, hi = f0-gi + frg0, h2 = f0-g2 + fi-gi + fr9o, takže pro každý index k G {0,1,2,...} platí
{f-g)k = hk = fo-9k + fr9k-i H-----h fk-r9i + fv9o,
čili pro každé k G {0,1, 2,...} je [f-g)k = Z)*=o fv9k-i- Je jasné, že pak obě posloupnosti / + g i f-g mají zase jen konečný počet nenulových prvků, čili jde opět o polynomy z R[x].
Tvrzení. Buď (R, +, ■) okruh. Potom také (iž[aj],+, ■) je okruh. Je-li Je-li přitom okruh (R, +, ■) komutativní, pak také okruh (iž[aj], +, ■) je komutativní.
Důkaz. Ověření všech vlastností okruhu, případně komutativního okruhu pro +, ■) je rutinní záležitostí.
Je-li (R, +, ■) okruh, pak okruh +, ■) se nazývá okruh
polynomů nad okruhem (R, +, ■).
Polynomy tvaru (a, 0, 0,..., 0,...), kde a G R, se nazývají konstantní polynomy okruhu +, ■). Přitom význačnou
úlohu mezi nimi hrají nulový polynom (0, 0, 0,..., 0,...),
2
který je nulovým prvkem okruhu (R[x],+, a dále polynom (1, 0, 0,..., 0,...), který je jednotkovým prvkem tohoto okruhu.
Tvrzení. Buď (R, +, ■) okruh. Pak zobrazení C : R —> R[x] dané pro každé a E R předpisem
C(a) = (a,0,0,...,0,...)
je prostý homomoríismus okruhu (R, +, ■) do okruhu +, ■).
Důkaz plyne ihned z definice operací v okruhu +, ■).
Z uvedeného tvrzení podle poznatků z předchozí kapitoly dále plyne, že množina všech konstantních polynomů okruhu (.R[aj], +, ■) tvoří v tomto okruhu podokruh, který jakožto okruh je izomorfní okruhu (R, +, ■)• Z tohoto důvodu často přímo ztotožňujeme prvek a E R a jemu příslušný konstantní polynom (a, 0, 0,..., 0,...), takže píšeme a = (a, 0, 0,..., 0,...).
Buď / = (/o, /i, /2, • • •) nenulový polynom nad okruhem (.R, +,■)• největší číslo n G N U {0} takové, že fn ^ 0, se nazývá stupeň polynomu / a označuje se symbolem st(/). Prvek fn sám se pak nazývá vedoucí koeficient polynomu /. Zmíněné číslo n vždy existuje, neboť polynom / má podle definice pouze konečný počet nenulových koeficientů. Navíc pro nulový polynom (0, 0, 0,..., 0,...) klademe jeho stupeň rovný —oo, přičemž — oo < m pro všechna m E 7L a dále k + í = — oo kdykoliv k, í E 7L U {—oo} jsou taková, že alespoň jedno z nich je rovno — oo.
Chápeme-li symbol x jako značku pro polynom stupně 1 tvaru (0,1, 0, 0,..., 0,...), pak zjišťujeme následující skutečnost.
Tvrzení. Buď (R, +, ■) okruh. Pak pro každé n G N U {0} a každý polynom / = (/0, /i,..., fn-h /n, 0, 0,..., 0,...) stupně n z R[x] platí rovnost
/ = fn*71 + fn-VX71-1 + ■ ■ ■ + fl-X + /o,
3
kde koeficienty /o, /i,..., fn-i, f n chápeme jako konstantní polynomy v R[x] a operace +, ■ jsou operacemi okruhu +, ■).
Důkaz. Stačí si jenom uvědomit, že je-li x polynom shora uvedeného tvaru, pak pro každé k 6 N je xk polynom stupně k tvaru (0, 0,..., 0,1, 0, 0,...), kde 1 leží na pozici s indexem k.
Vzhledem ke skutečnosti obsažené v tomto tvrzení budeme nadále polynom / = (/0, /i,..., fn-i, fn, 0, 0,..., 0,...) zapisovat zpravidla ve tvaru / = fnxn + fn-\xn~l + ■ ■ ■ + f\x + /o, tedy nikoliv jako posloupnost, ale jako jí odpovídající výraz ve smyslu uvedeném na začátku této kapitoly.
Tvrzení. Buď (R, +, ■) okruh. Pak pro libovolné dva polynomy /, g z R[x] platí
st(/ + g) < max{st(/), stfa)}   a   st(f-g) < st(/) + stfa).
Je-li navíc (R, +, ■) obor integrity, pak ve druhé nerovnosti platí vždy rovnost.
Důkaz. Uvedené nerovnosti ihned plynou z definic operací v okruhu +, ■). Je-li některý z polynomů /, g nulový, pak
součin f-g je nulový polynom a ve druhé nerovnosti platí rovnost podle výše uvedených pravidel počítání se symbolem — oo. Je-li
(R, +, ■) obor integrity a jsou-li / = fmxm + /TO_ixm_1 H-----h
fix + /o, resp. g = gnxn + gn-\xn~l H-----h g\x + g0 nenulové
polynomy stupňů m, resp. n, takže fm ^ 0 ^ gn, pak součin f-g je polynom stupně m + n, poněvadž jeho poslední nenulový koeficient je u mocniny xm+n a je roven fmgn ^ 0. Takže ve druhé nerovnosti platí zase rovnost.
Důsledek. Je-li (R, +, ■) obor integrity, pak také +, ■)
je obor integrity.
Důsledek. Je-li (R, +, ■) obor integrity, potom jednotkami okruhu +, ■) jsou právě ty konstantní polynomy, které od-
povídají jednotkám okruhu (R, +, ■).
4