Vektorové prostory
Ondřej Klíma
Vektorové prostory ­ p.1/8

Vektorové prostory -- definice
Bud' (T, +, ) těleso a bud' (V, +) komutativní grupa. Necht'
je dále dáno zobrazení  : T × V  V takové, že pro
libovolná s, t  T a u, v  V platí
s  (u + v) = su + sv,
(s + t)  u = su + tu,
(s  t)  u = s  (t  u),
1u = u.
Pak trojice (V, +, ) se nazývá vektorový prostor nad
tělesem (T, +, ).
Vektorové prostory ­ p.2/8

Vektorové prostory -- terminologie
prvky množiny V -- vektory
prvky množiny T -- skaláry
neutrální prvek grupy (V, +) -- nulový vektor, o
opačný prvek k vektoru u  V -- opačný vektor, -u
vektor su -- skalární násobek vektoru u prvkem s.
Vektorové prostory ­ p.3/8

Vektorové prostory -- příklady
,,vektory v rovině", R2
Rn
matice nad tělesem
polynomy nad tělesem
funkce
C vektorový prostor nad R
R vektorový prostor nad Q
{a + bi | a, b  Q}, {a + b 3

2 + c 3

4 | a, b, c  Q}
S podtěleso T, pak T je vektorový prostor nad S
množina řešení homogenní soustavy lineárních rovnic
Vektorové prostory ­ p.4/8

Vektorové prostory -- vlastnosti
Pro libovolné vektory u, v  V značíme u - v vektor
u + (-v).
Lemma.
Necht' (V, +, ) je vektorový prostor nad tělesem (T, +, ).
Pak pro libovolná s, t  T a u, v  V platí
s  (u - v) = su - sv,
(s - t)  u = su - tu,
s  (-u) = (-s)  u = -(su),
su = o  s = 0  u = o.
Vektorové prostory ­ p.5/8

Podprostor vektorového prostoru
Bud' (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Necht'
W  V je podmnožina splňující následující podmínky:
o  W,
(u, v  W)(u + v  W),
(s  T)(u  W)(su  W).
Pak říkáme, že W je podprostor vektorového prostoru
(V, +, ).
Pozn. pro u  W máme -u = (-1)  u  W,
tj. (W, +, ) je vektorovým prostorem nad T.
Vektorové prostory ­ p.6/8

Průnik podprostorů
Věta.
Necht' (V, +, ) je vektorový prostor nad tělesem (T, +, ).
Pak pro libovolnou indexovou množinu I =  a pro libovolný
soubor podprostorů Wi vektorového prostoru (V, +, ), kde
i  I, platí, že průnik tohoto souboru podprostorů
i
I Wi je
také podprostorem vektorového prostoru (V, +, ).
Vektorové prostory ­ p.7/8

Generování podprostorů
M -- nejmenší podprostor vektorového prostoru (V, +, ),
který obsahuje množinu M. O podprostoru M říkáme, že
je to podprostor generovaný množinou M, M říkáme
množina generátorů podprostoru M .
Věta.
Necht' (V, +, ) je vektorový prostor nad tělesem (T, +, ) a
necht' M  V, M =  je libovolná podmnožina. Pak platí
následující rovnost:
M = {s1u1 + s2u2 +    + snun | n  N, s1, s2, . . . , sn  T,
u1, u2, . . . , un  M}.
Vektorové prostory ­ p.8/8