Souřadnice, změna báze, hodnost matice
Ondřej Klíma
Souřadnice, změna báze, hodnost matice — p.1/12
Nezávislost vektorů — opakování
Vektory ui, u2,..., un jsou lineárně nezávislé, jestliže pro libovolná si,s2,...,sneT platí
Si-Ui + S2-U2 H-----h Sn-un = O  ==>■  Si = S2 = • • • = Sn = 0.
Vektory ui, u2,..., un jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když každý vektor v g (ui, u2,..., un) lze vyjádřit ve tvaru v = siui + s2u2 h-----h snun pro jedinou n-tici
(si,S2,...,Sn) e Tn.
Souřadnice, změna báze, hodnost matice —
p.2/12
V/|/t**»V/ T Ulil
Konečná posloupnost ui, u2,..., un vektorů z V je báze vektorového prostoru (V, +, •), jestliže
3 vektory ui, u2,..., un jsou lineárně nezávislé,
3 vektory m, u2,..., un generují celý prostor V.
( (ui,u2, • • • ,un) = V ) Ekvivalentně:
3 minimální množina generátorů
m maximální lineárně nezávislá posloupnost vektorů
Souřadnice, změna báze, hodnost matice — p.3/12
Steinitzova věta a důsledky
Pokud existuje konečná množina generátorů v prostoru V, pak
3 každou lineárně nezávislou množinu vektorů lze doplnit na bázi,
m z každé množiny generátorů lze vybrat bázi,
3 každé dvě báze mají stejný počet prvků,
3 tj. lze definovat dimenzi (počet vektorů v bázi),
3 vlastní podprostor má menší dimenzi.
Souřadnice, změna báze, hodnost matice —
p.4/12
Je-li a = (ui, u2,..., un) báze prostoru V, pak každý vektor
v g V lze vyjádřit ve tvaru v = siui + s2u2 H-----h snun pro
jedinou n-tici (si, s2,... , sn) g Tn.
Tuto n-tici (si, s2,..., sn) g Tn nazýváme souřadnice vektoru v v bázi a. (Zde záleží na pořadí vektorů v bázi!) Píšeme: v = (si, s2,..., sn)a.
Příklady:
3 polynomy — Rn[x] — (n + 1) dimenzionální prostor, souřadnice polynomu v bázi a = (V\..., x, 1) jsou koeficinty tohoto polynomu.
m Rn — souřadnice vektoru v kanonické bázi, přímo složky vektoru.
Souřadnice, změna báze, hodnost matice — p.5/12
Přiřazení souřadnic je izomorfismus
Nechť a je báze n-dimenzionálního prostoru V nad tělesem T. Uvažme zobrazení <$>: V —► Tn, které vektoru přiřadí jeho souřadnice v bázi a. Pak
3 cf) je surjektivní
3 cf) je injektivní
* pro v = (si, s2,..., sn)a a u = (ti,í2,..., tn)a máme
v + u = (si + íi, s2 + í2,..., sn + tn)a;
tzn. (/> „zachovává" operaci sčítání vektorů
3 pro v = (si,s2,...,sn)a aí g T máme
(ŕ • v) = (ŕ • si,ŕ • s2,... ,í •
tzn. ^ „zachovává" operaci násobení skalárem.
Celkem <$>: 1/ —► Tn je izomorfismus vektorových prostorů.
Souřadnice, změna báze, hodnost matice —
p.6/12
iveseiii Miniuaruineii uiun
Řešení standardních úloh v konečněrozměrných vektorových prostorech (např. lineární obal, závislost, hledání báze) lze převést na řešení stejných úloh v Tn.
Zde pak fungují obvyklé postupy (Gaussova eliminace,...).
Nestandarní úloha — změna báze.
Souřadnice, změna báze, hodnost matice — p.7/12
Změna báze
Kanonická báze e = (eÍ7 e2,..., en) vektorového prostoru
Tn.
ei = (1,0,0,...,0,0), e2 = (0,1,0,...,0,0), e3 = (0,0,1,...,0,0),
en = (0,0,0,...,0,l)
Nechť a = (ui, u2,..., un) je báze Tn, přičemž známe souřadnice vektorů    v kanonické bázi e.
Lze zjistit souřadnice libovolného vektoru v v jedné z bazí, pokud známe jeho souřadnice v bázi druhé?
Souřadnice, změna báze, hodnost matice —
p.8/12
X ▼ ilVV   ^* A VVllVUit V*
Nechť £ = (ei,e2,... ,en) a a = (ui,u2,... ,un) tvoří dvě báze prostom (V,+, •)■
Nechť pro každé j e {1,2,..., n} jsou    = (oij, o2j,..., anj)£ souřadnice vektoru uj v bázi e. Pak čtvercová matice A = (a^) se nazývá matice přechodu od báze a k bázi e.
Matici budeme značit £Pa.
Pozor: v literatuře není jednotné! Někde se tato matice nazývá matice přechodu od báze e k bázi a.
V předchozím je e libovolná báze (nikoliv kanonická).
Souřadnice, změna báze, hodnost matice — p.9/12
Matice přechodu — vlastnosti
Pro libovolný vektor v a jeho souřadnice
V = (si, S2 • • • , Sn)£ = (£1, t2 • • • , tn)a platí
		ftl\
		
		\tnJ
Další vlastnosti:
*   ePa = (a^)"1 neboť aPa = En,
3 matice přechodu jsou invertibilní.
Souřadnice, změna báze, hodnost matice — p.10/12
Nechť A = (aij) je matice typu mxn nad tělesem (T, +, •).
Řádky matice A lze chápat jako uspořádané n-tice prvků z T, a tedy jako prvky vektorového prostoru (Tn, +, •).
Řádky matice A potom generují jistý podprostor ve vektorovém prostoru (Tn,+,).
Dimenze tohoto podprostoru generovaného řádky matice A se nazývá řádková hodnost matice A.
Podobně dimenze podprostoru vektorového prostoru (Tm, +, •) generovaného sloupci matice A se pak nazývá sloupcová hodnost matice A.
Souřadnice, změna báze, hodnost matice — p.11/12
Hodnost a elementární úpravy
3 Eřú nemění podprostor vektorového prostoru (Tn, +, •) generovaný řádky matice A. Nemění se tak ani řádková hodnost matice A.
3 Eřú nemění sloupcovou hodnost matice A.
(Podprostor generovaný sloupci matice se mění.)
3 Pro každou matici A = (a^) typu mxn nad tělesem (T, +, •) platí, že její řádková hodnost je rovna její sloupcové hodnosti.
m Můžeme tedy pro každou matici A = (a^) typu mxn nad tělesem (T, +, •) definovat hodnost matice A jako společnou hodnotu řádkové a sloupcové hodnosti.
Souřadnice, změna báze, hodnost matice —
p.12/12