Vektorové prostory
Zobecníme nejprve představu vektorů z dvourozměrného nebo trojrozměrného prostoru na libovolný n-rozměrný prostor, kde n je jakékoliv přirozené číslo. Tento n-rozměrný prostor reprezentujeme jako kartézskou mocninu W1 množiny R všech reálných čísel, tedy jako množinu všech n-tic reálných čísel.
Vezmeme-li libovolné dva body A, B 6 Mn, tedy dvě n-tice reálných čísel A = [ai, a2,..., an], B = [61, 62, • • •, bn], pak tyto dva body určují vektor u = (iii, 112,..., un) tak, že u\ = b\ — a\, U2 = 62 — a2, ■ ■ ■, un — bn — an. Pak ovšem můžeme stručně psát 5 = A + u, chápeme-li tento součet po jednotlivých složkách. Tentýž vektor u = (u\, 1/2, ■ ■ ■, un) je ovšem určen také kterýmikoliv jinými dvěma body C, D 6 Rn, tedy jinými dvěma n-ticemi C = [ci, C2,..., cn], D = [di, c?2,..., dn], pro něž platí iíi = c?i — ci, W2 = g?2 — C2, ..., un = dn — cn, takže pak lze podobně psát D = C + u. Samotný vektor u = (u\,U2, ■ ■ ■, iín) Je pak rovněž n-ticí reálných čísel, a je tedy také prvkem kartézské mocniny W1.
Navíc máme-li tři body A, B,C GK", kde body A, B určují vektor u = (wi, «2, • • •, un) tak, že B = A + u, a body B, C určují podobně vektor v = (i>i, i>2, • • •, vn) tak, že C = B + v, pak ovšem máme C = A + u + v, což znamená, že součet vektorů u + v = (iíi + 1*1, U2 + ^2) • • •, uíí + ^n) Je vektor určený body A, C. Kromě toho určuje-li dvojice bodů A, B vektor u = (iíi, ií2, • • •, wn)i Pak dvojice bodů B, A určuje opačný vektor —u = (—1*1, —1*2) • • • i ~un)- Dvojice stejných bodů A, A určuje nulový vektor o = (0, 0,..., 0). Takto je možno kartézskou mocninu W1 chápat také jako množinu všech vektorů v n-rozměrném prostoru, které spolu s právě popsanou operací + tvoří komutativní grupu (Rn,+).
Vedle toho máme možnost ještě pro každé číslo r G M a pro každý vektor u G Mn, u = (u\,U2, ■ ■ ■ ,un), uvažovat také vektor ru = (r-u\, r-U2,..., r-un). Tímto způsobem zavedená tzv. vnější operace ■, tj. násobení vektoru u G W1 skalárem r G M má některé další příznivé vlastnosti, které jsou popsány níže. Máme-li na zřeteli celou takto vzniklou strukturu, mluvíme o vektorovém prostoru (Rn, +, ■) nad tělesem (R, +, ■) všech reálných čísel.
Postoupíme-li v procesu zobecňování a abstrakce ještě dále a vezmeme-li místo reálných čísel jakékoliv těleso a místo jeho n-té kartézské mocniny jakoukoliv komutativní grupu, která bude svázána s daným tělesem vnější operací skalárního násobku mající analogické vlastnosti jako doposud, dostaneme následující obecný pojem vektorového prostoru.
Buď (T, +, ■) těleso a buď (V, +) komutativní grupa. Nechť je dále dáno zobrazení
■ : TxV -)> V
přiřazující každému prvku s G T a každému prvku u G V prvek su G V takovým způsobem, že pro libovolná s,í ETau,vE V
platí /   ,   \ i
s • (u + v) = su + s-v,
(s + t) • u = su + í-u,
(s • t) • u = s • (t • u),
lu = u.
Pak trojice (V,+, ■) se nazývá vektorový prostor nad tělesem (T,+,-).
Prvky množiny V se nazývají vektory a prvky množiny T se nazývají skaláry. Neutrální prvek grupy (V, +) se značí symbolem o a nazývá se nulový vektor. Opačný prvek k vektoru u G V v grupě (V, +) se značí symbolem —u a nazývá se opačný vektor k vektoru u. Vektor s-u, kde s G T a u G V, se nazývá skalární násobek vektoru u prvkem s.
Symbolem + jsou ve struktuře vektorového prostoru označeny dvě binární operace, totiž sčítání + : T x T —Y T v tělese (T, +, ■) a sčítání + : V x V —Y V v komutativní grupě (V, +). Podobně symbolem ■ je označena jednak binární operace násobení ■ : T x T —Y T v tělese (T, +, ■) a také vnější operace skalárního násobku ■ : T x V —Y V, která je pak uváděna v rámci trojice (V,+,-). Je třeba mít tuto okolnost na zřeteli, i když nebude moci dojít k nedorozumění, poněvadž z kontextu bude vždy jasné, o kterou operaci právě jde.
Pro libovolné vektory u, v G V budeme opět synbolem u — v značit vektor u+(—v). Pak z vlastností operací ve struktuře vektorového prostoru uvedených až doposud plynou jako důsledky také následující vlastnosti.
Tvrzení. Nechť (V,+, ■) je vektorový prostor nad tělesem (T, +, ■). Pak pro libovolná s,í£Tau,vE V platí
s ■ (u — v) = su — s-v,
(s — ť) ■ u = su — í-u,
s ■ (-u) = (-s) ■ u = -(s-u),
s u = o <^> s = 0 V u = o.
Důkaz. Ježto (—v) + v = o a s-v — s-v = s-v+ (—s-v) = o, dostáváme odtud s ■ (u — v) = s ■ (u + (—v)) + s-v — s-v = s ■ (u + (—v) + v) — s-v = s-u — s-v.
Dále poněvadž (—t) + t = 0 a tu — tu = tu + (—t-u) = o, dostáváme podobně (s — t) • u = (s + (—t)) • u + tu — tu = (s + (—t) + t) • u — tu = s-u — tu.
Poněvadž podle předchozího s-u +s-(—u) = s-(u+(—u)) = s ■ (u — u) = s-u — s-u = o, je vektor s ■ (—u) opačným vektorem k vektoru s-u, takže máme s- (—u) = —(s-u). Podobně poněvadž s-u + (—s) ■ u = (s + (—s)) ■ u = (s — s) ■ u = s-u — s-u = o, je vektor (—s) - u opačným vektorem k vektoru s-u, takže máme také (—s) ■ u = — (s-u).
Je-li s = O, pak podle předchozích poznatků máme 0-u = (0 — 0) ■ u = 0-u — 0-u = o. Je-li u = o, pak podobně so = s ■ (o — o) = s • o — s • o = o. Je-li naopak s-u = o a je-li přitom s ^ 0, pak u = 1-u = (s-1 ■ s) ■ u = s-1 ■ (s ■ u) = s-1 ■ o = o podle posledního zjištění, takže pak u = o.
Příklady. Nechť (T, +, ■) je těleso a nechť n je přirozené číslo. Pak kartézská mocnina Tn = {(si, s2, • • •, sn) \ s\, s2, ■ ■ ■, sn G T} spolu s operací sčítání + definovanou po složkách předpisem
(Si, S2, . . . , S„) + (íl, í2, • • • , tn) = (Si + íl, S2 + Í2, ■ ■ ■ , S„ + í„)
a s vnější operací skalárního násobku ■ definovanou podobně předpisem s- (íi, • • •, tn) = (s-íi, s-í2, • • •, s-tn) tvoří vektorový prostor (Tn,+,-) nad tělesem (T,+, ■). Speciální případ, kdy tělesem (T, +, ■) bylo těleso (R, +, ■) všech reálných čísel, byl rozebrán v úvodu této kapitoly.
Nechť opět (T, +, ■) je těleso a nechť T[x] je množina všech polynomů nad tělesem (T, +, ■). V kapitole o okruzích polynomů jsme na množině T[x] definovali binární operace + a ■ tak, že pak (T[aj], +, ■) byl okruh, nazývaný okruh polynomů nad tělesem (T, +, ■). Zúžíme-li nyní druhou z těchto operací, tedy operaci ■ tak, že ji ponecháme definovanou pouze pro ty dvojice polynomů f,g G T [x], kde / je konstantní polynom, a tedy / je vlastně prvkem množiny T, dostaneme tak vnější operaci skalárního násobku přiřazující každému prvku s G T a každému polynomu g G T [x] polynom s-g G T [x]. Tak vzniká vektorový prostor (T[x], +, ■) nad tělesem (T, +, ■).
Uvažme množinu R^0'1^ všech zobrazení intervalu (0,1) do množiny R všech reálných čísel. Na této množině definujme operaci sčítání + pro libovolná /, g : (0,1) —> R předpisem
(VxG<0, l))((f + g)(x) = f(x)+g(x))
a dále definujme vnější operaci skalárního násobku ■ pro libovolná r G R a / : (0,1) —> R předpisem
(ViG(0,l))((r./)(i) = r./(4
Pak (l^0'1), +, ■) je vektorový prostor nad tělesem (R, +, ■) všech reálných čísel.
Buď (V, +, ■) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ■). Nechť W C V je podmnožina splňující následující podmínky:
o G W,
(Vu,vG W)(u + vG W),
(Vseľ)(Vue W)(s-ue W).
Pak říkáme, že W je podprostor vektorového prostoru (V, +, ■)• Tato terminologie je ospravedlněna skutečností, že potom množina W je uzavřená vzhledem k operaci + sčítání vektorů a také vzhledem ke skalárnímu násobení ■ vektorů libovolnými prvky tělesa (T, + , ■); navíc množina W obsahuje nulový vektor o a dále ke každému vektoru u G W obsahuje také opačný vektor —u, poněvadž —u = — (1 ■ u) = (—1) ■ u G W. Takže pak W C V je podgrupa grupy (V, +) a celkem tak vzniká struktura (W, +, ■), která je zase vektorovým prostorem nad tělesem (T, +, ■), neboť také ostatní shora uvedené definiční podmínky vektorového prostoru zůstávají splněny.
V každém vektorovém prostoru (V, + , ■) nad tělesem (T, +, ■) jsou podmnožiny {o} a V množiny V podprostory vektorového prostoru (V,+, ■). Znamená to mimo jiné, že ({o}, +, ■) tvoří vektorový prostor nad tělesem (T, +, ■), kterému říkáme nulový vektorový prostor. Kromě toho ovšem může mít daný vektorový prostor množství dalších podprostorů.
Příklady. Nechť (T, +, ■) je těleso a nechť m, n jsou přirozená čísla splňující m < n. Viděli jsme, že pak kartézská mocnina Tn = {(si, S2, • • •, sn) I si, S2, • • •, sn G T} spolu s operacemi sčítání + a skalárního násobení ■ definovanými po složkách tvoří vektorový prostor (Tn, +, ■) nad tělesem (T, +, ■). Pak množina
Tm x {Q}n-m = {(Sl, S2, . . . , Sm,0,0, . . . ,0) \ SU S2, . . . , Sm Ér},
jež je podmnožinou kartézské mocniny Tn, je podprostorem vektorového prostoru (Tn, +, ■).
Buď opět (T, +, ■) těleso. Viděli jsme, že pak okruh polynomů (T[x],+, ■) tvoří vektorový prostor nad tělesem (T,+, ■). Pak například množina {/ G T[x] | (Ví G T) (f (t) = f (-t))} tvoří podprostor ve vektorovém prostoru +, ■).
Tvrzení. Nechť (V, + , ■) je vektorový prostor nad tělesem (T, +, ■). Pak pro libovolnou indexovou množinu / ^ 0 a pro libovolný soubor podprostorů Wj vektorového prostoru (V, +, ■), kde i G /, platí, že průnik tohoto souboru podprostorů Wj je také podprostorem vektorového prostoru (V, +, ■).
Důkaz. Ověření faktu, že množina Hie/^* splňuje všechny výše uvedené definiční podmínky vektorového podprostorů, pokud jednotlivé množiny Wj pro i E I tyto podmínky splňují, je rutinní záležitostí.
Buď dále (V,+,-) vektorový prostor nad tělesem (T,+, ■). Buď M C V libovolná podmnožina. Pak existuje alespoň jeden podprostor vektorového prostoru (V, +, ■) obsahující množinu M - například celá množina V je takovým podprostorem. To znamená, že soubor všech těch podprostorů vektorového prostoru (V,+, ■), které obsahují množimu M, je neprázdný. Můžeme tedy utvořit průnik tohoto souboru podprostorů. Podle předchozího tvrzení je tento průnik sám podprostorem vektorového prostoru (V, +, ■). Tento poslední podprostor pak značíme symbolem (M).
Je jasné, že pak (M) je nejmenší podprostor vektorového prostoru (V, +, ■) v systému všech podprostorů tohoto vektorového prostoru částečně uspořádaném inkluzí, který obsahuje množinu M. O tomto podprostorů (M) říkáme, že je to podprostor generovaný množinou M, a o samotné množině M říkáme, že je to množina generátorů podprostorů (M). Tato terminologie je odůvodněna následující skutečností. Poznamenejme ještě předtím, že pro M = 0 zřejmě máme (M) = {o}.
Tvrzení. Nechť (V,+, ■) je vektorový prostor nad tělesem (T, +, ■) a nechť M C V, M ^ 0 je libovolná podmnožina. Pak platí následující rovnost:
(M) = {srui + s2-u2 H-----h sn-un | n G N, s1, s2,..., sn G T,
ui,u2, • • • ,un G M}.
Poznámka. O vektoru si-Ui + S2-u2 + ■ ■ ■ + sn-un říkáme, že je to lineární kombinace vektorů ui, u2,..., un s koeficienty si, s2,..., sn. Podle uvedeného tvrzení je tedy podprostor (M) tvořen všemi lineárními kombinacemi konečných posloupností vektorů z M s koeficienty z T.
Důkaz. Označme množinu uvedenou napravo v dokazované rovnosti jako U. Máme ukázat, že pak (M) = U. Podle definice je (M) nejmenší podprostor vektorového prostoru (V, +, ■) vzhledem k inkluzi obsahující množinu M. Stačí, když ukážeme, že tytéž podmínky platí také pro množinu U. Pak budeme vědět, že vskutku (M) = U.
Nejprve ověříme, že U je podprostorem vektorového prostoru (V,+,-). Ovšem M ^ 0, takže můžeme zvolit vektor u G M a máme o = u — u = 1-u + ( —l)-u, což ukazuje, že o G U. Dále pro libovolné dva vektory si-ui + s2*u2 + ■ ■ ■ + sn-un a íi-vi + í2-v2 + ■ ■ ■ + ífc'Vfc z U, kde n,k G N, si, s2,..., sn, ti, h, ■ ■ ■, tk G T, ui, u2,..., u„, vi, v2,..., vfc G M platí, že také vektor srui + s2-u2 + ■ ■ ■ + sn-un + tyVi + í2-v2 + ■ ■ ■ + tk-vk
náleží do U. Rovněž pro libovolné t E T také vektor ŕ-(si-ui +
s2-u2H-----\-sn-un) = (í-si)-ui + (í-s2)-u2H-----\-(t-sn)-un náleží
do U. Je tedy U podprostor ve (V, +, ■).
Dále pro každý vektor u G M máme u = lu, takže u G U. Je tedy vidět, že M C U.
Nakonec ukážeme, že U je nejmenší podmnožina ve V s předchozími dvěma vlastnostmi vzhledem k inkluzi, tedy že U je nejmenší podprostor ve (V, +, ■) splňující M C U:
Buď tedy W libovolný podprostor ve (V, +, ■) takový že M C W. Pak je třeba ukázat, že U C W. Tedy pro libovolný
vektor srui + s2-u2 H-----h sn-un, kde n G N, si, s2,...,sneT,
ui, u2,..., un G M, mame ukázat, že si,Ui + s2,u2 + i ■ ■ + sn,un G W. Ovšem z definičních vlastností podprostoru ihned plyne, že podprostor W je uzavřen vzhledem k tvorbě libovolných lineárních kombinací vektorů s koeficienty z T. Skutečně tedy platí, že U C W.