Řešení systému lineárních rovnic
Ondřej Klíma
Řešení systémů lineárních rovnic — p.1/12
Opakování
3 Konečněrozměrný vektorový prostor — báze, dimenze.
3 Souřadnice — konečněrozměrný vektorový prostor nad T dimenze n je izomorfní Tn.
m Hodnost matice — „sloupcová = řádková".
3 Výpočet hodnosti — EŘÚ.
3 Pro hodnost (matice A typu mxn) platí
h(A) < min{m,n}.
Řešení systémů lineárních rovnic —
p.2/12
Kdy má čtvercová matice nxn hodnost n? Věta.
Pro každou čtvercovou matici A = (a^-) řádu n nad tělesem T jsou následující podmínky ekvivalentní: 3 Hodnost matice A je rovna n.
3 Řádky matice A jsou lineárně nezávislé.
3 Sloupce matice A jsou lineárně nezávislé.
3 Determinant \A\ je nenulový.
3 Matice A je invertibilní.
Řešení systémů lineárních rovnic — p.3/12
Regulární matice
3 Čtvercová matice A = (a^) řádu n nad tělesem T, která splňuje ekvivalentní podmínky z předchozí věty, se nazývá regulární matice.
3 Nesplňuje-li taková čtvercová matice A podmínky z předchozí věty, říkáme, že je to singulární matice.
3 Příklad: matice přechodu jsou regulární.
3 Pozn: Regulární matice řádu n tvoří grupu vzhledem k násobení matic.
Řešení systémů lineárních rovnic —
p.4/12
XVt^tlll llUlllUg^lllllVll ^J^ltlllU
a\\X\ + (212^2 H-----1- ainXn = O,
a2\X\ + (222^2 H-----h «2n^n = O,
^ml^l "I- ^7712^2 H~ ' ' ' H~ ďjnnXn O?
^4 • xT = o
Pro libovolnou matici A typu m x n nad T je množina
SA = {x G Tn | A • xT = o}
všech řešení homogenní soustavy A- xT = o podprostor
Řešení systémů lineárních rovnic — p.5/12
Řešení A • xT = o jako podprostor
SA = {xeTn\A-xT = o}\e podprostor Tn. 3 o e Sa,
m  x,y <e Sa =>* x + y £ Sa
A(xT + yT) = AxT + AyT = o + o = o m  s G T, x G       =>- s • x G 5^
^4 • (s • xT) = ^4-s-xT = s- ^4-xT = s- o = o
Pozor: o značí někde nulový vektor vra jinde nulový vektor v Tm.
Řešení systémů lineárních rovnic —
p.6/12
V případě čtvercových matic (tj. m = n):
3 \A\ ŕ 0       5a = {o}, (dimenze 0)
4 |A| = 0       ^ „nekonečná" (pro T nekonečná), 3 Jaká je dimenze SU? Najít bázi...
Věta.
Množina všech řešení homogenní soustavy m lineárních rovnic o n neznámých s maticí koeficientů A = (a^-) nad tělesem T tvoří vektorový prostor dimenze k = n- h(^4), kde h(A) je hodnost matice A.
Řešení systémů lineárních rovnic — p.7/12
Od podprostoru k soustavě
Je každý podprostor řešením nějaké soustavy? Buď V podprostor Tn. Pak množina
U = {a = (ai, <22,.. • , an) £ Tn | Vx £ V : a • xT = 0}
je vektorový podprostor v Tn, přičemž dimV + džraU = n. Věta.
Pro libovolný podprostor V vektorového prostoru (Tn, +, •) dimenze k < n, existuje homogenní soustava lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem (T, +, •) s maticí koeficientů A = (a^) hodnosti h(^4) = n-k, jejíž všechna řešení tvoří právě podprostor V.
Řešení systémů lineárních rovnic —
p.8/12
V/gt 11111 Vil ^J^ltlllU
a\\X\ + (212^2 H----+ CLlnXn =
(221^1 + (222^2 H----+ «2n^n = &2,
^ml^l "I- Q"m2X2 H~ ' ' ' H~ Q"mn%n ^m?
A • xT = b
Pro matici A a vektor b ^ o množina
SA,b = {xeTn\A-xT = b}
všech řešení nehomogenní soustavy A • xT = b není podprostor Tn. ( o 0 SA,b)
Řešení systémů lineárních rovnic — p.9/12
Vlastnosti řešení A • xT = b
Stále platí A(xT + i/T) = AxT + ^2/t. Proto platí:
m x e Saj>, y ^ Sa =>> x + ?/ g SU,&
Věta.
Je-li z g SU,& nějaké řešení soustavy A • xT = b, pak
<SU,6 = {2:+ 2/ | 2/ g S'a}.
Poslední vyjádření píšeme ve tvaru: SU,& = 2 + SU-
Terminologie: A • xT = o zhomogenizovaná soustava, z partikulární řešení,
nějaká báze SA fundamentální systém řešení.
Řešení systémů lineárních rovnic —
p.10/12
J J
UU1 Vili   -M. ^skJ^sM.M.M. miiv
Vyjádření SA,b jako z + V není jednoznačné.
Lze volit různé partikulární řešení z.
Podprostor V je jednoznačně určen, lze v něm však
volit různé báze ... fundamentální systém řešení.
Opět lze k libovolné množině z + V najít vhodný systém A • xT = b s vlastností SAjb = z + V.
Množiny tvaru z + V se nazývají: afinní podprostory, lineární variety,... V se pak nazývá zaměření.
Geometrická představa — body, přímky, roviny,...
Zbývá otázka, kdy existuje nějaké partikulární řešení z nehomogenního systému.
Řešení systémů lineárních rovnic — p.11/12
Frobeniova věta
Věta.
Buď T těleso, buď A = (a^) matice typu m x n nad T a buď b = (61,62,..., bm) vektor z Tm. Potom soustava lineárních rovnic A • xT = bT je řešitelná právě tehdy, když hodnost matice soustavy, tj. hodnost matice A, je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy, tj. hodnosti matice (^4|bT).
Řešení systémů lineárních rovnic —
p.12/12