Determinanty
Ondřej Klíma
Determinanty — p.1/12
Systémy lineárních rovnic a matice
a2\X\    +   (222^2    +   (223^3    = h
a3ixi   +  a32X2  +  ^33X3  = h
í
\
au   ai2 013
&21    <222 <223 \ <^31   ^32   <^33 /
/ X1 \
X2 \X3 J
A • x
í h\
b2
\b3 J
Vše nad tělesem.
Determinanty — p.2/12
m elementární řádkové úpravy — Gaussova eliminace
(násobení konstantou; výměna; přičtení násobku)
lze vidět jako násobení vhodnými maticemi
3 množina řešení
» jednoprvková exist. A~
3 prázdná nebo nekonečná neexist. A~
3 pro matici A~l máme x = A~lb
Výpočet A~l — souběžná úprava s jednotkovou. Charakterizace existence A'1 ?
Determinanty — p.3/12
Determinant — očekávání, plán
Obecná (korektní) definice \A\ (pro čtvercovou matici A). Co dál:
m determinant a elementární řádkové úpravy, 3 věta typu: A~x existuje       \A\ ^ 0, 3 použití pro přímý výpočet řešení soustavy, 3 výpočet determinantu,
3 determinant a součin matic {\A • B\ = \A\ • \B\), 3 další aplikace determinantu (objem, vlastní čísla).
Determinanty — p.4/12
A
au ai2
«21 «22
\A\ = (211(222 - «12«21
f au   ai2   «13 ^
^4 =       0,21    «22 «23
\ «31   «32   «33 /
\A\ = ail<222«33 + «12«23«31 + «13«21«32
— «13«22«31 — «12«21«33 ~ «11«23«32
Determinant — definice
Determinanty — p.5/12
Buď A = {aij) čtvercová matice řádu n nad tělesem R. Determinant matice \A\ je prvek z R definovaný předpisem:
1^1 = 5ľ p(a) ' aM*) ' a2a(2)ana{n)-aESn
Zde Sn je množina všech permutací množiny {1,2,..., n}. p(a) je parita permutace a (p(a) = ±1). Pro počítání s paritou platí:
m p(aor) =p{cr) -p{r),
3 p(a) = -1 pro transpozici a
(transpozice — výměna dvou prvků).
Determinanty — p.6/12
M^r      It^sM. 111111M11I<
3   \E\ = l
3 n = 2, n = 3
.# horní trojúhelníková matice
matice elementárních řádkových úprav
3 \A\=\tf\
3 nulový řádek \A\ = 0 Lemma 1.
Vznikne-li matice B přehozením dvou řádků čtvercové matice A, pak \B\ = -\A\. Lemma 2.
Jsou-li některé dva řádky čtvercové matice A stejné, pak
_|A| = 0.
Determinanty — p.7/12
Determinant a elementární řádkové úpravy
Lemma 3.
Vznikne-li matice B vynásobením některého řádku čtvercové matice A konstantou c, pak \B\ = c\A\. Lemma 4. Nechť matice A = (a^-), B = (6^) a C = (qj) jsou tři čtvercové matice řádu n, které se od sebe liší pouze prvky fc-tého řádku, přičemž fc-tý řádek matice A je součtem fc-tý řádků matic B aC, tj.     = 6^- + ckj pro
j G {1,2,..., n}. Potom \A\ = \B\ + \C\.
Lemma 5.
Vznikne-li matice B z čtvercové matice A přičtením násobku některého řádku k jinému řádku, pak \B\ = \A\.
Metoda výpočtu determinantu pomocí eřú. Pozor: Neplatí \B + C\ = \B\ + \C\.
Determinanty — p.8/12
Buď A = (aij) čtvercová matice řádu n > 1. Pro zvolené indexy i, j označme     čtvercovou matici řádu n-l, která vznikne z A vynecháním ž-tého řádku a j-tého sloupce. Pak prvek
— (—iy+j • \ Aij\
nazýváme algebraický doplněk prvku    v matici A. Věta (Laplaceův rozvoj).
Buď A = (aij) čtvercová matice řádu n > 1. Pak pro libovolný index i platí
|^4| = anAn + ai2-4i2 H-----\~ ciinAn-
Determinanty — p.9/12
Inverze pomocí adjungované matice
Laplaceův rozvoj
3 pomocí sloupce — důkaz transponováním, 3 další metoda výpočtu determinantu.
Definujeme Ä = (A^) matici řádu n složenou z algebraických doplňků. K ní transponovanou matici A* = A1 nazýváme adjungovanou maticí k matici A.
Věta. Buď A čtvercová matice řádu n > 1 taková, že \ A\ ^ 0. Pak
A'1 =        • A*.
Důsledek. A'1 existuje       \A\ ^ 0.
Determinanty —
p.10/12
^x = b, \A\ ^ O, tzn. x =
Věta. Buď A čtvercová matice řádu n > 1 taková, že |A| ^ 0. Pak soustava Ax = b má jediné řešení x = (#i, x2,..., xn)T, kde
1^1
přičemž A, je matice vzniklá z matice A nahrazením jejího j-tého sloupce sloupcem b.
Determinanty — p.11/12
Cauchyova věta
Věta.
Pro libovolné dvě čtvercové matice A a B stejného řádu platí
\A-B\ = \A\ ■ \B\.
Důsledky:
3  \A~1\ = \A\~1
3 Množina matic majících determinant l tvoří vzhledem k násobení grupu.
Determinanty —
p.12/12