Jméno e-mail 1.příklad 2.příklad celkem ................. ................... Opravil: 2. zápočtová písemka z lineární algebry ­ 25.4.2006 Skupina A Bodování: 1. př. za odpovědi na každou část 1 body (tj. 1+1+1+1) - tj. maxi- mum jsou 4 body. 2. př. každá část za 3 body, tj. maximum je 6 bodů. 1. Dokažte, že zobrazení A : R2[x] R2[x], A(f)(x) = (x + 1)f (x) je li- neární. Určete jádro, obraz a jejich dimenze. (1+1+1+1) 1 2. Nechť P = (0, 3, 1, 3), (2, 1, -1, -1) , Q = (1, 2, 0, 4), (4, -1, -3, -2), (2, 1, -1, 2) jsou podprostory v R4 . Najděte nějaké báze podprostorů P + Q, P Q. (3+3) 2 2. zápočtová písemka z lineární algebry ­ 25.4.2006 Skupina A - Vzorové řešení 1. Dokažte, že zobrazení A : R2[x] R2[x], A(f)(x) = (x + 1)f (x) je lineární. Určete jádro, obraz a jejich dimenze. (1+1+1+1) 2. Nechť P = (0, 3, 1, 3), (2, 1, -1, -1) , Q = (1, 2, 0, 4), (4, -1, -3, -2), (2, 1, -1, 2) jsou podprostory v R4 . Najděte nějaké báze podprostorů P + Q, P Q. (3+3) Řešení: 1. Linearita A plyne z A(f +g)(x) = (x+1)(f +g) (x) = (x+1)(f +g )(x) = (x + 1)[f (x) + g (x)] = (x + 1)f (x) + (x + 1)g (x) = A(f)(x) + A(g)(x) a A(af)(x) = (x+1)(af) (x) = (x+1)af (x) = a(x+1)f (x) = aA(f)(x), kde jsme využili linearity derivace. Pro obecný polynom f(x) = ax2 + bx + c dostáváme A(f)(x) = 2ax2 +(2a+b)x+b. Odtud Im A = {2ax2 +(2a+b)x+b | a, b R}, dimenze je 2 a f Ker A právě tehdy, když a = b = 0, tedy Ker A = {c | c R}, dimenze je 1. 2. Pro výpočet průniku uspořádáme sloupcově vektory generující P a vektory generující Q s opačným znaménkem. Vzniklé schéma upravíme na schodovitý tvar: 2 0 -1 -4 -2 1 3 -2 1 -1 -1 1 0 3 1 -1 3 -4 2 -2 . . . 1 3 -2 1 -1 0 2 -1 2 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 Vidíme, že hodnost matice je 3, což je dimenze P + Q a za bázi můžeme zvolit např. ((0, 3, 1, 3), (2, 1, -1, -1), (1, 2, 0, 4)). Dimenze P je 2. Další úpravou pravé strany nahlédneme, že dimenze Q je také 2, takže dimenze PQ musí být 1. Stačí tedy najít jeden nenulový vektor, jehož koeficienty řeší příslušnou homogenní soustavu, např. řešení (3/2, -3/2, 1, -1, 0) určuje vektor (3, -3, -3, -6), tedy bazí P Q je např. ((1, -1, -1, -2)). 3 Jméno e-mail 1.příklad 2.příklad celkem ................. ................... Opravil: 2. zápočtová písemka z lineární algebry ­ 25.4.2006 Skupina B Bodování: 1. př. za odpovědi na každou část 1 body (tj. 1+1+1+1) - tj. maxi- mum jsou 4 body. 2. př. každá část za 3 body, tj. maximum je 6 bodů. 1. Dokažte, že zobrazení f : M2(R) M2(R), f(X) = XA pro A = (1 0 2 0) je lineární. Určete jádro, obraz a jejich dimenze. 4 2. Nechť P = (3, 0, -2, 0), (-4, 1, 3, 2) , Q = (1, 2, 0, 1), (1, 5, 1, 4), (-3, 0, 2, 3) jsou podprostory v R4 . Najděte nějaké báze podprostorů P + Q, P Q. 5 2. zápočtová písemka z lineární algebry ­ 25.4.2006 Skupina B - Vzorové řešení 1. Dokažte, že zobrazení f : M2(R) M2(R), f(X) = XA pro A = (1 0 2 0) je lineární. Určete jádro, obraz a jejich dimenze. 2. Nechť P = (3, 0, -2, 0), (-4, 1, 3, 2) , Q = (1, 2, 0, 1), (1, 5, 1, 4), (-3, 0, 2, 3) jsou podprostory v R4 . Najděte nějaké báze podprostorů P + Q, P Q. Řešení: 1. Linearita plyne z vlastností maticového a skalárního součinu: f(X +Y ) = (X + Y )A = XA + Y A = f(X) + f(Y ) a f(aX) = (aX)A = a(XA) = af(X). Pro X = (a c b d) máme f(X) = (a c 2a 2c ), tedy Im f = {(a c 2a 2c ) | a, c R}, Ker f = {(0 0 b d) | b, d R}. Obojí má dimenzi 2. 2. Pro výpočet průniku uspořádáme sloupcově vektory generující P a vektory generující Q s opačným znaménkem. Vzniklé schéma upravíme na schodovitý tvar: 3 -4 -1 -1 3 0 1 -2 -5 0 -2 3 0 -1 -2 0 2 -1 -4 -3 . . . 1 -1 -1 -2 1 0 1 -2 -5 0 0 0 1 2 -1 0 0 0 0 0 Vidíme, že hodnost matice je 3, což je dimenze P + Q a za bázi můžeme zvolit např. ((3, 0, -2, 0), (-4, 1, 3, 2), (1, 2, 0, 1)). Dimenze P je 2. Další úpravou pravé strany nahlédneme, že dimenze Q je také 2, takže dimenze PQ musí být 1. Stačí tedy najít jeden nenulový vektor, jehož koeficienty řeší příslušnou homogenní soustavu, např. řešení (2, 2, 1, 0, 1) určuje vektor (-2, 2, 2, 4), tedy bazí P Q je např. ((1, -1, -1, -2)). 6