Determinanty Ondřej Klíma Determinanty ­ p.1/12 Systémy lineárních rovnic a matice a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 x1 x2 x3 = b1 b2 b3 A x = b Vše nad tělesem. Determinanty ­ p.2/12 Ř ešení A x = b Determinanty ­ p.3/12 Ř ešení A x = b elementární řádkové úpravy -- Gaussova eliminace (násobení konstantou; výměna; přičtení násobku) lze vidět jako násobení vhodnými maticemi Determinanty ­ p.3/12 Ř ešení A x = b elementární řádkové úpravy -- Gaussova eliminace (násobení konstantou; výměna; přičtení násobku) lze vidět jako násobení vhodnými maticemi množina řešení jednoprvková exist. A-1 prázdná nebo nekonečná neexist. A-1 Determinanty ­ p.3/12 Ř ešení A x = b elementární řádkové úpravy -- Gaussova eliminace (násobení konstantou; výměna; přičtení násobku) lze vidět jako násobení vhodnými maticemi množina řešení jednoprvková exist. A-1 prázdná nebo nekonečná neexist. A-1 pro matici A-1 máme x = A-1b Determinanty ­ p.3/12 Ř ešení A x = b elementární řádkové úpravy -- Gaussova eliminace (násobení konstantou; výměna; přičtení násobku) lze vidět jako násobení vhodnými maticemi množina řešení jednoprvková exist. A-1 prázdná nebo nekonečná neexist. A-1 pro matici A-1 máme x = A-1b Výpočet A-1 -- souběžná úprava s jednotkovou. Charakterizace existence A-1 ? Determinanty ­ p.3/12 Determinant -- očekávání, plán Determinanty ­ p.4/12 Determinant -- očekávání, plán Obecná (korektní) definice |A| (pro čtvercovou matici A). Determinanty ­ p.4/12 Determinant -- očekávání, plán Obecná (korektní) definice |A| (pro čtvercovou matici A). Co dál: determinant a elementární řádkové úpravy, Determinanty ­ p.4/12 Determinant -- očekávání, plán Obecná (korektní) definice |A| (pro čtvercovou matici A). Co dál: determinant a elementární řádkové úpravy, věta typu: A-1 existuje |A| = 0, Determinanty ­ p.4/12 Determinant -- očekávání, plán Obecná (korektní) definice |A| (pro čtvercovou matici A). Co dál: determinant a elementární řádkové úpravy, věta typu: A-1 existuje |A| = 0, použití pro přímý výpočet řešení soustavy, Determinanty ­ p.4/12 Determinant -- očekávání, plán Obecná (korektní) definice |A| (pro čtvercovou matici A). Co dál: determinant a elementární řádkové úpravy, věta typu: A-1 existuje |A| = 0, použití pro přímý výpočet řešení soustavy, výpočet determinantu, Determinanty ­ p.4/12 Determinant -- očekávání, plán Obecná (korektní) definice |A| (pro čtvercovou matici A). Co dál: determinant a elementární řádkové úpravy, věta typu: A-1 existuje |A| = 0, použití pro přímý výpočet řešení soustavy, výpočet determinantu, determinant a součin matic (|A B| = |A| |B|), Determinanty ­ p.4/12 Determinant -- očekávání, plán Obecná (korektní) definice |A| (pro čtvercovou matici A). Co dál: determinant a elementární řádkové úpravy, věta typu: A-1 existuje |A| = 0, použití pro přímý výpočet řešení soustavy, výpočet determinantu, determinant a součin matic (|A B| = |A| |B|), další aplikace determinantu (objem, vlastní čísla). Determinanty ­ p.4/12 Determinant -- matice typu 2 × 2, 3 × 3 A = a 11 a12 a21 a22 | A| = a11a22 - a12a21 A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 |A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32 Determinanty ­ p.5/12 Determinant -- definice Bud' A = (aij) čtvercová matice řádu n nad tělesem R. Determinant matice |A| je prvek z R definovaný předpisem: |A| = Sn p() a1(1) a2(2) an(n). Zde Sn je množina všech permutací množiny {1, 2, . . . , n}. p() je parita permutace (p() = 1). Pro počítání s paritou platí: p( ) = p() p(), p() = -1 pro transpozici (transpozice -- výměna dvou prvků). Determinanty ­ p.6/12 Determinant -- příklady |E| = 1 n = 2, n = 3 horní trojúhelníková matice matice elementárních řádkových úprav |A|=|A | nulový řádek |A| = 0 Lemma 1. Vznikne-li matice B přehozením dvou řádků čtvercové matice A, pak |B| = -|A|. Lemma 2. Jsou-li některé dva řádky čtvercové matice A stejné, pak |A| = 0. Determinanty ­ p.7/12 Determinant a elementární řádkové úp Lemma 3. Vznikne-li matice B vynásobením některého řádku čtvercové matice A konstantou c, pak |B| = c|A|. Lemma 4. Necht' matice A = (aij), B = (bij) a C = (cij) jsou tři čtvercové matice řádu n, které se od sebe liší pouze prvky k-tého řádku, přičemž k-tý řádek matice A je součtem k-tý řádků matic B a C, tj. akj = bkj + ckj pro j {1, 2, . . . , n}. Potom |A| = |B| + |C|. Lemma 5. Vznikne-li matice B z čtvercové matice A přičtením násobku některého řádku k jinému řádku, pak |B| = |A|. Metoda výpočtu determinantu pomocí eřú. Pozor: Neplatí |B + C| = |B| + |C|. Determinanty ­ p.8/12 Laplaceův rozvoj Bud' A = (aij) čtvercová matice řádu n > 1. Pro zvolené indexy i, j označme Aij čtvercovou matici řádu n - 1, která vznikne z A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce. Pak prvek Aij = (-1)i+j |Aij| nazýváme algebraický doplněk prvku aij v matici A. Věta (Laplaceův rozvoj). Bud' A = (aij) čtvercová matice řádu n > 1. Pak pro libovolný index i platí |A| = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + + ain Ain. Determinanty ­ p.9/12 Inverze pomocí adjungované matice Laplaceův rozvoj pomocí sloupce -- důkaz transponováním, další metoda výpočtu determinantu. Determinanty ­ p.10/12 Inverze pomocí adjungované matice Laplaceův rozvoj pomocí sloupce -- důkaz transponováním, další metoda výpočtu determinantu. Definujeme A = (Aij) matici řádu n složenou z algebraických doplňků. K ní transponovanou matici A = A nazýváme adjungovanou maticí k matici A. Věta. Bud' A čtvercová matice řádu n > 1 taková, že |A| = 0. Pak A-1 = |A|-1 A . Determinanty ­ p.10/12 Inverze pomocí adjungované matice Laplaceův rozvoj pomocí sloupce -- důkaz transponováním, další metoda výpočtu determinantu. Definujeme A = (Aij) matici řádu n složenou z algebraických doplňků. K ní transponovanou matici A = A nazýváme adjungovanou maticí k matici A. Věta. Bud' A čtvercová matice řádu n > 1 taková, že |A| = 0. Pak A-1 = |A|-1 A . Důsledek. A-1 existuje |A| = 0. Determinanty ­ p.10/12 Cramerovo pravidlo Ax = b, |A| = 0, tzn. x = A-1b. Determinanty ­ p.11/12 Cramerovo pravidlo Ax = b, |A| = 0, tzn. x = A-1b. Věta. Bud' A čtvercová matice řádu n > 1 taková, že |A| = 0. Pak soustava Ax = b má jediné řešení x = (x1, x2, . . . , xn) , kde xj = |Aj| |A| , přičemž Aj je matice vzniklá z matice A nahrazením jejího j-tého sloupce sloupcem b. Determinanty ­ p.11/12 Cauchyova věta Věta. Pro libovolné dvě čtvercové matice A a B stejného řádu platí |A B| = |A| |B|. Důsledky: |A-1| = |A|-1 Množina matic majících determinant 1 tvoří vzhledem k násobení grupu. Determinanty ­ p.12/12