Báze a dimenze vektorových
prostorů
Ondřej Klíma
Báze a dimenze vektorových prostorů ­ p.1/11

Vektorové prostory
(V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, )
(V, +) komutativní grupa,  : T × V  V, splňující . . .
Báze a dimenze vektorových prostorů ­ p.2/11

Vektorové prostory
(V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, )
(V, +) komutativní grupa,  : T × V  V, splňující . . .
W podprostor vektorového prostoru (V, +, )
o  W,
(u, v  W)(u + v  W),
(s  T)(u  W)(s  u  W).
Báze a dimenze vektorových prostorů ­ p.2/11

Vektorové prostory
(V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, )
(V, +) komutativní grupa,  : T × V  V, splňující . . .
W podprostor vektorového prostoru (V, +, )
o  W,
(u, v  W)(u + v  W),
(s  T)(u  W)(s  u  W).
Podprostor M generovaný množinou M.
(Lineární obal množiny M)
M = {s1u1+s2u2+  +snun | n  N, si  T, ui  M}
Báze a dimenze vektorových prostorů ­ p.2/11

Lineárně závislé vektory
(V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ),
u1, u2, . . . , un konečná posloupnost vektorů z V.
Existují-li prvky s1, s2, . . . , sn  T, z nichž alespoň jeden je
různý od nuly 0, takové, že
s1u1 + s2u2 +    + snun = o,
řekneme, že vektory u1, u2, . . . , un jsou lineárně závislé.
Báze a dimenze vektorových prostorů ­ p.3/11

Lineárně závislé vektory
(V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ),
u1, u2, . . . , un konečná posloupnost vektorů z V.
Existují-li prvky s1, s2, . . . , sn  T, z nichž alespoň jeden je
různý od nuly 0, takové, že
s1u1 + s2u2 +    + snun = o,
řekneme, že vektory u1, u2, . . . , un jsou lineárně závislé.
Věta.
Necht' (V, +, ) je vektorový prostor nad tělesem (T, +, ).
Posloupnost vektorů u1, u2, . . . , un z V je lineárně závislá
právě tehdy, když existuje index i  {1, 2, . . . , n} takový, že
vektor ui je lineární kombinací vektorů
u1, . . . , ui-1,ui+1, . . . , un.
Báze a dimenze vektorových prostorů ­ p.3/11

Lineárně nezávislé vektory
Není-li posloupnost vektorů u1, u2, . . . , un z V lineárně
závislá, řekneme, že tato posloupnost je lineárně
nezávislá.
Jinak řečeno, vektory u1, u2, . . . , un jsou lineárně nezávislé,
jestliže pro libovolná s1, s2, . . . , sn  T platí
s1u1 + s2u2 +    + snun = o = s1 = s2 =    = sn = 0.
Báze a dimenze vektorových prostorů ­ p.4/11

Nezávislost -- speciální případy
Platí:
jeden vektor u je lineárně nezávislý právě tehdy, když
u = 0;
vektory u, v jsou lineárně závislé právě tehdy, když je
jeden z nich násobkem druhého;
pokud některý z vektorů u1, u2, . . . , un je o, pak jsou
lineárně závislé;
pokud jsou si některé dva z vektorů u1, u2, . . . , un
rovny, pak jsou tyto vektory lineárně závislé;
podposloupnost lineárně nezávislé posloupnosti
vektorů je lineárně nezávislá.
Báze a dimenze vektorových prostorů ­ p.5/11

Jednoznačné vyjádření vektorů
Věta.
Vektory u1, u2, . . . , un jsou lineárně nezávislé právě tehdy,
když každý vektor v  u1, u2, . . . , un lze vyjádřit ve tvaru
v = s1u1 + s2u2 +    + snun pro jedinou n-tici
(s1, s2, . . . , sn)  Tn.
Báze a dimenze vektorových prostorů ­ p.6/11

Jednoznačné vyjádření vektorů
Věta.
Vektory u1, u2, . . . , un jsou lineárně nezávislé právě tehdy,
když každý vektor v  u1, u2, . . . , un lze vyjádřit ve tvaru
v = s1u1 + s2u2 +    + snun pro jedinou n-tici
(s1, s2, . . . , sn)  Tn.
Věta.
Pokud jsou vektory u1, u2, . . . , un lineárně nezávislé, pak
pro vektor v jsou následující podmínky ekvivalentní:
i) v  u1, u2, . . . , un ;
ii) vektory u1, u2, . . . , un, v jsou lineárně závislé;
iii) u1, u2, . . . , un, v = u1, u2, . . . , un ;
Báze a dimenze vektorových prostorů ­ p.6/11

Steinitzova věta o výměně
Věta. Bud' (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ).
Necht' v1, . . . , vm, w1, . . . , wn jsou takové vektory z V, že
v1, . . . , vm  w1, . . . , wn ,
vektory v1, . . . , vm jsou lineárně nezávislé.
Pak platí
m  n,
z vektorů w1, . . . , wn lze vybrat vektory w m
+1, . . . , w n
takové, že
w1, . . . , wn = v1, . . . , vm, w m
+1, . . . , w n
.
Báze a dimenze vektorových prostorů ­ p.7/11

Standardní příklady v Rn
Báze a dimenze vektorových prostorů ­ p.8/11

Standardní příklady v Rn
Rozhodnout, zda pro dané vektory
u1, u2, . . . , un, v  Rn patří vektor v do lineárního obalu
u1, u2, . . . , un .
Báze a dimenze vektorových prostorů ­ p.8/11

Standardní příklady v Rn
Rozhodnout, zda pro dané vektory
u1, u2, . . . , un, v  Rn patří vektor v do lineárního obalu
u1, u2, . . . , un .
Rozhodnout, zda dané vektory u1, u2, . . . , un  Rn jsou
lineárně nezávislé.
Báze a dimenze vektorových prostorů ­ p.8/11

Standardní příklady v Rn
Rozhodnout, zda pro dané vektory
u1, u2, . . . , un, v  Rn patří vektor v do lineárního obalu
u1, u2, . . . , un .
Rozhodnout, zda dané vektory u1, u2, . . . , un  Rn jsou
lineárně nezávislé.
Vybrat z vektorů u1, u2, . . . , un  Rn podposloupnost
lineárně nezávislých vektorů, které generují stejný
podprostor.
Báze a dimenze vektorových prostorů ­ p.8/11

Standardní příklady v Rn
Rozhodnout, zda pro dané vektory
u1, u2, . . . , un, v  Rn patří vektor v do lineárního obalu
u1, u2, . . . , un .
Rozhodnout, zda dané vektory u1, u2, . . . , un  Rn jsou
lineárně nezávislé.
Vybrat z vektorů u1, u2, . . . , un  Rn podposloupnost
lineárně nezávislých vektorů, které generují stejný
podprostor.
Metoda řešení:
Poskládat vektory do sloupců a použít Gaussovu eliminaci.
Báze a dimenze vektorových prostorů ­ p.8/11

Báze -- definice
Bud' (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ).
Ř ekneme, že konečná posloupnost u1, u2, . . . , un vektorů
z V je báze vektorového prostoru (V, +, ), jestliže
vektory u1, u2, . . . , un jsou lineárně nezávislé,
vektory u1, u2, . . . , un generují celý prostor V.
( u1, u2, . . . , un = V )
Báze a dimenze vektorových prostorů ­ p.9/11

Existence báze
Věta.
Necht' (V, +, ) je nenulový vektorový prostor nad tělesem
(T, +, ). Existuje-li konečná podmnožina M  V taková, že
M = V, pak z každé podmnožiny N  V s vlastností
N = V lze vybrat nějakou bázi prostoru (V, +, ).
Věta.
Necht' (V, +, ) je nenulový vektorový prostor nad tělesem
(T, +, ). Tvoří-li posloupnosti vektorů f1, f2, . . . , fm a
g1, g2, . . . , gn dvě báze vektorového prostoru (V, +, ), pak
platí rovnost m = n.
Báze a dimenze vektorových prostorů ­ p.10/11

Dimenze -- definice
Je-li (V, +, ) nenulový vektorový prostor nad tělesem
(T, +, ), který obsahuje konečnou podmnožinu M  V
takovou, že M = V
(a který tudíž má i nějakou bázi)
pak počet vektorů kterékoliv báze tohoto prostoru se
nazývá dimenze vektorového prostoru (V, +, ).
Báze a dimenze vektorových prostorů ­ p.11/11