Systémy rovnic a matice
Ondřej Klíma
Systémy rovnic a matice — p.1/10
Systémy lineárních rovnic
2x   +   3y   +   hz   =	0
x   +   2y   —     z   =	4
y   +   2z   =	:        -1
4 -1/
Systémy rovnic a matice — p.2/10
Elementární řádkové úpravy
Eliminace:
-•   Násobení rovnice nenulovou konstantou. -•  Výměna dvou rovnic. m   Přičtení násobku jedné rovnice ke druhé.
Systémy rovnic a matice — p.3/10
Elementární řádkové úpravy
Eliminace:
-•   Násobení rovnice nenulovou konstantou. -•  Výměna dvou rovnic. m   Přičtení násobku jedné rovnice ke druhé.
Elementární řádkové úpravy: -•   Násobení řádku nenulovou konstantou. m  Výměna dvou řádků. -•   Přičtení násobku jednoho řádku k druhému.
Systémy rovnic a matice — p.3/10
Elementární řádkové úpravy
Eliminace:
-•   Násobení rovnice nenulovou konstantou. -•  Výměna dvou rovnic. m   Přičtení násobku jedné rovnice ke druhé.
Elementární řádkové úpravy: -•   Násobení řádku nenulovou konstantou. m  Výměna dvou řádků. -•   Přičtení násobku jednoho řádku k druhému.
Eřú jsou „ekvivalentní" — rovnice nad tělesy.
Systémy rovnic a matice — p.3/10
Schodovitý tvar matice
Matice je v (řádkově) schodovitém tvaru jestliže:
-•   První nenulový prvek v každém řádku (pokud existuje) je 1; tzv. vedoucí jednička.
m   Nulové řádky jsou dole.
-•  Ve dvou následujících nenulových řádcích je vedoucí jednička spodního řádku napravo od vedoucí jedničky horního řádku.
Systémy rovnic a matice — p.4/10
Schodovitý tvar matice
Matice je v (řádkově) schodovitém tvaru jestliže:
-•   První nenulový prvek v každém řádku (pokud existuje) je 1; tzv. vedoucí jednička.
m   Nulové řádky jsou dole.
-•  Ve dvou následujících nenulových řádcích je vedoucí jednička spodního řádku napravo od vedoucí jedničky horního řádku.
Pokud navíc každý sloupec obsahující vedoucí jedničku má jinde nuly, mluvíme o vyredukovaném schodovitém tvaru.
Systémy rovnic a matice — p.4/10
22
Schodovitý tvar matice
Matice je v (řádkově) schodovitém tvaru jestliže:
-•   První nenulový prvek v každém řádku (pokud existuje) je 1; tzv. vedoucí jednička.
m   Nulové řádky jsou dole.
-•  Ve dvou následujících nenulových řádcích je vedoucí jednička spodního řádku napravo od vedoucí jedničky horního řádku.
Pokud navíc každý sloupec obsahující vedoucí jedničku má jinde nuly, mluvíme o vyredukovaném schodovitém tvaru.
Každou matici lze převést pomocí eřú do těchto tvarů.
Systémy rovnic a matice — p.4/10
22
Počet řešení lineární soustavy
Množina řešení lineární soustavy (nad nekonečným tělesem) je:
-• jednoprvková nebo m   prázdná nebo m  nekonečná.
Systémy rovnic a matice — p.5/10
Počet řešení lineární soustavy
Množina řešení lineární soustavy (nad nekonečným tělesem) je:
-• jednoprvková nebo m   prázdná nebo m  nekonečná.
Při změně „pravých stran" soustavy se množina řešení může změnit z prázdné na nekonečnou a naopak.
Systémy rovnic a matice — p.5/10
Počet řešení lineární soustavy
Množina řešení lineární soustavy (nad nekonečným tělesem) je:
-• jednoprvková nebo m   prázdná nebo m   nekonečná.
Při změně „pravých stran" soustavy se množina řešení může změnit z prázdné na nekonečnou a naopak.
Pro homogenní soustavy (pravé strany nulové) je množina
řešení jednoprvková nebo nekonečná.
Systémy rovnic a matice — p.5/10
Matice — definice
Co je matice?
Systémy rovnic a matice — p.6/10
Matice — definice
Co je matice?
Neformálně: Obdélníkové schéma s prvky z okruhu R.
Systémy rovnic a matice — p.6/10
Matice — definice
Co je matice?
Neformálně: Obdélníkové schéma s prvky z okruhu R. Matice typu mx n
í an
A =
Gl2
Ö21      a22
0>ln &2n
\
\    Címl     Qjm2     • • •      ^mn   /
Systémy rovnic a matice — p.6/10
Matice — definice
Co je matice?
Neformálně: Obdélníkové schéma s prvky z okruhu R. Matice typu mx n
í an
A =
Gl2
Ö21      a22
0>ln &2n
\
\    Címl     Qjm2     • • •      ^mn   /
Formálně:
A : {1,..., m} x {1,..., n} —» i?
Systémy rovnic a matice — p.6/10
Matice — definice
Co je matice?
Neformálně: Obdélníkové schéma s prvky z okruhu R. Matice typu mx n
í
A =
an    a\2
Ö21      a22
din &2n
\
\    Címl     ^rril     - - -      ^mn   I
Formálně:        A : {1,..., m} x {l,..., n} —> R Značení A = (a^)                  (pokud známe typ)
Systémy rovnic a matice — p.6/10
Sčítání matic
Označme Matmn(R) množinu všech matic typu m x n nad okruhem R.
Pro A, B g Matmn(R) definujeme matici A + B e Matmn(R), vztahem A + B = (an) kde c77 = au + b^.
Systémy rovnic a matice — p.7/10
Sčítání matic
Označme Matmn(R) množinu všech matic typu m x n nad okruhem R.
Pro A, B g Matmn(R) definujeme matici A + B e Matmn(R), vztahem A + B = (aj) kde c^- = a^ + b^.
(Matmn(R), +) je komutativní grupa. Nulová matice, opačná matice
Systémy rovnic a matice — p.7/10
Sčítání matic
Označme Matmn(R) množinu všech matic typu m x n nad okruhem R.
Pro A, B g Matmn(R) definujeme matici A + B e Matmn(R), vztahem A + B = (aj) kde c^- = a^ + b^.
(MatmniR), +) Je komutativní grupa. Nulová matice, opačná matice
Pro A g Matjnn(R) a r g i? definujeme násobek r • A jako
matici (cij) g Matjnn(R), kde Qj = r • aij.
Systémy rovnic a matice — p.7/10
Násobení matic
Systémy rovnic a matice — p.8/10
Násobení matic
Pro matici A = (a^) typu m x na matici B = {bki) typu nx p definujeme součin A • B jako matici (cst) typu m x p, kde
n
Csí — / ;asjbjt-3 = 1
Systémy rovnic a matice — p.8/10
Násobení matic
Pro matici A = (a^) typu m x na matici B = (bki) typu nx p definujeme součin A • B jako matici (cst) typu m x p, kde
n
Csí = / ;asjbjt-3 = 1
Systémy lineárních rovnic                  Ax = b.
Eřú — násobení jistou maticí.
Systémy rovnic a matice — p.8/10
Vlastnosti násobení matic
Násobení matic je asociativní:
Je-li A typu m x n, B typu n x p a C typu p x q, pak
(A-B)-C = A-(B-C).
Systémy rovnic a matice — p.9/10
Vlastnosti násobení matic
Násobení matic je asociativní:
Je-li A typu m x n, B typu n x paC typu p x q, pak
(A -B) -C = A -{B -C).
Pro m = n lze matice násobit i sčítat (tzv. čtvercové matice).
Věta.
(Matnn(R),+, •) je okruh.
Dk:
sami — skripta.
Systémy rovnic a matice — p.9/10
Vlastnosti násobení matic
Násobení matic je asociativní:
Je-li A typu m x n, B typu n x paC typu p x q, pak (A-B)-C = A-(B-C).
Pro m = n lze matice násobit i sčítat (tzv. čtvercové matice).
Věta.
(Matnn(R),+r) je okruh.
Dk:
sami — skripta.
zpravidla není komutativní
neutrální prvek vzhledem k násobení — jednotková matice
inverze?
Systémy rovnic a matice — p.9/10
Systémy rovnic a inverzní matice
Systémy rovnic a matice — p.10/10
Systémy rovnic a inverzní matice
Ax = b
A matice typu n x n ke které existuje inverze A'1 (typu
n x n) pak
x = A~lb
je jediné řešení soustavy Ax = b.
Systémy rovnic a matice — p.10/10
Systémy rovnic a inverzní matice
Ax = b
A matice typu n x n ke které existuje inverze A'1 (typu
n x n) pak
x = A~lb
je jediné řešení soustavy Ax = b.
Výpočet inverze — souběžná úprava s jednotkovou matici.
Systémy rovnic a matice — p.10/10
Systémy rovnic a inverzní matice
Ax = b
A matice typu n x n ke které existuje inverze A'1 (typu
n x n) pak
x = A~lb
je jediné řešení soustavy Ax = b.
Výpočet inverze — souběžná úprava s jednotkovou matici.
Další pojmy: transponovaná matice, symetrická matice, stopa matice ...
Systémy rovnic a matice — p.10/10