Racionální lomené funkce
Ondřej Klíma
Racionální lomené funkce ­ p.1/7

R[x] -- opakování
(R[x], +, ) -- okruh
st(f + g)  max{st(f), st(g)}
st(fg)  st(f) + st(g)
R obor integrity, pak st(fg) = st(f) + st(g)
R obor integrity, pak (R[x], +, ) obor integrity
Lze konstruovat podílové těleso
Racionální lomené funkce ­ p.2/7

Polynomy nad tělesem
R těleso
jednoznačné dělení se zbytkem
n.s.d, Euklidův algoritmus, Bezoutova rovnost
R[x] okruh s jednoznačným rozkladem
Racionální lomené funkce ­ p.3/7

Polynomy nad tělesem
R těleso
jednoznačné dělení se zbytkem
n.s.d, Euklidův algoritmus, Bezoutova rovnost
R[x] okruh s jednoznačným rozkladem
Ireducibilní polynomy
C : lineární
R : lineární a některé kvadratické
Q : libovoln0 stupně
Racionální lomené funkce ­ p.3/7

Lemma 1
Lemma.
Bud' (R, +, ) nekonečné těleso. Pak pro libovolné polynomy
f, g  R[x], g = 0, existují polynomy s, t  R[x], t = 0, takové,
že (s, t) = 1, polynom t je normovaný a platí f
g = s
t . Polynomy
s, t jsou přitom určeny jednoznačně.
Racionální lomené funkce ­ p.4/7

Lemma 2
Necht' f, g  R[x] jsou polynomy, g = 0. Ř ekneme, že
zlomek f
g je ryzí, jestliže st(f) < st(g).
Racionální lomené funkce ­ p.5/7

Lemma 2
Necht' f, g  R[x] jsou polynomy, g = 0. Ř ekneme, že
zlomek f
g je ryzí, jestliže st(f) < st(g).
Lemma.
Bud' (R, +, ) nekonečné těleso. Pak pro libovolné polynomy
f, g  R[x], g = 0, existují polynomy h, u, v  R[x], v = 0,
takové, že f
g = h + u
v , přičemž u
v je ryzí zlomek. Přitom
polynom h i ryzí zlomek u
v jsou určeny jednoznačně.
Racionální lomené funkce ­ p.5/7

Lemma 3
Lemma.
Bud' (R, +, ) nekonečné těleso. Necht' f, g, h  R[x], g = 0,
h = 0 jsou takové polynomy, že (g, h) = 1 a f
gh je ryzí
zlomek. Potom existují polynomy u, v  R[x] takové, že
f
gh = u
g + v
h, přičemž oba zlomky u
g i v
h jsou ryzí. Navíc
polynomy u, v jsou určeny jednoznačně.
Racionální lomené funkce ­ p.6/7

Rozklad na parciální zlomky
Necht' p  R[x] je ireducibilní polynom, necht' f  R[x] je
polynom takový, že st(f) < st(p) a necht' k je přirozené
číslo. Položme g = pk. Pak o zlomku f
g říkáme, že je to
prostý zlomek.
Racionální lomené funkce ­ p.7/7

Rozklad na parciální zlomky
Necht' p  R[x] je ireducibilní polynom, necht' f  R[x] je
polynom takový, že st(f) < st(p) a necht' k je přirozené
číslo. Položme g = pk. Pak o zlomku f
g říkáme, že je to
prostý zlomek.
Věta.
Bud' (R, +, ) nekonečné těleso. Pak libovolný nenulový ryzí
zlomek vytvořený z polynomů z R[x] lze vyjádřit ve tvaru
součtu konečného počtu prostých zlomků. Přitom toto
vyjádření je pro daný ryzí zlomek jediné.
Racionální lomené funkce ­ p.7/7