Systémy rovnic a matice
Ondřej Klíma
Systémy rovnic a matice — p.1/10
Systémy lineárních rovnic
2x  +  3y  +  bz  = 0 x  +  2y   —    z  = 4 y  +  2z  = -1
/ 2  3 5 1  2 -1 y 0  1 2
0\
4
-1/
Systémy rovnic a matice — p.2/10
X^l Vlil VU ťMÄ 111   1 UU11V/ T V   U |^1 H T
Eliminace:
.# Násobení rovnice nenulovou konstantou.
3 Výměna dvou rovnic.
3 Přičtení násobku jedné rovnice ke druhé.
Elementární řádkové úpravy: 3 Násobení řádku nenulovou konstantou. m Výměna dvou řádků. m Přičtení násobku jednoho řádku k druhému.
Eřú jsou „ekvivalentní" — rovnice nad tělesy.
Systémy rovnic a matice — p.3/10
Schodovitý tvar matice
Matice je v (řádkově) schodovitém tvaru jestliže:
m První nenulový prvek v každém řádku (pokud existuje) je l; tzv. vedoucí jednička.
3 Nulové řádky jsou dole.
3 Ve dvou následujících nenulových řádcích je vedoucí jednička spodního řádku napravo od vedoucí jedničky horního řádku.
Pokud navíc každý sloupec obsahující vedoucí jedničku má jinde nuly, mluvíme o vyredukovaném schodovitém tvaru.
Každou matici lze převést pomocí eřú do těchto tvarů.
Systémy rovnic a matice — p.4/10
Množina řešení lineární soustavy (nad nekonečným tělesem) je:
3 jednoprvková nebo 3 prázdná nebo m nekonečná.
Při změně „pravých stran" soustavy se množina řešení může změnit z prázdné na nekonečnou a naopak.
Pro homogenní soustavy (pravé strany nulové) je množina
řešení jednoprvková nebo nekonečná.
Systémy rovnic a matice — p.5/10
Matice — definice
Co je matice?
Neformálně: Obdélníkové schéma s prvky z okruhu R. Matice typu mxn
A
( au aí2
Q>21 &22 y drní &m2
• • din
• • U2n
\
&mn J
Formálně:      A : {1,..., m} x {1,..., n} —► R Značení A = (a^-) (pokud známe typ)
Systémy rovnic a matice — p.6/10
Označme Matmn{R) množinu všech matic typu mxn nad okruhem R.
Pro Matmn(R) definujeme matici A + B e Matmn(R), vztahem A + B = (c^-) kde c^- = a^- + bij.
(Matmn(R), +) je komutativní grupa. Nulová matice, opačná matice
Pro A g Matmn(R) ar e R definujeme násobek r • A jako
matici (cíj) e Matmn(R), kde Cij — T ' (lij.
Systémy rovnic a matice — p.7/10
Násobení matic
Pro matici A = (a^-) typu mxn a matici 5 = typu n x _p definujeme součin A • B jako matici (cst) typu mxp, kde
n
Cst = CLgjbjt-3=1
Systémy lineárních rovnic Ax = 6.
Eřú — násobení jistou maticí.
Systémy rovnic a matice — p.8/10
Násobení matic je asociativní:
Je-li A typu m x n, B typu nx paC typu pxg, pak (4 = ,4 •(£•£).
Pro m = n\ze matice násobit i sčítat (tzv. čtvercové matice).
Věta.
(Matnn(R),+,-) je okruh. Dk:
sami — skripta, zpravidla není komutativní
neutrální prvek vzhledem k násobení — jednotková matice inverze?
Systémy rovnic a matice — p.9/10
Systémy rovnic a inverzní matice
Ax = b
A matice typu n x n ke které existuje inverze A'1 (typu
n x n) pak
x = A~ľb
je jediné řešení soustavy Ax = b.
Výpočet inverze — souběžná úprava s jednotkovou maticí.
Další pojmy: transponovaná matice, symetrická matice, stopa matice ...
Systémy rovnic a matice — p.10/10