Souřadnice, změna báze, hodnost matice Ondřej Klíma Souřadnice, změna báze, hodnost matice ­ p.1/12 Nezávislost vektorů -- opakování Vektory u1, u2, . . . , un jsou lineárně nezávislé, jestliže pro libovolná s1, s2, . . . , sn T platí s1u1 + s2u2 + + snun = o = s1 = s2 = = sn = 0. Vektory u1, u2, . . . , un jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když každý vektor v u1, u2, . . . , un lze vyjádřit ve tvaru v = s1u1 + s2u2 + + snun pro jedinou n-tici (s1, s2, . . . , sn) Tn. Souřadnice, změna báze, hodnost matice ­ p.2/12 Báze -- opakování Konečná posloupnost u1, u2, . . . , un vektorů z V je báze vektorového prostoru (V, +, ), jestliže vektory u1, u2, . . . , un jsou lineárně nezávislé, vektory u1, u2, . . . , un generují celý prostor V. ( u1, u2, . . . , un = V ) Souřadnice, změna báze, hodnost matice ­ p.3/12 Báze -- opakování Konečná posloupnost u1, u2, . . . , un vektorů z V je báze vektorového prostoru (V, +, ), jestliže vektory u1, u2, . . . , un jsou lineárně nezávislé, vektory u1, u2, . . . , un generují celý prostor V. ( u1, u2, . . . , un = V ) Ekvivalentně: minimální množina generátorů maximální lineárně nezávislá posloupnost vektorů Souřadnice, změna báze, hodnost matice ­ p.3/12 Steinitzova věta a důsledky Pokud existuje konečná množina generátorů v prostoru V, pak každou lineárně nezávislou množinu vektorů lze doplnit na bázi, z každé množiny generátorů lze vybrat bázi, každé dvě báze mají stejný počet prvků, tj. lze definovat dimenzi (počet vektorů v bázi), vlastní podprostor má menší dimenzi. Souřadnice, změna báze, hodnost matice ­ p.4/12 Souřadnice vektoru Je-li = (u1, u2, . . . , un) báze prostoru V, pak každý vektor v V lze vyjádřit ve tvaru v = s1u1 + s2u2 + + snun pro jedinou n-tici (s1, s2, . . . , sn) Tn. Tuto n-tici (s1, s2, . . . , sn) Tn nazýváme souřadnice vektoru v v bázi . (Zde záleží na pořadí vektorů v bázi!) Píšeme: v = (s1, s2, . . . , sn). Příklady: polynomy -- Rn[x] -- (n + 1) dimenzionální prostor, souřadnice polynomu v bázi = (xn, . . . , x, 1) jsou koeficinty tohoto polynomu. Rn -- souřadnice vektoru v kanonické bázi, přímo složky vektoru. Souřadnice, změna báze, hodnost matice ­ p.5/12 Přiřazení souřadnic je izomorfismus Necht' je báze n-dimenzionálního prostoru V nad tělesem T. Uvažme zobrazení : V Tn, které vektoru přiřadí jeho souřadnice v bázi . Pak je surjektivní je injektivní pro v = (s1, s2, . . . , sn) a u = (t1, t2, . . . , tn) máme v + u = (s1 + t1, s2 + t2, . . . , sn + tn); tzn. ,,zachovává" operaci sčítání vektorů pro v = (s1, s2, . . . , sn) a t T máme (t v) = (t s1, t s2, . . . , t sn); tzn. ,,zachovává" operaci násobení skalárem. Celkem : V Tn je izomorfismus vektorových prostorů. Souřadnice, změna báze, hodnost matice ­ p.6/12 Ř ešení standardních úloh Ř ešení standardních úloh v konečněrozměrných vektorových prostorech (např. lineární obal, závislost, hledání báze) lze převést na řešení stejných úloh v T n. Zde pak fungují obvyklé postupy (Gaussova eliminace,. . . ). Nestandarní úloha -- změna báze. Souřadnice, změna báze, hodnost matice ­ p.7/12 Změna báze Kanonická báze = (e1, e2, . . . , en) vektorového prostoru Tn: e1 = (1, 0, 0, . . . , 0, 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0, 0), e3 = (0, 0, 1, . . . , 0, 0), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . en = (0, 0, 0, . . . , 0, 1) Necht' = (u1, u2, . . . , un) je báze Tn, přičemž známe souřadnice vektorů ui v kanonické bázi . Lze zjistit souřadnice libovolného vektoru v v jedné z bazí, pokud známe jeho souřadnice v bázi druhé? Souřadnice, změna báze, hodnost matice ­ p.8/12 Matice přechodu -- definice Necht' = (e1, e2, . . . , en) a = (u1, u2, . . . , un) tvoří dvě báze prostoru (V, +, ). Necht' pro každé j {1, 2, . . . , n} jsou uj = (a1j, a2j, . . . , anj) souřadnice vektoru uj v bázi . Pak čtvercová matice A = (aij) se nazývá matice přechodu od báze k bázi . Matici budeme značit P. Pozor: v literatuře není jednotné! Někde se tato matice nazývá matice přechodu od báze k bázi . V předchozím je libovolná báze (nikoliv kanonická). Souřadnice, změna báze, hodnost matice ­ p.9/12 Matice přechodu -- vlastnosti Pro libovolný vektor v a jeho souřadnice v = (s1, s2 . . . , sn) = (t1, t2 . . . , tn) platí s1 s2 ... sn = P t1 t2 ... tn . Další vlastnosti: P P = P, P = (P)-1 nebot' P = En, matice přechodu jsou invertibilní. Souřadnice, změna báze, hodnost matice ­ p.10/12 Hodnost matice -- definice Necht' A = (aij) je matice typu m × n nad tělesem (T, +, ). Ř ádky matice A lze chápat jako uspořádané n-tice prvků z T, a tedy jako prvky vektorového prostoru (Tn, +, ). Ř ádky matice A potom generují jistý podprostor ve vektorovém prostoru (Tn, +, ). Dimenze tohoto podprostoru generovaného řádky matice A se nazývá řádková hodnost matice A. Podobně dimenze podprostoru vektorového prostoru (Tm, +, ) generovaného sloupci matice A se pak nazývá sloupcová hodnost matice A. Souřadnice, změna báze, hodnost matice ­ p.11/12 Hodnost a elementární úpravy Eřú nemění podprostor vektorového prostoru (T n, +, ) generovaný řádky matice A. Nemění se tak ani řádková hodnost matice A. Eřú nemění sloupcovou hodnost matice A. (Podprostor generovaný sloupci matice se mění.) Pro každou matici A = (aij) typu m × n nad tělesem (T, +, ) platí, že její řádková hodnost je rovna její sloupcové hodnosti. Můžeme tedy pro každou matici A = (aij) typu m × n nad tělesem (T, +, ) definovat hodnost matice A jako společnou hodnotu řádkové a sloupcové hodnosti. Souřadnice, změna báze, hodnost matice ­ p.12/12