Ř ešení systémů lineárních
rovnic
Ondřej Klíma
Řešení systémů lineárních rovnic ­ p.1/12

Opakování
Konečněrozměrný vektorový prostor -- báze, dimenze.
Souřadnice -- konečněrozměrný vektorový prostor
nad T dimenze n je izomorfní Tn.
Hodnost matice -- ,,sloupcová = řádková".
Výpočet hodnosti -- EŘ Ú .
Pro hodnost (matice A typu m × n) platí
h(A)  min{m, n}.
Řešení systémů lineárních rovnic ­ p.2/12

Plná hodnost čtvercových matic
Kdy má čtvercová matice n × n hodnost n?
Řešení systémů lineárních rovnic ­ p.3/12

Plná hodnost čtvercových matic
Kdy má čtvercová matice n × n hodnost n?
Věta.
Pro každou čtvercovou matici A = (aij) řádu n nad tělesem
T jsou následující podmínky ekvivalentní:
Hodnost matice A je rovna n.
Ř ádky matice A jsou lineárně nezávislé.
Sloupce matice A jsou lineárně nezávislé.
Determinant |A| je nenulový.
Matice A je invertibilní.
Řešení systémů lineárních rovnic ­ p.3/12

Regulární matice
Č tvercová matice A = (aij) řádu n nad tělesem T, která
splňuje ekvivalentní podmínky z předchozí věty, se
nazývá regulární matice.
Nesplňuje-li taková čtvercová matice A podmínky
z předchozí věty, říkáme, že je to singulární matice.
Příklad: matice přechodu jsou regulární.
Pozn: Regulární matice řádu n tvoří grupu vzhledem k
násobení matic.
Řešení systémů lineárních rovnic ­ p.4/12

Ř ešení homogenních systémů
a11x1 + a12x2 +    + a1nxn = 0,
a21x1 + a22x2 +    + a2nxn = 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1x1 + am2x2 +    + amnxn = 0,
A  x = o
Řešení systémů lineárních rovnic ­ p.5/12

Ř ešení homogenních systémů
a11x1 + a12x2 +    + a1nxn = 0,
a21x1 + a22x2 +    + a2nxn = 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1x1 + am2x2 +    + amnxn = 0,
A  x = o
Pro libovolnou matici A typu m × n nad T je množina
SA = {x  Tn
| A  x =
o}
všech řešení homogenní soustavy A  x = o podprostor
Tn.
Řešení systémů lineárních rovnic ­ p.5/12

Ř ešení A  x =
o jako podprostor
SA = {x  Tn | A  x = o} je podprostor Tn.
o  SA,
x, y  SA = x + y  SA
A(x + y ) = Ax + Ay = o + o = o
s  T, x  SA = s  x  SA
A  (s  x ) = A  s  x = s  A  x = s  o = o
Pozor: o značí někde nulový vektor v Tn a jinde nulový
vektor v Tm.
Řešení systémů lineárních rovnic ­ p.6/12

Podprostor řešení -- dimenze
V případě čtvercových matic (tj. m = n):
|A| = 0 = SA = {o}, (dimenze 0)
|A| = 0 = SA ,,nekonečná" (pro T nekonečná),
Jaká je dimenze SA? Najít bázi . . .
Řešení systémů lineárních rovnic ­ p.7/12

Podprostor řešení -- dimenze
V případě čtvercových matic (tj. m = n):
|A| = 0 = SA = {o}, (dimenze 0)
|A| = 0 = SA ,,nekonečná" (pro T nekonečná),
Jaká je dimenze SA? Najít bázi . . .
Věta.
Množina všech řešení homogenní soustavy m lineárních
rovnic o n neznámých s maticí koeficientů A = (aij) nad
tělesem T tvoří vektorový prostor dimenze k = n - h(A),
kde h(A) je hodnost matice A.
Řešení systémů lineárních rovnic ­ p.7/12

Od podprostoru k soustavě
Je každý podprostor řešením nějaké soustavy?
Řešení systémů lineárních rovnic ­ p.8/12

Od podprostoru k soustavě
Je každý podprostor řešením nějaké soustavy?
Bud' V podprostor Tn. Pak množina
U = {a = (a1, a2, . . . , an)  Tn
| x  V : a  x =
0}
je vektorový podprostor v Tn, přičemž dimV + dimU = n.
Řešení systémů lineárních rovnic ­ p.8/12

Od podprostoru k soustavě
Je každý podprostor řešením nějaké soustavy?
Bud' V podprostor Tn. Pak množina
U = {a = (a1, a2, . . . , an)  Tn
| x  V : a  x =
0}
je vektorový podprostor v Tn, přičemž dimV + dimU = n.
Věta.
Pro libovolný podprostor V vektorového prostoru (T n, +, )
dimenze k  n, existuje homogenní soustava lineárních
rovnic o n neznámých nad tělesem (T, +, ) s maticí
koeficientů A = (aij) hodnosti h(A) = n - k, jejíž všechna
řešení tvoří právě podprostor V.
Řešení systémů lineárních rovnic ­ p.8/12

Ř ešení nehomogenních systémů
a11x1 + a12x2 +    + a1nxn = b1,
a21x1 + a22x2 +    + a2nxn = b2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1x1 + am2x2 +    + amnxn = bm,
A  x = b
Řešení systémů lineárních rovnic ­ p.9/12

Ř ešení nehomogenních systémů
a11x1 + a12x2 +    + a1nxn = b1,
a21x1 + a22x2 +    + a2nxn = b2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1x1 + am2x2 +    + amnxn = bm,
A  x = b
Pro matici A a vektor b = o množina
SA,b = {x  Tn
| A  x =
b}
všech řešení nehomogenní soustavy A  x = b není
podprostor Tn. ( o  SA,b )
Řešení systémů lineárních rovnic ­ p.9/12

Vlastnosti řešení A  x =
b
Stále platí A(x + y ) = Ax + Ay . Proto platí:
Řešení systémů lineárních rovnic ­ p.10/12

Vlastnosti řešení A  x =
b
Stále platí A(x + y ) = Ax + Ay . Proto platí:
x  SA,b, y  SA = x + y  SA,b
Řešení systémů lineárních rovnic ­ p.10/12

Vlastnosti řešení A  x =
b
Stále platí A(x + y ) = Ax + Ay . Proto platí:
x  SA,b, y  SA = x + y  SA,b
x, y  SA,b = x - y  SA
Řešení systémů lineárních rovnic ­ p.10/12

Vlastnosti řešení A  x =
b
Stále platí A(x + y ) = Ax + Ay . Proto platí:
x  SA,b, y  SA = x + y  SA,b
x, y  SA,b = x - y  SA
Věta.
Je-li z  SA,b nějaké řešení soustavy A  x = b, pak
SA,b = {z + y | y  SA}.
Řešení systémů lineárních rovnic ­ p.10/12

Vlastnosti řešení A  x =
b
Stále platí A(x + y ) = Ax + Ay . Proto platí:
x  SA,b, y  SA = x + y  SA,b
x, y  SA,b = x - y  SA
Věta.
Je-li z  SA,b nějaké řešení soustavy A  x = b, pak
SA,b = {z + y | y  SA}.
Poslední vyjádření píšeme ve tvaru: SA,b = z + SA.
Řešení systémů lineárních rovnic ­ p.10/12

Vlastnosti řešení A  x =
b
Stále platí A(x + y ) = Ax + Ay . Proto platí:
x  SA,b, y  SA = x + y  SA,b
x, y  SA,b = x - y  SA
Věta.
Je-li z  SA,b nějaké řešení soustavy A  x = b, pak
SA,b = {z + y | y  SA}.
Poslední vyjádření píšeme ve tvaru: SA,b = z + SA.
Terminologie: A  x = o zhomogenizovaná soustava,
z partikulární řešení,
nějaká báze SA fundamentální systém řešení.
Řešení systémů lineárních rovnic ­ p.10/12

Vyjádření řešení jako z + V
Vyjádření SA,b jako z + V není jednoznačné.
Lze volit různé partikulární řešení z.
Podprostor V je jednoznačně určen, lze v něm však
volit různé báze . . . fundamentální systém řešení.
Opět lze k libovolné množině z + V najít vhodný
systém A  x = b s vlastností SA,b = z + V.
Množiny tvaru z + V se nazývají: afinní podprostory,
lineární variety, . . . V se pak nazývá zaměření.
Geometrická představa -- body, přímky, roviny, . . .
Zbývá otázka, kdy existuje nějaké partikulární řešení z
nehomogenního systému.
Řešení systémů lineárních rovnic ­ p.11/12

Frobeniova věta
Věta.
Bud' T těleso, bud' A = (aij) matice typu m × n nad T a bud'
b = (b1, b2, . . . , bm) vektor z Tm. Potom soustava lineárních
rovnic A  x = b je řešitelná právě tehdy, když hodnost
matice soustavy, tj. hodnost matice A, je rovna hodnosti
rozšířené matice soustavy, tj. hodnosti matice
A
|b .
Řešení systémů lineárních rovnic ­ p.12/12