Jméno e-mail 1.příklad 2.příklad celkem
................. ...................
Opravil:
1. zápočtová písemka z lineární algebry ­ 21.3.2006
Skupina A
Bodování: 1. př. za odpovědi na každou část 2 body (z toho jeden bod za správné
zdůvodnění) - tj. maximum je 6 bodů.
2. př. postup 2 body, správný výsledek 2 body, tj. maximum jsou 4 body.
1. Rozhodněte, zda množina A reálných polynomů stupně nejvýše 2 spolu
se standardními operacemi tvoří vektorový prostor nad R. Své tvrzení
zdůvodněte. (Nemusíte dokazovat, že R2[x] je vektorový prostor.)
a) A = {p  R2[x] | p(1) = 0},
b) A = {p  R2[x] | p(0) = 1},
c) A = {p  R2[x] | p(x) = p(-x)}.
2. Řešte soustavu rovnic v C.
(2 + i)x -3y = 3 + 5i
ix +(1 - i)y = -1 - i.
1
1. zápočtová písemka z lineární algebry ­ 21.3.2006
Skupina A - Vzorové řešení
1. Rozhodněte, zda množina A reálných polynomů stupně nejvýše 2 spolu
se standardními operacemi tvoří vektorový prostor nad R. Své tvrzení
zdůvodněte. (Nemusíte dokazovat, že R2[x] je vektorový prostor.)
a) A = {p  R2[x] | p(1) = 0} je vektorový podprostor, protože lineární
kombinace dvou polynomů p, q  A je polynom ap+bq  A ((ap+bq)(1) =
ap(1) + bq(1) = 0).
b) A = {p  R2[x] | p(0) = 1} není vektorový prostor, protože neobsahuje
nulový vektor, který nutně musí být nulový polynom.
c) A = {p  R2[x] | p(x) = p(-x)} je vektorový podprostor, protože
lineární kombinace dvou polynomů p, q  A je polynom ap + bq  A
((ap + bq)(x) = ap(x) + bq(x) = ap(-x) + bq(-x) = (ap + bq)(-x)).
2. Řešte soustavu rovnic v C.
(2 + i)x -3y = 3 + 5i
ix +(1 - i)y = -1 - i.
Zkouška:
(2 + i)(1 - i) - 3(-2i) = 2 + i - 2i + 1 + 6i = 3 + 5i
i(1 - i) + (1 - i)(-2i) = i + 1 - 2i - 2 = -1 - i.
2
Jméno e-mail 1.příklad 2.příklad celkem
................. ...................
Opravil:
1. zápočtová písemka z lineární algebry ­ 21.3.2006
Skupina B
Bodování: 1. př. za odpovědi na každou část 2 body (z toho jeden bod za správné
zdůvodnění) - tj. maximum je 6 bodů.
2. př. postup 2 body, správný výsledek 2 body, tj. maximum jsou 4 body.
1. Rozhodněte, zda množina A reálných matic typu 2 × 2 spolu se standard-
ními operacemi vektorový prostor tvoří nad R. Své tvrzení zdůvodněte.
(Nemusíte dokazovat, že M2×2(R) je vektorový prostor.)
a) A = {M  M2×2(R) | MT
= M},
b) A = {M  M2×2(R) | MT
= -M},
c) A = {M  M2×2(R) | M2
= I}.
2. Řešte soustavu rovnic v C.
(1 - i)x +2y = 1 + 5i
-ix -(4 + i)y = -7 - 3i.
3
1. zápočtová písemka z lineární algebry ­ 21.3.2006
Skupina B - Vzorové řešení
1. Rozhodněte, zda množina A reálných matic typu 2 × 2 spolu se standard-
ními operacemi vektorový prostor tvoří nad R. Své tvrzení zdůvodněte.
(Nemusíte dokazovat, že M2×2(R) je vektorový prostor.)
a) A = {M  M2×2(R) | MT
= M}, je vektorový podprostor, protože
lineární kombinace dvou matic M, N  A je matice aM +bN  A ((aM +
bN)T
= aMT
+ bNT
= aM + bN).
b) A = {M  M2×2(R) | MT
= -M} je vektorový podprostor, protože
lineární kombinace dvou matic M, N  A je matice aM +bN  A ((aM +
bN)T
= aMT
+ bNT
= -aM - bN = -(aM + bN)).
c) A = {M  M2×2(R) | M2
= I} není vektorový prostor, protože neob-
sahuje nulový vektor, který nutně musí být nulová matice 0 = 02
= I.
2. Řešte soustavu rovnic v C.
(1 - i)x +2y = 1 + 5i
-ix -(4 + i)y = -7 - 3i.
Zkouška:
(1 - i)(-3) + 2(2 + i) = -3 + 3i + 4 + 2i = 1 + 5i
-i(-3) - (4 + i)(2 + i) = 3i - 8 - 4i - 2i + 1 = -7 - 3i.
4