Racionální lomené funkce
Buď (R, +, ■) nekonečné těleso. Nechť /, g G R[x] jsou polynomy, přičemž g ^ 0. Víme, že pak polyom g má jenom konečný počet kořenů. Označme Kg množinu všech kořenů polynomu g. Pak definujeme zobrazení
. , . &f,g : R-Kg -+ R
předpisem '
(VcG R-Kg)(Xf/g(c) = migic))-1).
Zobrazení se nazývá racionální lomená funkce určená dvojicí polynomů /, g.
Na množině R[x] x (R[x] — {0}) definujeme relaci « takto: Pro libovolné polynomy f,g,s,t G R[x], g ^ 0, t ^ 0, klademe
f-t = s-g.
Na pravé straně v této definici vystupuje rovnost dvou polynomů z R[x]. Podle posledního důsledku z minulé kapitoly je tato rovnost f-t = s-g ekvivalentní rovnosti polynomických funkcí Pf-t — Důkaz citovaného důsledku je ovšem takový, že úplně stačí požadovat rovnost těchto dvou funkcí pouze na nekonečné množině R — (Kg U Kt). Tento požadavek je pak ovšem ekvivalentní rovnosti racionálních lomených funkcí a 3fts/ť na množině R — (Kg U Kt). Znamená to tedy, že pro libovolné polynomy /, g,s,t G R[x], g ^ 0, t ^ 0, máme
M) (VcGJR-(K,UKí))(%,(c)=^/í(c)).
Dále je evidentní, že tato relace ~ je ekvivalence na množině R[x] x (R[x] — {0}). Tímto způsobem vzniká faktorová množina R[x] x (R[x] — {0}) / «. Pro libovolné polynomy /, g G iž[aj], g ^ 0, budeme třídu [(/, g)]~ této faktorové množiny značit krátce symbolem ^ a budeme mluvit o zlomku určeném dvojicí polynomů f,g.
Faktorová množina R[x] x (R[x\ — {0}) / « je tedy při uvedené terminologii množinou všech zlomků vytvořených z polynomů z R[x]. Při uvedeném označení pak původní definice ekvivalence ~ vypadá tak, že pro libovolná /, g, s,t G R[x], g ^ 0, í ^ 0, máme
Každý zlomek ^ je ovšem možno vyjádřit jednoznačně v následujícím speciálním, tzv. vykráčeném tvaru:
Tvrzení. Buď (R, +, ■) nekonečné těleso. Pak pro libovolné polynomy f,g G R[x], g ^ 0, existují polynomy s,t G iž[aj], í ^ 0, takové, že = 1, polynom t je normovaný a platí
^ — f ■ Polynomy s, í jsou přitom určeny jednoznačně.
Důkaz. Nechť a je vedoucí koeficient polynomu g. Položme /' = a-1-/ a g' = a~l-g. Pak polynom g' je normovaný a podle předchozí formule zřejmě platí ^ = ^. Nechť dále /i = (/',</). Pak existují polynomy s, í G iž[a^ takové, že /' = /i-s a, g' = h-t. Potom znovu z formule předcházející tomuto tvrzení plyne, že ^7 — f ■ Přitom t ^ 0 a t je nutně normovaný polynom, jelikož g' i /i jsou takové polynomy. Kromě toho (s, í) = 1, neboť kdyby tomu tak nebylo, zjevně by neplatilo, že (/', g') = h.
Nechť dále s, s',í,ť G R[x], t ^ 0, ť ^ 0 jsou takové polynomy, že (s, ť) = 1 a (s',ť) = 1, polynomy t,ť jsou normované a platí pro ně ^ = | i ^ = fr- Pak ovšem | = j. Z formule zmiňované výše pak plyne, že s-ť = s'-í. Poněvadž (s,t) = 1, z této rovnosti na základě důsledku Bezoutovy rovnosti z předminulé kapitoly plyne, že s \ s' a t\ť. Poněvadž také (s', ť) = 1, podobně odtud plyne rovněž, že s'\ s a ť\ t. Poněvadž polynomy t, ť jsou normované, znamená to, že t = ť, odkud vychází též, že s = s'.
Dále je možno na faktorové množině R[x] x (R[x] — {0}) / ~ definovat binární operace + a ■ následovně. Pro libovolná /, g, u,v G R[x], g ^ 0, v ^ 0, klademe
f    u      f-v + g-u f  u      f-u
- + - = - a ---= -.
g    v g-v g   v g-v
Je snadné ověřit, že tyto definice jsou korektní v tom smyslu, že výsledný zlomek v žádné z obou operací nezávisí na tom, kterými konkrétními dvojicemi polynomů jsme výchozí dva zlomky reprezentovali. Kromě toho se pak rovněž lehce ověří, že faktorová množina R[x] x (R[x] — {0}) / ~ , tedy množina všech výše popsaných zlomků spolu s právě definovanými operacemi + a ■ tvoří těleso. Mluvíme o tělese zlomků nad okruhem +, ■). Nakonec se snadno nahlédne, že zobrazení přiřazující každému polynomu h G R[x] zlomek j je prostým homomor-fismem okruhu polynomů +, ■) do právě popsaného tělesa
zlomků nad tímto okruhem. Je tedy možno takto polynomy chápat jako speciální typ zlomků.
Nechť znovu f,g G R [x] jsou polynomy, g ^ 0. Řekneme, že zlomek ^ je ryzí, jestliže st(/) < st(g). Poznamenejme, že ani tato definice nezávisí na dané konkrétní reprezentci dotyčného zlomku, neboť jsou-li s,t G R[x], t ^ 0 takové polynomy, že ^ — f j Pak máme f-t = s-g, a tedy st(/) + st(ť) = st(s) + st(g). Takže st(/) < st(g) platí právě tehdy, když platí st(s) < st(ŕ).
Tvrzení. Buď (R, +, ■) nekonečné těleso. Pak pro libovolné polynomy f,g G R[x], g ^ 0, existují polynomy h,u,v G R[x], v ^ 0, takové, že ^ = h + ^, přičemž ^ je ryzí zlomek. Přitom polynom h i ryzí zlomek ^ jsou určeny jednoznačně.
Důkaz. Podle věty o dělení polynomů se zbytkem existují polynomy h,u G R[x] takové, že / = g-h + u, přičemž je splněno st(w) < st(#). To znamená, že pak £ = = \ + |, takže
^ = h + -, kde - ie ryzí zlomek. g 5'       g J J
Nechť dále h, h', u, u', v, v' G R[x], v ^ O, v' ^ O, jsou takové polynomy, že^ = /i + ^ i ^ = ^' + fľ5 přičemž oba zlomky ^ i ^ jsou ryzí. Pak tedy máme h + ^ = h' + ^, takže h — h! = ^ — a tedy (/i — h')-v-v' = — wV. Poněvadž ale st(w) < st (v) a st(w') < st (i/), plyne odtud, že st(u'-v — u-v') < st(v-v'). To ovšem ukazuje, že předchozí rovnost může platit jenom tehdy, je-li h = h'. To má pak za následek také rovnost - = yLT.
Tvrzení. Buď (R, +, ■) nekonečné těleso. Nechť f,g,h£ R[x], g ^ 0, h ^ 0 jsou takové polynomy, že (3,/i) = la^ je ryzí zlomek. Potom existují polynomy u,v G R[x] takové, že platí = 5    h Přičemž oba zlomky ^ i | jsou ryzí. Navíc tyto polynomy u, v jsou určeny jednoznačně.
Důkaz. Poněvadž (g, h) = 1, podle Bezoutovy rovnosti existují polynomy s,t G R[x] takové, že 1 = h-s + g-t. Pak ovšem f = f-l = f-h-s + /.<K takže ^ = t^jLsl = tf + ^. Podle předchozího tvrzení a jeho důkazu pak ale existují polynomy p, g, w, v G        takové, že ^ = p + ^ a ^ = # + f 5 přičemž
^ i I jsou ryzí zlomky. Takže dostáváme ^ = P + <Z + ^ + f-Poněvadž všechny zlomky v této rovnosti jsou ryzí, podobnou argumentací jako v závěru předchozího důkazu odtud odvodíme, že nutně p + q = 0. Vychází tedy, že ^ = ^ + |.
Nechť dále u,u',v,v' G R[x] jsou takové polynomy, že platí
Ä = f + fiÄ = 7 + t přifemž vsecW zlomky f. b f' £
jsou ryzí. Pak ovšem ~ + f = ~ + ^5 takže máme u-h + v-g = u'-h + ■zZ-g, a tedy (v — v')-g = (V — u)-h. Poněvadž (g, h) = 1, podle důsledku Bezoutovy rovnosti z předminulé kapitoly odtud plyne, že g \ (uf — u) a h \ (v — v'). Protože ale st (V — u) < st(g) a st (v — v') < st(/i), je to možné jenom tak, že u = u' a v = v'.
Nechť p G R[x] je ireducibilní polynom, / G R[x] je nenulový polynom takový, že st(/) < st(p), a nechť k je přirozené číslo. Položme g = pk. Pak o zlomku ^ říkáme, že je to prostý zlomek.
Nyní jsme připraveni formulovat následující větu o rozkladu racionálních lomených funkcí na parciální zlomky.
Věta. Buď (R, +, ■) nekonečné těleso. Pak libovolný nenulový ryzí zlomek vytvořený z polynomů z R[x] lze vyjádřit ve tvaru součtu konečného počtu prostých zlomků. Přitom toto vyjádření je pro daný ryzí zlomek jediné.
Důkaz. Mějme libovolný ryzí zlomek ^, kde /, g G R[x] jsou takové polynomy, že / ^ 0, g ^ 0 a st(/) < st(g). Pak g je ne-konstantní polynom. Poněvadž okruh polynomů (iž[aj],+, ■) je okruhem s jednoznačným rozkladem, existují konstanta a G R, a ^ 0, přirozené číslo £, vzájemně různé normované ireducibilní polynomy Pi,P2, ■ ■ ■ ,P£ z R[x] a přirozená čísla k\, &2, • • •, ki taková, že platí g = a-p^-p^2-... - p^. Položme ještě /'= a-1-/, g' = a~l-g a dodejme, že potom ^ = y a g' = p^-p^- ■ ■ ■ • p\l. Poznamenejme ještě, že pak pro každé i G {1, 2, ...,£} je polynom p\{ nesoudělný se součinem všech zbývajících polynomů mezi p*1, p^2, ... , pktl. Vzhledem k této okolnosti je možno opakovanou aplikací předchozího tvrzení postupně najít polynomy iíi, W2, • • •, U£ G R[x] tak, že platí
Ĺ = — 4-       + —
~~     fci fc2 ke '
9     p^    p22 p/
přičemž všechny zlomky napravo v této rovnosti jsou ryzími zlomky. Poněvadž / ^ 0, existuje alespoň jedno i G {1, 2,..., £}, pro něž je Uj ^ 0. Vezměme nyní libovolné i G {1,2,...,£} takové, že Uj ^ 0, a zkoumejme zlomek      Označme ho kvůli jedno-
duchosti jako ^. Je-li k = 1, je to již prostý zlomek. Předpokládejme tedy dále, že k > 1. Pak opakovaným dělením polynomů se zbytkem postupně najdeme polynomy ť/i, ť/2, • • •, qk-i £ a n, r2,..., rfc_i G iž[aj] takové, že platí:
u = p-qi+ri, st (n )< st (p), qi = P-Q2 + 7*2, st(r2) < st(p), Q2 = P-Qs + rs,    st(r3) < st(p),
Qk-2 = P-Qk-I + rk-i,    st(rfc_i) < st(p).
Poněvadž st(u)  < st(pfc), vychází odtud postupně také, že st(gi) < st(pfc"1), st(g2) < st(pfc"2), st(g3) < st(pfc"3), st(gfc-i) < st(p). Z předchozích rovností rovněž dále plyne, že u = 7"i +p-r2 +p2-r3 + ■ ■ ■ +pfc~2-Tfc_i +pfc_1-gfc_i. Přitom w ^ 0. To znamená, že dostáváme
— - H _|_  r2  _|_  r3  _|_____j_ ^V-i _j_ St±
přičemž všechny ty zlomky uvedené vpravo v této rovnosti, které jsou nenulové, jsou prostými zlomky. Tento fakt spolu s předchozím rozkladem ryzího zlomku ^ dokazují existenci požadovaného
vyjádření zlomku ^ ve tvaru součtu několika prostých zlomků. Jednoznačnost tohoto vyjádření se dokáže argumenty podobnými těm, které byly použity v důkazech předchozích dvou tvrzení.
Poznámky. Před rozkladem daného ryzího zlomku ^ na součet prostých zlomků je rozumné vyjádřit tento zlomek ve vykráčeném tvaru podle prvního tvrzení této kapitoly.
Požadujeme-li, aby zde prosté zlomky byly vyjádřeny v takovém tvaru, který byl dán v jejich definici, a chceme-li navíc, aby přitom ireducibilní polynomy v těchto tvarech byly normované, pak dostáváme jednoznačnost rozkladu ryzího zlomku ^ na součet prostých zlomků netoliko, pokud jde o vlastní prosté zlomky v tomto rozkladu obsažené, ale dokonce, pokud se týče samotných polynomů použitých ve vyjádřeních těchto zlomků.