Lineární algebra 1997/1998 Jan Slovák Obsah Úvodní poznámky........................... ii Část I. Vektorové prostory a soustavy lineárních rovnic ............ 1 1. Skaláry, vektory, matice ...................... 1 2. Vektorové prostory a lineární zobrazení................ 9 3. Matice a determinanty....................... 18 4. Systémy lineárních rovnic...................... 27 5. Geometrie endomorfismů a kanonické tvary.............. 31 Část II. Prostory se skalárním součinem a analytická geometrie......... 43 6. Afinní prostory........................... 43 7. Euklidovské a unitární vektorové prostory............... 53 8. Formy a tensory.......................... 63 9. Bodové euklidovské prostory..................... 76 10. Spektrální teorie ......................... 85 11. Rozklady matic a aproximace.................... 92 Část III. Dodatky.............................. 97 12. Polynomiální matice a kanonické tvary................ 97 13. Multilineární algebra ......................105 14. Cvičení k přednáškám......................109 Index...............................125 Masarykova Universita Brno Typeset by .AmS-TeX 11 LilJNÜiAKJNl AUiEBKA Úvodní poznámky Tento text dávám k dispozici jako víceméně pracovní verzi mých příprav k přednáškám a nepovažuji jej za náhradu skutečné učebnice o předmětu. Pokrývá však celou odpřednášenou látku, někdy i podrobnosti, které na přednáškách nejsou uváděny. Na druhé straně je styl textu dosti hutný a stručný, a zřejmě obsahuje řadu nepříliš pečlivě propracovaných míst. Předpokládám, že studenti, kteří přednášky nenavštěvovali, budou muset často sáhnout po nějakých podrobnějších skriptech. Protože vím, jak velké jsou rozdíly v kapacitě jednotlivých studentů, a protože nechci ani nudit ty schopnější, ani znemožnit další rozvoj těm méně schopným (resp. méně pracovitým), zmíním se o strukturaci textu a požadavcích ke zkoušce. Snažím se vždy po základních definicích pojmů sdružit odvození jejich jednoduchých vlastností do několika vět (většinou s mnoha částmi). Jejich důkazy pak spočívají vesměs v pochopení definic, případně jednoduchých úvahách. Měly by být tedy zvládnutelné pro každého a budu se na ně ptát. Dále jsou v textu věty, které mají většinou své jméno (např. Laplaceova věta o rozvoji determinantu) a kompletní důkazy již bývají podstatně složitější. U nich lze očekávat pouze u dobrých studentů přehled o postupu důkazu a závislosti na jiných výsledcích. Slabší studenti uspějí se zvládnutím obsahů jejich tvrzení a možných aplikací. Zejména v těchto částech textu jsou odstavce označeny hvězdičkou. Chci tím naznačit zvýšenou potřebu pozornosti při čtení (nikoliv doporučené vynechání!). Navíc se, zejména ke konci přednášky, vyskytují celé partie, které jsou adresovány těm schopnějším, vyznačím je většinou dvěmi hvězdičkami u příslušných odstavců, případně poznámkami pod čarou. Na konci každé kapitoly připojím tzv. poznámky k přemýšlení. Jsou rozdílné složitosti, pro každého bude užitečné, když si na nich ověří stupeň pochopení předchozí teorie. Jejich složitost je také naznačena hvězdičkami. Úplně na konci textu jsou přiložena zadání cvičení. Časem je snad doplním o výsledky. Vřele uvítám upozornění na nedokonalé či špatné části textu, případně návrhy na jeho vylepšení (nejlépe e-mailem na adresu slovakOmath.muni.cz). Jan Slovák 1 Část I. Vektorové prostory a soustavy lineárních rovnic 1. Skaláry, vektory, matice V této kapitole rozšíříme běžně známé operace pro počítání s čísly na tzv. vektory a matice. Tím jednak získáme příklady pro později zavedené abstraktnější objekty, ale hlavně si připravíme technické prostředky pro práci s nimi. 1.1. Skaláry. Zformalizujeme vlastnosti číselných oborů jako např. celá čísla Z, racionální čísla Q, reálná R, komplexní čísla C. To znamená, že popíšeme explicitně ty vlastnosti, které budou potřebné pro odvozování celé teorie. Tím, že vždy budeme při důkazech používat pouze uvedené vlastnosti, bude celá teorie platná pro všechny objekty s uvedenými axiomy.1 Vlastnosti sčítání: (KG1) (a + b) + c = a + (b + c), pro všechny a, 6, c (KG2) a + b = b + a, pro všechny a, ft, c (KG3) existuje prvek 0 takový, že pro všechny a platí a + 0 = a (KG4) pro všechny a existuje prvek (—a) takový, že platí a + (—a) = 0 Vlastnostem (KG1) - (KG4) říkáme vlastnosti komutativní grupy. Vlastnosti násobení: (01) (a • b) • c = a • (b • c), pro všechny a, 6, c (02) a • b = b • a, pro všechny a, b (03) existuje prvek 1 takový, že pro všechny a platí 1 • a = a Distributivita: (04) a • (b + c) = a • b + a • c, pro všechny a, 6, c Množiny s operacemi +, • a vlastnostmi (KG1)-(KG4), (01)-(04) se nazývají komutativní okruhy. Potřebujeme však zpravidla ještě další běžnou vlastnost čísel: (P) pro každý a ^ O existuje prvek a-1 takový, že platí, a • a-1 = 1 Jestli naše objekty splňují navíc i (P), hovoříme o poli (často také o komutativním tělese). 1 Zřejmě je při tom ale užitečné při sledování důkazů si představovat nějaký z dobře známých případů (např. reálná čísla). 2 (JAST 1. VEK.TUKUVK ťHUSTUKY A SUUSTAVY LllNĽAKiNlUŕi K.UVJNKJ Někdy se setkáme se slabší dodatečnou vlastností, např. Z nesplňuje (P), ale splňuje (Ol) a ■ b = 0 =>- buď a = 0 nebo 6 = 0. Hovoříme o oboru integrity. Prvky nějaké množiny s operacemi + a • splňujícími výše uvedené vlastnosti (komutativní okruh, obor integrity, pole) budeme nazývat skaláry. Pokud nezdůrazníme něco jiného, půjde o pole. 1.2. Vektory nad polem skalárů. Symbolem K budeme nadále značit nějakou množinu skalárů. Pro potřeby této kapitoly, vektorem budeme rozumět uspořádanou n-tici skalárů, n budeme nazývat dimenzí. Sčítání vektorů definujeme po složkách (skaláry samozřejmě sčítat umíme). Násobení vektoru u = (ai,... , an) skalárem b definujeme tak, že každý prvek n-tice u vynásobíme skalárem b (skaláry v K násobit umíme). Pro sčítání vektorů v Kn platí (KG1)-(KG4) s nulovým prvkem20 = (0,..., 0) vKn. Vlastnosti operací s vektory: Pro všechny vektory v, w G Kn a skaláry a G K platí (VI) a-(v + w) = a-v + a-w (V2) (a + b)-v = a-v + b-v (V3) a-(b-v) = (a-b)-v (V4) l-v = v 1.3. Příklady. Pro kterékoliv pole skalárů K se snadno ověří právě sformulované vlastnosti (V1)-(V4) pro Kn, protože při ověřování vždy používáme pouze vlastnosti skalárů uvedené výše. Tak můžeme uvažovat např. Rn, Qn, Cn, n = 1, 2, 3,___ Jiný příklad pole skalárů je Z2 = {0,1}, 1 + 1 = 0, 0 • 1 = 0, l-1 = 1. Prvky 2,2 lze chápat jako zbytkové třídy po dělení dvěma. Obecněji můžeme uvažovat okruh Zfc zbytkových tříd po dělení přirozeným číslem k. Snadno se ověří, že %>k je polem právě když je k prvočíslo. Všimněme si, že k ověření vlastností V1-V4 potřebujeme pro použité skaláry pouze vlastnosti okruhu. Vlastnost (P) však bude podstatná později.3 1.4. Matice nad skaláry. Maticí typu rn/n nad skaláry K rozumíme obdélníkové schéma / «11 «12 • • • din \ «21 «22 • • • «2n A \ Qiml ďml • • • Q"mn ' 2Používáme pro nulový prvek stejný symbol jako pro nulový prvek skalárů. Podobně budeme pro sčítání a násobení používat stále stejný symbol. Navíc nebudeme většinou používat pro vektory žádné speciální značení, budu však důsledně pro skaláry používat písmena ze začátku abecedy, pro vektory spíše od konce. Cím dřív se s tím posluchač smíří tím lépe. 3Část naší teorie lze odvodit i pro skaláry tvořící okruh, hovoříme o tzv. modulech. Např. 2ün je tzv. volný modul nad Z. 1. SKALÁKY, VĽK1UKY, MATKJĽ ó kde aij G K pro všechny 1 < * < m, 1 < j < n. Matici A s prvky a^ značíme také A= (aij). Vektory (an, ai2, • • • , «m) G Kn nazýváme řádky matice A, i = 1,... ,m, vektory (aij, a2j, • • • , amj) G Km nazýváme sloupce matice A, j = 1,..., n. Množinu všech matic typu m/n nad K značíme Matmn(K). Matici můžeme chápat jako zobrazení A: {1,... , 'in} x {1,... , n} —)■ K. Matice typu l/n nebo n/l jsou vlastně vektory v Kn. I obecné matice z Matmn(K) lze však chápat jako vektory v Km-n, prostě zapomeneme na řádkování. Zejména tedy je definováno sčítání matic v MatTOn(K) a násobení matic skaláry. A + B = (aij + bij), kde A = (a^), B = (6ťj-) a.A = (a.aij), kde A = (a^), a G K —A = (—aij) se nazývá matice opačná k matici A 0 ... 0' 0 = ( ; j ) se nazývá nulová matice. .0 ... 0. Zapomenutím řádkování tak získáme následující tvrzení: 1.5. Věta. Předpisy pro A+B, a.A, —A, 0 zadávají na Matmn (K) operace sčítání a násobení skaláry splňující axiomy (V1)-(V4). D 1.6. Příklad. Matice lze vhodně využít pro zápis lineárních rovnic: a11x1 + a12x2 -\-------h alnxn = y1 a2ix1 + a22X2 H-------h a2nxn = y2 amix1 + am2x2 H-------h amnxn = yr posloupnost x\,... , xn lze chápat jako vektor proměnných, tj. sloupec x XI Xr stejně tak y = ( : ). Systém rovnic lze pak formálně psát ve tvaru A.x = y: JJr, an ... a\n \ / x\ .am\ ... amn / \xr ÍVi\ \VnJ Původní rovnice nyní obdržíme tak, že vždy bereme řádky z A a sčítáme součiny odpovídajících komponent anX\ + • —h ainxn. Tím získáme i-tf prvek výsledného vektoru. Brzy odvodíme velice kalkul s maticemi, který nám umožní se systémy lineárních rovnic pracovat velice efektivně. 4 (J AST 1. VERIUKUVE ťKUSlUKY A SU U STAV Y ITINHATUNIUH KUVJNICJ 1.7. Součin matic. Pro libovolnou matici A = (a^-) typu m/n nad okruhem4 skalárů K a libovolnou matici B = (b j k) typu n/q nad K definujeme jejich součin C = A • B = (cik) jako matici typu m/q s prvky cik = /^ aíjbjki Pro libovolné 1 < 2 < m, 1 < & < • Mat Věta. Pro libovolný okruh skalárů je na Matm(K) deůnována operace násobení. Splňuje vlastnosti (Ol) a (03) vzhledem k jednotkové matici E = S{j. Dále spolu se sčítáním matic vyhovuje (04). Obecně však neplatí (02) ani (Ol), zejména tedy neplatí (P). Důkaz. Asociativita násobení - (Ol): A = (dij) typu m/n, B = (bjk) typu n/p, C = (cH) typu p/q A-B = (^2 dij.bjk), B -C = (^2 bjk.cM) j k (A-B)-C = CŽ2C^2 aíj-hjk)-Ckl) = ^ aíj-hjk-Ckl k j j,k A- (B -C) = (^2 aij-CŽ2 bJk-ckl)) = XI aíŕhJk-Ckl j k j,k Jednotkový prvek - (03): x (\ O ••• 0\ A-E A = E-A Vo O ••• 1/ 4čtenář, který se ještě nesmířil s abstrakcí okruhu, nechť přemýšlí v rámci číselných oborů. Potom okruhy skalárů zahrnují i celá čísla Z zatímco mezi poli jsou pouze M, Q, C. 1. SKALÁKY, VĽK1UKY, MATKJĽ 5 (04) - distributivita: A = (a^) typu m/n, B = (b j k) typu n/p, C = (c j k) typu n/p, Ľ = (dki) typu p/ i (2) je-li a(i_i)j první nenulový prvek na (i — l)-vém řádku, pak a^ = 0. Důkaz. Matice v řádkově schodovitém tvaru vypadá takto /O ... 0 a-ij ......... alm \ 0 ... 0 0 ... a2k • • • a2m 0 ............ 0 aip ... V; / a matice může, ale nemusí, končit několika nulovými řádky. K převodu libovolné matice můžeme použít jednoduchý algoritmus: (1) Záměnou řádků docílíme, že v prvním řádku bude v prvním nenulovém sloupci nenulový prvek, nechť je to j-tý sloupec. (2) Pro i = 2,..., vynásobením prvního řádku prvkem a^, ž-tého řádku prvkem tři j a odečtením vynulujeme prvek chj na «-tém řádku. (3) Opakovanou aplikací bodů (1) a (2), vždy pro zbytek řádků a sloupců v získané matici dospějeme po konečném počtu kroků k požadovanému tvaru. D Všimněme si, že jsme v důkazu používali pouze vlastností okruhu skalárů. Uvedený postup je právě obvyklá eliminace proměnných v systémech lineárních rovnic. Pro řešení systémů rovnic má ale uvedený postup rozumný smysl jen, když mezi skaláry neexistují dělitelé nuly. Pokud tvoří skaláry pole, pak můžeme navíc ze schodovitého tvaru snadno spočíst řešení (případně ověřit jeho neexistenci), promyslete si např. pečlivě rozdíl mezi K = ZaK = t 1.13. Lemma. Elementární řádkové (resp. sloupcové) transformace odpovídají vynásobením zleva (resp. zprava) následujícími maticemi: (1) Přehození i-tého a j-tého řádku (resp. sloupce) /l 0 ... \ o '•• : o ... i i ... o V ' J 1. SKALÁKY, VĽK1UKY, MA1KJĽ y (2) Vynásobení i-tého řádku (resp. sloupce) skalárem a: í1 \ V i) (3) Sečtení i-tého řádku (resp. sloupce) s j-tým: /l O 1/ t i Důkaz. Ověří se přímým výpočtem. D 1.14. Věta. Nechť K je pole skalárů. Pro každou matici A G Matmn(K) existují invertibilní matice P G Matm(K), Q G Matn(K) takové, že matice P. A je v řádkově schodovitém tvaru a /l ••• 0 ......... 0\ P-A-Q 0 0 0 V: 1 0 .. 0 0 1 0 . .. 0 0 0 0 . .. 0 / * Důkaz. Aplikací Gaussovy eliminace upravíme A do schodovitého tvaru. Přitom všechny její kroky jsou elementární řádkové transformace. Podle předchozí věty existují tedy matice Pí,... , P&, které tyto elementární transformace realizují násobením zleva. Přímým ověřením zjistíme, že nad polem K jsou všechny Pí invertibilní, tj. i jejich součin je invertibilní a (P& • Pk-i • • • (Pí • A) •• •) = (P& • Pk-i • • • Pí) • A je ve schodovitém tvaru. Označme p = pk---p1, p-l = pr1---pk~1. Přehozením pojmu řádek a sloupec lze odvodit (a tedy hlavně aplikovat) větu 1.12 na sloupce matice A a uvést ji sloupcovými elementárními transformacemi na tzv. sloupcově schodovitý tvar. Protože však již vycházíme z řádkově schodovitého tvaru, získáme až na násobky řádků invertibilními skaláry právě požadovaný tvar. Zbývá tedy již jen vynásobit příslušné nenulové řádky inverzními prvky vK D 8 (JAbl 1. VEK.TUKUVK ťHUSTUKY A SUUSTAVY L11NĽAK.1NKJM K.UV1NKJ * 1.15. Algoritmus pro výpočet inverzní matice. Nechť K je pole a A G Matm(K) čtvercová matice. Podle 1.14 lze najít invertibilní matici P G Matm(K) takovou, že P • A bude v řádkově schodovitém tvaru. Přitom může (ale nemusí) být jeden nebo více posledních řádků nulových. * Jestliže má existovat inverzní matice k A, pak existuje i inverzní matice k P • A. Jestliže však je poslední řádek v P • A nulový bude nulový i poslední řádek v P • A- B pro jakoukoliv matici B G Matm (K). Existence takového nulového řádku ve výsledku (řádkové) Gaussovy eliminace tedy vylučuje existenci A-1. * Předpokládejme nyní, že A-1 existuje. Podle předchozího, nalezneme řádkově schodovitý tvar bez nulového řádku, tzn. že diagonální prvky v P • A jsou nenulové. Pak ovšem pokračováním eliminace od pravého dolního rohu zpět získáme jistě jednotkovou matici. Jinými slovy, najdeme další invertibilní matici P' tak, že P' • P • A = E. Výměnou řádkových a sloupcových transformací lze za předpokladu existence A~x stejným postupem najít Q takovou, že A • Q = E. Odtud (P' • P) = (P' • P) • E = (P' • P) • (A-Q) = (P' • P- A) -Q = Q. To ale znamená, že jsme nalezli hledanou inverzní matici k A. Prakticky tedy můžeme postupovat tak, že vedle sebe napíšeme původní matici A a jednotkovou matici E, matici A upravujeme řádkovými elementárními úpravami nejprve na schodovitý tvar, potom tzv. zpětnou eliminací na diagonální matici a v té násobíme řádky inverzními prvky z K. Tytéž úpravy postupně prováděné s E vedou právě k matici P' • P z předchozích úvah, tedy z ní získáme právě hledanou inverzi. Pokud tento algoritmus narazí na vynulování celého řádku v původní matici, znamená to, že matice inverzní neexistuje. Poznámky k přemýšlení 1. Komplexní čísla lze chápat jako dvojice reálných čísel. To dává realizaci C jako množiny reálných vektorů. Rozmyslete si to! 2. V textu jsme stručně zmínili tzv. zbytkové třídy celých čísel. Definujeme je takto: pro přirozené k > 2 je Z& = {0,1,..., k — 1} přičemž sčítání a násobení se definuje tak, že se provede příslušná operace v Z a za výsledek se vezme zbytek po dělení k. Např. v Z3 je 2.2 = 1, tzn. 2_1 = 2. Z& má vždy vlastnosti (KG1) -(KG4) a (Ol) - (04), tvoří tedy vždy okruh. Pro k prvočíselné jde navíc o pole, jinak to není ani obor integrity. Prověřte tyto vlastnosti a promyslete si důkaz věty 1.8 pro matice nad skaláry Z&. * 3. Lze také potkat skaláry, které mají všechny vlastnosti pole až na komutativitu násobení. Takovými (nenulovými) skaláry lze úspěšně dělit, promyslete si ale, jaké potíže okamžitě nastanou třeba s elementárními řádkovými úpravami (např. násobit řádky zprava i zleva nejde pomocí elementárních matic!). Standardním příkladem jsou tzv. kvaterniony H, které lze definovat jako reálné vektory z R4 s násobením definovaným takto: pro 1 := (1,0,0,0), i := (0,1,0,0), j := (0,0,1,0), k := (0, 0, 0,1) klademe i2 = j2 = k2 = —1, i. j = k = —j.i, j.k = i = —k.j, k.i = j = —i.k, 1 je jednotka pro násobení. * 4. Zadefinujte kvaterniony H jako C2 s vhodně definou operací násobení. (Návod: podobně jako u definice C jako dvojčlenů a + b.i pišme q = w + z.j a definujme 2. VĽK1UK.UVĽ FKUSTUKY A LUNĽAK1N1 ZUBKAZĽINI y * j2 = —1, z.j = j.z pro komlexní z, tzn. j komutuje s komplexními čísly až na konjugaci. Pak (a + b.j).(c + d.j) = ac + bď + (ad + bč).j.) 5. Pokud existuje k matici A matice inverzní A-1, pak je systém rovnic A.x = y vždy řešitelný (s řešením x = A-1 .y). Jak to funguje nad Z, Z&? Spočtěte si ^4_1 /l 2\ k matici A = í . J nad Z5 a Z. 6. Najděte analogie k známým vzorcům pro mocniny dvojčlenů (pro skaláry (a + b)n = ^2k i^)akbn~k) platné pro čtvercové matice - pozor na nekomutativnost násobení. 7. Matice lze samozřejmě definovat nad libovolným okruhem (i s děliteli nuly). Rozvažte si pořádně, jak dalece pak funguje Gausova eliminace. Specielně si rozmyslete jaké hrůzy se dějí třeba v Mat2(Mat2(R)), tj. uvažujte matice typu 4/4 jako matice typu 2/2 jejichž prvky jsou reálné matice typu 2/2. 8. Rozmyslete si, co lze z důkazu věty 1.14 provést i pro matice nad libovolným komutativním oborem integrity (Návod: řádkovými elementárními transformacemi lze ještě stále získat schodovitý tvar, poté lze sloupcovými transformacemi vynulovat i zbytky řádků za prvním nenulovým, to co zbude nemusí však mít inverzní prvky. Pro celočíselné skaláry lze ale v každém případě dosáhnout, aby prvek na prvním řádku dělil ten na druhém, druhý zase ten na třetím atd.) 2. Vektorové prostory a lineární zobrazení 2.1. Definice. Vektorovým prostorem V nad polem5 skalárů K rozumíme množinu spolu s operací sčítání, pro kterou platí axiomy (KG1)-(KG4), a s násobením skaláry, pro které platí axiomy (V1)-(V4). Připomeňme si pro jistotu tyto axiomy: (KG1) (u + v) + w = u + (v + w), V«, v, w G V (KG2) u + v = v + u, Vu,v e V (KG3) 30 e V, v + 0 = v, VveV (KG4) 3(-v) eV, v + (-v) = 0, Vv e V (VI) a.(v + w) = a.v + a.w VaeK,?;,«) e ľ (V2) (a + b).v = a.v + b.v Va, b e K, v G V (V3) a.(b.v) = (a.b).v Va, b e K, v e V (V4) l.v = v, Vv i,..., vk} je lineárně nezávislá. Výrazy tvaru a,\ -vi + - • - + ak-Vk nazýváme lineární kombinace vektorů v\,..., vk. Množina M vektorů je lineárne závislá, jestliže není lineárně nezávislá. Přímo z definice pak vyplývá, že neprázdná podmnožina M vektorů ve vektorovém prostoru nad polem skalárů K je závislá právě, když je jeden z jejích vektorů vyjádřitelný jako lineární kombinace ostatních. 2.4. Věta. Nechť V je vektorový prostor. Každá podmnožina lineárně nezávislé množiny M je lineárně nezávislá. M C V je lineárně nezávislá právě tehdy, když každá konečná podmnožina v M je lineárně nezávislá. Důkaz. Plyne okamžitě z definice lineární nezávislosti. D 2.5. Příklady. 1. W71 se sčítáním a násobením po složkách je vektorový prostor nad R, ale také vektorový prostor nad Q. Např. pro m = 2, vektory (1,0), (0,1) G M2 jsou lineárně nezávislé, protože z a • (1,0) + b • (0,1) = (0,0) plyne a = b = 0. Dále, vektory (1,0), (y/2, 0) G R2 jsou lineárně závislé nad R; y/2 ■ (1, 0) = (y/2, 0), ovšem nad Q jsou lineárně nezávislé! 2. VĽKTUK.UVĽ FKUSTUKY A LUNĽAK1N1 ZUBKAZĽINI 11 2. Polynomy stupně nejvýše m tvoří vektorový prostor R^ic]. Polynomy můžeme chápat jako zobrazení / : IR —>• R a sčítání a násobení skaláry definujeme takto: (/ + g){x) = f(x) + g(x), (a • f){x) = a ■ f(x). 3. Úplně analogicky jako u polynomů můžeme definovat strukturu vektorového prostoru na množině všech zobrazení R —>■ R, množině spojitých zobrazení, množině diferencovatelných zobrazení, polynomech všech stupňů, atd. 2.6. Definice. Podmnožina M C V se nazývá vektorovým podprostorem jestliže spolu se zúženými operacemi sčítání a násobení skaláry je sama vektorovým prostorem. Tzn. požadujeme Va, b G K, V«,wGM, a • v + b • w G M. 2.7. Věta. Nechť V je vektorový prostor nad K, / ^ 0 libovolná množina a nechť Wi, i (ž I, jsou vektorové podprostory ve V. Pak jejich průnik fl^/Wj C V je vektorový podprostor. Zejména pro každou množinu M C V je množina (M) f| W MCW WCV je podprostor vektorový podprostor. Platí pro néj: (1) (M) = {tři • ui H-------\-ak • uk; k e ~N, di eK,Uj G M, j = 1,..., k} (2) M = (M) právě když M je vektorový podprostor (3) jestliže N C M pak (N) C (M) je vektorový podprostor (4) (0) = {0} C V, triviálni podprostor. Důkaz. Podmínka v definici 2.6 obsahuje pouze univerzální kvantifikátory, proto je jistě průnik podprostorů opět podprostor. Snadno to ověříme i přímo: Nechť a, b G K, m, v G n^/Wj. Pak pro všechny * G /, a • u + b • v G Wi, to ale znamená, že a • u + b • v G n^/Wj. (1) Platí {ai«i + • • • + cikUk} C (M) a zároveň je to vektorový podprostor (ověřte!), který obsahuje M. (2) plyne z (1) a definice vektorového podprostorů. (3): Nejmenší vektorový podprostor je {0} (zdůvodněte!). D Říkáme, že M generuje (M), nebo že prvky M jsou generátory podprostorů (M). 2.8. Definice. Nechť Vi, i (ž I, jsou podprostory ve V. Pak (U^/T^) nazýváme součtem podprostorů Vi. Značíme ^2ieI V-b. Zejména pro V\,...,Vk C V, Vl + ■. ■ + vk = (vluv2u ■ ■ ■ uvk). 2.9. Věta. Pro podprostory V\,..., Vk C V platí: Vt + V2 + ■ ■ ■ + Vk = {Vl + ■ ■ ■ + vk; ví G V, i = 1,..., k}. Důkaz. Podle věty 2.7.(1), lze každý prvek v uvažovaném součtu podprostorů vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů z podprostorů Ví. Protože však je sčítání vektorů komutativní, lze k sobě poskládat členy patřící do stejného podprostorů, což dává právě požadovaný výraz. D 12 (JAST 1. VEK.TUKUVK ťHUSTUKY A SUUSTAVY L11NĽAK.1NKJM K.UVJNKJ 2.10. Definice. Podmnožina M C V se nazývá báze vektorového prostoru V, jestliže (M) = V a M je lineárně nezávislá. Vektorový prostor, který má konečnou bázi nazýváme konečněrozměrný, mohutnost6 báze nazýváme dimenzí V. Nemá-li V konečnou bázi, říkáme, že V je nekonečněrozměrný. Píšeme dim y = k, k G N U {0}, případně k = oo. Bázi ft-rozměrného prostoru budeme obvykle zapisovat jako &-tici v = (vi,... , v k) bázových vektorů.7 2.11. Věta. Z libovolné konečné množiny generátorů vektorového prostom V lze vybrat bázi. Důkaz. Tvrzení ukážeme indukcí přes počet generátorů k. Nejprve uvažme k = 1, V = ({v}), kde w/0 protože {v} je lineárně nezávislá množina vektorů. Pak je ovšem {v} je zároveň báze V. Předpokládejme, že tvrzení platí pro k = n, a uvažme V = (i>i,..., i>n+i). Jsou-li v i,..., vn+i lineárně nezávislé, pak tvoří bázi. V opačném případě existuje index i takový, že Ví = a\V\ + • • • + cn-iVi-i + ai+ivi+i + • • • + an+1vn+i. Pak ovšem V = (ví,..., i^_i, i^_|_i, ..., ľn+i) a již umíme vybrat bázi (podle indukčního předpokladu). D 2.12. Steinitzova věta o výměně. Nechť (ví,..., vn) je báze vektorového prostoru V nad polem K. Nechť u\1..., u^ jsou lineárně nezávislé vektory. Potom k < n a mezi vektory v i,..., vn existuje (n — k) vektorů v^,..., Vin_k takových, že (ni,..., uk, vh,..., vin_k) tvoří bázi V. Důkaz. Ukážeme napřed zdánlivě daleko jednodušší tvrzení: Nechť (ví,... ,vn) je báze V. Pro libovolný nenulový vektor u G V existuje i, 1 < i < n, takové, že (u, v i,..., fi_i, t>i+i,..., vn) je opět báze V. Předpokládejme, že u = cl\ • v\ + • • • + an • vn a a^ ^ 0 pro jisté *. Pak Vi = —(u-(cLi-vi-\-------h ať_i • Vi-i + ai+1 • vi+1 H-------\-an • vn)). 0,1 Odtud již plyne (u, v i,..., fi_i, fi+i,..., vn) = V a jistě je to báze, protože vektory ví,... ,Vi-i,Vi+i,..., vn jsou jistě nezávislé, takže kdyby to byly lineárně závislé vektory, pak by u bylo jejich lineární kombinací, ale odtud už vyplývá V = (ví,... ,Vi-i, Vi+i,..., vn), což není možné. Tím je naše pomocné tvrzení dokázané. Nyní již stačí postupně přidávat «1,1*2,..., vždy výměnou za vhodné V{. Je třeba pouze ověřit, že takové 1^ vždy bude existovat. Předpokládejme tedy, že již máme umístěné iti,... ,u\. Pak i^+i se jistě vyjádří jako lineární kombinace těchto vektorů a zbylých Vj. Pokud by pouze koeficienty u «1,... , U{ byly nenulové, znamenalo by to, že již samy vektory «1,... , ui+i byly lineárně závislé, což je ve sporu s našimi předpoklady. Pro každé k < n tak po k krocích získáme požadovanou bázi. Pokud by k > n, pak již v n-tém kroku obdržíme bázi vybranou z těchto vektorů, což znamená, že nemohou být lineárně nezávislé. D "Všimněme si, že triviální podprostor je generován prázdnou množinou, která je "prázdnou" baží. Má tedy triviální podprostor dimenzi nulovou. 7Opět jde především o zavedení konvence. U konečně rozměrných podprostorů budeme vždy uvažovat bázi včetně zadaného pořadí prvků. Viz. diskuse o souřadnicích vektorů vzhledem k bázi. 2. VĽK1UK.UVĽ FKUSTUKY A LllN ÜA.K1N 1 ZUBKAZÜIJNI 13 2.13. Důsledky. (1) Každé dvě báze koneěněrozměrného vektorového prostoru mají stejný počet vektorů, tzn. že naše definice dimenze nezávisí na volbě báze. (2) Má-li V konečnou bázi, lze každou lineárně nezávislou množinu doplnit do báze. (3) Báze konečněrozměrných vektorových prostorů jsou právě maximální lineárně nezávislé množiny (4) Báze prostoru s konečnou dimenzí jsou právě minimální množiny generátorů 2.14. Příklady. (1) Kn má (jako vektorový prostor nad K) dimenzi n, baží je např. n-tice vektorů ((1,0,...,0),(0,1,...,0)...,(0,...,0,1)). Tuto bázi nazýváme standardní báze v Kn. (2) C jako vektorový prostor nad R má dimenzi 2, bázi tvoří např. čísla lat. (3) Km [x], prostor polynomů stupně nejvýše m má dimenzi m +1, baží je např. posloupnost l,x,x2,... ,xm. Vektorový prostor všech polynomů K[x] má dimenzi oo, umíme však ještě stále najít bázi (i když s nekonečně mnoha prvky): l,x,x2,.... (4) Vektorový prostor všech zobrazení {/: R —» R} má také dimenzi oo, tento prostor už ale nemá spočetnou bázi. 2.15. Věta. Nechť W, Wi, W2 C V jsou podprostory v prostoru konečné dimenze. Pak platí (1) dim VF Kn. Má tyto vlastnosti:8 (1) v(u + w) = v(u) + v(w); Vm, w £ V (2) v(a -u) = a- v(u); Va G K, Vir G V. 2.19. Definice. Nechť V &W jsou vektorové prostory nad týmž polem skalám K. Zobrazení /: V —>• W se nazývá lineární zobrazení (homomorfisraus) jestliže platí: (1) f(u + v) = f(u) + f(v), \/u,veV (2) f (a • u) = a ■ f (u), Va G K, V« G V. 2.20. Věta. Nechť f: V —>• W je lineárni zobrazení. Pro všechny u, ui, ...,«& G V, ííi, ..., tífc G K piati: (1) /(O) = 0 (2) f (-u) = -f (u) (3) f(a1 ■ «i H-------h ßfc • Ufc) = «i • /(«i) H-------h flfc • /(«fc) (4) pro každý vektorový podprostor V\ C V je jeho obraz f (Vi) vektorový podprostor ve W. (5) Pro každý podprostor Wi C W je množina f~1(Wi) = {v G V; f (v) G W\} vektorový podprostor ve V. Důkaz. Počítejme (s využitím axiomů a definic a již dokázaných výsledků - vyhledejte pečlivě odkazy!): /(O) = f (u -u) = /((l - 1) • u) = 0 • f (u) = 0. /(-«) = /((-l) • u) = (-1) • f (u) = -/(«). Vlastnost (3) se ověří snadno indukcí z definičního vztahu 2.19. Z (3) nyní plyne, že (/(Ví)} = /(Ví), je to tedy vektorový podprostor. Je-li naopak /(m) G Wi a f (v) G Wi, pak pro libovolné skaláry bude i f(a-u+b-v) = a-f(u) + b-f(v)eWi. D 2.21. Definice. Nechť /: V —>• IV je lineární zobrazení. Vektorový podprostor Im/ := /(V) C IV se nazývá obrazem V při zobrazení /. Vektorový podprostor Ker/ := /_1({0}) C V se nazývá jádro lineárního zobrazení /. Lineární zobrazení, které je bijekcí nazýváme izomorfismus. 8Všimněme si, že operace na levých a pravých stranách těchto rovnic nejsou totožné, naopak, jde o operace na různých vektorových prostorech! Při této příležitosti se také můžeme zamyslet nad obecným případem báze M (možná nekonečněrozměrného) prostoru V. Báze pak nemusí být spočetná, pořád ale ještě můžeme definovat zobrazení M_: V —> 1KM (tj. souřadnice vektoru jsou zobrazení z M do K). 2. VĽKTUK.UVĽ FKUSTUKY A LUNĽAKJN1 ZUBKAZĽJNl 15 2.22. Věta. (1) Složení g o f: V —> Z dvou lineárních zobrazení /: V —>• W a g: W —> Z je opět lineární zobrazení. (2) Lineární zobrazení f: V —> W je izomorůsmus právě když Im/ = W a Ker / = {0} C V. Inverzní zobrazení k izomorůsmu je opět izomorůsmus. (3) Pro podprostory V\, V2 a lineární zobrazení /: V —>• W platí f(V\ + V2) = /(Vi) + f(v2), f (Vi n v2) c /(Vi) n f(v2). Důkaz. Ověření prvního tvrzení je snadné cvičení. Pro druhé si uvědomme, že je-li / lineární bijekce, pak w = f~1(au+bv) právě, když f(w) = f(a-f~1(u)+b-f~1(v)). Je tedy inverze k lineární bijekci opět lineární zobrazení. Dále, / je surjektivní právě, když Im/ = W a pokud Ker / = {0}, pak f(u) = f (v) zaručuje f(u — v) = 0, tj. u = v. Je tedy v tom případě / injektivní. Poslední tvrzení se dokáže snadno přímo z definic. Najděte si protipříklad, že v dokazované inkluzi opravdu nemusí nastat rovnost! D 2.23. Důsledky. (1) Zobrazení "přiřazení souřadnic" u: V —y Kn dané libovolně zvolenou bází u = (iti,..., un) vektorového prostoru V je izomorfismus. (2) Dva konečněrozměrné vektorové prostory jsou izomorfní právě když mají stejnou dimenzi. (3) Složení dvou izomorfismů je izomorfismus. 2.24. Souřadný tvar lineárních zobrazení. Nechť V, W jsou vektorové prostory nad K, dim y = n, dimW = m a nechť / : V —>■ W je lineární zobrazení. Pro každou volbu bází u = («1,..., un) na V, v = (v 1,..., vn) na W, máme k dispozici příslušná přiřazení souřadnic: V-----í-----W u n J U,V Přitom je každé lineární zobrazení jednoznačně určeno svými hodnotami na libovolné množině generátorů, zejména tedy na bázi u. Označme f M -- = an • v 1 + a2i • v2 + • • T dml^m f M -- = ai2 • vi + a22 • V2 + • • • + ďm2Vm f(un) = = Q-in • v1 + a2n • v2 + • 1 O'mn'^m tj. skaláry a^ tvoří matici A, kde sloupce jsou souřadnice hodnot zobrazení / na bázových vektorech. Pro obecný vektor u = b\ • u\ + • • • + bn • un spočteme f(u) = &! • /(wí) H-------h bn ■ f(un) = b1(a11v1 -\-------h amlvm) -\-------h bn(alnv1 -\-------h amnvm) = (&1ÖH H-------\- bnaln) •v1-\-------h (btaml -\-------h bnamn) • vm lö (JAST 1. VEK.TUKUVK ťHUSTUKY A SU U STAV Y L11NĽAK.1N1UM K.UV1N1U Pomocí násobení matic lze nyní velice snadno a přehledně zapsat hodnoty zobrazení fu,v(w) definovaného jednoznačně předchozím diagramem. Připomeňme si, že vektory v Kk chápeme jako sloupce, tj. matice typu k/l fu,v{u{w)) = v(f(w)) = A-u( w) Matici A nazýváme maticí zobrazení f v bázích u, v. Naopak, každá volba matice A typu m/n zadává jednoznačně lineární zobrazení Kn —> Km. Máme-li tedy zvoleny báze prostorů V a W, odpovídá každé volbě matice typu m/n lineární zobrazení V -)• W. Nyní snadno vidíme, jak se skládají souřadná vyjádření lineárních zobrazení. Uvažme ještě další vektorový prostor Z nad K dimenze k s bází w, lineární zobrazení g: W —>■ Z a označme příslušnou matici Qv,w- V f W u Ju,l W 7-m Jrlzr_ Tirfc 9v,w ° fu,v(x) = B ■ (A ■ x) = (B ■ A) ■ x = (g o f)u,w(x) pro všechny x G Kn. Všimněte si, že isomorfismy odpovídají právě invertibilním maticím (ověřte si podrobně!). Ve speciálním případě lineárního zobrazení /: V —>■ V vyjadřujeme zpravidla / pomocí jedné báze u prostoru V. 2.25. Záměny bází. Uvažme vektorový prostor V a dvě báze u, v na V. Pro identické zobrazení idy: V —>■ V musí podle předchozího existovat matice A, která vyjadřuje toto lineární zobrazení ve zvolených bázích. V id v V u (id v Tuto matici nazýváme matice přechodu od báze u k bázi v. Podle definice matice zobrazení ji získáme tak, že souřadnice vektorů báze u v bázi v napíšeme do sloupců matice. Význam matice přechodu je v tom, že známe-li souřadnice x vektoru v bázi u, pak jeho souřadnice v bázi v se obdrží vynásobením sloupce x maticí přechodu (zleva). Protože inverzní zobrazení k identickému je opět totéž identické zobrazení, je matice přechodu vždy invertibilní a její inverze je právě matice přechodu opačným směrem, tj. od báze v k bázi u. 2.26. Důsledky. Nechť V a W jsou konečněrozměrné vektorové prostory nad týmž polem skalárů K. (1) A, B e Matmn(i£") jsou maticemi téhož zobrazení /: V —>■ W v různých bazích, právě když existují invertibilní matice P a, Q takové, že B = P-A-Q 2. VĽK1UK.UVĽ FKUblUKY A LllN ÜA.K1N 1 ZUBKAZĽJNl 17 (2) Ve vhodně zvolených bazích mají všechna lineární zobrazení matici (tj. souřadný tvar) /l 0 ... 0 ... 0\ 0 0 0.. . 1 . . 0 0 0.. . 0 . . 0 \ o o o 0/ (tzn. prvních několik souřadnic se kopíruje, zbytek se zapomíná, a vše případně doplníme nulami). (3) Pro libovolné lineární zobrazení / : V —>• W platí: dim(Ker /)+dim(Im/) = dim(V) (4) A, B G Matn(JC) jsou maticemi téhož zobrazení /: V ^ V v různých bazích na V, právě když existuje invertibilní matice P taková, že B = P_1 AP Důkaz. (1) Tvrzení plyne přímo z vyjádření / = idw °f ° idy v souřadnicích pro zvolené báze, viz. předchozí diagramy. (2) je přímým důsledkem (1) a Věty 1.13. (3) je okamžitě vidět, má-li zobrazení ve vybraných bazích matici uvedenou v (2). (4) je speciálním případem (1), protože v tomto případě musíme nejdříve přejít od nové báze k staré (násobení maticí P), pak aplikovat původní matici zobrazení / a nakonec se vrátit do nové báze (násobení inverzní maticí P-1). D 2.27. Definice. Matice A, B G Matmn(K) se nazývají ekvivalentní, jestliže existují invertibilní matice P, Q takové, že B = PAQ. Matice A, B G Matn(K) se nazývají podobné, jestliže existuje invertibilní matice P taková, že B = P'1 AP. 2.28. Příklady. 1. Projekce roviny xy do osy x je lineární zobrazení 1 0' L Ve standardní bázi má matici 0 0 2. Otočení roviny proti směru hodinových ručiček o úhel a je lineární zobrazení s matici cos a srna; ve standardní bázi. Zvolíme-li dvě vhodné báze na sm a cos a pak získáme vyjádření tohoto zobrazení jednotkovou maticí. Nelze však najít jednu bázi u na R2 ve které by toto zobrazení mělo diagonální matici, najděte jednoduchý (geometrický) důvod! 2.29. Definice. Nechť f & g jsou lineární zobrazení z V do W. Jejich součet / + g : V —> W je definován vztahem (/ + g)(u) = f(u) + g(u), u G V. Pro každé a G K definujeme (a • f) : V —> W, (o, • f)(u) = a • f(u). Množinu všech lineárních zobrazení V —>• W značíme Hom(V, W). Na množině Hom(V, V) je navíc definováno skládání zobrazení, které spolu se sčítáním splňuje všechny vlastnosti okruhu. 18 (JAST 1. VEK.TUKUVK ťHUSTUKY A SUUSTAVY LllNĽAKiNlUH K.UV1NKJ 2.30. Věta. Nechť V, W jsou konečněrozměrné vektorové prostory nad polem skalárů K s bázemi u = (ui,..., un) ve V a v = (vi,..., vn) v W. Dále nechť f, g £ Hom(V, W) a nechť A, B jsou matice f a g v bazích u a v. Pak matice A + B je matice součtu (f + g) a matice a • A je matice násobku a • f. Důkaz. Plyne okamžitě z definice matice zobrazení a vlastností násobení matic. Propočítejte si podrobně! D 2.31. Důsledek. Nechť V je konečněrozměrný vektorový prostor nad polem skalárů K. Každá volba báze u = (ni,... ,un) na V zadává isomorfísmus okruhu lineárních zobrazení Hom(V, V) a okruhu Matn(K) převádějící zobrazení na jejich matice. Poznámky k přemýšlení 1. Promyslete si důsledně, co říkají důležité výsledky této kapitoly (např. 2.2, 2.4, 2.11, 2.12, 2.13, 2.15, 2.16) pro konkrétní příklady vektorových prostorů z 2.5. 2. Promyslete si, ve kterém místě důkazu Steinitzovy věty o výměně se využije invertibilnost všech nenulových skalárů. (Pokud existují neinvertibilní nenulové, věta obecně neplatí!) 3. Specifikujte si větu 2.15 pro možné podprostory vl2,ť. 4. Napište si souřadná vyjádření (tj. matice v standardní bázi) pro všechna běžná lineární zobrazení v rovině, např. zrcadlení vzhledem k přímce, symetrie vzhledem k bodu, roztažení ve směru os, otočení o daný úhel, projekce do dané přímky procházející počátkem. Podobně i pro R3. 5. K předchozímu problému zkuste najít bázi (případně báze) v rovině tak, aby matice zvoleného zobrazení byla co nejjednodušší. * 6. Pomocí důsledku 2.26 ukažte, že lineární zobrazení P: R3 —>• R3 je projekcí na lineární podprostor právě, když P2 = P. Zkuste sformulovat a dokázat analogické tvrzení obecně. * 7. Dokažte tvrzení z 2.26.(2) přímo použitím Steinitzovy věty při konstrukci vhodných baží na definičním oboruu i oboru hodnot /: V —> W. * 8. Promyslete si, jak budou vypadat vektorové prostory nad Zp, viz. problém 2 z kapitoly 1. Diskutujte zejména závislost nap. * 9. V prostoru Hom(V, W) je pro každou volbu baží veV &W indukována báze (je určena použitím kanonické báze prostoru matic - tj. matic A{j = (a^/) kde ci^j = 1 a všechny ostatní jsou nulové). Jak se tyto báze změní, změníme-li původní báze V a Wt 3. Matice a determinanty V této kapitole výjmečně nebudeme požadovat aby K bylo pole. Potřebné vlastnosti skalárů budeme upřesňovat podle potřeby. ó. MATIUH; A DĽIĽKMIJNAJN 1Y ry 3.1. Definice. Bijektivní zobrazení množiny X na sebe se nazývá permutace množiny X. Skládání zobrazení definuje na množině všech permutací na množině X strukturu grupy, tj. platí axiomy (KG1), (KG3), (KG4) (všimněte si, že komutati-vita je vynechána). Má-li množina X n prvků, hovoříme o symetrické grup é stupně n. Permutace a množiny X = {1, 2,... , n} lze zapsat pomocí výsledného pořadí ve formě tabulky: I ,^, ,_,. ''' , ,. ). Prvek ičlse nazývá samodružným bodem permutace a, je-li a(x) = x. Permutace a taková, že existují právě dva různé prvky x, y G X s er (x) = y a a (z) = z pro všechna ostatní z £ X se nazývá transpozice, značíme ji (x, y). 3.2. Věta. Každá permutace konečné množiny je součinem transpozic. Důkaz. Na X definujeme relaci ~ takto: a ~ b právě, když existuje A; G Z s vlastností b = crk(a), kde pro k > 0 je ak(a) = a(.. .a(a(a))...), tj. k-krát aplikovaná a, (T°(a) = a a pro záporná k klademe ak = (a~r)~k. Zde ■ b ~ a, protože <7fc(a) = fe právě, když a = a~k(b) (symetrie) (3) a ~ b A b ~ c =í> a ~ c, protože ak o a1 = ak+l (tranzitivita). Množina X se tedy rozpadá na třídy ekvivalence ~, uvažme jednu takovou třídu obsahující a G X. Celé X je konečná množina, jistě tedy platí ap(a) = aq(a) pro jistá p < q, uvažujme 0 < p < q nejmenší možná s touto vlastností. Pokud je p = 0, pak aq(a) = a, pro libovolné p je ap(a) = a(ap~1(a)) = a(a^q~1\a)). Protože ale q a p byly zvoleny minimální, je také aq(a) = a. Pro každé b ~ a je b jedním z prvků {a, a (a),.. .,aq~1(a)} C X a tato množina je právě třídou rozkladu obsahující a. Zúžení permutace a k této podmnožině zapíšeme jako složení transpozic (a, aq~1(a)) o (a, aq~2(a)) o ... o (a, cr{b). Permutace a se nazývá sudá (resp. lichá), obsahuje-li sudý (resp. lichý) počet inverzí. Parita permutace a je (—l)Pocet mver!1. Značíme ji sgn(cr). 2U (JAST 1. VEK.TUKUVK ťHUSTUKY A SUUSTAVY L11NĽAK.1NKJM K.UV1NKJ 3.5. Věta. Na množině X = {1, 2,... , n} je právě n\ různých permutací. Tyto lze seřadit do posloupnosti tak, že každé dvě po sobě jdoucí se liší právě jednou transpozicí. Lze při tom začít libovolnou permutací. Důkaz. Provedeme indukci přes počet prvků množiny X. Pro jednoprvkovou množinu tvrzení platí, protože na ní existuje právě jedna permutace. Předpokládejme že tvrzení platí pro všechny množiny s n — 1 prvky a uvažme permutaci 1, je právě \n\ sudých a \n\ lichých permutací. Pro permutace er, 77: X —>• X platí sgn(cr o 77) = sgn(cr) • sgn(?7), sgn(er_1) = sgn(cr). D 3.8. Definice. 9 Nechť A = (a^) je čtvercová matice v Matn(K). Determinant matice A je skalár det A = \A\ definovaný vztahem 1^1 = ^2 Sgn(Cr)al K je jediné takové zobrazení, až na skalární násobek. (Požadujeme totiž, aby byl objem "lineární v každém sloupci" a aby měnil znaménko při záměně dvou sloupců. Navíc nesmí záležet na volbě souřadnic.) ó. MATIUH; A DĽIĽKMIJNAJN 1Y 21 Podobně pro n = 3 spočteme au ai2 ai3 0121 022 tl23 Ö31 Ö32 G!33 +011022033 — 013^22031 + 013021032 — 011023032 + 012023031 — 012021033. Tomuto vzorci se říká Saarusovo pravidlo. 3.10. Definice. Nechť A = (ay) G Matmn(K), potom matice AT = (a^-) G Matnm(K) s prvky a'^ = a,ji se nazývá matice transponovaná k matici A Matice A G Matmn(K) s vlastností A = ylT se nazývá symetrická. Jestliže platí A = — AT, pak se A nazývá antisymetrická matice. 3.11. Věta. Nechť A G MatnV (1) |^| = W (2) Je-ii jeden řádek v A tvořen nulovými prvky z K, pak \A\ = O (3) Jestliže matice B vznikla z A výměnou dvou řádků, pak \A\ = —\B\ (4) Jestliže matice B vznikla z A vynásobením řádku skalárem a G K, pak \B\ = a\A\ (5) Jsou-li prvky k-tého řádku v A tvaru aj-j = Ckj + bkj a všechny ostatní řádky v maticích A, B, C jsou stejné, pak \A\ = \B\ + \C\. Důkaz. (1) Cleny determinantů \A\ a \AT\ jsou v bijektivní korespondenci. Clenu sgn(cr)aiť7(i) • a2 V v různých bazích právě, když existuje invertibilní matice P, pro kterou platí A = P ■ B • P_1. Odtud plyne \A\ = \P\ ■ \B\ ■ |P_1| = \B\ ■ \P • P_1| = \B\. Má tedy determinant matice zobrazení hodnotu nezávislou na naší volbě báze.10 3.20. Definice. Nechť A = {a^) e Matn(K). Matici A* = (a*^), kde a*j = A5i jsou algebraické doplňky k prvkům a,ji v A, nazýváme algebraicky adjungovaná matice k matici A. 3.21. Věta. Pro každou matici A G Mat«(K) platí AA* = A*A = \A\ ■ E. Zejména (1) A~x existuje vMatn(K) právě, když |A|_1 existuje v K (2) Pokud existuje A'1, pak platí A'1 = \A\~X -A* Důkaz. Jak jsme již zmínili, Cauchyova věta ukazuje, že z existence A~x vyplývá invertibilita \A\ G K. Předpokládejme naopak, že \A\ je invertibilní skalár. Spočteme přímým výpočtem A • A* = (cíj): n n cij = / _, aikakj = / j aikAjk-k=l fc=l Pokud i = j je to právě Laplaceův rozvoj \A\ podle i-tého řádku. Pokud i / j jde o rozvoj determinantu matice v níž je i-tý a j-tý řádek stejný a proto je Cíj = 0. Odtud plyne A ■ A* = \A\ ■ E, ale již v 1.15 jsme odvodili, že z rovnosti A- B = E plyne i B • A = E. (Pokud tomu někdo dá přednost, může zopakovat předešlý výpočet pro A* ■ A.) D Úmluva. Ve všech předchozích úvahách v této kapitole jsme uvažovali obecný okruh skalárů K. Nyní již až do konce kapitoly budeme předpokládat že K je pole. 3.22. Definice. Nechť A G Matmn(K), a K je pole. Hodnosti matice nazýváme maximální počet jejích nezávislých řádků. Čtvercová matice A G Matn(K) se nazývá regulárni, je-li její hodnost n, v opačnám případě ji nazýváme singulární Hodnost matice A značíme h(A). 10Můžeme proto přímo hovořit o determinantu lineárního endomorfismu. Později uvidíme, že se jedná o (vždy konstantní) poměr mezi objemy rovnoběžnostěnů a jejich obrazů v daném automorfismu /. To samozřejmě geometricky vysvětluje platnost Cauchyovy věty. ó. MATIUH; A DĽIĽKMIJNAJN 1Y 25 3.23. Věta. Nechť K je pole. (1) Hodnost libovolné nenulové matice A G Matmn(K) je rovna maximálnímu řádu nenulového minoru v A. (2) h(A) je rovna maximálnímu počtu lineárně nezávislých sloupců. (3) A G Matn(K) je regulární právě, když \A\ ^ 0. Důkaz. (1) Protože je A nenulová, existuje v ní nenulový minor \M\ maximálního stupně k < min{m, n}. Vhodným přeskládáním řádků a slouců matice A dosáhneme toho, že tento minor je hlavním minorem. Přitom přeskládání řádků nemění množinu řádků matice A, přeskládání sloupců vlastně znamená aplikaci isomorfismu, který "přejmenovává" prvky standardní báze Km, jistě tedy nemění počet lineárně nezávislých řádků. Bez újmy na obecnosti tedy přímo předpokládejme, že \M\ je nenulový hlavní minor maximálního stupně k. Podle věty 3.12 musí být prvních k řádků v A lineárně nezávislých, tzn. h(A) > k. Uvažme nyní libovolné i > k, 1 < j < n a minor «11 • • • dik CLlj «fci • • • dkk (íkj (lil • • • «ifc O'ij Protože je to minor stupně k + 1, musí být \Dij\ = 0. Rozkladem tohoto determinantu podle posledního sloupce, dostaneme k 0 = a,ij -\M\ + ^2 asj ■ Bsj s=l kde Bsj jsou algebraické doplňky prvků asj v matici Dij a zřejmě nezávisí na volbě j. Protože \M\ ^ 0 podle předpokladu, dostali jsme i-tf řádek jako lineární kombinaci prvních k řádků pro libovolné i > k a pivní tvrzení je dokázáno. Vlastnosti (2) i (3) plynou okamžitě z (1). D 3.24. Důsledky. (1) Z dennice hodnosti vyplývá, že hodnost matice A lineárního zobrazení f: V —> W (v libovolných bazích) je rovna dimenzi obrazu Im/. (Dimenze obrazu je rovna počtu lineárně nezávislých sloupců v A, ta je ale rovna hodnosti.) (2) Zobrazení mezi vektorovými prostory stejné dimenze je isomorfísmus právě, když jeho matice A v některých (tedy libovolných) bazích splňuje \A\ ^ 0. 3.25. Věta. Nechť A e Matmn(K), B e Matnp(K). Potom h(A-B) 1 lineárních rovnic o neznámých x\,..., xn nad týmiž skaláry K, o>i\X\ + • • • + a,inxn = bi\ i = 1,..., m, hovoříme o systému lineárních rovnic nad K. Matici A = On • • • Q>1 n ■ 0"ml nazýváme matice soustavy. Matici o,in b\ ďml • • • ďmn " nazýváme rozšířenou maticí soustavy. Řešením soustavy rozumíme n-tici (ui,... ,un) G Kn, která po dosazení Xi = Ui změní rovnice na identity. Pro b = (&i,... ,bm)T, x = (xi,... ,xn)T, u = (lil,... , un)T tedy řešení x = u převádí systém lineárních rovnic na rovnost A-u = b vyjádřenou pomocí násobení matic. Soustava je řešitelná, resp. neřešitelná, pokud existuje, resp. neexistuje, alespoň jedno řešení. Soustava se nazývá určená, resp. nedourčená, je-li řešitelná a má jedno, resp. více než jedno, řešení. Dvě soustavy se nazývají ekvivalentní, jestliže mají stejné množiny řešení. 4.2. Poznámky. Výraz A ■ x = b lze číst takto: A je matice zobrazení A: Kn —>• Km, b G Km. Řešením jsou ty vektory, které se zobrazí na b. Každá elementární řádková transformace vede k ekvivalentní soustavě. Zejména následující úpravy nemění řešení soustavy rovnic: (1) záměna rovnic (2) vynásobení libovolné rovnice prvkem z K (3) přičtení libovolné lineární kombinace ostatních rovnic Naopak, elementární sloupcové transformace k ekvivalentním soustavám nevedou, protože se "míchají" proměnné mezi sebou (např. vyměnění sloupců má za následek přejmenování proměnných). 28 (JAST 1. VEK.TUKUVK ťHUSTUKY A SUUSTAVY L11NĽAK.1NKJM K.UVJNKJ 4.3. Gaussova eliminace. Ekvivalentními (řádkovými) úpravami lze tedy převést rozšířenou matici A' soustavy na (řádkový) schodovitý tvar. Soustavu pak již snadno dořešíme postupným zpětným dosazováním zdola. Přitom mohou nastat tři rozdílné případy. Předpokládejme pro jednoduchost, že K je pole. (1) ve získaném schodovitém tvaru je v posledním nenulovém řádku jediný nenulový prvek a to v posledním sloupci (absolutní členy). Soustava pak nemá řešení. (2) ve fázi zpětného dosazování je v právě diskutovaném řádku právě jedna dosud nespočtená hodnota proměnné. Výpočet pak pokračuje spočtením této proměnné. (3) ve fázi zpětného dosazování je v právě diskutovaném řádku více než jedna dosud nespočtená hodnota proměnné. V tom případě zvolíme jednu z těchto proměnných, ostatní prohlásíme za volné proměnné. Hodnoty volných proměnných chápeme jako nezávislé parametry a zbývající hodnotu vybrané proměnné spočteme v závislosti na těchto parametrech. Tímto postupem vyřešíme po konečném počtu úkonů libovolný konečný systém lineárních rovnic nad polem skalárů. V každém kroku zpětného dosazování přitom vlastně řešíme jednu lineární rovnici pro jednu proměnnou s nenulovým koeficientem u proměnné. Pokud skaláry netvoří pole, mohou nastat navíc komplikace s výpočty hodnot proměnných zadaných těmito rovnicemi v jedné proměnné.11 V dalším se budeme zabývat podrobnějším popisem řešitelnosti a vlastností systémů lineárních rovnic. 4.4. Probeniova věta. Nechť K je pole. Soustava lineárních rovnic má řešení právě, když je hodnost matice soustavy rovna hodnosti rozšířené matice soustavy. Důkaz. Nechť je u řešením soustavy A • x = b, tj. opravdu platí A • u = b. Pak je b lineární kombinací sloupců matice A a odtud plyne h(A') = h(A). Je-li naopak h(A) = h(A'), pak je b lineární kombinací sloupců v A, ale to je právě tvrzení, že b = A.(ui,... ,un)T pro vhodné skaláry Ui, neboli systém rovnic A • x = b má řešení. D 4.5. Věta. Nechť K je pole. Soustava A • x = b, A G Matmn(K), je nedourčená právě, když je řešitelná a počet neznámých je větší než h(A) a je určená právě když je řešitelná a počet neznámých je roven h(A). Důkaz. Hodnost matice soustavy nemůže být nikdy větší než počet proměnných, tj. n. Předpokládejme nejprve h(A) = n. Pak m > n, ale nejvýše m rovnic (řádků v A) může být lineárně nezávislých. Protože ty závislé můžeme vynechat, lze přímo předpokládat, že m = n = h(A). V tomto případě ovšem existuje inverze A-1 a tedy existuje právě jedno řešení uvažovaného systému, u = A-1 • b. Naopak, jestliže existuje právě jedno řešení u soustavy, pak i soustava rovnic A • x = 0 je určená. Skutečně, pokud by existovalo nenulové řešení v, tj. A • v = 0, pak i A • (u + v) = A-u + A-v = bje dalším řešením původního systému. Odtud ale 11 Metoda se zdá být numericky zcela triviální, počítačová implementace má však vážná úskalí, protože se obtížně ošetřují možná dělení velmi malými čísly. V důsledku toho se obtížně odhadují numerické chyby vzniklé při výpočtu. 4. SYSTÜiJVLY I^IJNĽAKINKJH KUVINIU 2\) plyne, že jediným řešením systému A • x = O je nulový vektor a tedy sloupce v A jsou lineárně nezávislé. Tím je dokázáno druhé tvrzení. Zbývá tedy případ h(A) < n. Vyberme maximální počet h(A) lineárně nezávislých řádků via ostatní (závislé) rovnice zapomeňme. Provedením Gaussovy eliminace jistě získáme (řádkový) schodovitý tvar, kde v některém z řádků bude nutno určit hodnoty několika proměnných. Přesněji, při zpětném dosazování získáme právě n — h(A) volných proměnných. Dosazením různých hodnot za tyto volné proměnné získáme různá řešení, je tedy původní systém nedourčený. Naopak, jestliže existuje více řešení daného systému A • x — 0, zvolme dvě různá řešení u,v G Kn. Pak ale A.(u — v) = 0 a (u — v) ^ 0, takže sloupce v A jsou lineárně závislé. Odtud již plyne h(A) < n. D 4.6. V důkazu jsme získali ještě i dodatečnou informaci o množině všech řešení systému lineárních rovnic. Vrátíme se k této otázce podrobněji. Nejprve zavedeme potřebné značení. Lineární rovnice a\X\ + • • • + anxn = b se nazývá homogenní, jestliže b = 0, nehomogenní pro 6^0. Soustava A-x = b je homogenní, jestliže vektor absolutních členů je nulový, tj. 6 = 0, a je nehomogenní, je-li 6/0. Pro soustavu A • x = b nazýváme příslušnou homogenní soustavu A ■ x = 0 zhomogenizovanou soustavou. 4.7. Věta. Nechť K je pole. Pro každou homogenní soustavu A ■ x = 0, A G Matmn(K) platí (1) má vždy nulové řešení x = 0 (2) množina všech řešení je vektorový podprostor U C Kn, dim U = n — h(A) je rovna počtu volných proměnných. Důkaz. První tvrzení je triviální - nulový vektor splňuje ^4-0 = 0 pro každou matici A. Předpokládejme, že u, v G Kn jsou dvě řešení, tj. A ■ u = A ■ v = 0. Pro a, b G K je A ■ (au + bv) =p-A-u + b-A-v = 0 a proto je U C Kn vektorový podprostor. Všechny vektory v U jsou zadány volbou k = n — h(A) hodnot volných proměnných. Zadáním k-tic volných proměnných (1, 0,..., 0),..., (0, 0,..., 1) jistě získáme lineárně nezávislé generátory podprostoru všech řešení. D 4.8. Definice. Báze podprostoru U C Kn všech řešení homogenní soustavy rovnic A ■ x = 0, A G Matmn(K), se nazývá fundamentální soustava řešení. 4.9. Poznámky. (1) Řešení soustavy A ■ x = 0 je vlastně hledání jádra příslušného zobrazení. (Odtud již také plyne, že řešení homogenního systému vždy tvoří podprostor.) Dimenze jádra se často nazývá defekt zobrazení, podobně n — h(A) je defekt matice A. (2) Naopak každý vektorový podprostor je jádrem vhodného zobrazení. Zkonstruujme jeden takový systém. Je-li U C Kn a (u\,... , u{) je báze U, můžeme ji doplnit na bázi (u\,... ,ui,v\,... ,t>n-z) celého Kn. Každému x G Kn přiřadíme jeho n — l souřadnic u prvků [v\,... , vn-i). Tím získáme zobrazení A: Kn —>• Kn_' jehož jádrem je právě podprostor U. ÓU (JAST 1. VEK.TUKUVK ťHUSTUKY A SUUSTAVY L11NĽAK.1NKJM K.UV1NKJ 4.10. Věta. Nechť A • x = b je systém lineárních rovnic, A G Matmn(K) a K je pole. Pak platí (1) součet libovolného řešení soustavy A • x = 0 a libovolného řešení soustavy A • x = b je řešením soustavy A • x = b. (2) rozdíl dvou libovolných řešení soustavy A-x = b je řešením zhomogenizované soustavy A • x = 0 Důkaz. Ověří se přímým výpočtem. D Nyní uvedeme obecnou metodu výpočtu řešení soustav lineárních rovnic, která funguje pro všechny komutativní okruhy skalárů. 4.11. Cramerovo pravidlo. Nechť je dána soustava lineárních rovnic A- x = b, A G Matm(K) a nechť {A]-1 G K existuje. Pak daná soustava má právě jedno řešení x = (xi,... ,xn)T a platí Xi = |A|_1 • \A{\, kde matice A{ vznikla z A nahrazením i-tého sloupce sloupcem absolutních členů. Důkaz. Protože \A\ je invertibilní skalár, existuje v Matmn(K) inverzní matice A-1. Proto má soustava právě jedno řešení. Toto řešení lze navíc přímo spočíst: x = A~1-b= |^4.|—^ - (^4.* - ft) a odtud plyne vztah pro «-tou komponentu vektoru x Xi = \A\-1Yt(Ajibj) j kde A ji je prvek v «-tém řádku a j-tém, sloupci algebraicky adjungované matice A*. To je ale právě Laplaceův rozvoj matice A{ podle i-tého sloupce. D 4.12. Poznámka. Řešení systémů lineárních rovnic pomocí eliminace proměnných je jednoduché, bez podstatných numerických problémů, jen je třeba dát pozor na správnou volbu volných proměnných. Cramerovo pravidlo je většinou daleko náročnější na výpočet, protože představuje výpočet mnoha determinantů. Na druhé straně často potřebujeme spočíst jen několik málo souřadnic řešení (např. při hledání průniků podprostorů). Navíc má velký teoretický význam (už proto, že je to symbolická formule pro řešení, se kterou se dá dále pracovat). Poznámky k přemýšlení 1. Pro libovolné matice A G Matn(K) platí slabší verze Cramerova pravidla (bez požadavku invertibility): Je-li A.p = 0 pro p G Kn, pak \A\.pi = 0 v K pro všechny komponenty vektoru p. Dokažte! (Všimněte si, že A.p = 0 sebou nese lineární závislost sloupců.) 2. Výsledky této kapitoly lze rozšířit na tzv. maticové rovnice A.X = B, kde A G Matmn(K), B G Matmp(K) a řešení X se hledá v Matnp(K). Zejména platí A.X = B je řešitelné právě, když hodnost rozšířené matice je rovna hodnosti matice A, a Cramerovo pravidlo lze formálně psát ve tvaru Xíj = ,^?'. Sformulujte přesně a dokažte! 5. UĽUMĽIKIĽ LJNJJUMUKFISMU A KAJNUJNKJKĽ 1 VAKY 31 5. Geometrie endomorfismů a kanonické tvary V celé kapitole bude K pole skalárů. Představujme si K = R nebo K = C. Připomeňme, že endomorfismem rozumíme libovolné lineární zobrazení V —>• V. 5.1. Definice. Nechť

■ V je lineárni zobrazení vektorového prostoru V do sebe. Podprostor U C V se nazývá invariantní podprostor (vzhledem k ip), jestliže V jsou lineární zobrazení a nechť U C V je invariantní podprostor vzhledem k (p iip. Pak U je invariantní vzhledem k libovolné lineární kombinaci a ■ ip + b ■ ip, o,, b G K. Důkaz. Pro u E U máme (a- V je endomorfísmus, dim V = m. Pak platí (1) Ve V existuje invariantní podprostor dimenze n právě, když existuje báze V, ve které má

i,..., vm-n) pro V2 takové, že (u\,..., un, v\,..., vm-n) je báze V. V této bázi má V požadovaný tvar matice. Naopak, má-li zobrazení v jisté bázi požadovaný blokově diagonální tvar, pak je V přímým součtem invariantních podprostorů generovaných prvními n a posledními m — n vektory této báze. D 5.6. Definice. O maticích z prvního tvrzení předchozí věty říkáme, že jsou polorozpadlé, matice z druhého tvrzení jsou rozpadlé. Obecněji, polorozpadlou maticí rozumíme blokově horní trojúhelníkovou matici, rozpadlá matice je blokově diagonální. Jestliže má zobrazení V jednorozměrný invariantní podprostor, pak jeho zúžení k tomuto podprostorů musí být násobení vhodně zvoleným skalárem. Naše další úsilí bude směřovat k nalezení rozkladů na takové podprostory, podmínek za kterých existují, případně co lze o zobrazení říci, pokud neexistují. Je zcela zřejmé, že celý prostor V je přímým součtem jednorozměrných invariantních podprostorů právě tehdy, když existuje jeho báze, v níž má zobrazení

V je lineární zobrazení. Vlastní vektor zobrazení

■ V je lineární zobrazení, A jeho matice v jisté bázi V. Potom platí: (1) Vlastní vektory zobrazení

— a • idy) C V, mimo nulový vektor, a tento podprostor je invariantní podprostor ve V. (2) Vlastní hodnoty

V nezávislý na volbě báze V, dim y = n, jsou i jeho koeficienty u jednotlivých mocnin proměnné A skaláry vyjadřující vlastnosti zobrazení V příslušné různým vlastním hodnotám jsou lineárně nezávislé. Důkaz. Nechť ai,... , a^ jsou různé vlastní hodnoty zobrazení ip a ni,... , u^ vlastní vektory s těmito vlastními hodnotami. Důkaz provedeme indukcí přes počet lineárně nezávislých vektorů mezi zvolenými. Předpokládejme, že u\,... , U{ jsou lineárně nezávislé a ií/_|_i = ^ji c^Ui je jejich lineární kombinací. Alespoň l = 1 lze zvolit, protože vlastní vektory jsou nenulové. Pak ovšem a/_|_i • ui+i = ^2i=1 a/+i -C{-Ui, tj. (p(ul+1) = ^2 ai+i • °i • ui = ^2Ci' ^(M*)= 5ľCi'ai'Ui- i=l i=l i=l Odečtením dostáváme 0 = X)i=i(a/+i ~ai)'ci'uii všechny rozdíly vlastních hodnot jsou nenulové a alespoň jeden koeficient C{ je nenulový. To je spor s předpokládanou nezávislostí «i,... , «/. D 5.12. Důsledek. Jestliže existuje n navzájem různých kořenů clí charakteristického polynomu zobrazení ip : V —> V, dim V = n, pak existuje rozklad V na přímý součet vlastních podprostorů dimenze 1. To znamená, že existuje báze V složená výhradně z vlastních vektorů a v této bázi má ip diagonální matici. Příslušnou bázi (vyjádřenou v souřadnicích vzhledem k libovolně zvolené bázi V) obdržíme řešením n systémů homogenních lineárních rovnic o n neznámých s maticemi (A — clí • E), kde A je matice cp ve zvolené bázi. 34 (JAST 1. VEK.TUKUVK ťHUSTUKY A SUUSTAVY L11NĽAK.1NKJM K.UV1NKJ 5.13. Příklady. 1. (p :R3 -^R3, s maticí A \A-\E\ /O 0 1\ L = 0 1 o V o oj -A 0 1 0 1-A 0 1 0 -A v standardní bázi. -A3 + A2 + A-l, s kořeny Ai^ = 1, A3 = —1. Vlastní vektory s vlastní hodnotou A = 1: fundamentální systém řešení tohoto sytému rovnic (tj. báze prostoru vlastních vektorů s vlastní hodnotou A = 1) je wi = (0,1,0), u2 = (1,0,1). Podobně pro A = — 1 dostáváme 1 0 1 0 2 0 I ^u3 = (-1,0,1) 0 0 0 V bázi «i, «2, ií3 (všimněte si, že uz musí být lineárně nezávislý na zbylých dvou díky předchozí větě a 1x1,1/2 vyšly jako dvě nezávislá řešení) má cp diagonální /l 0 0 \ matici 0 1 0 . Celý prostor R3 je přímým součtem vlastních podprostoru, \0 0 -l) R3 = Ví © V2, dimVi = 2, dimV2 = 1- Tento rozklad je dán jednoznačně a vypovídá mnoho o geometrických vlastnostech zobrazení ip. Vlastní podprostor V\ je navíc přímým součtem jednorozměrných vlastních podprostoru, které lze však zvolit mnoha různými způsoby (tento rozklad nemá tedy již žádný "invariantní" význam). 0 -1 2. Zvolme zobrazení cp: R2 —>• R2 dané ve standardní bázi maticí . tj. otočení roviny o tt/2 v kladném směru. Příslušný charakteristický polynom je A2 + 1, nemá tedy žádné reálné kořeny. Proto neexistují žádné vlastní vektory. Pokud ovšem uvažujeme zobrazení cp: C2 —>■ C2 dané stejnou maticí, pak ve vektorovém prostoru C2 nad C najdeme vlastní vektory příslušné dvěma vlastním hodnotám \i = i, \2 = —i, a, celý prostor C2 je přímým součtem dvou jednorozměrných podprostoru vlastních vektorů. 3. Uvažme lineární zobrazení (p: Ma[x] —> Ra[x] definované derivováním polynomů, tj. íp(l) = 0, íp(x) = 1, (p(x2) = 2x a ip má v standardní bázi matici 5. UĽUMĽIKIĽ ĽJNJJUMUKFISMU A KAJNUJNKJKĽ 1 VAKY ób r l ° \ A = O O 2 1. Charakteristický polynom \A — A • E\ = —A3, existuje tedy \0 0 0/ pouze jediná vlastní hodnota, A = 0. Spočtěme vlastní vektory: 0 1 °\ /O 1 0 0 0 2 ~ 0 0 1 0 0 0/ \o 0 0 Prostor vlastních vektorů je tedy jednorozměrný, generovaný konstantním polynomem 1. 5.14. Definice. Spektrum lineárního zobrazení ip: V —>• V je posloupnost kořenů charakteristického polynomu zobrazení ip, včetně násobností. Algebraickou násobností vlastní hodnoty rozumíme její násobnost jako kořenu charakteristického polynomu, geometrická násobnost vlastní hodnoty je dimenze příslušného podprostoru vlastních vektorů. 5.15. Definice. Lineární zobrazení ip: V —> V se nazývá nilpotentní, jestliže existuje celé číslo k > 1 takové, že iterované zobrazení p>k ]e identicky nulové. Nejmenší číslo k s touto vlastností se nazývá stupněm nilpotentnosti zobrazení V se nazývá cyklické, jestliže existuje báze u\,... ,un prostoru V taková, že • V, jestliže existuje a G K a celé číslo k > 0 takové, že (

V je lineární zobrazení. Platí (1) Pro každé A G K je 1Z\ C V vektorový podprostor. (2) Pro každé A, /i G K je 1Z\ invariantní vzhledem k lineárnímu zobrazení ((p — H • idy), zejména tedy je 1Z\ invariantní vzhledem k (p. (3) Je-li fi ^ A, pak (

2 G U. (Ověřte si axiomy ekvivalence!). Množina V/U tříd této ekvivalence, spolu s operacemi definovanými pomocí reprezentantů, tj. [v] + [w] = [v + w], a • [u] = [a • u], tvoří vektorový prostor, který nazýváme faktorový vektorový prostor prostoru V podle podprostoru U. (Ověřte si korektnost definice operací a platnost všech axiomů vektorového prostoru!) * Třídy (vektory) ve faktorovém prostoru V/U budeme často označovat jako formální součet jednoho reprezentanta se všemi vektory podprostoru U, např. u + U G V/U, u G V. Nulový vektor ve V/U je právě třída 0 + ř7, tj. vektor «eľ reprezentuje nulový vektor ve V/U právě, když je u G U. * Jako jednoduché příklady si rozmyslete V/{0} = V, V/V = {0} a faktorový prostor roviny R2 podle libovolného jednorozměrného podprostoru (každý jednorozměrný podprostor U C M2 je přímka procházející počátkem, třídy ekvivalence jsou rovnoběžky s touto přímkou). * 5.19. Lemma. Nechť U C V je vektorový podprostor a «1,... ,un je taková báze V, že ui,... ,Uk je báze U. Pak dim V/U = n — k a u^+i + U,... ,un + U je báze V/U. * Důkaz. Protože V = («1,... ,un), je i V/U = {u\ + U,...,un + U). Přitom ale je prvních k generátorů nulových, takže je V/U = (ií^+i + U,..., un + U). 5. UĽUMĽIKIĽ ĽJNJJUMUKFISMU A KA1NU1NKJKĽ 1 VAKY 37 ** ** ** Předpokládejme, že a^+i • (ujt+i + U) H-------h an • (wn + t/) = (ajt+i • Uk+i +-----h 0"a - Un) + U = 0 E V/U. To je ale ekvivalentní příslušnosti lineární kombinace vektorů Uk+i, ■ ■ ■ , un do podprostoru Z7. Protože U je generováno zbylými vektory, je nutně tato kombinace nulová, tj. všechny koeficienty a,i jsou nulové. D 5.20. Věta. Nechť U C V je invariantní podprostor vzhledem k lineárnímu zobrazení íp : V —>■ V a nechť u\,... ,un je taková báze V, že prvních k vektorů této báze je baží U. V této bázi má íp polorozpadlou matici ^4=1 _ ). Platí (1) Zobrazení íp indukuje lineární zobrazení ípv/u '• V/U —> V/U, ípv/u(v+U) = ip(v) + U s maticí D v indukované bázi Uk+i + U,..., un + U na V/U. (2) Charakteristický polynom ■ V je lineární zobrazení, jehož spektrum obsahuje n prvků (tj. všechny kořeny charakteristického polynomu leží v K). Pak existuje posloupnost invariantních podprostoru {0} = Vo C Vi C • • • V je lineární. Součet kořenových prostorů nXl, • • •, K\k příslušných různým vlastním hodnotám Ai,... , Afc je přímý. Navíc je pro každou vlastní hodnotu A dimenze podprostorů 1Z\ rovna její algebraické násobnosti. Důkaz. Důkaz provedeme indukcí přes počet k kořenových prostorů. Předpokládejme, že tvrzení vždy platí pro méně než k prostorů a že pro vektory u\ G 1Z\1,... ,Uk G 7l\k platí ui + - • - + Uk = 0. Pro vhodné j pak (

V/1Z\ nechť je zobrazení indukované ip na faktorovém prostoru. Předpokládejme, že dimenze 1Z\ je menší než násobnost kořenu A charakteristického polynomu. Podle věty 5.20 to znamená, že A je i vlastní hodnotou zobrazení tjj. Nechť (v + 1Z\) G V/1Z\ je příslušný vlastní vektor, tj. tp(v + 1Z\) = A • (v + 1Z\) což podle definice značí v G" 1Z\ a ■ V, jehož celé spektrum je v K, je V = H\1 © • • • © 7Z\n přímým součtem kořenových podprostorů. Zvolíme-li vhodně báze těchto podprostorů, pak

• V je nilpotentní lineární zobrazení. Pak existuje rozklad V na přímý součet podprostorů V = V\ © • • • © Vk takových, ze zúžení ip na kterýkoliv z nich je cyklické. Důkaz. Ověření je docela jednoduché a spočívá v konstrukci takové báze prostoru V, že akce zobrazení ip na bázových vektorech přímo ukazuje rozklad na cyklická zobrazení. Postup bude ale poněkud zdlouhavý. Nechť k je stupeň nilpotentnosti zobrazení (p a označme Pí = Im( 0 je dimenze Pfc-i- Z definice plyne, že Pk-i C Ker■ V má celé spektrum v K. Pak existuje báze V, ve které má

• V n-rozměrného vektorového prostoru nad K právě, když jsou podobné se stejným Jordánovým kanonickým tvarem J. Důkaz vět 5.27 a 5.28. Nechť Ai,... , A& jsou všechny různé vlastní hodnoty zobrazení ip. Z předpokladů věty 5.27 plyne, že V = 7Z\1 ©• • -®TZ\k. Zobrazení ipi = ( n. Odtud plyne, že pokud matice J zobrazení

Kn. Naopak, z platnosti této věty o maticích plyne ihned předchozí tvrzení o zobrazeních, viz. 2.26. D 5.30. Poznámka. Důkaz věty o existenci Jordánova kanonického tvaru byl sice konstruktivní, nedává nám ale opravdu šikovný algoritmický postup pro jejich hledání. V dodatku 12 bude podána algebraická metoda podobná Gaussově eliminaci, která pro danou matici najde její kanonický tvar. Nyní shrneme již odvozený postup explicitního výpočtu báze, v níž má dané zobrazení ■ V matici v kanonickém Jordánově tvaru. (1) Najdeme kořeny charakteristického polynomu. (2) Jestliže jich je méně než n = dim V, včetně násobností, kanonický tvar neexistuje. (3) Je-li n lineárně nezávislých vlastních vektorů, získáme bázi V z vlastních vektorů a v ní má

— Aid je cyklické. Postup je praktický pro matice, kde násobnosti vlastních hodnot jsou malé, nebo aspoň diskutované stupně nilpotentnosti jsou malé. Např. pro matici A 42 (J AST 1. VERIUKUVE ťKUSlUKY A SU U STAV Y ITINHATUNIUH KUVJNKJ dostaneme dvourozměrný podprostor vlastních vektorů ((1, 0, 0), (0,1, 0)). Potřebujeme proto najít řešení rovnic (A — 2E)x = (a, 6, 0)T pro vhodné konstanty a, b. Tento systém je ovšem řešitelný pouze pro a = b a jedno z možných řešení je v = (0, 0,1), a = b = 1. Celá hledaná báze pak je (1,1, 0), (0, 0,1), (1, 0, 0). Všimněme si, že jsme měli spoustu voleb a baží s požadovanými vlastnostmi je tedy mnoho. Problémy k přemýšlení 1. Ukažte, že přímý součet V = V\ © Ví má následující vlastnosti: a) Existují vložení i\\V\ —>• V, i2 • V2 —>• V, v\ \-)■ (i>i,0), i>2 •->■ (0,i>2) taková, že pro každá dvě lineární zobrazení /: V\ —>• W, g: V2 —> W existuje právě jedno lineární zobrazení h: V —> W splňující hoi-^ = /, hoi2 = g. (Kategoriální vlastnost součtu). b) Existují projekce jľ: V -> Vi, j2: V -> V2, (vi,v2) •->• vu (vi,v2) M- v2 taková, že pro každá dvě lineární zobrazení /: W —>■ Ví, g: W —> V2 existuje právě jedno lineární zobrazení h: W —>• V splňující ji o h = /, j2 o h = g. (Kategoriální vlastnost součinu). Namalujte si diagramy! Sformulujte a dokažte podobná tvrzení pro obecné konečné přímé součty. 2. Ukažte, že pro každé lineární zobrazení • W je na faktorovém prostoru V/(kenp) indukováno injektivní zobrazení (p: V/(kenp) —> W a tedy je V/(kei(p) isomorfní obrazu Imip C W. Dále můžeme symbolicky psát 0----------ker^-----l------V----------W----3------W/(Imp)----------0 kde * je vložení, j je projekce u \-^ [u]. Přitom každá dvě po sobě jdoucí zobrazení mají tu vlastnost, že jádro druhého je rovno obrazu prvého. Jde o příklad tzv. exaktní posloupnosti. 3. Uvědomte si, že úvahy v odstavcích 5.7-5.12 jsou platné i pro konečná pole, např. Z2. Přitom se může snadno stát, že všechny prvky pole K jsou vlastní hodnoty. Např. polynom A2 + A je nulový pro oba prvky v Z2. Najděte příslušnou matici a vše promyslete! 4. Nechť T: V —>• V je lineární zobrazení a platí T(ui) = U2, T(u2) = M3, • • •, T(uk) = 0 pro nenulové vektory «1,... , u^. Pak «1,... ,uk jsou lineárně nezávislé. Dokažte! 5. Pro každý okruh R můžeme uvažovat polynomy R[X] v proměnné A. Zejména můžeme hovořit o hodnotě polynomu /(A) nad skaláry K v matici A G Matn(K). (Využije se vnoření K —>■ Matn(K), a 1—)► aE.) Ukažte, pro každou invertibilní matici P je f (A) = f(P~1AP), můžeme tedy také hovořit o hodnotě polynomu v zobrazení ip: V —> V. Přitom f(cp): V —>• V je opět lineární.14 * Více o tom v dodatku 12 43 Cast II. Prostory se skalárním součinem a analytická geometrie 6. Afinní prostory Nyní se budeme zabývat jednoduchými aplikacemi předchozí teorie v analytické geometrii. Přesněji řečeno, budeme diskutovat axiomaticky založený výklad rovinné a prostorové geometrie, zatím bez pojmu velikosti. K tzv. metrickým úlohám se vrátíme později. V celé kapitole budeme pro názornost pracovat pouze nad reálnými skaláry K = R. Výklad bude (jako obvykle) stručný, velice podrobně je celá tématika zpracována ve skriptech [P. Horák, J. Janyška, Analytická geometrie, MU 1997]. Pro komplexní skaláry skoro vše funguje naprosto analogicky (až na pojmy jako poměr, orientace, atd.). 6.1. Definice. Standardním n-rozměrným afinním prostorem An se zaměřením V = Rn rozumíme množinu P = W1 spolu se zobrazením P x V —>• P daným (A,v) = ((pí,... ,pn),(vi,... ,vn)) !->■ A + v = (pi + vi,...,pn + vn). Všimněme si, že platí (1) A + 0 = A pro všechny body A G P a nulový vektor 0 G V (2) A + (v + w) = (A + v) + w pro všechny vektory v, w G V, A G P (3) pro každé dva body A, B G P existuje právě jeden vektor v E P takový, že —* A + v = B. Značíme jej AB nebo B — A. Běžně budeme užívat značení A G An místo A G P, tj. nerozlišujeme mezi afinním prostorem a jeho nosnou množinou. Přívlastek standardní jsme užili, protože ve formálním axiomatickém přístupu k analytické geometrii lze pracovat s libovolným vektorovým prostorem V nad libovolnými skaláry K a definice afinního prostoru se zaměřením V pak obsahuje právě předchozí tři vlastnosti jako axiomy. 6.2. Definice. Afinním prostorem A se zaměřením V rozumíme množinu bodů P, spolu se zobrazením P x V —>■ P, (A, v) H> A + v, splňující 6.1.(l)-(3). Opět nebudeme zpravidla rozlišovat iaPv označení. Pro libovolný vektor v G V je tak definována translace A —>■ A jako zúžené zobrazení P ~ P x {v} —>■ P. Dimenzí afinního prostoru A rozumíme dimenzi jeho zaměření. V případě standardního afinního prostoru An se zdá být možná zbytečné rozlišovat množinu P od zaměření V. Právě to ale je podstatné pro pochopení geometrie v Rn: Geometrické objekty jako např. přímky, body, roviny, apod., jsou nezávislé na námi zaváděné vektorové struktuře na množině W1, pro práci s nimi bývá však technicky užitečné tuto strukturu uvažovat. Navíc obecné postupy umožní velmi lehce diskutovat "rovinnou geometrii" pro dvourozměrné podprostory, tj. roviny, ve vícerozměrných prostorech, "prostorovou" pro třírozměrné, atd., aniž bychom museli přímo manipulovat A;-ticemi souřadnic. 44 CJAST 11. ťKUSlUKY SHi SK AL AKIN IM SULUJIJNIDM A A1NALY HUKA UĽUMĽ1K1K Nejjednoduššími příklady obecných afinních prostorů jsou afinní podprostory v An ve smyslu následující definice 6.4. 6.3. Z axiomů okamžitě plyne pro libovolné body A,B,C v afinním prostoru A (1) A-A=0eV (2) BA = -AB (3) AB + BC = AC. Dále si všimněme, že volba jednoho pevného bodu Aq E A nám určuje bijekci mezi V a, A. Při volbě pevné báze u ve V dostáváme tedy pro každý bod A E A jednoznačné vyjádření A = A0 + xiui H-------h xnun. Hovoříme o afinní soustavě souřadnic (Aq\u\, ... ,un) dané počátkem afinní souřadné soustavy Aq a baží zaměření u. Hovoříme také o afinním repéru (Ao,u). Jsou tedy afinní souřadnice bodu A v soustavě (Aq,u) souřadnicemi vektoru A — Aq v bázi u zaměření V. 6.4. Definice. Neprázdná podmnožina Q G A afinního prostoru A se zaměřením V se nazývá afinní podprostor v A, je-li podmnožina W = {B — A; A, B E Q} C V vektorovým podprostorem a pro libovolné A E Q, v E W je A + v E Q. Pro libovolnou množinu bodů M G A v afinním prostoru se zaměřením V definujeme vektorový podprostor Z(M) = {{B -A;B,Ae M}} C V. Zejména je V = Z (A) a každý afinní podprostor Q C A splňuje sám axiomy afinního prostoru se zaměřením Z(Q). Přímo z definic je zřejmé, že průnik libovolné množiny afinních podprostorů je opět afinní podprostor, pokud je neprázdný. Afinní podprostor (M) v A generovaný neprázdnou podmnožinou M C A je průnikem všech afinních podprostorů, které obsahují všechny body podmnožiny M. Přímo z definic plyne, že pro kterýkoliv bod Aq E M je (M) = {Aq + v; v E Z (M) C Z (A)}, tj. vezmeme vektorový podprostor Z(M) v zaměření generovaný všemi rozdíly bodů z M a ten pak přičteme k libovolnému z nich. Hovoříme také o afinním obalu množiny bodů M v A. Naopak, kdykoliv zvolíme podprostor U v zaměření Z (A) a jeden pevný bod A E A, pak podmnožina A + U vzniklá všemi možnými součty bodu A s vektory v U je afinní podprostor. 6.5. Příklady. 1. Jednorozměrný (standardní) afinní prostor je množina všech bodů reálné přímky A±. Její zaměření je jednorozměrný vektorový prostor R (a nosná množina také R). Afinní souřadnice dostaneme volbou počátku a měřítka (tj. báze ve vektorovém ö. AFllNlNl ťHUSTUKY 45 prostoru R). Všechny vlastní afinní podprostory jsou 0-rozměrné, jsou to právě všechny body reálné přímky R. 2. Dvourozměrný (standardní) afinní prostor je množina všech bodů prostoru A2 se zaměřením R2. (Nosnou množinou je R2.) Afinní souřadnice dostaneme volbou počátku a dvou nezávislých vektorů (směrů a měřítek). Vlastní afinní podprostory jsou pak všechny body a přímky v rovině (0-rozměrné a 1-rozměrné). Přímky přitom jednoznačně zadáme jejich jedním bodem a zaměřením (tzv. parametrický popis přímky). 3. Trojrozměrný (standardní) afinní prostor je množina všech bodů prostoru A3 se zaměřením R3. Afinní souřadnice dostaneme volbou počátku a tří nezávislých vektorů (směrů a měřítek). Vlastní afinní podprostory jsou pak všechny body, přímky a roviny (0-rozměrné, 1-rozměrné a 2-rozměrné). 6.6. Transformace souřadnic. Dvě libovolně zvolené afinní soustavy souřadnic (Aq,u), (Bq,v) se obecně liší posunutím počátku o vektor (Bq — Aq) a jinou baží zaměření. Transformační rovnice tedy vyčteme ze vztahu pro obecný bod X E A X = B0 + x'xv\ H-------V x'nvn = Bq + (A0 - B o) + xiui H-------h xnun. Označme y = (2/1,..., yn)T sloupec souřadnic vektoru (Aq — Bq) v bázi v a M = (ciij) buď matice vyjadřující bázi u prostřednictvím báze v. Potom x'i = Vi + «n^i H-------h alnxn tj. maticově x' = y + M x. 6.7. Věta. Nechť (Aq;u) je afínní souřadný systém v n-rozměrném aůnním prostoru A. Afínní podprostory dimenze k v A, vyjádřené v daných souřadnicích, jsou právě množiny řešení řešitelných systémů n — k lineárně nezávislých lineárních rovnic v n proměnných. Důkaz. Uvažme řešitelný systém n — k lineárně nezávislých rovnic cti(x) = bi, bi G M, i = 1,..., n — k. Nechť A = (ai,..., an)T G Mn je libovolné pevně zvolené řešení tohoto (nehomogenního) systému rovnic a dále nechť U C W1 je vektorový podprostor všech řešení zhomogenizovaného systému cti(x) = 0. Pak dimenze U je k a podmnožina všech řešení daného systému je tvaru {B; B = A+ (yi,..., yn)T', y = (l/i,... , yn)T G U} C Mn, viz. 4.7 a 4.10. Příslušný afinní podprostor je tím popsán ve výchozích souřadnicích (Aq;u). Naopak, uvažme nějaký afinní podprostor Q C An a zvolme nějaký jeho bod A za počátek afinního souřadného systému (A,u). Protože Q = A + Z(Q) a každý vektorový podprostor dimenze k v n-rozměrném Rn je dán jako řešení homogenního systému n — k nezávislých rovnic (viz. 4.9), je popis zvoleného afinního podprostoru ve vybraném souřadném systému (Aq; u) dán systémem lineárních rovnic, který z již získaného homogenního systému dostaneme příslušnou transformací souřadnic. D 4b CJAST 11. ťKUSlUKY SHi SKAIjAKINIM SULUJIJNIDM A A1NAIjY HUKA UĽUMĽ1K1K 6.8. Afinní kombinace bodů. Nechť Ao, ... , Ak jsou body v afinním prostoru A. Jejich afinní obal ({Ao,... , Ak}) můžeme zapsat jako {Ao -\-t\(A\ — Ao) + • —h tk(Ak — Ao); ti,..., tk £ R} a v libovolných afinních souřadnicích (tj. Ai je vyjádřen sloupcem skalárů) můžeme tutéž množinu zapsat jako (A0,... ,Ak) = {t0A0 + tiAi + ■■■ + tkAk; U G R, £jl0 U = 1}. Obecně výrazy toAo + íi^-i + • • • + tkAk s koeficienty splňujícícmi X!i=o ^ = 1 rozumíme body Ao + Yli=i U(Ai — Ao) a nazýváme je afinní kombinace bodů. Afinní podprostor generovaný body Aq, ... ,Ak je tedy roven množině všech afinních kombinací svých generátorů. Body Aq, ... ,Ak jsou v obecné poloze, jestliže generují fc-rozměný podprostor. Z definic je vidět, že to nastane právě, když pro kterýkoliv z nich jsou vektory určené rozdíly ostatních od něj lineárně nezávislé. Všimněme si také, že zadání posloupnosti dim A bodů v obecné poloze je ekvivalentní zadání afinního repéru. 6.9. Definice. Nechť Q = A + Z (Q) je afinní podprostor v An a (ui,... ,uk) je báze Z(Q) C W1. Pak vyjádření podprostoru Q = {A + tmi + ■•■ + tkuk;ti,... ,tkeR} nazýváme parametrický popis podprostoru Q. Jeho zadání systémem rovnic je implicitní popis podprostoru Q. Zadání podprostoru jako množiny afinních kombinací bodů v obecné poloze je ekvivalentní parametrickému popisu. 6.10. Příklady standardních úloh. (1) K podprostoru zadanému implicitně nalézt parametrický popis a naopak: Nalezením partikulárního řešení nehomogenního systému a fundamentálního řešení zhomogenizovaného systému rovnic získáme (v souřadnicích, ve kterých byly rovnice zadány) právě hledaný parametrický popis. Naopak, zapíšeme-li parametrický popis v souřadnicích, můžeme volné parametry ti,... ,tk vyeliminovat a získáme právě rovnice zadávající daný podprostor implicitně. (2) Nalézt podprostor (a zadat jej implicitně či parametricky) generovaný několika podprostory Qi,... ,QS (obecně různých dimenzí, např. v R3 nalézt rovinu danou bodem a přímkou, třemi body apod.): Výsledný podprostor Q je vždy určen jedním pevně zvoleným bodem Ai v každém z nich a součtem všech zaměření. Např. Q = Ai + (Z({Ai,..., Ak}) + Z(Qi) + ■■■ + Z(QS)). Pokud jsou podprostory zadány implicitně, je zapotřebí je nejdříve převést na parametrický tvar nebo použít další data, viz. např. 6.15, 6.18. (3) Nalézt průnik podprostoru Qi,... ,QS- Pokud jsou zadány v implicitním tvaru, stačí sjednotit všechny rovnice do jednoho systému (a vynechat lineárně závislé). Pokud je vzniklý systém neřešitelný, je průnik prázdný, jinak získáme implicitní popis afinního podprostoru, který je hledaným průnikem. ö. AľllNlNl ťHUSTUKY 47 Pokud máme dány parametrické tvary, můžeme také hledat přímo společné body jako řešení vhodných rovnic, podobně jako při hledání průniků vektorových pod-prostorů. Získáme tak přímo opět parametrický popis. Pokud je podprostorů více než dva, musíme průnik hledat postupně. Máme-li jeden prostor zadaný parametricky a ostatní implicitně, stačí dosadit parametrizované souřadnice a řešit výsledný systém rovnic. (4) Nalezení příčky mimoběžek p, q v A3 procházející daným bodem nebo mající předem daný směr (tj. zaměření): Příčkou rozumíme přímku, která má neprázdný průnik s oběmi mimoběžkami. Výsledná příčka r tedy bude jednorozměrným afinním podprostorem. Pokud máme zadán jeho bod Aer, pak afinní podprostor generovaný p a A je buď přímka (A G p) nebo rovina (A ^ p). V prvém případě máme nekonečně mnoho řešení, jedno pro každý bod z q, v druhém stačí najít průnik B roviny (p U A) s q a r = ({^4, B}). Pokud je průnik prázdný, úloha nemá řešení, v případě že q C (p U A), máme opět nekonečně mnoho řešení, a pokud je průnik jednoprvkový, dostáváme právě jedno řešení. Máme-li dán směr u G Mn, tj. zaměření r, pak uvažujeme opět podprostor Q generovaný p a zaměřením Z(p) + (u) C Rn. Opět, pokud q C Q, máme nekonečně mnoho řešení, jinak uvážíme průnik Q s q a, úlohu dokončíme stejně jako v předchozím případě. Řešení mnoha dalších standardních geometrických úloh spočívá v používání výše uvedených kroků. 6.11. Orientace. V běžných úlohách elementární analytické geometrie často hovoříme o orientovaných přímkách, úsečkách, trojúhelnících, atd. V našem přístupu zavedeme pojem orientace obecně pro všechny afinní prostory. Ve skutečnosti se jedná o pojem spjatý s vektorovými prostory. Řekneme, že dvě báze u, v vektorového prostoru V zadávají stejnou orientaci, jestliže zobrazení ip: V —> V zadané vztahy ■ p\ {A, B}. (Je vidět přímo pro jednorozměrný A, vhodná volba souřadnic ale obecný případ redukuje na tento.) 6.22. Poznámky. Dělicí poměr samozřejmě závisí na volbě pořadí C, A, B. Je-li (C; A, B) = A, pak se snadno ověří vztahy (C; B, A) = l/A, (B; A, C) = 1 — A, (A;C,B) = A/(A-l),atd. Přímo z definice je také vidět, že bod C je mezi body A a B právě, když (C:>A,B) < 0. Všechny takové body tvoří spolu s {A, B} úsečku [A, B\. Bod C je na opačné straně od A než B právě, když 0 < (C; A, B) < 1 a je na stejné straně od A jako B právě když (C;A,B) > 1. Speciálním případem je hodnota (C; A,B) = — 1. Takový bod nazýváme střed dvojice (A, B). Bod C s dělicím poměrem A vzhledem k (A, B) je vždy afinní kombinací zejména je střed vždy S = \A + \B. Pěknou ukázkou použití našeho formalismu je odvození běžného tvrzení, že všechny přímky protínající tři rovnoběžné roviny v ^.3 je protínají se stejnými dělícími poměry průsečíků. Můžeme obecně zvolit tři různé rovnoběžné nadroviny Qi, Q2, Q3 v -<4n a dvě libovolné, s nimi různoběžné, přímky p, q. Zvolme si afinní re-pér (A,u) takový, že vektory «1,... , Mn_i generují zaměření našich nadrovin. Pak jejich rovnice jsou xn = cii, i = 1,2,3, pro tři různé hodnoty ú^ £ R. Dosazením parametrických popisů přímek p, q do těchto rovnic zjistíme, že poslední souřadnice průsečíků pP\Qi, qPiQi jsou shodně rovny ú^. Zejména jsou jejich rozdíly nenulové a určují ten stejný dělicí poměr. V souřadnicích se také snadno vidí, že pro libovolné čtyři body A, B, C, D G A platí B — A = C — D (tj. jsou to vrcholy rovnoběžníku v jisté rovině) právě, když \(A + C) = \(B + D) (tj. jejich úhlopříčky se půlí). 6.23. Poloprostory. Uvažme nadrovinu Q v n-rozměrném afinním prostoru A. Otevřeným poloprostorem V\ vyťatým nadrovinou Q a obsahujícím bod A G A\ Q rozumíme množinu všech bodů Sei takových, že úsečka [A, B] neprotíná Q. ö. AFllNlNl ťHUSTUKY 51 Zvolme afinní repér (Aq,u) tak, aby Aq G Q a u\,... , ifn-i byla báze Z(Q). Pro libovolné dva body A, B G A \ Q pak mají jejich poslední souřadnice stejné znaménko právě, když úsečka [A, B] neprotíná Q. Odtud vyplývá, že každá nadrovina definuje právě dva poloprostory. Říkáme že odděluje jejich body. Poloprostory na přímce jsou polopřímky (oddělované bodem), v rovině jsou to poloroviny (oddělované přímkou). Pohodlně se poloprostory vyjádří prostřednictvím parametrických i implicitních popisů. Je-li Q dána rovnicí a(x) = 0 a poloprostor V je určen bodem A, pak je V množinou všech bodů, jejichž souřadnice dají po dosazení do levé strany rovnice a(x) = 0 hodnotu se stejným znaménkem jako A. Je-li Q zadáno body Ai,..., An v obecné poloze, pak také body A,Ai,...,An jsou v obecné poloze a (otevřený) poloprostor V obsahující A je množina afinních kombinací {t0A + t1A1 + ■■■ + tnAn; YIU U = 1, *o > 0} Obecně nemáme dánu žádnou význačnou volbu jednoho z poloprostorů vyťatých nadrovinou. Je-li ovšem zadána orientace na celém afinním prostoru A i na zvolené nadrovině Q, pak máme určený také pravý poloprostor a levý poloprostor vyťatý V. Pravý je zadán např. volbou bodů A,A\,... , An jako výše a přitom tak, aby příslušný repér byl kompatibilní s orientací. (Ověřte si, že je to korektní definice.) 6.24. Poznámka. Nechť p\ a p\ jsou různoběžné přímky v afinní rovině. Označme V jejich průsečík a zvolme bod A ^ p U q. Průnik polorovin Vi a V2 obsahujících A a vyťatých po řadě p\ a p2 nazýváme úhel15 s vrcholem V a rameny V2 Hpi, V\ Hp2- Přímo z definice je zřejmé, že pro libovolné body A\, A^ patřící po řadě ramenům úhlu má celý úhel jednoduché parametrické vyjádření {ŕo"^ + Mi + M2; t0 + h +12 = 1, h > o, t2 > 0}. 6.25. Konvexní množiny. Podmnožina M C A se nazývá konvexní množina, jestliže pro její libovolné dva body A, B G M je celá úsečka [A, B] obsažena v M. Zjevně jsou následující podmnožiny konvexní: prázdná podmnožina, afinní pod-prostory, úsečky, polopřímky, poloprostory, úhly v dvojrozměrných podprostorech, atd. Přímo z definice také plyne, že průnik libovolného systému konvexních množin je opět konvexní. Průnik všech konvexních množin obsahujících danou množinu M nazýváme konvexní obal )C(M) množiny M. 6.26. Věta. Konvexní obal libovolné podmnožiny M C A je fC{M) = {Mi + • • • + tsAs; YZ=i fi = !> U > °> Důkaz. Označme S množinu všech afinních kombinací na pravé straně dokazované rovnosti. Nejprve ověříme, že je S konvexní. Zvolme tedy dvě sady parametrů ti, i — l,..,si, ť-, j — 1,...,S2 s požadovanými vlastnosti. Bez újmy na obecnosti Stejně se většinou označuje úhel i jeho velikost. Zde máme na mysli skutečně množinu bodů roviny. 52 «JAST 11. ťHUSTUKY SK SKALAK1N1M SU U «JUNŮM A A1NALY TKJKA UĽUMĽTH1JÍ můžeme zjevně předpokládat, že si = «2 a že v obou kombinacích vystupují stejné body z M (jinak prostě přidáme sčítance s nulovými koeficienty). Uvažme libovolný bod úsečky zadané takto získanými body: e(t1A1 + ■■■ + tsAs) + (1 - e)(íiAi + • • • + ťsAs), 0 < e < 1. Zřejmě jsou opět všechny v S. Zbývá ukázat, že konvexní obal bodů A±,... ,AS nemůže být menší než o. oa~ motné body Ai odpovídají volbě parametrů t j = 0 pro všechny j / i a íj = 1. Předpokládejme, že tvrzení platí pro všechny množiny s nejvýše s — 1 body. To znamená, že konvexní obal bodů A±,..., As_\ je (podle předpokladu) tvořen právě těmi kombinacemi z pravé strany dokazované rovnosti, kde ts = 0. Uvažme nyní libovolný bod A = t±Ai + • • • + tsAs G 5, ís / 1, a afinní kombinace e{t1A1 + ■■■ + ts-tAs-í) + (1 - e(l - ta))Aa, 0■ B mezi afinními prostory nazýváme afinní zobrazení, jestliže existuje lineání zobrazení ■ Z(B) takové, že pro všechny A G A, v G Z (A) platí f(A + v) = f(A) + ■ -B. Přímo z definice je zřejmé, že stačí vyjádřit obraz počátku souřadnic v A v souřadnicích na B, tj. vyjádřit vektor f(Ao) — Bq v bázi v a vše ostání je pak určeno násobením maticí zobrazení ip ve zvolených bazích a přičtením výsledku. Poznámky k přemýšlení Budou uvedeny společné s úlohami na metrické vlastnosti za kapitolou 9 7. Euklidovské a unitární vektorové prostory V celé této kapitole bude V buď reálný nebo komplexní vektorový prostor, tj. pole skalárů je K = R nebo K = C. Hned v motivační úvodní kapitole jsme zobecnili operaci sčítání a operace násobení vybraným skalárem z čísel na vektory. Násobení skalárů většinou chápeme jako operaci přiřazující dvojici skalárů třetí skalár. Takto chápanou ji teď zobecníme na vektory: každé dvojici vektorů přiřadíme skalár. 7.1. Definice. Vektorový prostor V nad K nazveme unitární prostor, jestliže je definováno zobrazení V x V —>■ K, (u, v) i->- u ■ v, splňující pro všechny vektory u, v, w E V a, skaláry a G K (1) u • v = v • u ( zde pruh značí komplexní konjugaci je-li K = C, identické zobrazení pro reálné skaláry) (2) (au) • v = a(u • v) (3) (u + v) ■ w = u ■ w + v • vj (4) je-li m/0, pak u • u > 0 (zejména je výraz reálný) Takové zobrazení nazýváme skalární součin na V. Pro reálné unitární prostory se používá název euklidovské prostory, termín unitární prostor bývá v literatuře často vyhrazen pouze pro komplexní prostory. Přímo z definice plynou následující jednoduché vlastnosti skalárních součinů: 7.2. Lemma. Pro všechny vektory ve V a skaláry v K platí (1) u-ueR (2) u • (o,v) = ö,(u ■ v) (3) u • (v + w) = u • v + u ■ w (4) m • 0 = 0 • m = 0 (5) (Ei am) ■ (Ej bjVj) = Ei,j aibj(ui ■ Vj) (6) u • u = 0 právě tehdy, když u = 0 7.3. Příklady. (1) Na Rn definujme (x\,... , xn) • (y\,... , yn) = xiyi + • • • + xnyn a dostáváme zobrazení zjevně splňující všechny požadované vlastnosti. Prostor Rn s tímto skalárním součinem budeme nazývat standardní euklidovský prostor v dimenzi n. V 54 «JAST 11. ťHUSTUKY SK SKALAK1N1M SULKJIJNĽM A A1NALY HUKA UĽUMĽTH11Í maticové symbolice (tj. vektory jsou sloupce skalárů x, y) dostáváme skalární součin jako součin matic x • y = xTy. (2) Podobně, na Cn definujme (xx,... , xn) ■ (yx,... , yn) = xyyx + • • • + xnyn. Díky konjugování souřadnic druhého argumentu toto zobrazení splňuje všechny požadované vlastnosti. Prostor Cn s tímto skalárním součinem budeme nazývat standardní unitární prostor v dimenzi n. Maticově sklární součin vyjádříme jako x ■ y = xTy. (3) Na Mn [x] definujeme skalární součin polynomů např. vztahem f ■ 9= f(x)g(x)dx. Jo Z elementárních vlastností určitého integrálu vyplývá, že jde skutečně o skalární součin. Uvidíme, že díky konečnosti dimenze příslušného vektorového prostoru musí mít tento skalární součin shodné vlastnosti s předchozím příkladem. 7.4. Definice. Vektory u, v G V v unitárním prostoru V se nazývají ortogonální (kolmé), jestliže u ■ v = 0. Ortogonálnost vektorů značíme u±v. Vektory u\,... , Uk tvoří ortogonální systém vektorů jestliže jsou po dvou ortogonální, tj. Ui±Uj, 1 < i, j < k. Ortogonální systém vektorů, který je baží nazýváme ortogonální baží. 7.5. Věta. (Grammův-Schmidtův ortogonalizační proces) Nechť («i,... , Uk) je lineárně nezávislá k-tice vektorů unitárního prostoru V. Pak existuje ortogonální systém vektorů (vi,... , Vk) takový, že Vi G (u\,... , Ui), i = 1,..., k. Získáme je následující procedurou: (1) Z nezávislosti vektorů Ui plyne u\ / 0. Položíme v\ = u\. (2)-(k) Máme-li již vektory v\,... ,V£ potřebných vlastností klademe Ul+i • Vi V£+i = u£+i + aivi H-------h atvt, a,i =------------- Vi -Vi Důkaz. V i?-tém kroku chceme, aby pro V£+i = ui+\ + a\V\ + • • • + a^vi platilo vt+\ • Ví = 0, i = 1,..., £. Odtud plyne 0 = (u£+1 + a1v1 H-------h agvg) ■ Vi = u£+1 ■ Ví + ai(vi ■ v i) a je vidět, že vektory s požadovanými vlastnostmi jsou určeny jednoznačně až na násobek. 7.6. Definice. Podmnožiny A, B unitárního prostoru V se nazývají ortogonální (kolmé), jestliže pro všechny vektory u E A, v E B platí uJ-V. Píšeme A±B. Unitární podprostory v unitárním prostoru V jsou právě vektorové podprostory spolu se zúžením operace skalárního součinu. (V případě reálných prostorů hovoříme o euklidovských podprostorech.) Součet Vi + - • - + T4 C V unitárních podprostorů se nazývá ortogonální (kolmý), je-li Vi±.Vj pro všechny dvojice i, j. Podmnožina A1- := {u G V; {u}^Á\ se nazývá ortogonální doplněk podmnožiny A c V. (. ĽUKL1UUVSKK A UlNITAKINl VKK1URUVĽ ťHUSlUKY 55 7.7. Definice. Nechť V je unitární prostor. Pro každý v G V nazýváme (reálný) skalár y/v~^v velikostí vektoru v, hovoříme také o normě \\v\\. Vektor se nazývá normovaný, je-li \\v\\ = 1. Ortonormální báze unitárního prostoru V je ortogonální báze složená z normovaných vektorů. 7.8. Lemma. Pro každý vektor v v unitárním prostoru a skalár a G K platí (!) INI >o (2) \\v\\ = 0 právě, když v = 0 (3) ||at>|| = H \\v|| (4) je-ii i> ^ 0, paJc vektor tAt je normovaný. Důkaz. Vše plyne přímo z vlastností skalárního součinu. Ukážeme např. (3): \\av\\ = \/(civ) • (av) = \Jaav • v = \/\a\2 \\v\\2 D Následující věta shrnuje elementární vlastnosti unitárních prostorů. 7.9. Věta. Nechť V je koneěněrozměrný unitární prostor dimenze n. Platí (1) Ve V existuje ortonormální báze. (2) Každý systém nenulových ortogonálních vektorů ve V je lineárně nezávislý a lze jej doplnit do ortogonální báze. (3) Pro každý systém lineárně nezávislých vektorů (iti,... ,«&) existuje ortonormální báze (v\,... , vn) taková, že (v i,... , v i) = {ui,... , Ui), 1 < i < k. (4) Je-li (ni,... ,un) ortonormální báze V, pak souřadnice každého vektoru u G V jsou vyjádřeny vztahem u = (u • Ui)ui + ••• + («• un)un. (5) V libovolné ortonormální bázi má skalární souěin souřadný tvar u . v = x • y = xxyx -\-------h xnyn kde x a y jsou sloupce souřadnic vektorů u a v ve zvolené bázi. (6) Ortogonální součet unitárních podprostorů Ví + • • • + T4 ve V je vždy přímý součet. (7) Je-li A C V libovolná podmnožina, pak A1- C V je vektorový (tedy i unitární) podprostor a (A^-)1- C V je právě podprostor generovaný A. Navíc platí V = {A)®A±. (8) V je ortogonálním součtem n jednorozměrných unitárních podprostorů. Důkaz. Všechna tvrzení jsou skutečně jednoduchými důsledky definic: (1),(2),(3): Daný systém vektorů nejprve doplníme do libovolné báze (ni,... , un) vektorového prostoru V a spustíme na ni Grammovu-Schmidtovu ortogonalizaci. Tak získáme ortogonální bázi s vlastnostmi požadovanými v (3), viz. 7.5. Přitom ale z algoritmu Grammovy-Schmidtovy ortogonalizace vyplývá, že pokud již původních k vektorů tvořilo ortogonální systém vektorů, pak v průběhu ortogonalizace zůstanou nezměněny. Dokázali jsme tedy (2) i (1). 5ö «JAST 11. ťHUSTUKY SK SKALAK1N1M SULKJIJNĽM A A1NALY T1UKA UĽUMĽTH1JÍ n (4): Nechť m = a\U\ + • • • + anun. Pak u-Ui = ai(«i • M^) H-------h an(«n • «i) = aí||«í||2 = ai (5): Podobně se spočte pro u = xiU\ + • —h xnun, v = y\U\ -\— • + ynun (viz. 7.2) U-V = (xľUľ H---------h XnUn) ■ (Wi-Ui H---------h t/nnn) = ^lŽ/l H---------h Xntjn. (6): Potřebujeme ukázat, že pro libovolnou dvojici Ví, V} ze zadaných podprostorů je jejich průnik triviální. Je-li však m G Ví a zároveň n G V}, pak je n_l_n, tj. u-u = 0. To je ale možné pouze pro nulový vektor n G V. (7): Nechť u, v G A-1. Pak (an + öf) • w = 0 pro všechny w G A, a, 6 e K (z dis-tributivity skalárního součinu). Tím jsme ověřili, že A1- je unitární podprostor ve V. Nechť (vi,... , Vk) je nějaká báze (A), vybraná z prvků A, (ni,... , n&) ortonormální báze vzniklá z Grammovy Schmidtovy ortogonalizace (v\,... ,Vk)- Doplňme ji na ortonormální bázi celého V (obojí existuje podle již dokázaných částí věty). Protože se jedná o ortogonální bázi, je nutně (n^+i,... , nn) = (ni,... , Uk)~L = A1-a A C (nfc_|_i,... ^n)1 (plyne z vyjádření souřadnic v ortonormální bázi). Je-li n_L(nfc+i,... , nn), pak n je nutně lineární kombinací vektorů ni,... , n^, to je ale právě tehdy, když je lineární kombinací vektorů v\,... ,vk, což je ekvivalentní s příslušností n do (A). (8): Je pouze ekvivalentní formulací existence ortonormální báze. D V další větě uvedeme důležité vlastnosti normy. 7.10. Věta. Pro každé vektory n, v v unitárním prostoru platí (1) \\u + v\\ < \\u\\ + \\v\\ (trojúhelníková nerovnost). Přitom rovnost nastane právě, když jsou u a v lineárně závislé. (2) |n • v| < ||n|| \\v\\ (Cauchyova nerovnost). Přitom rovnost nastane právě, když jsou u a v lineárně závislé. (3) pro každý ortonormální systém vektorů (ei,... , e^) platí \\u\\2 > \u • ei|2 + • • • + \u • e/c|2 (Besselova nerovnost). (4) Pro ortonormální systém vektorů (ei,... , e^) je u G (ei,... , e^) právě když \\u\\2 = \u • ei|2 + • • • + \u • e/c|2 (Parsevalova rovnost). (5) Pro ortonormální systém vektorů (ei,... , e^) a u G V je vektor w = (n • ei)ei H-------h (n • efc)efc jediným vektorem, který minimalizuje velikost \\u — v\\ pro všechny v G (ei,... ,ek). Důkaz. Všechny důkazy spočívají v podstatě v přímých výpočtech: (2): Definujme vektor w := n — ^v, tzn. wl.v a počítejme (u • v) . . u-v. . (n • i>)(n • i>),, 1|9 /(M • W) - IUÍ2 (V • M) + IN 14 """ 0 < ||w||2 = ||n||2 - \ ' (n • v) - ^^(w • «) + \v\ ,\v\\ \\v,, 0 < \\w\\ \\v\\ = \\u\\ \\v\\ — 2(n • v)(u • v) + (u • v)(u • v) (. ĽUKL1UUVSKK A U1N11AK1N1 VKK1URUVĽ ťHUSlUKY bi Odtud již přímo plyne, že ||ií||2||f||2 > \u • v\2 a rovnost nastane právě tehdy, když w = 0, tj. když jsou u a v lineárně závislé. (1): Opět stačí počítat ||ií + f|| = \\u\\ + \\v || + u • v + v • u = \\u\\ + \\v\\ + 2Re(tí • v) < \\u\\2 + |H|2 + 2|tcŕ;| < ||m||2 + ||v||2 + 2||m||||w|| = (\\u\\ + INI)2 Protože se přitom jedná o kladná reálná čísla, je opravdu \\u+v || < ||if|| + ||f||. Navíc, při rovnosti musí nastat rovnost ve všech předchozích nerovnostech, to však je ekvivalentní podmínce, žeuav jsou lineárně závislé (podle předchozí části důkazu). (3), (4): Nechť (ei,... , e^) je ortonormální systém vektorů. Doplníme jej do ortonormální báze (ei,... , en) (to vždy jde podle předchozí věty). Pak, opět podle předchozí věty, je pro každý vektor u E V n n k \\u\\2 = X^M ' e*)(^T^") = y^ \u- ej\2 > y^ |tt-e^|2 i=l i=l i=l To je ale právě dokazovaná Besselova nerovnost. Přitom rovnost může nastat právě tehdy, když u • e^ = 0 pro všechny i > k, a to dokazuje Parsevalovu rovnost. (5): Zvolme libovolný v G (ei,... , e^) a doplňme daný ortonormální systém na ortonormální bázi (ei,... , en). Nechť (u\,..., un) a (x\,... , xk, 0,..., 0) jsou souřadnice u a, v v této bázi. Pak \\u - v\\2 = \m - Xi\2 H--------\-\uk - xk\2 + |tíA;+l|2 H--------h \un\2 a tento výraz je zjevně minimalizován při volbě x\ = u\,..., xk = uk. D 7.11. Definice. Homomorfismus • W unitárních prostorů se nazývá unitární zobrazení, jestliže platí pro všechny vektory u, v G V, u • v = • W mezi unitárními prostory je prosté. Důkaz. Ve větě 7.9 jsme ověřili existenci ortonormální báze na V a vyjádřili jsme skalární součin pomocí souřadnic v takové bázi. Odtud okamžitě vyplývá, že zobrazení přiřazení souřadnic V —> Kn je pro libovolnou ortonormální bázi unitární isomorfismus. Předpokládejme (2): ||«||2 = u • u = íp(u) • íp(u) = \\íp(u)\\2. (2) =4> (3): Velikosti se zachovávají, je třeba ještě ukázat, (p(ei)-L(p(ej) pro libovolné indexy i,j. Počítejme \\v(ei + ei)H2 = ll^(eí)H2 + ll^(ei)H2 + v(ei) • v(ej) + w(ej) ■ v(ei) ll 112 n 112 — 11 i 11 ' 11 j 11 ' i ' j ' j ' i Odtud plyne, že reálná část skalárního součinu je zachovávána: Re(■ (1): Víme, že je zachováván skalární součin všech bázových prvků. Pak ovšem pro všechny vektory dostáváme: íp(a1e1 H-------h anen) ■ íp(bxex H-------h bnen) = ^ aibjíp(ei)íp(ej) i, j = ^ a-bj(e.i ■ ej) = (a1e1 H-------h anen) • (b1e1 H-------h bnen) D i J Z předchozí věty plyne, že každý unitární endomorfísmus V —>• V je bijekce, hovoříme také o unitární transformaci. 7.14. Věta. Nechť íp: V —> V je lineární zobrazení (endomorfísmus) unitárního prostoru V. Pak jsou následující podmínky ekvivalentní: (1) íp je unitární transformace (2) íp je lineární isomorfismus a pro každé u, v £ V platí íp(u) • v = u • íp~x(v) (3) matice A zobrazení íp v libovolné ortonormální bázi splňuje A-1 = ÄT (pro euklidovské prostory to znamená A-1 = AT) (4) matice A zobrazení

- (2): Zobrazení íp je prosté, proto musí být i na. Platí přitom íp(u) ■ v = íp(u) ■ (y9((y9_1(w)) = u ■ íp~x(v). * (2) =>■ (3): Standardní skalární součin je v Kn vždy dán pro sloupce x, y skalárů výrazem x • y = xTEy, kde E je jednotková matice. Vlastnost (2) tedy znamená, že matice A zobrazení íp je invertibilní a platí (Ax)Ty = xTA~ly. To znamená xT(ÄTy — A~xy) = 0 pro všechny x £ Kn. Zejména dosazením výrazu v závorce za x zjistíme, že to je možné pouze při AT = A-1. (. ĽUKLinUVSKK A UJNllÄKJNl VKKIURUVĽ ťHUSlUKY 5y * (3) <í=> (4): Je-li ÄT = A-1 v některé ortonormální bázi, pak to zaručuje platnost podmínky (2) (■ (5) Dokazované tvrzení je vyjádřeno prostřednictvím matice A zobrazení ip vztahem AÄT = E, to je ale zaručeno podmínkou (4). * (5) =>. (6): Protože pro determinant platí \ÄTA\ = \E\ = \AÄT\ = \A\\A\ = 1, existuje inverzní matice A-1. Přitom je AAT A = A, proto i AT A = E což vyjadřuje právě (6). * (6) =4> (1): Ve vybrané ortonormální bázi je cp(u) • ■ V unitární zobrazení a U C V je invariantní podprostor vzhledem k (p. Pak také jeho ortogonální doplněk U1- je invariantní podprostor. Důkaz. Zvolme u G U a v G U1- libovolně. Protože je

• V je unitární zobrazení komplexních vektorových prostorů. Pak je V ortogonálním součtem jednorozměrných vlastních podprostorů. Důkaz. Tvrzení pro komplexní unitární prostory je přímým důsledkem předchozího lemmatu: Jistě existuje alespoň jeden vlastní vektor v £ V. Pak je zúžení ip na invariantní podprostor (v)1- opět unitární a jistě má opět nějaký vlastní vektor. Po n takovýchto krocích obdržíme hledanou ortogonální bázi z vlastních vektorů. Po vynormování vektorů získáme ortonormální bázi. D V dalším ukážeme, že euklidovské prostory se pro každý ortogonální automorfis-mus ip-.V^V ortogonálně rozkládají na součet jednorozměrných a dvourozměrných invariantních podprostorů takových, že jednorozměrné jsou generovány vlastními vektory a příslušné vlastní hodnoty jsou ±1, zatímco zúžení ip na dvourozměrné je dáno rotacemi kolem počátku o vhodné úhly. 6U «JAST 11. ťHUSTUKY SK SKALAKINIM SULKJIJNĽM A AINALY HUKA UĽUMĽIHIĽ Pochopení a hlavně důkaz tohoto tvrzení bude vyžadovat zvládnutí tzv. komplexifikaci reálných vektorových prostorů. * 7.18. Komplexifikace. Nechť V je reálný vektorový prostor. Jeho komplexifikaci rozumíme vektorový prostor Vc — V © iV nad polem komplexních čísel C s nosnou množinou V x V a, operacemi (a + ib) ■ (x + iy) = (a ■ x — b ■ y) + i(a ■ y + b ■ x) (x + iy) + (x1 + iy') = (x + x') + i (y + y'). Je-li u = (uii ■ • ■ i un) báze prostoru F, pak bázi uC = ((^í + iO),..., (un + iO)) prostoru Vc nazýváme indukovanou baží na komplexifikaci V. Pro každé lineárni zobrazení ■ W reálných vektorových prostorů definujeme jeho komplexifikaci ípc : Vc —> Wc vztahem (fC(x + iy) = W je lineární zobrazení s maticí A G Matnm(R) v těchto bazích. (1) komplexifíkace cpc : Vc —> Wc je lineární zobrazení a jeho matice v indukovaných bazích je opět A. (2) U C V je invariantní vzhledem k (p: V —> V právě, když Uc C Vc je invariantní vzhledem k (pc. (3) V = U1®---®Uk právě, když Vc = U^ © • • • © ř/£. * Důkaz. (1) Linearita se ověří přímým výpočtem a tvrzení o matici snadno plyne z definic. * (2) a (3) se ověří snadno prostřednictvím vhodných baží podprostorů. D * 7.20. V předchozím tvrzení jsme viděli, že zobrazení {podprostory ve V} —> {podprostory ve Vc} dané komplexifikaci má velice přehledné vlastnosti. Naopak, každý komplexní vektorový prostor můžeme chápat jako reálný (pomocí zúžení pole skalárů R C C). V opačném směru pak máme zobrazení re, im: {podprostory ve V } —> {podprostory ve V}, která jsou projekcemi na jednotlivé komponenty a jsou lineární nad R. Opět nám přímé součty přechází na přímé součty. * Uvažme lineární zobrazení V na reálném vektorovém prostoru. Jeho charakteristický polynom \A — \E\ je zároveň charakteristickým polynomem ípc a má, včetně násobností, n = dim V (obecně komplexních) kořenů Ai,... ,An. Budeme značit Q\ C Vc vlastní podprostor příslušný vlastní hodnotě A a P\ = re(Qx) C V. (. KURLlUUVSRhi A U IN HAKIM VKK1URUVĽ ťKUblUKY bi ** ** ** ** ** 7.21. Lemma. Nechť X je kořen charakteristického polynomu lineárního zobrazení cp:V^V. (1) Je-li X reálné, je P\ podprostor vlastních vektorů ve V a Q\ = Pjp. (2) Je-li AgC\1, pak i X je kořenem, platí Px = P\ a P\ = Qx® Qx- (3) Jsou-li Ai,... , Afe vlastní hodnoty po dvou splňující Aj 7^ Aj, Aj 7^ Äj, paií součet podprostorů P\{ je přímý, i = 1,..., k. Důkaz. (1) Podprostor Q\ je generován fundamentálním systémem řešení lineárního systému rovnic s reálnými koeficienty, lze tedy najít jeho bázi s reálnými souřadnicemi. Proto je P\ = ie(Q\) řešením téhož systému rovnic. (2) Víme, že A ^ X jsou kořeny charakteristického polynomu. Protože původní matice má reálné koeficienty, jsou Q\ a Q^ prostory řešení dvou systémů rovnic s komplexně konjugovanými koeficienty. Odtud ale plyne, že Q\ = Q^. Proto zjevně Qx + Qx = (™(Q\) + im(QA))c. Pak ovšem Te(xeQx + imQx)C = ?eQx + reQx = ^Qx = -P\ neboť reQ\ = ľeQx- Celkem tedy P^ = Q\ © Q^. (3) Nechť Ai,... , Ar G R, Ar+i,... , Am G C \ R. Potom Ai,... , Ar, Ar_|_i, Ar_|_i,..., Afc, Afc je 2k — r různých vlastních hodnot zobrazení ípc. Proto Q\x © • • • © Q\r © (Q\r+1 © Qxr+1) © '"' © (Qxk © Qxh) Je přímý součet podprostorů veľc. D 7.22. Věta. Nechť ■ V je lineární zobrazení na reálném vektorovém prostoru. Předpokládejme, ze všechny vlastní hodnoty jeho komplexifíkace • V je ortogonální zobrazení euklidovských vektorových prostorů. Pak V je ortogonálním součtem jednorozměrných a dvourozměrných invariantních podprostorů takových, že jednorozměrné jsou generovány vlastními vektory a příslušné vlastní hodnoty jsou ±1, zatímco zúžení ip> na dvourozměrné je dáno rotacemi kolem počátku o úhly zadané argumenty příslušných komplexně sdružených vlastních hodnot. Důkaz. Nechť je V euklidovský prostor. Potom se na jeho komplexifikaci Vc rozšíří skalární součin z V tak, že prohlásíme bázi indukovanou na Vc libovolně 02 «JAST 11. ťHUSTUKY SK SKALAK1N1M SULKJIJNĽM A A1NALY HUKA UĽUMĽTH1JÍ zvolenou ortonormální baží na V za ortonormální. Vzhledem k tomuto skalárnímu součinu je ale komplexifikace cpc také unitární (je dána stejnou reálnou maticí) a podle předchozí části důkazu se Vc rozpadá na ortogonální součet vlastních pod-prostorů. Nyní stačí aplikovat výsledky z 7.21, 7.22 a získáme tak dvourozměrné invariantní podprostory P\ C V. Přitom je každý takový podprostor P\ reálným podprostorem v součtu Q\®Q\ odpovídajících komplexních vlastních podprostorů. Protože se v komplexifikaci Vc jedná o ortogonální součet a zúžení skalárního součinu v Vc na reálné podprostory P\ splývá s původním skalárním součinem na V, musí být získaný součet ortogonální. Protože vlastní hodnoty (pc musí mít velikost 1, jsou zúžení na získané dvourozměrné invariantní podprostory opravdu rotace. D 7.24. Poznámky. Pro euklidovské prostory dimenze n stačí uvažovat rotace v dvourozměrných podprostorech a tzv. reflexe vzhledem k nadrovinám určeným n — 1 nezávislými vektory. Skutečně, kterékoliv dva nezávislé vlastní vektory s vlastní hodnotou —1 odpovídají rotaci o tt v příslušné rovině. Při liché násobnosti vlastní hodnoty — 1 nám tedy zůstane právě jeden jednorozměrný vlastní podprostor a ve vhodné ortonormální bázi obdržíme dané ortogonální zobrazení jako složení uvedených typů zobrazení. Např. každé ortogonální zobrazení v dimenzi tři lze ve vhodné bázi zapsat buď jako rotaci v rovině prvních dvou bázových vektorů nebo jako předchozí zobrazení složené s reflexí podle této roviny. Tuto bázi přitom dostaneme přímým výpočtem vlastních hodnot a vlastních vektorů nad komplexními skaláry. Úplně závěrem ještě odvodíme zesílení věty 5.21 popisující obecné lineární zobrazení, které má dalekosáhlé důsledky. V dalším textu je ještě několikrát využijeme. 7.25. Věta (Schurova o ortogonální triangulovatelnosti). Nechťcp: V —>• V je libovolné lineární zobrazení (reálného nebo komplexního) unitárního prostoru s to = dim V vlastními hodnotami (včetně násobonosti). Pak existuje ortonormální báze prostoru V taková, ze ip v ní má horní trojúhelníkovou matici s vlastními čísly Ai,... , Am na diagonále. Důkaz. K důkazu stačí jen trochu upravit důkaz věty 5.21. V ní jsme konstruovali posloupnost invariantních podprostorů {0} C V\ C • • • C Vm = V a bázi u = («i,... ,um) takovou, že Vi = (iti,... ,Ui), 1 < i < m. Přitom jsme postupovali induktivně tak, že po obdržení prvních k vektorů výsledné báze a příslušného invariantního podprostorů T4 jsme uvažovali indukované zobrazení W/v* na faktorovém prostoru V/Vk- Jeho charakteristický polynom přitom byl (Afc+i — A)... (Am — A) a jistě mělo vlastní vektor «fc+i + V&. Další rozšíření již zkonstruované báze pak bylo «i,... , itfc+i- Nyní ovšem můžeme v každém kroku využít skutečnosti, že vždy V/Vk — V^-, V^~ 3 u \-> (u + 14) £ V/Vk, tj. v každé třídě rozkladu V/Vk existuje právě jeden vektor z V^ (tuto vlastnost má faktorový prostor podle libovolného podprostorů v unitárním prostoru - pokud u, v G V^ jsou v jedné třídě, pak jejich rozdíl patří do T4 n V^-, tedy jsou stejné). Můžeme tedy jako reprezentanta Uk+i nalezené třídy (vlastního vektoru 3 Problémy k přemýšlení Budou uvedeny až společně s náměty v kapitole 8. 8. Formy a tensory V celé této kapitole se opět zaměříme na reálné nebo komplexní skaláry, všechny výsledky, kde nebude zdůrazněno něco jiného však platí pro všechna pole s charakteristikou různou od 2. 8.1. Definice. Lineární formou na vektorovém prostoru V nad K rozumíme lineární zobrazení K. Vektorový prostor všech lineárních forem na V nazýváme duální vektorový prostor k V a značíme jej V*. Pro každé lineární zobrazení ip: V —>■ W vektorových prostorů definujeme duální zobrazení xp* : W* —> V* vztahem ip*{a){u) = a(ijj(u)) pro všechny lineární formy a G W* a vektory «eľ. Pro každý vektorový prostor V definujeme operaci vyčíslení ( , ): V x V* —>■ K, {u,ip) = (p(u). Definici duálního zobrazení můžeme tedy psát (ip(u),a) = (u,ý*(a)), u e V, a e W*. * 8.2. Duální báze. Je-li u = (ui,... , un) libovolná báze vektorového prostoru V, pak definujeme u* = (u*,... , n*) vztahy (iíj, u*) = 1 a (n^, Uj) = 0 pro i ^ j. Tyto lineární formy jsou zjevně lineárně nezávislé (vyčíslete jejich lineární kombinaci na bázových vektorech Ui) a přitom generují celý duální prostor V* (pro a G V* je a.(a,\U\-\-- • - + anun) = a,ia(ui) -\- • • • + ana(un) = (a.(u\)u\ + • • • + a(un)u^l)(aiUi + • • • + anun)). Nazýváme je duální báze k bázi u. * Následující věta dává do souvislosti lineární formy a systémy lineárních rovnic. * 8.3. Věta. Nechť V je vektorový prostor nad K, u = (iti,... ,un) jeho báze. Potom (1) pro každé a G V* je matice (a(«i),..., a(un)) G Matin(K) lineárního zobrazení a v bazích u na V a 1 na K zároveň n-ticí souřadnic a v duální bázi u* na V*. (2) Pro nenulové formy a G V* je Ker a C V podprostor dimenze n — 1. Navíc Ker a = Ker ß právě, když a = aß pro nenulový skalár a. (3) Lineární forma a je lineární kombinací forem ßi,... , ß^ právě, když n^Ker ßi C Ker a. (4) formy ßi,... , ßk jsou lineárně nezávislé právě, když dim Pij Ker ßi = n — k. * Důkaz. (1): Již jsme ukázali při definici duální báze, že a = a{u\)u\ + ••• + a{un)u*n. * (2), (3), (4): V libovolně zvolených souřadnicích je Ker a dáno jednou homogenní rovnicí. Pokud je tato rovnice nenulová, je jeho dimenze n — 1. Zbytek tvrzení (2) je speciálním případem (3). Je-li a = X)iaiA) Pak jistě Cli Ker ßi C Ker a. Naopak, «Gfli Ker ßi znamená právě, že souřadnice u ve zvolené bázi tvoří řešení příslušného systému lineárních rovnic. Dimenze průniku je proto rovna rozdílu mezi dimenzí celého V a počtem nezávislých rovnic, což dokazuje (4). Pokud a není lineární kombinací ßi,... ,/?&, pak je dimenze Cli Ker ßi f] Ker a ostře menší než dimenze Pij Ker ßi. Tím jsme ověřili (2) i (3). D 64 «JAST 11. ťHUSTUKY SK SKALAK1N1M SULKJIJNĽM A A1NALY T1UKA UĽUMĽTH1JÍ * 8.4. Věta. Nechť V aW jsou vektorové prostory nad K, u nechť je báze na V, w báze na W. (1) Jsou-li x = (xi,... ,xn)T G Kn souřadnice vektoru v G V v bázi u, yT = (yi,... ,yn) G Kn souřadnice formy a v duální bázi na V*, pak vyčíslení {v, a) je dáno násobením matic yTx. (2) Je-li v jiná báze na V a matice přechodu odukv je P, pak matice přechodu od duální báze v* k duální bázi u* je PT. (3) Je-li ip: V —> W lineární zobrazení s maticí A v bazích u, w, pak matice duálního zobrazení (p* : W* —>■ V* v duálních bazích je matice AT. * Důkaz. (1): Máme v = x\U\ + • • • + xnun a a = y\u\ + • • • + ynuni proto (v,a) = a(v) = y-iul {v) H-------h y„,K(v) = xxyx -^-------h xnyn = yTx. * (3): Nechť dále z G Kn jsou souřadnice formy ß G W* v duální bázi w* na W*. Pak <«,¥>*(/?)> = ( W nazýváme bilineární zobrazení, jestliže pro libovolné «i, 1*2 G U, vi, v• Hom(y, W), f: V —> Hom(ř7, W) jsou lineární (pro pořádek bychom měli od sebe tato dvě zobrazení odlišovat značením, nebudeme to ale v dalším potřebovat). Přímo z definice tedy plyne, že hodnota bilineárního zobrazení / na lineárních kombinacích u = a\U\ + ... a^u^ £[/,« = b\V\ + ... b(Va G V je f{u,v) = ^2aibjf(ui,vj) i, j zejména je pro každou dvojici baží u, v na U a V bilineární zobrazení / jednoznačně definováno libovolnou volbou hodnot f(ui,Vj) G VF na všech dvojicích bázových vektorů. Zvolíme-li tedy ještě bázi w na W, je každé takové / definováno libovolnou "třírozměrnou maticí" s prvky fijk, f(ui,Vj) = J2k fijkWk- 8.6. Definice. Bilineární zobrazení /: U x V —)■ K se nazývá bilineární forma na U &V. Je-li U = V, hovoříme o bilineární formě /: U x U —>• K na U. Nechť u = («1,... , um), v = (vi,... , vn) jsou báze prostorů U a V. Matice A = (ay) s prvky a,ij = f(ui,Vj) se nazývá matice bilineární formy f v bazích u, v. Bilineární forma / na U se nazývá symetrická, jestliže f (u, v) = f (v, u) pro všechny u, v G U, resp. antisymetrická, jestliže f (u,v) = —f (v,u). 8. ľ'UKMY A TĽINSUKY Ö5 8.7. Věta. Nechť U, V jsou vektorové prostory s bázemi u = (iti,... , um), v = (vi,... , vn), f: U x V —> K nechť je bilineární forma s matici A. (1) Jsou-li x G Km, j e I" souřadnice vektorů u G U, v G V ve zvolených bazích, pak f (u, v) = xTAy. (2) Vektorový prostor všech bilineárních forem f: U x V —>• K je isomorfní prostoru matic Matmn (K). (3) Zobrazení f: U —> V*, f (u) (v) = f (u, v), je lineárni zobrazení U —> V* s maticí AT v bazích u a v*. (4) Je-li S matice přechodu od u k u' a P matice přechodu od v k v', pak pro matici B formy f v nových bazích platí A = STBP, tj. B = S~1TAP~1. (5) Je-li U = V, pak f je symetrická právě, když matice A je symetrická. (6) Je-li U = V, pak f je antisymetrická právě, když matice A je antisymet-rická. Při charakteristice pole K větší než dvě je to ekvivalentní podmínce f (u, u) = O pro všechny u G U. Důkaz. (1): /(£\ xm, £V yjVj) = £„ x^a^ = xTAy. (2): Struktura vektorového prostoru na množině všech bilineárních forem je dána sčítáním a násobením skalárem na hodnotách forem v K. Z předchozího souřadného vyjádření přímo plyne, že přiřazení matice formy zachovává tuto strukturu. Např. (/ + q){uiv) = xTAy + x7By = xT(A + B)y, kde A, B jsou matice forem /, g (ověřte si zbývající vlastnosti!). (3): Že je / lineární již víme (přímo z definice). Z definice A = (a^) plyne f(ui)(vj) = o,ij, tzn. f(ui) = Xlľ=iaiiwj- Proto i-tý sloupec matice zobrazení / musí být *-tý řádek matice A. (Jinak: f se v souřadnicích napíše x \-> (y \-> xTAy), tj. re i—>• (xTA) = (ATx)T.) (4): Nechť x, x', y, y' jsou po řadě souřadnice v staré a nové bázi na U a V. Pak x' = Sx, y' = Py a dostáváme /(«, v) = x'TBy' = (SxfBPy = xT(STBP)y (5): Forma / je symetrická právě, když f(u,v) = f(v,u) pro všechny u,v G U, ale to je právě, když f(ui,Uj) = f(uj,Ui) pro všechny vektory báze. (6): Zcela stejně jako (5). Navíc z antisymetričnosti okamžitě plyne f(u,u) = —f(u,u), tj. 2f(u,u) = 0 pro všechny u G U. Naopak, z 0 = f(u + v,u + v) = f(u, u) + f (v, v) + f(u, v) + f (v, u) = f(u, v) + f (v, u) pak vyplývá antisymetrie. D 8.8. Definice. Hodností bilineární formy f: U x V —>• K rozumíme hodnost matice A této formy v libovolně zvolených bazích na U a V, značíme h(f). Vrchol symetrické bilineární formy /: V x V —>• K je definován jako jádro zobrazení /: V —> V*. Podle tvrzení (3) předchozí věty je hodnost / rovna dimenzi obrazu lineárního zobrazení /, proto nezávisí na volbě báze a je rovna právě počtu lineárně nezávislých sloupců v matici A. Vrchol symetrické formy / můžeme přímo definovat jako podprostor vektorů f G V splňujících f (v, u) = 0 pro všechny vektory m G V. Zřejmě je součet hodnosti symetrické formy na V a dimenze jejího vrcholu roven dimenzi vektorového prostoru V. öö «JAST 11. ťHUSTUKY SK SKALAKINIM SU U «JUNŮM A AINALYTKJKA UĽUMĽIHIĽ 8.9. Poznámky. Jestliže vhodně vybereme báze na U a, V, pak dosáhneme pro každou předem zvolenou bilineární formu toho, že její matice je diagonální s h(f) jedničkami a dim V — h(f) nulami na diagonále: Podle 1.14 vždy totiž existují invertibilní matice P, Q pro které je B = PAQ v požadovaném tvaru. Stačí tedy použít matice přechodu P~1T a Q_1. Pokud uvažujeme bilineární formu na V, pak nás samozřejmě více zajímá jaký tvar může mít její matice v jedné bázi u na V. Maticím B, A G Matn(K), pro které je B = STAS s vhodnou invertibilní maticí S říkáme kongruentní matice. Víme tedy, že dvě matice jsou maticemi jedné a téže bilineární formy právě, když jsou kongruentní. Jedním z našich dalších cílů bude ukázat, že pro každou symetrickou matici lze najít diagonální matici s ní kongruentní. Každou bilineární formu /: V x V —>• K můžeme vyjádřit jako tj. / se rovná součtu symetrické a antisymetrické formy. Odpovídající matice v kterékoliv bázi jsou právě symetrizace \{A -\- AT) a antisymetrizace \{A — AT). Tuto skutečnost můžeme vyjádřit tvrzením, že vektorový prostor všech forem je přímým součtem symetrických a antisymetrických forem. 8.10. Definice. Kvadratická forma na vektorovém prostoru V je takové zobrazení /: V —)■ K, že existuje symetrická bilineární forma g: V x V ^K splňující f(u) = g(u, u) pro všechny «Gľ. Bilineární forma g se nazývá polární forma kvadratické formy /. Hodností kvadratické formy rozumíme hodnost její polární formy. 8.11. Věta. Nechť f: V —> K je kvadratická forma. (1) Pro každé u G V, a G K platí f (au) = a2 f{u) (2) polární forma g kvadratické formy f je jednoznačně určena a platí g(u,v) = ±(f(u + v)-f(u)-f(v)). (3) Zobrazení f: V —>• K je kvadratická forma právě když platí, že zobrazení deůnované v (2) je bilineární a f(—u) = f(u) pro všechny «eV. Důkaz. (1): f(au)=g(au,au) = a2g(u,u) = a2f(u). (2): f(u+v) = g(u+v,u+v) = g(u, u)+g(v, v)+2g(u, v) protože je g symetrická. Odtud plyne i jednoznačnost polární formy g. (3): Definujme g vztahem z (2). Pak g je jistě symetrické v u,v, stačí tedy předpokládat bilinearitu (pokud existuje polární forma k /, musí být dána tímto vztahem). Přitom z definice je 2g(u, —u) = f(u + (—u)) — f(u) — f(—u). Zejména pro u = 0 obdržíme (z bilinearity g), že /(O) = 0. Potom však předchozí rovnost dá-2g(u,u) = -2f(u) D K vyjádření dané kvadratické formy v souřadnicích vzhledem ke zvolené bázi na V použijeme matice příslušné polární formy. Tzn. pro u = x\U\ + • • • + xnun 8. ľ'UKMY A imiNbUKY 67 máme f (u) = xT Ax pro symetrickou matici A. Často zapisujeme formu / ve tvaru /(#!,... ,xn) = ^2ij dijXiXj, hovoříme o analytickém tvaru formy f. Ukážeme nyní, že pro vhodnou bázi bude matice A diagonální, tj. pro příslušnou polární formu g bude platit g(ui,Uj) = 0 při i / j. Takovou bázi nazýváme polární báze kvadratické formy /. Na následující větě je nejpodstatnější její důkaz, protože podává algoritmus, jak takovou polární bázi najít. 8.12. Věta (Lagrangeova). Nechť V je vektorový prostor nad K dimenze n, f: V —>• K kvadratická forma. Pak na V existuje polární báze pro f. Důkaz. (1) Nechť A je matice / v bázi u = (ui,... , un) na y a předpokládejme an / 0. Pak můžeme psát f(xi,... , xn) = a,nx\ + 2a,i2Xix2 H-------h 022^2 + • • • = a^ (aii^i + ai2X2 + • • • + a\nxn)2 + členy neobsahující x\ Provedeme tedy transformaci souřadnic (tj. změnu báze) tak, aby v nových souřadnicích bylo X^ = 0,\\X\ -\- Q,\2%1 ~r ' ' ' ~r 0,\riXn^ X^ == X2i • • • 5 %n == Xn. To odpovídá nové bázi (spočtěte si příslušnou matici přechodu!) ví = a^ui, v2 = u2 - a^11ai2Mi, ...,vn = un — a^alnux a tak jak lze očekávat, v nové bázi bude polární forma splňovat g(vi,Vi) = 0 pro všechny i > 0 (přepočtěte!). Má tedy / v nových souřadnicích analytický tvar ai~i x'i + ^5 kde h je kvadratická forma nezávislá na proměnné x\. Z technických důvodů bývá (pro jisté teoretické úvahy) lepší zvolit v nové bázi v\ = ui, opět dostaneme výraz f = fi + h, kde f\ závisí pouze na x^, zatímco v h se x[ nevyskytuje. Přitom pak g(vi,vi) = au. (2) Předpokládejme, že po provedení kroku (1) dostaneme pro h matici (řádu o jedničku menšího) s koeficientem u x'22 různým od nuly. Pak můžeme zopakovat přesně stejný postup a získáme vyjádření f = fi + f2 + h, kde v h vystupují pouze proměnné s indexem větším než dvě. Tak můžeme postupovat tak dlouho, až buď provedeme n — 1 kroků a získáme diagonální tvar, nebo v řekněme i-tém kroku bude prvek au dosud získané matice nulový. (3) Nastane-li poslední možnost, ale přitom existuje jiný prvek a,jj ^ 0 s j > i, pak stačí přehodit i-tý prvek báze s j-týra a pokračovat podle předešlého postupu. (4) Předpokládejme, že jsme narazili na situaci a,jj = 0 pro všechny j > i. Pokud přitom neexistuje ani žádný jiný prvek a^ / 0 s j > i, k > i, pak jsme již úplně hotovi neboť jsme již dosáhli diagonální matici. Předpokládejme, že a^ ^ 0. Použijeme pak transformaci v j = u j + Uk, ostatní vektory báze ponecháme (tj. x'k = xk~Xj, ostatní zůstávají). P&k h(vj,Vj) = h(v,j,Uj) + h(uk,Uk) + 2h(uk,Uj) = 2a jk /0a můžeme pokračovat podle postupu v (1). D 8.13. Důsledek. Je-li f kvadratická forma hodnosti r na prostoru V, dim y > r, pak existuje polární báze na V, ve které má f analytický tvar f(xi,... ,xn) = Aixcf + • • • + \rx2r. Zejména je počet nenulových diagonálních prvků v matici v polární bázi roven hodnosti formy f. öS «JAST 11. ťHUSTUKY SK SKALAKINIM SULKJIJNĽM A AINALY HUKA UĽUMĽTH1JÍ 8.14. Příklad. Nechť/: K3 -> R, f(x1,x2,x3) = 3xl + 2xtx2+xl + 4x2x3 + 6xl. /3 1 0\ Její matice je A = 1 1 2 1. Podle bodu (1) algoritmu provedeme úpravy \0 2 6/ 1 2 f(xi,x2,x3) = -(3x1 + x2)2 + -x\ + ^X2X3 + §x\ J. 9 O/^ ^ •, o = 3^+ 2(32/2 + 2ž/a) a vidíme, že forma má hodnost 2 a matice přechodu do příslušné polární báze w se získá posbíráním provedených transformací: 2 2 ^3 = 2/3 = #3, z2 = -?/2 + 2í/3 = -x2 + 2x3, z1 = y1 = 3x1 + x2 /O 0 1 Pokud by ale např. f{x\,x2,x3) = 2x\x3 + x2,, tj. matice je A = 0 1 0 v1 ° °- pak hned v prvním kroku můžeme přehodit proměnné: y\ = x2l y2 = x\, y3 = x3. Aplikace kroku (1) je pak triviální (nejsou tu žádné společné členy), pro další krok ale nastane situace z bodu (4). Zavedeme tedy transformaci z\ = 2/1, z2 = y2, z3 = y3- 2/2- Pak f(x1,x2,x3) = z\ + 2z2{z3 + z2) = z2 + -(2z2 + z3)2 - -zj Matici přechodu do příslušné polární báze opět dostaneme posbíráním jednotlivých transformací (tj. vynásobením jednotlivých dílčích matic přechodu). 8.15. Všimněme si podrobněji, jak vypadají transformace použité v bodu (1) algoritmu z Lagrangeovy věty. Mají vždy horní trojúhelníkovou matici T a navíc, při použití technické modifikace zmíněné v důkazu má tato matice jedničky na diagonále: i __ai2 __an2 au '' ' au T= I 0 1 ... 0 Taková matice přechodu oduk« má několik pěkných vlastností. Zejména její hlavní submatice Tk tvořené prvními k řádky a sloupci jsou matice přechodu podprostorů Pk = (ui, • • •, Uk) °d báze (ui,... , U]A k bázi (vi,... , V]A. Hlavní submatice Ak matice A formy / jsou maticemi zúžení formy / na Pji. Při přechodu od u k v daném maticí přechodu T jsou tedy matice Ak a A'k zúžení na podprostory Pk ve vztahu Ak = Tj?A'^Tk)-1. Inverzní matice k horní trojúhelníkové s jedničkami na diagonále je přitom opět horní trojúhelníková s jedničkami na diagonále, můžeme tedy podobně vyjádřit i A' pomocí A. Podle Cauchyovy věty jsou tedy determinanty matic Ak a A'k stejné. Celkem jsme tak dokázali velice užitečné tvrzení 8. ľ'UKMY A TĽINSUKY t>y * * Lemma. Nechť f kvadratická forma na V, dim V = n, a nechť je u báze V taková, že při hledání polární báze algoritmem z Lagrangeovy věty není nikdy potřebné použít body (3) a (4). Pak je výsledkem analytické vyjádření f(xi,... , xn) = Xixl + X2x\ H-------V Xrx kde r je hodnost formy f, Ai,... , Ar / O a pro hlavní submatice (původní) matice A kvadratické formy f platí \Ak\ = A1A2 ... Xk, k < r. D 8.16. Důsledek (Jacobiho věta). Nechť f je kvadratická forma hodnosti r na vektorovém prostoru V s maticí A v bázi u. V Lagrangeově algoritmu není zapotřebí jiného kroku než doplnění čtverců právě, když pro hlavní submatice v A platí \Ai\ / 0, ... , \Ar\ / 0. Pak existuje polární báze (a obdržíme ji výše odvozeným algoritmem), ve které má f analytické vyjádření J\X\, . . . , Xn) = |.Ai|2ľ-L + -j— rX2 + • - • + -j—j rXr. \Al\ \Ar-i\ Důkaz. Tvrzení vyplývá přímo z předchozího lemmatu, stačí si jen uvědomit, že při každé postupné transformaci se vždy další sloupec pod diagonálou v matici A vynuluje. Odtud již je jasné, že nenulovost hlavních minorů skutečně zaručí (díky tomu, že jejich hodnota se při transformacích nemění) nenulovost dalšího diagonálního členu v A. D 8.17. Klasifikace pro K = C Nechť V je komplexní vektorový prostor. Pro každou lineární formu tp E V* můžeme definovat kvadratickou formu u i->- (íp(u))2 G C (Ověřte si, že jsou skutečně splněny podmínky 8.11.(3)!) Předchozí výsledky nám tedy pro komplexní skaláry dávají Věta. Pro každou nenulovou kvadratickou formu hodnosti r na komplexním vektorovém prostoru V existuje r nezávislých lineárních forem Lp\,..., 0 zatímco pro v G Q je f (v) < 0. Nutně tedy platí P f] Q = {0} a proto dim P + dim Q < n. Odtud plyne p + (n — q) < n, tj. p < q. Opačnou volbou podprostorů však získáme i q < p. Je tedy p nezávislé na volbě polární báze. Pak ovšem pro dvě matice se stejnou hodností a stejným počtem kladných koeficientů v diagonálním tvaru příslušné kvadratické formy získáme stejný kongruentní kanonický tvar. D 8.19. Definice. Nechť / je kvadratická forma na reálném vektorovém prostoru V. Číslo p z předchozí věty nazýváme signaturou formy f. Formu / nazýváme (1) positivně definitní, je-li f(u) > 0 pro všechny «/O (2) positivně semidefinitní, je-li f(u)>0 pro všechny u E V (3) negativně definitní, je-li f(u)<0 pro všechny «^0 (4) negativně semidefinitní, je-li f(u) < 0 pro všechny u E V (5) indefinitní, je-li f(u) > 0 a f (v) < 0 pro vhodné u,vEV. O reálné symetrické matici řekneme, že je positivně definitní, resp. positivně semidefinitní, negativně definitní, negativně semidefinitní, indefinitní, jestliže má tuto vlastnost jí definovaná kvadratická forma na Kn. Signaturou symetrické matice rozumíme signaturu příslušné kvadratické formy. 8. ľ'UKMY A TĽJNSUKY 71 8.20. Důsledek. Reálná symetrická matice, resp. kvadratická forma na vektorovém prostoru dimenze n je (1) indefínitní právě, když má nenulovou signaturu různou od hodnosti (2) positivně defínitní právě, když má hodnost i signaturu n (3) positivně semideůnitní právě, když má stejnou hodnost i signaturu r < n (4) negativně defínitní právě, když má signaturu 0 a hodnost n (5) negativně semideůnitní právě, když má signaturu 0 a hodnost r < n * 8.21. Důsledek (Sylvestrovo kritérium). Symetrická reálná matice A je positivně defínitní právě, když jsou všechny její hlavní minory kladné. * Symetrická reálná matice A je negativně defínitní právě, když (—iy\Ai\ > 0 pro všechny hlavní submatice Ai. * Důkaz. Jsou-li všechny hlavní minory kladné, pak podle Jacobiho věty (8.16) umíme najít polární bázi, ve které má daná kvadratická forma / tvar j{X\, . . . , Xn) = \Ai\Xi + -j— tX2 + • - • + -j—-. rXr 1^-11 |A--i| Je tedy jistě / positivně defínitní. * Předpokládejme naopak, že forma / je positivně defínitní. Pak pro vhodnou regulární matici P platí A = PTEP = PTP. Je tedy \A\ = \P\2 > 0. Nechť u je zvolená báze, ve které má forma / matici A. Zúžení f na podprostory V& = (ni,... , Mfc) je opět positivně defínitní forma /& jejíž maticí v bázi u\,... , u^ je hlavní submatice A^. Proto je podle předchozí části důkazu také \Ak\ > 0. * Tvrzení o negativně definitních vyplývá z předchozího a skutečnosti, že A je positivně defínitní právě, když —A je negativně defínitní. D * 8.22. Definice. Hermiteovská forma f: V x V —>• C na komplexním vektorovém prostoru V je zobrazení, které je lineární v prvním argumentu a f(u, v) = f (v, u). Komplexní matice A se nazývá Hermiteovská, je-li A = ÄT. * 8.23. Věta. Nechť f: V x V ^ C je Hermiteovská forma. (1) V libovolné bázi u na V je f dáno Hermiteovskou maticí A = (třý), třý- = f(ui, Uj) a v souřadnicích je f dáno (x, y) i—)► xTAy. (2) Transformací do nové báze prostřednictvím matice přechodu P, (tj. pro nové souřadnice x' = Px) získáme matici B formy f splňující A = PTBP. * Důkaz. Obě vlastnosti přímým výpočtem. D Nyní budeme zkoumat vlastnosti bilineárních, Hermiteovských a kvadratických forem na unitárních prostorech. To znamená, že budeme opět hledat co nejjednodušší souřadné vyjádření, avšak pouze v ortonormálních bazích. Níže uvedená tvrzení jsou přímou aplikací výsledků o samoadjungovaných zobrazeních, které odvodíme až v kapitole 10. Nyní se tedy omezíme na formulaci tzv. metrické klasifikace symetrických bilineárních, resp. hermiteovských forem a uvedeme některé jejich důsledky. (I CJAST 11. ťKUSlUKY SHi SÍVAL AKIN IM SU U (JUN M A AJN ALY HUKA UĽUMĽ1K1K 8.24. Věta. Každá symetrická bilineární forma f na euklidovském prostoru V, dim V = n, má ve vhodné ortonormální bázi analytický tvar f (x, y) = A1Z12/1 H--------h Xnxnyn. Každá hermiteovská forma f na komplexním unitárním prostoru V, dim y = n, má ve vhodné ortonormální bázi tvar f (z, w) = \1z1w1 H-------h Xnznwn. Přitom v obou případech jsou koeůcienty Ai,... , An vždy reálné kořeny charakteristické rovnice det(Q — XE) = O, kde Q je matice f v libovolné ortonormální bázi, a jsou určeny jednoznačně až na pořadí. Hledaná báze je pak určena vlastními vektory danými rovnicí (Q — XíE)xí = 0. Důkaz. Viz. odstavec 10.19 8.25. Důsledek. Nechť f je kvadratická forma na euklidovském prostoru V'. Pak má ve vhodné ortonormální bázi analytický tvar f(x) = AiíCi H-------h Ana£. Hermiteovské kvadratické formy f na komplexním unitárním V (tj. f(u) = g(u, u) pro hermiteovskou g) mají ve vhodné ortonormální bázi tvar f (z) = \\Zxzx H-------h \nznžn. Přitom v obou případech jsou koeůcienty Ai,... , An vždy reálné kořeny charakteristické rovnice det(Q — XE) = 0, kde Q je matice f v libovolné ortonormální bázi, a jsou určeny jednoznačně až na pořadí. Hledaná báze je pak určena vlastními vektory danými rovnicí (Q — \íE)xí = 0. 8.26. Důsledek. Nechť f je pozitivně defínitní kvadratická forma, g libovolná další kvadratická forma na euklidovském prostoru V. Pak existuje báze V taková, že v ní mají f a g tvar: j [x) = x-^ + • • • + xn g(x) = \-lx{ -\-------h Xnxl Důkaz. Podle Lagrangeovy věty umíme najít takovou bázi, ve které má / požadovaný tvar (díky pozitivní deíinitnosti). Při libovolné následné změně báze pomocí ortogonální matice přechodu se ale již tento tvar / nebude měnit, můžeme ale přitom dosáhnout požadovaného tvaru pro g. D Na závěr této kapitoly uvedeme lineární, bilineární a kvadratické formy do souvislosti s obecnějšími pojmy tensorové algebry. 8. ľ'UKMY A TĽINSUKY (á 8.27. Tensorový součin. Nechť V a W jsou konečněrozměrné vektorové prostory nad stejným polem skalárů K. Zvolme jejich báze u = («i,... ,um), v = (ví,... , vn). Uvažme nyní vektorový prostor Z všech (formálních) lineárních kombinací výrazů W{j = Ui® Vj, tzn. m n i=lj=l kde sčítání definujeme pomocí součtu koeficientů u stejných výrazů, násobení skalárem na všech koeficientech. Je tedy Z isomorfní standardnímu vektorovému prostoru Kmn. Zjevně každé vektory u G V, v G W určují také vektor u (g> v G Z prostřednictvím svých souřadných vyjádření a dostáváme tak bilineární zobrazení i: V x W —>• Z. Navíc také každá konečná lineární kombinace takových prvků u®v^Z]eYZ& všechny jsou tohoto tvaru. Každé bilineární zobrazení /: V x W —)■ U můžeme nyní výhodně vyjádřit prostřednictvím jednoznačně definovaného lineárního zobrazení /: Z —>• U takto: Chceme dosáhnout / = / o /,, proto na bázových vektorech ui Vj) = f(ui,Vj). Tím je lineární zobrazení / zadáno jednoznačně a platnost požadovaného vztahu / = / o t je zřejmá. Takto konstruovaný vektorový prostor Z nazýváme tensorový součin vektorových prostorů V a W. Většinou jej značíme V W. 8.28. Nedostatkem naší konstrukce prostoru Z je její explicitní závislost na volbě baží. Samozřejmě volba jiných baží u', v' pro V a W povede na výrazy w'- = u'^v'j, které opět můžeme chápat jako prvky Z. Závislosti na volbě baží se lze zbavit např. tak, že zapomeneme, které báze u, v jsme původně použili pro konstrukci Z, a ponecháme pouze transformační vztahy mezi takto vzniklými bázemi pro V W. Z hlediska čistých algebraických definic je přijatelnější následující obecná konstrukce: Nejprve zkonstrujeme nekonečněrozměrný prostor T všech konečných lineárních kombinací formálních výrazů u ® v. (Tzn., že T má nespočetnou bázi {u (g> v; u G V, v G W}.) Pak definujeme vektorový podprostor I C T, generovaný všemi výrazy a(u (šv) — (au) (g) v, (au) (g) v — u (g) (av) (u + u') (g) v — u (g) v — u' (g) v u (g) (v + v') — u (g) v — u (g) v' kde a G K, u, u' G V, v, v' G W jsou libovolné. Tensorový součin V W je pak definován jako faktorový prostor T /I. Takto definovaný vektorový prostor opět má tu vlastnost, že V x W je zobrazeno do T/I prostřednictvím bilineárního zobrazení L: V x W —)■ T/I, (u, v) i-)> (u (g> v mod /) a každé bilineární zobrazení /: V x W —)■ U je jednoznačně vyjádřeno jako / = f o /,, kde lineární /je definováno vztahem (píšeme jakoby bylo definováno na T, ve skutečnosti ale výrazy jsou nulové na /) f(u®v) = f(u,v) Aplikací této vlastnosti na kanonická bilinární vložení V x VF do prostoru Z z 8.27 a do T/I dostáváme, že T/I je vždy isomorfní Z. 74 (JAST 11. ťKUSlUKY SHi SKAL AKIN IM SULUJIJNIDM A A1NAIjY HUKA UĽUMĽ1K1K * * * 8.29. Dualita. Vektory v tensorovém součinu V* 0 W lze názorně chápat jako lineární zobrazení V —> W. Každý takový vektor je lineární kombinací výrazů v * (g) w, kde v * E V* je lineární forma na V a w E W. Můžeme tedy definovat lineární zobrazení ■ W, u^ (u, v*)w Podívejme se, jak vypadají matice takových zobrazení. V pevně zvolených bazích «jpaľalf dostáváme v j pro i = k l 0 pro i ^ k. To znamená, že matice ipUi^Vj obsahuje jedničku v «-tém sloupci na j-tém řádku a všude jinde nuly. Zejména tvoří tyto matice bázi prostoru Matnm(K) všech matic uvažovaného typu. Přímým důsledkem těchto skutečností je následující obecná věta: 8.30. Věta. Vektorový prostor všech lineárních zobrazení (p: V —> W je přirozeně isomorfní tensorovému součinu V* W. Tento isomorfísmus je deůnován vztahem V* (g> W 3 v* w h-> (u h-> (u, v*)w) E Hom(V, W) 8.31. Aplikací předchozích úvah dostáváme například isomorfismy {lineární formy na V} ~ V* {bilineární formy na V} ~ V* <8> V* Navíc přímo z definic je vidět, že duální prostor k tensorovému součinu je tensorovým součinem duálních prostorů. Např. pro v w* EV (š W* a v* W definujeme vyčíslení {v* (ŠW,V W)* = V (g> W*. Všimněme si, že vyčíslením symetrických bilineárních forem z (V* V*) na prvcích v®veV®V dostáváme právě dříve studovaný vztah mezi kvadratickými formami a jejich polárními bilineárními formami. Další stručné informace o tensorech lze najít v dodatku 13. Problémy k přemýšlení Nejprve uvedu náměty týkající se předchozí kapitoly o skalárních součinech. 1. Modifikujte Lagrangeův algoritmus pro nalezení diagonálního tvaru hermiteovských forem a ukažte, že každou lze upravit do tvaru f(x) = \xi\2 + • • • + \xr\2, kde r je hodnost formy /. (Návod: všimněte si, že diagonální členy hermiteovských matic jsou reálné a použijte souřadný tvar z věty 8.23.) ťKUtíl^ĽM Y K ťKĽMYbl^ĽlNl 75 ** 2. Z definice 7.1 skalárního součinu můžeme vypustit axiom (4) a nahradit jej požadavkem regulárnosti (tj. z g(u, v) = 0 pro všechny v G V plyne u = 0). V případě reálných skalárů hovoříme o pseudo-euklidovských vektorových prostorech. Ukažte, že v případě komplexních skalárů nedostáváme nic nového, tj. vždy bude existovat unitární isomorfisums s Cn se standardním skalárním součinem. (Návod: použijte předchozí cvičení ke konstrukci ortonormální báze) ** 3. Použijte klasifikaci reálných kvadratických forem (8.18) ke klasifikaci všech ko-nečněrozměrných pseudo-euklidovských prostorů (až na ortogonální isomorfismus). (Návod: ověřte existenci ortogonální báze e = (ei,... , en) s ||ej|| = ±1.) ** 4. Ukažte, že v pseudo-euklidovských prostorech nemá velikost vektoru vlastnosti normy (viz. 7.10) a také ortogonální báze nemají některé důležité vlastnosti známé z euklidovských prostorů. ** 5. Ukažte, že i pro pseudo-eklideovské prostory definuje skalární součin lineární isomorfismus s duálním vektorovým prostorem. ** 6. Sformulujte a dokažte analogii vět 7.12 a 7.13 pro (pseudo-)ortogonální zobrazení. Ukažte, že (pseudo-)ortogonální transformace Rm —>■ Rm tvoří grupu, značíme ji 0(p, q, R), kde p je signatura příslušné formy, q = n — p. Jedná se o grupu matic A splňujících J = AT$A, kde J je diagonální matice s p jedničkami a q minus jedničkami na diagonále. ** 7. Je možné také definovat tzv. komplexní euklidovské prostory. Prostě axiom (1) definice 8.1 nahradíme jeho reálnou verzí u • v = v • u. Transformace, které zachovávají takto definovaný skalární součin nazýváme komplexní ortogonální matice. Ukažte, že opět lze vždy najít ortonormální bázi, ve které má součin tvar g(u, v) = ^2,ixiVi- Komplexní ortogonální matice tvoří grupu 0(m, C) komplexních matic. Uvědomte si výrazný rozdíl mezi U(m) a 0(m, C). (Např. ř/(l) = {eíť, 0 < t < 2n}, 0(1,C)={±1}.) Nyní se vraťme k obsahu této kapitoly. * 8. Ukažte, že pro vektorové prostory V s nekonečnou baží nikdy netvoří lineární formy u*, i (ž I duální k vektorům báze V bázi V*. (Návod: formálně nekonečný součet '^2i u* je dobře definovaná lineární forma ve V*, nemůže však být v (u*).) * 9. Ukažte, že duální prostor (V*)* k duálnímu prostoru obsahuje vždy původní prostor ľaľ~ (V*)* právě, když má V konečnou dimenzi. (Návod: v G V odpovídá formě, (v, ), tj. v{ip) = ip(v). Je-li dimenze nekonečná, je podle předchozího V* podstatně větší než V, (V*)* pak ještě větší. Naopak, máme-li konenčnou bázi, je ověření snadné.) * 10. Označme i: V —>• (V*)* vložení z předchozího problému. Pak pro každé lineární ip: V —> V na konečněrozměrném V je ž_1 o (ip*)* o i = p(A, C) (4) V každé kartézké souřadné soustavě (Aq; e) mají body A = A0 + aiei H-------h o,nen, B = A0 + ft^i H-------h bnen vzdálenost \/X]ľ=i(a* ~^i)2- (5) Vzdálenost bodu A G £n od podprostorů Q C £n je rovna velikosti kolmého průmětu vektoru A — B do Z(Q)± pro libovolný B G Q. Důkaz. První tři vlastnosti vyplývají přímo z vlastností normy v unitárních vektorových prostorech, čtvrtá plyne přímo z vyjádření skalárního součinu v libovolné ortonormální bázi. Zbývá vztah pro výpočet vzdálenosti p({A}, Q). Vektor A — B se jednoznačně rozkládá na A — B = u\ + 112, u\ G Z (Q), u2 G Z (Q)-1. Přitom u2 nezávisí na volbě B G Q, C = A+ (-u2) = B + Ul G Q & \\A - B\\2 = \\Ul\\2 + \\u2\\2 > \\u2\\2 = ||^4 — C\\. Odtud již vyplývá, že infima je skutečně dosaženo, a to pro bod C. Vypočtená vzdálenost je skutečně ||«2||- D Stejně jako vzdálenost, i řada dalších geometrických pojmů jako odchylky, orientace, objem apod. je v bodových prostorech £n zaváděna prostřednictvím vhodných pojmů ve vektorových euklidovských prostorech. Proto se nyní budeme chvíli věnovat opět reálným unitárním prostorům. Začneme s diskusí velikosti úhlů. Z Cauchyovy nerovnosti plyne 0 < J^'.ľ ,, < 1, má tedy smysl následující definice. y. üujjuvn; ľukliduvskľ fhustuky y y 9.3. Definice. Odchylka cp(u,v) vektoru u, v G T^ v reálném unitárním prostoru (tj. euklidovském vektorovém prostoru) je dána vztahem u • v cos(p(u,v) = -— , 0 < • U\ nechť vznikne podobně z kolmého průmětu na U\. Tato zobrazení mají v bazích (ei,... , e^) a (e^,... , e[) matice A ( ei • ei \ ei • eí e/c • e'x \ B = í ei • ei . • er ßi \ ek • e\ j \ ei • efc . • e'rekJ Zejména platí B = AT. Složené zobrazení ip o ip: XJ\ —>• U\ má tedy symetrickou matici ATA. V příští kapitole, ve větě 10.11, ukážeme, že každé takové zobrazení má pouze reálná vlastní čísla a že má ve vhodné ortonormální bázi diagonální matici s těmito vlastními čísly na diagonále. Navíc platí pro každou &-tici x souřadnic xTATAx = ||Ac||2 > 0, jsou tedy všechna vlastní čísla matice A nezáporná. Nyní můžeme odvodit obecný postup pro výpočet odchylky a = ip(Ui, U2). Věta. V předchozím označení nechť A je největší vlastní hodnota matice ATA. Pak cos2 a = A Důkaz. Nechť u G U\ je vlastní vektor zobrazení ip o tp příslušný největší vlastní hodnotě A, Ai,... , A& nechť jsou všechna vlastní čísla (včetně násobnosti) a nechť u = (ni,... ,un) je příslušná ortonormální báze U\ z vlastních vektorů. Můžeme přímo předpokládat, že A = Ai, u = u\. Potřebujeme ukázat, že odchylka libovolného v G U\ od U2 je nejméně tak velká jako odchylka u od Ü2- Tzn. že kosinus příslušného úhlu nesmí být větší. Podle předchozího lemmatu stačí diskutovat odchylku u a ip(u) G U2 a přitom víme, že \\u\\ = 1. Zvolme tedy v G Ui, ai«i H-------h akuk, J2i= a„- 1. Pak |)||2 = cp(v) • cp(v) = ip o °¥>(!")ll N k N í=l Při v = u dostáváme ovšem přesně \\(p(v)||2 = X\\\v\\2 = A2 a tedy odchylka dosahuje pro tento vektor minimální možné hodnoty. Tím je věta dokázána. D 9.8. Definice. Odchylka podprostorů Qi, Q2 v bodovém euklidovském prostoru £n se definuje jako odchylka jejich zaměření Z(Qi), Z{Q,2)- 9.9. Příklady standardních úloh. 1. Najděte vzdálenost bodu A G £n od podprostorů Q C £n: Viz. věta 9.2. 2. V £2 veďte bodem A přímku q svírající s danou přímkou p daný úhel: Najdeme vektor «eK2 ležící v zaměření přímky q a zvolíme vektor v mající od u zadanou odchylku. Hledaná přímka je dána bodem A a zaměřením (v). Úloha má dvě nebo jedno řešení. 3. Spočtěte patu kolmice vedené bodem na danou přímku: Viz. důkaz posledního bodu věty 9.2. 4. V £3 určete vzdálenost dvou přímek p, q: Zvolíme libovolně jeden bod z každé přímky, A G p, B G q. Komponenta vektoru A — B v ortogonálním doplnku (Z (p) + Z(q))-L má velikost rovnu vzdálenosti p a, q. 5. V £3 najděte osu dvou mimoběžek p a q: Nechť 77 je rovina generovaná jedním bodem A E p a součtem Z(p) + (Z(p) + Z(q))~L. Pak průnik rif]q spolu se zaměřením (Z(p) + Z{q))-L dávají parametrický popis hledané osy. (Prověřte, kolik má úloha obecně řešení!) 9.10. Objem. Orientovaný (bodový) euklidovský prostor je euklidovský bodový prostor, jehož zaměření je orientované. V dalším budeme uvažovat standardní £n spolu s orientací zadanou standradní baží 1Zn. Nechť ui,... ,Uk, jsou libovolné vektory v zaměření Rn, A G £n je libovolný bod. Rovnoběžnostěn Vk(A; ui,... , Uk) C £n jsme definovali jako množinu Vk(A;ut,... ,uk) = {A + ctUt H-------\-ckuk;0 < Ci < 1, i = 1,..., k}. Jsou-li vektory ui,... ,uk nezávislé, hovoříme o A;-rozměrném rovnoběžnostěnu Vk(A; «i,... ,Uk) C £n. Pro dané ui,... ,uk máme k dispozici také rovnoběžnostěny menších dimenzí V\{A', «i),.. •, Vk(A; m,..., uk) SU i||||t>2|| • • • \\vk\\, kde v\ = Mi, V2 = M2 + a\v\,..., Mfc = Mfc + tři^i + • • • + tífc_iMfc_i je výsledek Grammova-Schmidtova ortogonalizačního procesu. Je tedy /Vi-V-l ... Mfc-Wi (VolVk(A;Uí,... ,Mfc))2 = det : : V Mi • Vk ... Vk-Vk (Mi • Ví 0 ... 0 j j 0 0 ... Vk ■ Mfc. y. üujjuvn; ľukllduvskľ fhustuky 81 ** Označme B matici jejíž sloupce jsou souřadnice vektorů v i,... , Vk v bázi e. Protože t>i,... ,ffc vznikly z «i,... ,v,k jako obrazy v lineární transformaci s horní trojúhelníkovou maticí C s jedničkami na diagonále, je B = CA a |S| = |C|m = |^4|. Pak ovšem \A\2 = \B\2 = \A\\A\, proto VolVk(A;ui,... ,uk) = ±\A\. Přitom pokud jsou vektory v,\,... ,v,k závislé vyjde objem nulový, pokud jsou nezávislé, pak znaménko determinantu je kladné právě když je báze v,\,... ,uj~ kompatibilní s orientací danou baží e. D (Ml • Ml ... Uk-Ut\ [ j I se nazývá Grammův determinant k- Ut-Uk ... Uk-UkJ tice vektorů ui,... , Uk- 9.12. Důsledek. Pro každé lineární zobrazení V euklidovského vektorového prostoru V je det ip roven (orientovanému) objemu obrazu rovnoběžnostěnu urěeného vektory ortonormální báze. Obecněji, obraz rovnoběžnostěnu V určeného libovolnými dim y vektory má objem roven det íp-násobku původního objemu. 9.13. Vnější součin vektorů. Předchozí úvahy úzce souvisí s tzv. vnějším tensorovým součinem vektorů. Podrobnější informace jsou k dispozici v dodatku 13, nyní ale aspoň zmíníme případ vnějšího součinu n = dim y vektorů ui,...,unEV. Nechť (uij,..., unj) jsou souřadná vyjádření vektorů Uj v nějaké pevně zvolené ortonormální bázi V a M nechť je matice s koeficienty (uíj). Pak determinant \M\ nezávisí na volbě báze a jeho hodnotu nazýváme vnějším součinem vektorů ui,... ,un a značíme [ui,... , un]. (Nezávislost byla ukázána v důkazu Věty 9.11). Přímo z definice nyní vyplývají užitečné vlastnosti vnějšího součinu (1) Zobrazení (ui,... ,un) i-» [ui,... ,un] je antisymetrické n-lineární zobrazení. Tzn., že je lineární ve všech argumentech a výměna dvou argumentů se vždy projeví změnou znaménka výsledku. (2) Vnější součin je nulový právě, když jsou vektory ui,... ,un lineárně závislé (3) Vektory ui,... ,un tvoří kladnou bázi právě, když je jejich vnější součin kladný. 9.14. Vektorový součin. V R3 máme ještě další významnou operaci, tzv. vektorový součin, který dvojici vektorů přiřazuje vektor třetí. Uvažme obecný euklidovský vektorový prostor V dimenze n > 2 a vektory ui,... ,iín-i £ V. Vektor v E V nazveme vektorový součin vektorů ui,... ,ifn-i, jestliže pro každý vektor vjeV platí (v,w) = [ui,... ,un-i,w\. Značíme v = u\ x ... un-\. V ortonormálních souřadnicích, kde v = (yi,... ,2/n)T, w = (xi,... ,xn)T a Uj = (uij,.. .unj)T, předchozí vztah znamená (1) 2/1X1 H--------Vy Uli ■■■ Ml(n-l) Xi Uni . . . 1ín(n—1) -Er Odtud vyplývá, že vektor v je tímto vztahem zadán jednoznačně a jeho souřadnice spočteme formálním rozvojem determinantu v (1) podle posledního sloupce. 82 «JAST 11. ťHUSTUKY SK SKALAK1N1M SULKJIJNĽM A A1NALY T1UKA UĽUMĽTH1JÍ 9.15. Věta. Pro vektorový součin v = u\ x ... x iŕn_i piat/ (1) V e («i,... ,Wn-l>X (2) t; je nenižiový vektor právě, když jsou vektory u\,... , un_i lineárně nezávislé (3) velikost \\v\\ vektorového součinu je rovna absolutní hodnotě objemu rovnoběžníku P(0; «i,... , iín-i) (4) (iti,... , Mn_i, w) je kladná báze orientovaného euklidovského prostoru V Důkaz. První tvrzení plyne přímo z definičního vztahu pro v, protože dosazením libovolného vektoru Uj za w máme nalevo skalární součin v • Uj a napravo determinant s dvěma shodnými sloupci. Hodnost matice sn-1 sloupci u j je dána maximální velikostí nenulového minoru. Minory, které zadávají souřadnice vektorového součinu jsou stupně n — 1 a tím je dokázáno tvrzení (2). Jsou-li vektory u\,... , Mn_i závislé, pak platí i (3). Nechť jsou tedy nezávislé, v je jejich vektorový součin a zvolme libovolnou ortonormální bázi (ei,..., en_i) prostoru {ui,..., itn_i). Z již dokázaného vyplývá, že existuje nějaký násobek (l/a)v, O/ael, takový, že (ei,..., e^, (l/ct)v) je ortonormální báze celého V. Souřadnice našich vektorů v této bázi jsou u i (wij,...,W(n_1):/,0) , v = (0, ...,0,a) . Proto je vnější součin [ui,..., iín-i, v] roven (viz. definice vektorového součinu) «11 ••• «l(n-l) 0 «i,...,«n_i,v «(n-l)l ••• «(n-l)(n-l) 0 0 ... 0 a (v, v) = a2 Rozvojem determinantu podle posledního sloupce zároveň obdržíme a2 = a VoľP(0; u\,... , iín-i)- Odtud už vyplývají obě zbylá tvrzení věty. D 9.16. Závěrem ještě pár poznámek o objektech v £n zadaných kvadratickými rovnicemi, hovoříme o kvadrikách. Zvolme v En pevně kartézskou souřadnou soustavu (tj. bod a ortonormální bázi zaměření) a uvažme obecnou kvadratickou rovnici pro souřadnice (xi,... , xn) bodů A £ £n y^ ciijXiXj + ^2 ZuiXi + a = 0, i,j=l i=l Oiij ď ji' Můžeme ji zapsat jako f(u) +g(u) + a = 0 pro kvadratickou formu /, lineární formu jaaela předpokládáme že hodnost / je nenulová (jinak by se jednalo o lineární rovnici popisující euklidovský podprostor). y. tíUUUVĽ ĽUKLIDUVSKĽ ťHUSTUKY 83 Podle věty o ortogonální klasifikaci kvadratických forem (viz. 8.24) existuje ortonormální báze zaměření, ve které má / diagonální matici (a diagonální hodnoty jsou jednoznačně určeny až na pořadí). Předpokládejme tedy přímo rovnici ve tvaru n n y^ \x2 + ^2 bixi + b = 0. í=l í=l Nyní pro souřadnice x i s A^ ^ 0 provedeme doplnění do čtverců (viz. Lagrangeův algoritmus), tj. získáme tvar n n ^2 xáxí - pí)2 + ^2 hixi+c=°- i=l j splňující Aj=0 Pokud nám opravdu zůstaly nějaké lineární členy, můžeme zvolit novou bázi zaměření tak, aby odpovídající lineární forma byla prvkem duální báze a novou volbou počátku v £n pak dosáhneme výsledného tvaru k ^2 XiVi + bVk+l + c = 0 i=l kde k je hodnost kvadratické formy /, lineární člen se může (ale nemusí) objevit jen pokud je hodnost / menší než n, c G R může být nenulové pouze když je b = 0. 9.17. Případ £2- Původní rovnice má tvar a,nx2 + a22V2 + 2a12xy + a,ix + a2y + a = 0. Volbou vhodné báze zaměření a následným doplněním čtverců dosáhneme tvaru (opět používáme stejného značení x,y pro nové souřadnice): anx2 + a22y2 + (i\x + a2y + a = 0 kde ai může být nenulové pouze v případě, že au je nulové. Posledním krokem obecného postupu, tj. v dimenzi n = 2 jen případnou volbou posunutí, dosáhneme právě jedné z rovnic O/O O/O 0 = x ja + y jb +1 prázdna množina 0 = x2/a2 + y2/b2 - 1 elipsa 0 = x2 ja2 - y2 j b2 - 1 hyperbola 0 = x2 ja2 — 2py parabola 0 = x2/a2 + y2/b2 bod O / O O / O 0 = x ja — y jb 2 různoběžné přímky 0 = x — a 2 rovnoběžné přímky 0 = x 2 splývající přímky 0 = x +0 prázdná množina 84 «JAST 11. ťHUSTUKY SK SKALAK1N1M SULKJIJNĽM A A1NALY T1UKA UĽUMĽTH1JÍ ** ** 9.18. Poznámka. Technicky daleko účinnější je diskuse kvadrik v tzv. projektivním rozšíření afinních nebo euklidovských prostorů. Zejména pokud nás nezajímají metrické vlastnosti a chceme vyjádřit danou kvadriku v libovolných afinních souřadnicích, můžeme použít standardní klasifikaci kvadratických forem velmi přehledně. Ztotožníme za tím účelem An s podprostorem v An+i takovým, že v pevně zvolené bázi budou mít všechny body An první souřadnici rovnu jedné. Množinu, která nás zajímá nyní můžeme vyjádřit jako řešení systému dvou rovnic n n y^ dijXiXj + ^2 ^aoiXiXo + a00xl = 0, x0 = 1 i,3 = 1 i=l kde jsme zavedli značení o,qí = a^o = clí, «oo = a, a předpokládáme, že matice / o,n ••• din Q-io \ ** A = (lni • • • Q'nn Q'nO \ ClQi . . . aon Ö00 / je symetrická. Jinými slovy, hledaná množina řešení je průnikem podmnožiny určené množinou vektorů na nichž je nulová kvadratická forma h daná maticí A a naroviny An C *4n+i zadané rovnicí xq = 1. Podle obecné teorie existují v An+i souřadnice, ve kterých má h diagonální matici s hodnotami ±1 a 0 na diagonále, počet nenulových prvků je přitom dán hodností A. Body projektivního rozšíření Pn(R) standardního afinního prostoru An jsou právě všechny jednorozměrné podprostory v ižn+i procházející počátkem a kvadratická forma h daná maticí A sice nemá dobře definované hodnoty na bodech Pn(R), má ale dobře definovanou množinu bodů, kde se anuluje. Této množině říkáme projektivní kvadrika zadaná formou h. Patří jí kromě původních bodů naší kvadriky právě ještě její nekonečné body. Poznámky k přemýšlení 1. Uveďte si pojmy této kapitoly do souvislostí se základními transformacemi elementární geometrie jako stejnolehlost, zrcadlení apod. 2. Vyjádřete transformační rovnice pro převod souřadnic z afinní souřadné soustavy (A;u) na An do souřadné soustavy (B;v). (Návod: použijte matici přechodu mezi bázemi zaměření a vektor B — A.) 3. Odvoďte v £3 vzorec pro vzdálenost bodu od roviny. 4. Zformulujte vlastnosti zobrazení, která zachovávají struktury afinních nebo euklidovských prostorů (tzv. afinní a euklidovská zobrazení). 5. Všimněme si, že objem nezávisí na umístění vrcholu A G Sn a stejně tak se nemění vhodnými zobrazeními ip: £n —)■ £n. Ukažte, o jaká zobrazení jde. (Návod: jejich matice musí mít determinant rovný jedné) 6. Napište si formuli pro vektorový součin v lU. SFLKTHALINI IHIUUIH, 85 7. Diskutujte podrobně kvadriky v £3 a A3. 8. Promyslete podrobněji, jak se obdrží afinní klasifikace kvadrik z uvedených úvah v projektivním rozšíření. 10. Spektrální teorie Nejprve budeme diskutovat souvislosti kvadratických forem, resp. hermiteov-ských forem, se skalárními součiny v unitárních prostorech. 10.1. Pololineární zobrazení17 na komplexních vektorových prostorech je zobrazení, které je aditivní (tj. ip(u + v) = ip(u) + K, která jsou lineární v prvním argumentu a pololineární v druhém. V případě reálných skalárů definice pololineárních a lineárních zobrazení splývá. Z hlediska této identifikace je třeba chápat tvrzení následujících vět pro reálné vektorové prostory. 10.2. Věta. Nechť V je unitární prostor. (1) Vektory v G V jsou v bijektivní korespondenci s lineárními formami av G V* tak, že o>v(u) = u • v pro všechny vektory u G V. Tato bijekce je navíc pololineární zobrazení V —>• V *. (2) Zobrazení f: V x V —> K, která jsou lineární v prvním argumentu a pololineární v druhém, jsou v bijektivní korespondenci s endomorůsmy cp: V —>■ V splňujícími f(u, v) = u • ip(v) pro všechny vektory u, v G V. Důkaz. Všechny lineární formy na unitárním prostoru V tvoří vektorový prostor stejné dimenze jako V. Každý vektor m G V zadává lineární formu au na V vztahem au(v) = v-u. Protože au(u) = ||ií||2, je forma ctu nulová právě tehdy když je u = 0. V případě, že V je euklidovský prostor, zadává tedy přiřazení u 1—)► ctu lineární prosté zobrazení V do prostoru lineárních forem na, V. Z důvodu dimenze to musí být i zobrazení na, tedy isomorfismus. Každý komplexní vektorový prostor můžeme chápat jako reálný vektorový prostor dvojnásobné dimenze a přiřazení u 1—s> ctu je pololineární zobrazení mezi příslušnými komplexními prostory, tedy to je lineární zobrazení mezi odpovídajícími reálnými prostory, a podle předchozího argumentu je to tedy i zobrazení na. Tím je dokázána první část věty. Druhé tvrzení se snadno odvodí z prvého: Pro pevný endomorfismus cp: V —>• V má zobrazení f^iu^v) = u • ip(v) požadované vlastnosti. Naopak, máme-li takové /, je pro každý vektor v G V zobrazení u 1—)► f (u, v) lineární forma na V a proto je f(u,v) = u • ((p(v)) pro vhodný vektor ip(v) G V. Tím je definováno zobrazení íp: V —>• V. Z předpokládaných vlastností / vyplývá, že ip je skutečmě endomorfismus a přitom jeho hodnota ip(v) byla určena jednoznačně podle předchozí části věty. D V literatuře se často používá také název sesquilineární 86 «JAST 11. ťHUSTUKY SK SKALAK1N1M SULKJIJNĽM A A1NALY T1UKA UĽUMĽTH1JÍ V dalším budeme používat pro skalární součin i značení ( , } dříve zavedené pro bilineární zobrazení vyčíslení lineárních forem na vektorech. 10.3. Adjungované zobrazení. Protože skalární součin na V zadává ztotožnění duálního prostoru V* s V, musí existovat pro každé lineární zobrazení ■ W mezi unitárními prostory zobrazení odpovídající duálnímu zobrazení íp*: W* —>• V*. Budeme jej opět značit p*: W —>■ V. Přitom z předchozí věty bezprostředně vyplývá, že pro p* (v) G V je u • ■ V jednoznačně určeno definičním vztahem (1) W. V dalším budeme většinou pracovat s endomorfismy ■ V a jejich adjungovanými zobrazeními. 10.4. Věta. Nechť W je libovolné lineární zobrazení unitárních prostorů V, W. (1) Vztahem 10.3.(1) je dobře defínované lineární zobrazení íp* : W —> V. (2) Platí (íp*)* = íp. (3) Přiřazení p \-> p* je pololineární zobrazení Hom(V, W) do Hom(T4/, V). (4) Má-li íp v nějaké ortonormální bázi matici A, má p* v téže bázi matici ÄT. Důkaz. (1): Podle 10.2.(1) je hodnotami u-íp*(v) pro všechny u EV jednoznačně určen vektor p*(v) G V. Přitom u-(p*(av+bv') = (íp(u),o,v + bv') = ä{u,p*(v))+b(u,íp*(v')) = (u, ap*(v) + bp*(v')). (2): (u,(p*y(v)) = ( V unitárního prostoru V se nazývá samoadjungované jestliže íp = íp*. V komplexním případě se také používá název hermiteovské, v reálném symetrické zobrazení. Z definice to tedy znamená, že pro všechny u, v G V platí ■ (2) =>■ (3): Nechť A je matice ip v ortonormální bázi e. Pak (přímo z definice matice zobrazení a díky vlastnostem souřadnic v ortonormálních bazích) ttji = {(p(ei),ej) = (ei,(p(ej)) = (■ (1): V souřadnicích spočteme (p(u) • v = (Ax)Ty = xTATy = xTATy = xT (Ay) = u • (p(v). D 10.7. Věta. Nechť cp, ip: V —>• V jsou samoadjungovaná, A a B nechť jsou jejich matice v ortonormální bázi. Potom ip o ip je samoadjungované právě, když xp o

• V euklidovského prostoru do sebe se jednoznačně vyjadřuje jako součet

■ V komplexního unitárního prostoru tedy dostaneme rozklad

V. Přímo z definice pak vidíme, ip* = ip — in, tj. adjungování na Hom(y, V) odpovídá konjugování v této komplexifikaci. 10.9. Lemma. Nechť ■ V je samoadjungované zobrazení unitárního prostoru V. (1) Je-li U C V invariantní podprostor, pak je i U1- invariantní podprostor vzhledem k (p. (2) Vlastní hodnoty zobrazení

■ V vektorového prostoru V do sebe, tj. P o P = P, se nazývá projektor. Projektor P se nazývá kolmý je-li Ker P± Im P. Z vlastnosti P2 = P okamžitě vyplývá Ker P = Im(idy — P) a (idy—P) o (idy —P) = idy —P, takže je to opět projektor. Každý projektor je jednoznačně zadán svým jádrem a obrazem, zejména každý podprostor v unitárním prostoru definuje jednoznačně kolmý projektor, jehož je obrazem (jádrem je pak jeho ortogonální doplněk). Dva projektory P, Q, s vlastností PoQ = 0 se nazývají vzájemně kolmé. V případě kolmých projektorů to znamená právě, že ImP-LlmQ. 10.11. Věta o spektrálním rozkladu. Pro každé samoadjungované zobrazení ■ V unitárního prostoru V existuje ortonormální báze vlastních vektorů a všechna příslušná vlastní čísla jsou reálná. Jsou-li Ai,... , A& všechna různá vlastní čísla ip a P\,... , P& kolmé (a vzájemné kolmé) projektory na příslušné podprostory vlastních vektorů, pak (p = X1Pl + --- + XkPk. * Důkaz. Předpokládejme nejprve, že V je komplexní unitární prostor. Pak

|y1 je opět samoadjungované. Opět musí existovat vlastní vektor v^ G V\ a V2 = (vi,V2)~L je invariantní. Iterací tohoto postupu získáme ortogonální bázi z vlastních vektorů, jistě tedy existuje i lU. SFLKTHALINI IHIUUIH, «y ortonormální báze z vlastních vektorů. Z definice 10.10 pak plyne, že existence takové ortonormální báze je ekvivalentní dokazovanému tvrzení. * Pro reálný unitární prostor (tj. euklidovský prostor) pak můžeme použít proceduru komplexifikace. Nechť A je matice ip v nějaké ortonormální bázi u. Pak A je také maticí komplexifikace (pc '• Ve ->• ^c v indukované bázi uc a na Ve máme jednoznačně dán skalární součin pro který je uc ortonormální. Vzhledem k tomuto součinu je (pc opět samoadjungované (díky A = AT = ÄT). Podle předchozího existuje ortonormální báze z dim V vlastních vektorů s reálnými vlastními hodnotami, jejich souřadná vyjádření jsou tedy řešeními reálných systémů lineárních rovnic. Proto všechny leží v reálné části Ve. Tím jsme získali potřebnou ortonormální bázi naV. D * 10.12. O lineárním zobrazení • V unitárního prostoru V řekneme, že je ortogonálně diagonalizovatelné, jestliže existuje ortonormální báze, v níž má ip diagonální matici. Pro euklidovské je nyní snadné určit všechna taková zobrazení: diagonální matice jsou zejména symetrické, jedná se tedy právě o samoadjungo-vaná zobrazení. Jako důsledek získáváme tvrzení, že ortogonální zobrazení euklidovského prostoru do sebe je ortogonálně diagonalizovatelné právě, když je zároveň samoadjungované (jsou to právě ta samoadjungovaná zobrazení s vlastními hodnotami ±1). * U komplexních unitárních prostorů je situace složitější. Uvažme libovolné lineární zobrazení • V komplexního unitárního prostoru a nechť ip = íp + if] je (jednoznačně daný) rozklad (p na hermiteovskou a antihermiteovskou část, viz. 10.8. Má-li

• V s poslední uvedenou vlastností se nazývají normální. Vzájemné souvislosti ukazuje následující věta (pokračujeme ve značení tohoto odstavce): * 10.13. Věta. Následující podmínky jsou ekvivalentní: (1)

■ (2) jsme již diskutovali. ** (2) <í=> (3): Stačí provést přímý výpočet cpep* = (íp + in)(ip — irj) = íp2 + rj2 + i(r/ip — ipn) cp*cp = (íp — in)(ip + irj) = íp2 + rj2 + i(ipn — r/ip) Odečtením dostaneme 2i(nip — iprj). ** (2) =>■ (1): Nechť u £ V je vlastní vektor normálního zobrazení ip. Pak ip(u) -ip(u) = ((p*(p(u),u) = ((p■ V, viz. 7.25. Podle ní totiž existuje pro každé lineární zobrazení ■ V ortogonální báze, ve které má

■ V na unitárním prostoru V se nazývá nezáporné, jestliže existuje samodjungované zobrazení ip takové, že (p = tjj2. Pokud existuje takové invertibilní tjj, nazývá se

V je nezáporné, resp. kladné, právě když je splněna některá z následujících ekvivalentních podmínek (1) ip je samoadjungované a 0 pro všechny u G V, resp. 0 pro všechny «^0. (2) existuje lineární ip- V —>■ V takové, že

0, resp. je navíc ještě invertibilní když A^ > 0. Přitom jsou poslední nerovnosti zřejmě ekvivalentní nerovnostem v (1). Zároveň jsme přitom ověřili i (3). (2): Je-li

0. a tvrzení je dokázané. D 10.17. Důsledek. Všechny pozitivně (semi) deůnitní reálné matice A (příp. komplexní hermiteovské) mají odmocninu, tj. existuje B taková, že A = B2. Obecně ji můžeme deůnovat tak, že vyjádříme A = S*DS pro S vhodnou unitární, D reálnou diagonální s nezápornými prvky. Pak B = S*^/DS, kde \[Ď obsahuje na diagonále odmocniny z prvků v D. Vrátíme se ke zkoumání vlastností kvadratických forem, nyní na unitárních prostorech. Přímou aplikací předchozích výsledků o samoadjungovaných zobrazeních obdržíme tzv. metrickou klasifikaci symetrických bilineárních, resp. hermiteovských forem. 10.19. Důkaz věty 8.24. Nejprve dokažme tvrzení pro reálné symetrické formy. Jak jsme viděli v 8.7, definuje / lineární zobrazení /: V —>• V*, f(u,v) = f(u)(v) a skalární součin definuje lineární isomorfismus i: V —>• V*, i(u)(v) = v • u, viz. 10.2. Je-li A matice / v ortonormální bázi e, pak je A také maticí / v bazích e a duální e*, matice zobrazení i v bazích e a e* je ovšem identická matice, proto je A také maticí složeného zobrazení / = ž-1 o /. Protože se jedná o symetrickou matici, je / samoadjungované. Proto existuje báze z vlastních vektorů /, ve které má / diagonální tvar, diagonální prvky jsou pak právě vlastní hodnoty a jsou jednoznačně určeny až na pořadí. Nechť je tedy e přímo tato báze. Pak \i pro i = j f(e e-i) %i ^j f(ei)(ej) /(*) y2 «JAST 11. ťHUSTUKY SK SKALAK1N1M SULKJIJNĽM A A1NALY T1UKA UĽUMĽTH1JÍ Tím je dokázáno prvé tvrzení. Tvrzení pro hermiteovské formy se dokáže přesně stejně, jen je * pololineární bijekce, A je hermiteovská a získané / je proto samoadjungované. Z posledního výpočtu nám vyjde f(ei,ej) = Aj pro i = j a nula jinak, všechny vlastní hodnoty jsou ale stejně reálné. D Problémy k přemýšlení 1. Nechť V je unitární prostor. Projektor P: V —>■ V je kolmý právě, když je P samoadjungované. Součet P = P\ + • —V Pk kolmých projektorů Pí je projektorem právě tehdy, když projektory Pí jsou vzájemně kolmé (tj. Pí o Pj = 0 pro i ^ j). Potom je P také samoadjungované. Dokažte. 2. Ukažte, že pro každé lineární (p: V —>• V na unitárním prostoru V platí (Ker v?) i. (Im v?*), (Im v?) i. (Ker (p*). (Použijte tato tvrzení znovu pro důkaz předchozího cvičení.) 3. Zformulujte a dokažte větu o spektrálním rozkladu pro normální zobrazení. (Můžete to brát i tak, že normální zobrazení jsou právě všechna zobrazení, pro která věta o spektrálním rozkladu platí.) 4. Dokažte, že matice vzniklá jako hodnota polynomu v hermiteovské, resp. symetrické matici, je opět hermiteovská, resp. symetrická. 5. Rozšiřte tvrzení 10.16 o (p: V ^ V je samoadjungované a nezáporné právě, když existuje ip: V —> W takové, že Lp = xp* o xp. (Stačí si vše řádně zapsat v maticích.) 6. Dokažte tvrzení problému 2 pro • W. 11. Rozklady matic a aproximace Pro numerické zpracování matic je často důležité mít možnost pracovat jen s maticemi určitých typů. Řadu příkladů jsme již potkali, např. výpočet determinantu nebo stopy je velmi snadný pro trojúhelníkové matice, inverze se snadno spočte pro unitární apod. Prostory skalárů budou vždy K = R nebo K = C. V této kapitole tedy uvedeme několik typů rozkladů matic na součin speciálních matic. Výsledky jsou vesměs mimořádně významné pro většinu numerických aplikací. Často ovšem je zapotřebí kombinace s různými iterativními přibližnými metodami, na jejichž výklad nám již nezbývá prostor. Jako první výsledek uvedeme větu o triangulovatelnosti matic, kterou jsme již dokázali v 7.25 (ve formulaci pro lineární zobrazení). 11.1. Věta (Schurova o unitární triangulovatelnosti). Nechť A je matice v Matn(K), K = R nebo K = C, a Ai,... , An G C nechť jsou všechna vlastní čísla matice A. Pak existuje unitární U G Matn(C) taková, že U* AU = T, kde T je 11. K.UZK.LA.DY MATUJ A AťHUAlMAUK vó horní trojúhelníková matice s čísly Ai,... , An 22a diagonále. Je-li navíc K = R a všechna vlastní čísla \i jsou reálná, pak lze volit ortogonální U G Matn (R). Důkaz. Jde pouze o přeformulování věty 7.25 pro standardní euklidovský vektorový prostor Rn nebo standardní komplexní unitární prostor Cn. D Další věta je podstatným rozšířením věty 1.14, ve které jsme dokázali, že pro každé lineární zobrazení mezi konečněrozměrnými vektorovými prostory docílíme vhodnou volbou baží toho, že matice zobrazení je diagonální s jedničkami a nulami na diagonále. 11.2. Věta (o singulárním rozkladu). Nechť A G Matmn(K) kde K = C, resp. K = R. Pak existují unitární, resp. ortogonální, matice U G Matm(K), V G Matn(K) a reálná diagonální matice s nezápornými prvky D G Matr(K), r < min{m, n}, takové, ze A = USV*, S=(^ ^GMatmn(K), r = h(AA*). Přitom je S určena jednoznačně až na pořadí prvků a prvky diagonální matice D jsou druhé odmocniny vlastních čísel d{ matice AA*. Důkaz. Předpokládejme nejprve m < n a označme • Km zobrazení zadané maticí A ve standardních bazích. Máme vlastně ukázat, že existují ortonormální báze na Kn a Km ve kterých bude mít

n, můžeme aplikovat předchozí část důkazu na matici A*. Odtud pak přímo plyne požadované tvrzení. D Všimněte si, že náš důkaz věty o singulárním rozkladu je konstruktivní, můžeme jej opravdu použít pro výpočet unitárních ( resp. ortogonálních) matic U, V a diagonálních nenulových prvků matice S. 11.3. Geometrická interpretace. Diagonálním hodnotám matice D z předchozí věty se říká singulární hodnoty matice A. Pro příslušné zobrazení ■ Km mají jednoduchý geometrický význam: Nechť K C Kn je jednotková sféra pro standardní skalární součin. Obrazem • Km s maticí A v standardních bazích můžeme zvolit novou bázi na Km tak, aby potom

■ Km, x i->- Ax, a přímé součty Kn = (Ker cp)1- © Ker<£, Km = lm.ip © (Imcp)-1-. Zúžené zobrazení (p := ■ Im cp je lineární isomorfismus. Zvolíme-li vhodně ortonormální báze na (Ker«/?)-1- a Im cp a doplníme je na ortonormální báze na celých prostorech, bude mít cp matici S & (p matici D z věty o singulárním rozkladu. Pro dané b G Km je bod z G Imcp minimalizující vzdálenost \\b — z\\ (tj. realizující vzdálenost od podprostoru p(b, lmcp)) právě komponenta z = b\ rozkladu b = b\ + &2, b\ G Im y?, b n, a předpokládejme, že sloupce A jsou lineárně nezávislé. Pak A*A je invertibilní a A^~^ = (A*A)~1A*. Pro praktické užití lineární regrese bývá tento vztah užitečný, protože počet volných parametrů, tj. rozměr matice A*A, bývá malý a počet zadaných hodnot naopak velký, takže při praktických měření je v podstatě jisté, že sloupce A budou nezávislé. Spočíst potom inverzi z " malé" matice A* A bývá rychlé. (Návod: užijte tvrzení předchozího problému!) yy Cast III. Dodatky 12. Polynomiální matice a kanonické tvary Odvodíme efektivní algebraický postup pro určení Jordánových kanonických tvarů. Základem bude jistá verze Gaussovy eliminace pro charakteristické matice, tj. pro matice jejichž prvky jsou polynomy. 12.1. Věta. Pro matice A,B £ Matn(K) nad polem skalárů K existuje inverti-bilní matice P G Matn(K) taková, že A = PBP-1 právě, když charakteristickou matici A — XE lze převést na charakteristickou matici B — \E pomocí elementárních řádkových a sloupcových transformací.18 Důkaz této klíčové (a elegantní) věty je technicky poněkud nepříjemný, začneme s přípravnými definicemi a poznámkami. 12.2. Dělení v okruzích polynomů. Nechť R je libovolný okruh, ižoo[A] polynomy v proměnné A nad R. Pro každé polynomy /(A) = anXn + • • • + ao, g(X) = bmXm + • • • + bo, s bm G R invertibilním, existují jednoznačně určené polynomy i také nulové. Postupně ukážeme, že každá A-matice nad polem skalárů je ekvivalentní s právě jedním kanonickým tvarem. Protože už také víme, že pro každou matici nad komplexními čísly existuje (až na pořadí bloků) jednoznačně určený Jordánův kanonický tvar, musíme být schopni jej z kanonického tvaru charakteristické matice vyčíst. Ve skutečnosti ukážeme i algoritmický postup pro nalezení kanonického tvaru A-matic a znovu dokážeme existenci a jednoznačnost Jordánova kanonického tvaru matic. 12.8. Lemma. Každá čtvercová Á-matice nad polem K je ekvivalentní s jistým kanonickým, tvarem. Důkaz. Postup pro nalezení kanonického tvaru je modifikací Gaussovy eliminace. Jistě lze zařídit, aby an(A) ^ 0. Pokud je prvek an(A) nenulový polynom a přitom nedělí beze zbytku všechny ostatní nenulové prvky na prvním řádku a v prvním sloupci, pak můžeme pomocí elementárních transformací zmenšit jeho stupeň: Jeli aifc(A) = an(A)p(A) + r (A), kde r (A) / 0a jeho stupeň je menší než stupeň öii(A), Pak můžeme od k-těho sloupce odečíst p(A)-násobek prvního a vyměnit k-tý sloupec s prvním. Při každém takovém kroku snížíme stupeň polynomu třu nejméně o 1. Protože každý nenulový konstantní polynom dělí všechny nenulové polynomy, po konečném počtu kroků tak zajistíme požadovanou dělitelnost. V tom okamžiku ovšem můžeme použít stejný postup jako v Gaussově eliminaci a pomocí elementárních transformací získat nulové polynomy na všech ostáních místech v prvním sloupci a v prvním řádku. Pokud nyní polynom au (A) nedělí beze zbytku všechny ostatní polynomy v matici, lze opět snížit jeho stupeň: Nechť aý-(A) = an(A)g(A) + r(A), r(X) ^ 0, je výsledek po dělení se zbytkem. Pak připočteme i-tý řádek k prvému a postupujeme opět podle předešlého kroku. Po konečném počtu kroků tedy dosáhneme, že ei(A) = třu (A) dělí všechny ostatní nenulové polynomy v matici a zároveň je jediným nenulovým prvkem na prvním řádku a v prvním sloupci. Nyní postupně uplatňujeme zcela stejný postup na submatici tvořenou zbývajícími řádky a sloupci a po konečném počtu kroků získáme požadovaný tvar. D lUU (JAST ill. DUDATKY 1 0 0 0 7-A A-7 0 0 -A2 + 5A + 14 kde v první úpravě jsme vyměnili první řádek s polovinou třetího, pak jsme provedli standardní vyeliminování prvků v prvním řádku a prvním sloupci. Protože získaný prvek Ü22 přímo dělil ostatní v druhém řádku a sloupci, v zápětí jsme vyeliminovali i druhý řádek a sloupec. Náhodou vše probíhalo tak hladce že jsme nemuseli používat dělení se zbytkem. Všimněme si, že je vždy výhodné vyměňovat řádky a sloupce tak, abychom nemuseli zbytečně brzy začít pracovat s nekonstantními polynomy. Zatím ovšem ještě nevíme, jestli získané kanonické tvary nezávisí na našem postupu. Abychom ukázali jednoznačnost, vyjádříme kanonický tvar nezávisle na dalších volbách a ukážeme, že ekvivalentní matice mají kanonický tvar shodný. 12.10. Věta. Nechť A(X) je čtvercová řádu n X-matice nad polem skalárů K. Pro 1 < k < n defínujeme polynom d£(X) G K^ [A] jako největší společný dělitel všech minorů stupně k v A(X) s vedoucím koefícientem 1. Platí (1) Je-li d£+1(\) ^ 0, pak d£(\) dělí d£+1(\). (2) Jsou X-matice A(X) a B(X) ekvivalentní, pak d^{X) = d^(X) pro všechny k. /ei(A) ... 0 \ (3) Nechť •. je kanonický tvar matice A(X). Pak ei(A) = V 0 ... en(X)J df(X), efc(A) = d^(X)/d^_1(X) pro všechny nenulové efc(A) a efc(A) = 0 právě, když d£(X) = 0. (4) Kanonický tvar matice A(X) vždy existuje a je jednoznačně určený. Důkaz. (2) K tomu abychom dokázali, že polynomy d£(X) splývají pro ekvivalentní matice stačí dokázat, že se nemění při elementárních transformacích. Vynásobení řádku skalárem z K (vzpomeňme, že invertibilní jsou právě nenulové konstantní polynomy) vede k vynásobení všech minorů, které tento řádek zahrnují týmž skalárem, jistě tedy nepovede ke změně společných dělitelů. Zbývá tedy pouze přičtení /(A)-násobku j-tého řádku k ž-tému, resp. totéž pro sloupce. U minorů, kterými neprochází i-tf řádek nedojde ke změně, u těch které zahrnují i-tf i j-tf také ne. Předpokládejme tedy, že minor \M\ zahrnuje i-tf řádek, ne však j-tf. Po transformaci dostaneme \M\ = \M\ + f(X)\M'\, kde \M'\ je minor A;-tého řádu, v němž jsou prvky na «-tém řádku nahrazeny odpovídajícími prvky z řádku j-tého. To znamená, že \M'\ je, až na případné znaménko, opět jeden z minorů matice A. Nyní dfc(X) dělí \M\ i \M'\, musí proto dělit i nově vzniklý minor \M\. Celkem tedy víme, že pro B(X) = P(X)A(X)Q(X) vzniklou z A(X) elementárními transformacemi platí, že pro všechny k dělí d£(X) polynom df?(X). Pak ovšem 12. ťU-LYlNUMlALJNl MATKJĽ A KAINUINIUKHI TVAK.Y IUI také A(X) = P-1(X)B(X)Q-1(X) a tedy i df (A) dělí d£(A). Protože jsou vedoucí koeficienty těchto polynomů normované na 1, musí nutně platit d^(X) = d^(X). (1), (3), (4) Podle předchozí věty umíme najít nějaký kanonický tvar matice A(X). Pak ovšem můžeme, podle předchozího, spočíst d£(X) ze získaného kanonického tvaru. Pro matice v kanonickém tvaru jsou ale zbývající tvrzení věty zřejmá. Navíc je sama matice A(X) v kanonickém tvaru určena polynomy d^(X) jednoznačně. D Jednoznačně určené polynomy ej(A) z kanonického tvaru A-matice A(X) se nazývají invariantní faktory. Každý z nich se (nad zvoleným polem K) jednoznačně rozkládá na ireducibilní faktory, ej(A) = (e^1) •... • (sik (X))Sik , jednotlivé mocniny (ei(X))Stí nazýváme elementární dělitele a-matice A(X). 12.11. Příklad. Pro charakteristickou matici Jordánova bloku řádu m A(X) = J-XE /A0-A 0 0 V 0 Ao-A 0 0 1 Ao-A 0 0 0 An-A/ platí df(X) d^l_1(X) = 1, d^(X) = (Aq — A)m. Skutečně, pro řády menší než m vždy najdeme nenulový minor neobsahující A a \A\ = (—l)m(A — Ao)m. 12.12. Lemma. Nechť matice J G Matn(K) je blokově diagonální s Jordánovými bloky Ji, i = 1,..., k, na diagonále. Nechť Ji £ Mat^ŕ (K) a nechť Ai,..., Aj jsou všechna vlastní čísla matice J. Předpokládejme, že Ai se objevuje v blocích Ji,... , Jp, A2 v q blocích Jp+i,... , Jp+q, atd. Potom platí dJn-XE(X) dJnZiEW dJnZX2E(X) í\ — x1)kl+k2+'"+kp . (A — X2)kp+1+kp+2+'"+kp^ (A _ xľ)k2+'"+kp ■ (A - X2)kp+2+'"+kp+q •... (A - Xľ)k3+-+kp ■ (A - \2)kp+a+-+kp+« .... kde exponenty se nahradí nulou, není-li už co sčítat, tzn. příslušná mocnina (A — Aj) se nahradí pro všechny další polynomy jedničkou. Důkaz. Invariantní faktor djl~XE{X) je právě determinant (—l)n| J — XE\. Zjevně je tedy v požadovaném tvaru. Zbývající tvary se snadno zjistí přímým výpočtem vybraných minorů. Popíšeme postup: Nejprve můžeme každý z diagonálních bloků matice J — XE upravit na kanonický tvar jako A-matice, tj. všechny bloky Jí — XEí budou diagonální, se svými invariantními faktory na diagonále. Jejich přesný tvar jsme odvodili v předchozím příkladě. Nyní pro výpočet největšího společného dělitele dJs~XE{X) všech minorů řádu s musíme postupně vypouštět co nejvyšší mocniny faktorů (A —Aj). V případě jednotlivých Jordánových bloků to ale znamená vypustit vždy poslední řádek a poslední sloupec (jediný nekonstantní výraz). Tím získáme právě požadované tvary. Např. pro dn~i (A) postupně po jednom vypouštíme poslední řádky a sloupce všech bloků, což vede právě k vypuštění největších exponentů z djl~XE{X). 1U2 (JAST 111. DUDATKY Zkuste si sepsat formální důkaz indukcí! D Celkem jsme již znovu dokázali existenci Jordánova kanonického tvaru, viz. 5.27. Jestliže totiž existuje pro matici A E Matn(K) n vlastních čísel (včetně násobností), lze její charakteristický polynom, který je vždy součinem invariantních faktorů A-matice A — XE rozložit na součin lineárních faktorů (A — A^). Pak ovšem získané invariantní faktory určují podle předchozího lemmatu jedinou matici v Jordánově kanonickém tvaru, až na pořadí Jordánových bloků. Přitom je podle věty 12.1 tento Jordánův tvar podobný původní matici A. Navíc byl důkaz tohoto výsledku opřen o algoritmickou proceduru výpočtu kanonického tvaru A-matic, která vede k poměrně snadnému výpočtu Jordánových kanonických tvarů. Sformulujme tedy výsledek do věty: 12.13. Věta. Nechť A E Matn(K), K pole, a nechť charakteristický polynom \A — XE\ má v K n kořenů (včetně násobností). Pak existuje podobná matice J = PAP-1 v Jordánově kanonickém tvaru s Jordánovými bloky Ji E Mat/^ (K). Jsou-li invariantní faktory X-matice A tvaru en(A) = (A-A1)fel-(A-A2)^+1-... en_1(A) = (A-A1)fc2-(A-A2)^+2-... en_2(A) = (A-A1)fe3-(A-A2)^+3-... kde k\ > &2 > • • • > 0, A;p_|_i > kp+2 > •- • > 0, ... , potom (ve značení z předchozího lemmatu) lze zvolit za J\ Jordánův blok příslušný vlastnímu číslu X\ stupně k\, za J2 blok příslušný X\ stupně &2, ... , Jp+i bude blok příslušný A2 stupně kp+i, .... Přitom je matice J určena jednoznačně až na pořadí bloků. D 12.14. Příklad. V 12.9 jsme získali kanonický tvar charakteristické matice /6-A 2 2 \ /l 0 0 A-XE= i 2 3-A -4 U 0 A-7 0 \ 2 -4 3-A/ \0 0 (A + 2)(A-7) Je tedy matice A diagonalizovatelná a v bázi z vlastních vektorů má příslušné zobrazení tvar '7 0 0 0 7 0 0 0 -2 Kdyby výsledný kanonický tvar charakteristické matice byl 10 0 0 1 o 0 0 (A + 2)(A-7)2 pak by příslušný Jordánův kanonický tvar původní matice byl 12. ťU-LYlNUMlALJNl MATKJĽ A KAINUINIUKHI TVAK.Y WÓ a v tomto případě by neexistovala báze z vlastních vektorů. Pro praktický výpočet je vhodné zkombinovat převod charakteristické matice do kanonického tvaru A-matice s přímým výpočtem invariantních faktorů. Všimněte si také, že důkaz věty 12.1 dává přímo algoritmický postup pro nalezení matice přechodu do nové báze, ve které bude mít diskutované zobrazení matici v Jordánově tvaru: Protože A a její Jordánův tvar jsou podobné, mají ekvivalentní charakteristické matice a při úpravě A — XE na kanonický tvar Z(X) najdeme invertibilní A-matice -P(A), Q(X) takové, že Z(X) = P(X)(A — XE)Q(X) a podobně je také J — XE = P(X)Z(X)Q(X) pro vhodné A-matice P(X) a Q(X). Podle důkazu 12.1 je pak J - XE = P(X)P(X)(A - XE)Q(X)Q(X) a navíc platí, že P := P(X)P(X) = (Q(X)Q(X))~1 jsou matice nezávislé na A a platí J = PAP'1. Stačí tedy provést všechny naznačené úpravy, pamatovat si všechny řádkové transformace a vynásobit příslušné elementární matice. Tím získáme matici přechodu P převádějící matici A do Jordánova kanonického tvaru. Tento algoritmus lze použít i pro úlohu zjistit, zda jsou dvě matice A, B G Matn(K) podobné a v případě, že jsou, nalézt příslušnou matici přechodu. 12.15. Závěrem této kapitoly ještě zmíníme několik výsledků o hodnotách polynomů v maticích. Protože pole K je vloženo homomoríismem okruhů K 3 a i->-aE G Matn(K) do okruhu matic Matn(K) a navíc konstantní násobky jednotkové matice komutují se všemi maticemi v Matn(K), můžeme každý polynom f(x) = anxn + ■ • ■ + a® G Kqo [x] chápat i jako polynom v (Matn(K))[aľ]. Pro libovolnou matici A G Matn(K) pak platí f (A) = an • An + an_i • An~x H-------Y a0 ■ E.20 Říkáme, že matice A je kořenem polynomu f(x), je-li f (A) nulová matice. 12.16. Věta. Nechť A = PBP'1. Pak pro každý polynom f(x)eK00 [x] je f(A) = P-f(B)-p-\ Navíc je pro každý další polynom g(x) G K^ [x] (/ + g)(A) = f (A) + g(A), (/ • g)(A) = (g ■ f)(A) = f (A) ■ g (A) = g (A) ■ f {A). Důkaz. Vždy platí {PBP-X)k = (PBP-^iPBP-1)... (PBP-1) = PBEB... EBP'1. Odtud plyne první tvrzení. Zbývající tvrzení plynou z komutativity násobení v K.21 D 20pro invertibilní matice umíme i A~n, n G N, můžeme pak tedy definovat na invertibilních maticích i složitější funkce. Navíc lze na matice rozšířit i řadu dalších analytických procedur založených na algebraických výrazech, zejména lze tvořit nekonečné řady. Můžeme tedy například hovořit o exponenciálním a logaritmickém zobrazení e , log A, pro matice A G Matra(ľK). V dalším navíc uvidíme, že hodnoty takto vytvořených výrazů vhodně závisí na volbě matice z třídy podobných matic, jedná se proto o dobře definované hodnoty diskutovaných funkcí na lineárních zobrazeních. Tato skutečnost je základem matematického aparátu značné části moderní fyziky, zejména kvantové mechaniky. 21 Je zajímavé, že pro hustou podmnožinu všech matic A v Matn(K) (v běžném smyslu matematické analýzy) lze ukázat, že komutují právě se všemi maticemi, které vzniknou jako hodnoty polynomů v A. 1U4 (JAbi 111. DUUATKY 12.17. Minimální polynom matice. Každá matice A G Matn(K) zadává posloupnost vektorů E = A°, A,..., Ak,... ve vektorovém prostoru Matn(K). Protože dimenze tohoto prostoru je n2, nutně musí existovat netriviální lineární kombinace 0 = an2An + an2_1An _1 + • • • + clqE. Je tedy každá matice kořenem nějakého polynomu. Proto musí existovat polynom g(x) s vedoucím koeficientem 1 a minimálním stupněm mezi polynomy, jejichž je A kořenem. Takový polynom nazýváme minimální polynom matice A nad K. Z věty 12.16 přímo vyplývá, že podobné matice mají stejný minimální polynom. 12.18. Věta. Nechť A G Matn(K), K pole, a nechť m(A) G Koo[A] je minimální polynom matice A nad K. Potom (1) Každý polynom /(A) G K^ [A], pro který je f (A) = 0, je dělitelný m(A). (2) m(A) je jednoznačně určený. (3) m(A) je roven invariantnímu faktoru en(A) charakteristické matice A — XE. Důkaz. (1) Je-li f (A) = 0 a f(x) = m(x)g(x) +r(x) je výsledek dělení se zbytkem polynomu f(x) polynomem m(x), je také r(A) = 0. Pokud by ale r(x) ^ 0, pak by stupeň r(x) byl menší než stupeň m(x). Proto je nutně r(x) = 0 a f(x) je dělitelné m(x). (2) Předpokládejme, že m(x) a m'(x) jsou dva minimální polynomy matice A. Pak mají stejný stupeň a dělí se navzájem. Protože přitom mají vedoucí členy rovny 1, je nutně m(x) = m'(x). (3) Zde je důkaz poněkud zdlouhavější. Využijeme toho, že pro charakteristickou matici je invariant d^~XE(X) vždy nenulový a proto platí (—l)n • \A — XE\ = dnZ\ (A) • en(A). Když se nám podaří vyjádřit \A — XE\ jako násobek polynomu dnZ\ (A), pak odtud dostaneme en(A) = 0. Pro algebraicky adjungovanou matici -B(A) := (A — XE)* platí (A — XE) • B(X) = \A — XE\ • E, viz 3.21. Protože je dnZ\E{X) největším společným dělitelem všech minorů stupně n — 1, plyne z definice algebraicky adjungované matice -B(A) = dnZ\ (A) • C(A), kde největší společný dělitel prvků A-matice C(X) je 1. Nyní \A-XE\-E=(A- XE) ■ d^E ■ C(X) = (-l)n d^E (X)en(X) a protože je dnZ1 (A) nenulový polynom, lze jej krátit. Pak ovšem dosazením A obdržíme22 (-l)nen(A)-E=(A-A)-C(A) = 0. Podle již dokázaného tvrzení musí být tedy en(A) dělitelné m(A), tj. en(A) = m(A)g(A) pro vhodný polynom q(X). Nyní si všimněme, že dělit se zbytkem maticí A — XE umíme explicitně: Je-li m(A) = a^Xk + • • • + ao, pak23 m(A) -E=(XE- A)(akEXk-1 + (akA + a^^X^2) + ... + (Ak-ľak + Afc_2afc_i H-----+ axE) + Akak + Afc_1afc_i +-----h a0E = -(A-XE)Q(X) + m(A). 22Uvědomte si, že nelze výpočet provést tak, že A dosadíme přímo do charakteristického polynomu způsobem \A — A ■ E\\ 23Stejně lze vyjádřit dělení libovolné matice B(X) charakteristickou maticí A — \E. ló. MUĽllLllNlDAKlNl ALW,vxw^vW, které má následující univerzální vlastnost: Pro každé bilineární zobrazení Z existuje právě jedno lineární zobrazení (p: V (g> W —> Z takové, že ip(v,w) = w), pro všechny v G v, w G W. Je snadné ověřit, že tensorový součin, pokud existuje, je touto vlastností určen jednoznačně až na isomorfismus. V Kapitole 8. jsme již ukázali následující větu: lue (JAST 111. DUJJATKY 13.2. Věta. Nechť (ei,... , em) je báze V, (fu ... , fn) je báze W. Pak V W existuje a má bázi (ei ® /i,..., e\ ® fn,..., em ® /n). Tato konstrukce je navíc funktoriální, tzn. pro dvě lineární zobrazení ip: V —^ V, xß: W —^ W dostáváme lineární zobrazení ip ® íp: F ® W —>• V W, {íp 4>)(v w) = ip(v) ® ip{w). 13.3. Důsledek. Pro konečněrozměrné prostory V, Z a W platí (1) v®w ~w®v (2) (v e z) w ~ (v ® w) e (z ® w) (3) {V®W)®Z ~V®{W®Z) Bude-li nutné zdůraznit nad jakými skaláry tensorový součin uvažujeme, budeme příslušné pole označovat jako index u znaku pro tensorový součin (např. komplexní vektorové prostory lze chápat také jako reálné a uvažovat příslušný tensorový součin, který budeme značit r). Analogicky definujeme libovolné konečné tensorové součiny. Jedná-li se o tensorový součin k kopií téhož vektorového prostoru V, píšeme často V®k nebo ®kV. 13.4. Antisymetrická zobrazení. Připomeňme, že fc-lineární zobrazení

(vtT(i), • • •, ««7(a)) = sgn■ AkV, (i>i,... ,Vk) •—>• v\ A ••• A ffc, s univerzální vlastností: Pro každé antisymetrické multilineární zobrazení • Z existuje jediné lineární zobrazení íp: Ak —>• Z splňující íp(vi,... , Vk) = m. Důkaz. Snadno se ověří přímou konstrukcí. Lze také odvodit zavedením AkV jako faktorového prostoru V®k/I, kde vektorový podprostor / je generován výrazy v i (g> • • • (g> Vk s alespoň dvěmi stejnými vektory Vi. D 13.6. Důsledek. Nechť V a W jsou dva konečněrozměrné vektorové prostory. Pak Ak(V ®W) = ejUAJV O Ak~m. Důkaz. Hledaný isomorfismus je dán přiřazením (ví A • • • A Vj) (g> (wi A • • • A Wk-j) !->• ví A • • • A Vj A W\ A • • • A Wk-j. ló. MUL/11L1JN.ĽAKJN1 AL• SkV, (vi,... , Vk) ^ v i V- • -Vffc, s univerzální vlastností: Pro každé symetrické lineární zobrazení ip: Vx ... x V —>• Z existuje jediné lineární zobrazení (p: Sk —>• Z splňující <£>(t>i,... , ffc) = i V • • • V Vk). Z technických důvodů opět klademe S°V = K. Opět je snadné ověřit, že když SkV existuje, je určeno jednoznačně až na isomorfismus. 13.8. Věta. Nechť V je konečněrozměrný vektorový prostor s baží (ei,... , em). Potom SkV existuje pro každé k > 0 a má bázi tvořenou prvky e^ V • • • V ejA, s j\ < ■■■ v^ — ^(í) • • • <8> vo(k) Pro libovolnou permutaci u na k prvcích. D Báze v SkV můžeme také zapsat ve tvaru e^1 V • • • Ve^", kde exponenty probíhají všechny multiindexy («i,... , in) splňující X)ľ=i ij = k. 13.9. Důsledek. Realizace AkV a SkV jako faktorových prostorů celého tensorového prostoru V®k dává projekce Alt: V®k —>• AkV, v\ <8> • • • <8> Vk H> -^v\ A • • • A Vk a Sym: V®k —>• 5* V, i>i (8> • • • <8> f jt ^ ^r^i V • • • V i^. Naopak, máme inkluze i: AkV ^V®k, ví A-A«it ^5ľsgll^(1)0'"0^(fc) (T t: sfey-> v®*, «i v • • • WA, H^ 5Z^(i) (g» • • • (g»^(fe) (T 13.10. Věta. Přiřazení (ví A- • • Ai>fc) (w^+i A- • • Avk+i) \-^ v±A- ■ -Avk+i deůnuje antisymetrické bilineární zobrazení A: AkV x AlV —>• A^+'y. Podobně, přiřazení (v i V • • • V i^) (g) (vk+i V • • • V w^+z) ^tiiV'"V w^+; deůnuje symetrické bilineární zobrazení V: 5*V x SlV —>• iS^+'V. Důkaz. Proveďte jako cvičení. 13.11. Definice. Zobrazení A z předchozí věty nazýváme vnější součin a podobně V nazýváme symetrický součin. Vektorový prostor A(V) = ®kn=0AkV, m = dim V, spolu s vnějším součinem, nazýváme vnější algebra (nad V). Vektorový prostor S (V) = (BkxL0SkV, spolu se symetrickým součinem nazýváme symetrická algebra (nad V). Podobně máme obecnou tensorovou algebru T (V), která je definována jako vektorový prostor ®kxL0V®k se součinem daným tensorovým součinem (g>. Tensory, které jsou vyjádřitelné jako součin příslušného počtu vektorů z V, nazýváme rozložitelné. 13.12. Duální prostory. Nechť V je (konečněrozměrný) vektorový prostor nad KaV* jeho duální prostor, tj. vektorový prostor všech lineárních forem na V. 1U8 (JAb 1 111. DUIJATKY Připomeňme, že prostor všech lineárních zobrazení ip: V —y W, kde W je libovolný další vektorový prostor konečné dimenze nad týmž polem skalárů, můžeme ztotožnit s tensorovým součinem W <8> V*, a to prostřednictvím přiřazení w <8) v * \-> (v i->-(v,v*).w), viz. 8.30. Analogicky pak W ® (y*)®fc je prostor všech ^-lineárních zobrazení na V s hodnotami ve W", W ® Afcy* a W iS^y* jsou prostory všech fc-lineárních antisy-metrických zobrazení a ^-lineárních symetrických zobrazení s hodnotami v W. Specielně pro W = K dostáváme příslušné prostory multilineárních forem na V. Lineární automorfismy na V jsou pak právě tensory ve V 0, jako ^-lineární zobrazení s hodnotami ve V®k, máme pro každou vybranou kopii V ve V®k a V* ve (y*)®^ definovánu tzv. kontrakci, která je tensorem ve y®(*-!) (y*)®(*-i): Pro a e y®**"1) (y*)®^-1) je a(v{,... ,v%, vu ... , vf) G K a kontrakci Tra i-té a j-té komponenty definujeme předpisem Tr «(>!,... jt;^!,«!,... ,v£-x) = = ^2a(vl,... ,v*_1,ep,v*+1,... ,vl,vu... ,vj-1,ep,vj+1,... ,v£) p V případě k = í = 1 jde přesně o vyčíslení lineárních forem na vektorech. Bez souřadnic lze kontrakci názorně definovat tak, že V®k®{V*)®í chápeme jako (y®(fc-i),g)(y*)®(*-i))(g,(y(g,y*)5 kde jsme dozadu přesunuli (isomorfismem) právě vybrané komponenty a kontrakce pak je definována na rozložitelných tensorech vztahem (pro jednoduchost uvažujeme i = j = 1) eiiA"'Aei*> 7(4)ťiv-v(e;js Tr(t>i v\ ® ■ ■ ■ ví) = (vi, f i)f2 (V*)k —> K. Budeme ji značit stejně jako vyčíslení forem ( , ), což je speciální případ. 13.15. Operátor ix- V případech symetrických tensorů nezávisí kontrakce na výběru kopií V a V*, u antisymetrických se mění pouze znaménko a zavádíme konvenci, že vždy kontrahujeme přes první indexy. Dostáváme tak pro x E APV, resp. y* • V®{p+q^ (V*)®p -+ V®q -+ AqV kde c je kontrakce přes prvních p kopií y.Analogická formule platí i pro duální případ (se stejným koeficientem). Podobně se definuje také operace vložení iy pro symetrické tensory. 14. Cvičení k přednáškám 14.1. Vlastnosti skalárů Zopakujte si vlastnosti tělesa komplexních čísel C. Všimněte si vlastností sčítání a násobení, rozeberte si R, Q, Z, N jako pod-monožiny se zúženými operacemi (grupa, okruh, dělitelé nuly, apod.; zadefinujte zbytkové třídy Z^) Uvědomte si strukturu reálného vektorového prostoru na C. Počítejte inverzní prvky vzhledem k násobení, (a+ib)-1 = a"~^2, např. (l+2i)~1 apod. Vzpomněte goniometrické tvary, mocniny, atd. Připomeňte si běžné geometrické transformace z rovinné a prostorové geometrie (např. podobnosti, projekce, reflexe, otáčení apod.) 14.2. Vektory a počítání s maticemi 1. Zopakujte pojmy sloupce matice, řádky matice, operace sčítání a násobení. Vynásobte několik příkladů matic, najděte nějaké dělitele nuly. Např. pro A = I spočtěte A2, As (obecně Akl). smet cosa J v ' 2. Jednoduché systémy rovnic řešte Gausovou eliminací (převod na trojúhelníkový tvar.) Volte více příkladů. nu (JAST 111. DUDATKY 3. Uvažme matice nad A D 1 1 1 2 5 = (-1 O 2), C G í? , F H 1 O O 0 2 0 2 O ! O -3 3 5 (1 O -2 4) Spočtěte (pokud je definováno) EI, IE, D3 + 4DH-H2, G2-3F, A-F, A-GFA, BACE — BFBT a další " polynomiální výrazy" dle vlastní volby. 4. Najděte matice pro elementární řádkové a sloupcové transformace. 5. Některé matice z příkladu 1 upravte na řádkový (sloupcový) schodovitý tvar. 6. Najděte inverzní matici 5"1 k5= I metodou současných úprav s jednotkovou maticí. Totéž pro (čtvercové) matice z předchozích příkladů, pro matici C = ( . I nad C, (čtvercové) matice z příkladu 1, a matici typu n/n D 0 Vo 1 0 1/ 7. Řešte maticové rovnice, např. 1 3 3 8 ■X 1 2 3 4 výpočtem inverze i přímým výpočtem. 14.3. Vektorové prostory, lineární závislost 1. Zjistěte, zda množina R_|_ = {x G M; x > 0} s operacemi x © y = x.y, aQx = xa pro x, y G R+, a G M tvoří vektorový prostor. Pokud ano, určete jeho bázi a dimenzi. 2. Podle obecné teorie musí být R_|_ z předchozího cvičení izomorfní s R1. Jaký je izomorfismus? (Pro každou volbu báze b G R+ a 1 G M1 dostaneme právě jeden.) 14. (JVKJĽJNl K FKĽDJNASKAM 111 3. Zjistěte, zda daná množina tvoří vektorový podprostor v R2 M = {(x,y) eť;i>0,!/>0} M = {(x,y)eR2;x = y} M = {(x,y) eR2;x.y> 0} M = {(x,y) eR2;x = y + l}. Určete vždy podprostor generovaný M. 4. Prověřte lineární závislost vektorů (1,-V2,-01), (I-V2, 2,1 + ^2), (1,-^2-1,-^2-1) v R3 nad skaláry R a v R3 nad skaláry Q. 5. Prověřte lineární závislost polynomů v I^M- a) 1 ~\- x, 1 x, z ~\- x x 6. Zjistěte, zda jsou lineárně závislé matice V 3 4J ' (o -2J \1 l) ' \2 1 ) ve vektorovém prostoru Mat2R 7. Uvažujte R jako vektorový prostor nad Q. Je VŠ G (1, V2>? Je VŠ G (1, VŠ)? 8. Zjistěte, zda a) (1,1,1,1) patří do ((1, 0,1, 2), (0, 0,1, 3), (0,1, 0, 2)) C R4 b) (-1,-4,7) G R3 patří do ((1, -2, 3), (-2,1, -1), (0, -3, 5), (-2, -5,3), (-1, -1, 2)}. 9. Doplňte množiny do báze R4 M = {(1, -1,0,2), (0,2,1,3), (2, 0,1,7)} M = {(-1,1,0,0,), (0,-1,1,0), (0,0,-1,1)}. 14.4. Báze vektorových prostorů 1. Určete nějakou bázi vektorového podprostoru M{(xu...,xn) eRn;x1 + x2 +-----Yxn = 0} a doplňte ji na bázi Rn. Vzpomeňte přitom, jak funguje Steinitzova věta o výměně. 112 (JAST 111. DUUATKY 2. Nechť Pi = (Mi), P2 = (M2) v R4, kde Mi = {(4, O, -2, 6), (2,1, -2,3), (3,1, -2, 4)} M2 = {(1,-1,0,2), (2,2,-1,3), (0,1,1,0)} Najděte Pí + P2, Pí fl P2, jejich báze a dimenze. (Připomeňte si přitom větu dimPi + dimP2 = dim(Px + P2) + dim(Px n P2).) 3. V R5 [x] najděte bázi podprostorů a)P1 = {feR5[x];f(x) = f(-x)} b)P2 = {feR5[x]-J(x) = -f(-x)} c)P3 = {feR5[x];f(l) = f(2) = 0}. Určete také Px n P3, P2 + P3. 4. Najděte souřadnice vektoru v dané bázi. a) w = (2,1,1) (ER3, n =((2, 7, 3), (3, 9,4), (1,5, 3)) b) v = (2,1,1) G R3, n = ((1, 0,1), (1, 0, 0), (1,1,1)) c) i; = x3 + x2 + x + 1 G R^rr], m = (1 + x3,x + x3,x2 + x3 + x4,x3) d) v = í ] G Mat23(R) s baží 2 1 4 1 0 0\ /1 1 0\ / 1 1 1 o o 0) ' vo o o y ' vo o o o o o\ / o o (A f o o o -1 o o/'v-i -1 o/'V-i -1 -1 14.5. Souřadnice a lineárni zobrazení 1. Připomeňte si pojem souřadnic vektoru v dané bázi a napište souřadnice vektoru (1,1,1,1) G R4 v bázi a) u= ((-1,0,0,0), (-1,-1,0,0), (-1,-1, -1,0), (0,0,1,-1)) b)v = ((0,0,0, -5), (1,2,3,1), (1,0, -1,0), (0,1,1,0)). 2. Zjistěte, zda je zobrazení /: Rn —>• Rn lineárni. a) /(z, ž/) = {x, y2) b) /(z, y) = (2aľ + 3y, x - y) c) f (x, y, z) = (x + y, x - y, x + z + 2) d) f (x, y, z) = (x- 17y + z,2x- by, 13y - z) 3. Připomeňte si pojem matice zobrazení. V prostoru R3 se standardní baží u = ((1, 0, 0), (0,1, 0), (0,0,1)) napište matice následujících zobrazení a) identického zobrazení id: R3 —>■ R3 b) kolmé projekce do osy generované vektorem (1, 0, 0) c) kolmé projekce do roviny generované vektory (0,1, 0), (0, 0,1) d) násobení pevně zvoleným skalárem a G R. Zapište tato zobrazení způsobem použitým v předchozím cvičení. 14. (JVKJĽ1N1 K FKĽDJNASKAM 113 4. V reálném vektorovém prostoru V = C, tj. dim y = 2, najdčtete nutnou a dostatečnou podmínku pro to, aby obecné lineární zobrazení ip: V —> V bylo také lineární jako zobrazení mezi (1-rozměrnými) komplexními vektorovými prostory. 5. V prostoru C2 nad R napište matici zobrazení (ve standardní bázi), která každý vektor (p,q) £ C2 zobrazí na (ip,iq). (Matice bude v Mat4(R).) 6. Napište matici (idj^i)^, identického zobrazení na R4 v bazích m, v ze cvičení 1, tzv. matici přechodu. Napište také (idj^),,^ a uvědomte si jak se tyto matice použijí pro převod souřadnic vektorů z jedné báze do druhé. 7. V prostoru polynomů Mq[x] uvažme báze u = (l,x,x2,x3) a v = (1 + x, 1 — x,x2 + xs,x2 — x3). Najděte matice přechodu od u k v a naopak. Použijte je k převodu souřadnic několika polynomů. /1 2 3 4\ 8. Nechť í J je matice zobrazení /: Cs[x] —>■ Ci[x] v bazích v z předchozího cvičení a standardní (l,x) na Ci[:r]. Najděte obrazy polynomů 2x — x3, 1 + X2, 1 + X + X2 + X3. 9. Ve standardních bazích na R3 a R5 je dáno zobrazení / maticí A, g maticí B. A Uvědomte si odkud kam tato zobrazení jdou a najděte matice jejich kompozic. Zjistěte, zda půjde o izomorfismus. 14.6. Lineární zobrazení II 1. Nechť /: R4 —>■ R4 je lineární zobrazení dané vztahem f(xi,X2,X3,X4) = {x\ + 2:^2 + 3aľ3 + 4:^4, Ax\ + 2>X2 + 2x^ + X4, x\ — 2x^ + 3^3 — X4, x\ + x^ + £3 + X4). a) Najděte báze jádra Ker/ a obrazu Im/. b) Doplňte bázi Im/ na bázi celého R4, nejlépe baží Ker/, pokud to půjde (promyslete si), a napište matici / v této nové bázi. 2. Matice lineárního zobrazení /: R3 ->• R3 v bázi u = ((1, 0,1), (0,1,1), (1,1,0)) je A = a) Zjistěte, zda je / izomorfismus. b) Pokud ano, najděte matici inverzního zobrazení ve standardní bázi. 3. Ve standardních bazích R4 [x] a Rg [x] určete matici zobrazení, které je definováno jako násobení pevně zvoleným polynomem g G R^ic]. / 1 2 -1\ 1 0 1 /-2 1 0 1 2 3 2 0 , B = 13 0 7 1 -1 1 V-2 0 0 1) \ 1 0 0 0 1 —>• R3 v bázi u -1 0 -1 -' ■) 1 0 / 114 (JAST 111. DUDATKY a) Zvolte sami několik různých g a najděte vždy dimenzi jádra příslušného zobrazení. b) Zjistěte dimenzi obrazu podprostoru (x2 + x3,x — x4) při některé volbě. Promyslete si dobře, co je skutečně nutné počítat v bodech a), b). 4. Určete dimenzi obrazu a jádra zobrazení, které je definováno jako násobení maticí A = I J v Mat2(C) a) zprava b) zleva. 5. Najděte dimenzi a bázi obrazu průniku podprostoru V\ a V2 C R4 při zobrazení /: K4 ->• R5. Přitom f(x, y, z,w) = (x + 2y + 3z + w, 2x - 3y - z - 12w, -x + y + 5w, -y - z - 2w, 2x - Zy - z - 12w), Vi = ((2, -1, -1,1), (-2,3,1, -1)}, V2 = ((0, 2, 0, 0), (1,1,1,1)). Dále zjistěte dimenzi vzoru podprostoru W C M5, generovaného vektorem (1,1,1,1,1). 14.7. Permutace a determinanty 1. Uvědomte si souvislost permutace a na množině X = {l,...,n} s pořadím Kl),..., (x(n)). , _. ^ (l 2 3 4 5 6\ (l 2 3 4 5 6\ a) Pro permutace ^=(g 1 5 4 2 1)'7r=(6 4 2 1 5 3/ Sp°C" těte kompozice a o 71", 7r o 1, a ostatní prvky nechť jsou samodružné, k nazýváme délka cyklu 7T. Ukažte, že parita této permutace je sgn(7r) = (—l)k~1. Odtud pak plyne, že je-li permutace a součinem cyklů 7Ti, ..., ns, o délkách ki,... ,ks pak parita je sgn(cr) = (-l)Si=ifcs-s. 3. Pro transpozici a = (1,..., j, ...,*,..., n) platí sgncr = H^>J- a^\~a^J'. Dokažte, že tentýž vztah platí pro libovolnou permutaci a. (Návod: Užijte vztah pro paritu součinu permutací a větu, že každá permutace je součinem transpozic.) 4. Rozložte následující permutace dané pořadím na cykly a spočtěte jejich paritu. a) (9,4,5,1,6,2,8,3,10,7) b) (9,19,5,18,10,13,20,3,12,15,11,1,4,16,8,2,17,6,7,14). 5. Určete paritu permutací: a) (n, n — 1,..., 2,1) b) (1, 3, 5,..., 2n - 3, 2n - 1, 2,4,..., 2n) c) (2, 3,1, 5, 6,4,..., 3n - 1, 3ra, 3n - 2). 6. Vypočtěte determinant dle definice: 1 0 0 1 0 2 3 1 1 0 -1 1 2 -3 1 0 14. (JVKJĽJNl K FKĽDJNASKAM 115 7. Spočtěte determinanty a) (l 2) matic ,, íl + i i h){s-i 2 + .) . / siná; — cosíc \ ycosa; siná; J ( 3 4 -3 -1 2 \ -5 6 5 2 3 d) 4 -9 -3 7 -5 -1 -4 1 1 -2 V-3 7 5 2 3 / /l 1 1 .12 3 e) 1 4 9 4 16 U 8 27 64/ 14.8. Výpočet determinantů a inverzních matic 1. Spočtěte úpravou na trojúhelníkový tvar nebo vhodným Laplaceovým rozvojem deteminanty matic 4 Z1 2 b) 1 3 \5 í1 2 4 5 1 Vi 0 1 0 1 o -1 o -1 o 3 0 6 0 1 2 3 5 6 0 3 0 4 6 0 4 0 7 0 7 1 1/ 3 Q\ 4 5 6 0 7 8 1 0 -1 1 1/ 2. Vypočtěte determinanty n-tého řádu z matice Dn G Matr (a 0 ... 0 0 ... 0 b\ 0 a ... 0 0 ... b 0 a) B 2n b) A 0 o . 0 o . 0 c . \c 0 . /nil 1 n 1 Vi 1 1 a b c d 0 0 0 0 • !\ . 1 n / 0 0 0 0 d 0 0 d) liti (JAST 111. DUDATKY 11 7 J 1 1 N 2 3 3 -1 -3 "2, 1 4 -2 2 9 3 -1 -6 -11 0 -1 -6 3. Spočtěte inverzní matice k daným maticím metodou využívající přímé a zpětné Gausovy eliminace a použitím algebraicky adjungované matice. x . w 5' aj b) \-l -3 -i) 3 -2 4 0 d) Všimněte si, že všechny tři matice mají determinant ±1, proto výsledné inverzní matice jsou celočíselné. Vzpomeňte obecný výsledek, který toto zajišťuje {A~x existuje právě, když \A\ je invertibilní skalár!) 14.9. Systémy lineárních rovnic I 1. Řešte systémy rovnic (a diskutujte jejich řešitelnost pro různé okruhy skalárů). (1) Ax\ + 3x2 + 6x3 = 1 3a; 1 + 5x2 + 4x3 = 10 xi — 2x2 + 2x3 = — 9 (2) 12xi -x2 + 5x3 = 30 3xi - 13x2 + 2x3 = 21 7xi + 2x2 + 3x3 = 15 (3) 2xi - 3x2 + 17x3 - 29x4 - 36x5 = 22 2xi — 3x2 + 18x3 — 27x4 + 33x5 = 21 12xi - 18x2 + 102x3 - 174x4 - 216x5 = 132 2xi - 3x2 + 21x3 - 24x4 - 30x5 = 20 2xi - 3x2 + 24x3 - 21x4 - 27x5 = 19 2. Diskutujte řešení předchozích rovnic z hlediska řešení příslušných homogenních systémů a najděte fundamentální sytémy řešení pro skaláry R. 3. Najděte takový systém rovnic nad R, aby platilo (1) množina jeho řešení je {(1 + 2s-t, 2t, -1 + s - ť)T e R3; s, t G R} (2) jeho fundamentálni systém řešení je {(1, 0, 0, 2,1), (0,1,1,1, 0), (1,1,1, 0, 2)} Umíte najít všechny takové systémy? 4. Řešte systém rovnic s parametrem a G K, uvažte přitom možnosti K = Z, Xi + X2 + 0x3 = 1 xi + a%2 + X3 = 1 OLX\ + X2 + X3 = 1 14. (JVKJĽ1N1 K FKĽDJNASKAM 117 5. Nad R řešte maticovou rovnici (1) 1 -5 -3 \X 1 -4 -3 1 -5 -3 -1 6 4 '\ -1 -2 3 2 4 ,1 4 0 (2) 3 2 4 • X Diskutujte přitom možnost nalezení inverzní matice, příp. použití fundamentálních systémů řešení homogeního systému. 14.10. Systémy lineárních rovnic II 1. Najděte fundamentální systém řešení následujícího systému lineárních rovnic a fundamentální systém řešení příslušného homogenního systému. 1 2 -1\ ( Xl 2 -5 4 ■ x2 4 -1 2/ \x3 Řešte nad skaláry Z, Zq, Z7. Diskutujte přitom použití Cramerova pravidla i Gausovy eliminace. 2. Ve vektorovém prostoru R4 najděte průnik podprostoru V\ a V2 zadaných ge-nerátory Vľ = ((1,1,1,1), (1, 0,1,0)), V2 = ((1,1, 0, 0), (0,1,1,1), (0,1,1, 0)). Spočtěte také průnik součtu V\ + V2 s podprostorem generovaným vektorem (1, —2, 3, —4). (Hodí se v tomto případě Crammerovo pravidlo?) 3. Považujte generátory podprostoru V\ a V2 z předchozího cvičení za prvky v (Z2)4, (Z3)4, resp. C4, a řešte znovu stejnou úlohu. Zejména si uvědomte, kolik prvků mají diskutované prostory a podprostory. 4. V prostoru polynomů Mq[x] uvažte podprostory V\ = {x2 + 2x3,—x3 + x6), V2 = (2 + x2, -1 + x6, x2 + x3 + 2a;4), V3 = {x2 + x6,1 + 3a;3 + x5,x3) a spočtěte jejich průnik a V\ + V2 + V3. 14.11. Vlastní vektory a vlastní hodnoty I 1. Dejte příklad zobrazení A: R3 ->• R3 pro které je KexA = ((1,0,0), (1,1,1)), Iim4= ((1,0,1)). 2. Rozhodněte, zda existuje lineární zobrazení A: R3 —>• R2, které zobrazí postupně vektory (1, 2, -3), (2,1, -2), (1, -4, 5) na vektory (1, 2), (2, 3), (1, 3). 3. Lineární zobrazení /: Mat2(R) —>■ R splňuje / ( n n ) = ^' -M n o )=^' •Mi ) = ^' ^ \ 1 ) = ^' najděte vyjádření / pomocí prvků matic, jádro, obraz. 118 (JAbi 111. DUJJATKY 4. Zobrazení A: R^rr] —>■ R^rr] je definováno předpisem A(f)(x) = f'"(x) — 2f"(x), kde čárky označují derivaci polynomů podle proměnné x. Ověřte, že A je lineární, spočtěte jeho jádro, obraz, vlastní hodnoty, vlastní vektory. 5. Nad skaláry K = R, C najděte vlastní hodnoty a vlastní vektory zobrazení /: K3 ^K3, které je v bázi ((1,1, 0), (1,-1, 0), (0, 0,1)) dané maticí A 6. Nad skaláry K = Z5, R, C najděte vlastní hodnoty a vlastní vektory zobrazení / q _2 /: K2 —>■ K2, které je ve standardní bázi dané maticí A = i 14.12. Vlastní hodnoty a vlastní vektory II 1. V R3 určete podprostor vlastních vektorů příslušných vlastní hodnotě 3 pro /3 0 0\ /3 1 0\ /3 1 0' matice ,4=0 3 0,5=0 3 0 I, C = I 0 3 1 \0 0 3/ \0 0 3/ \0 0 3 2. Zjistěte, zda je matice A podobná diagonální matici nad poli Q, R, C (to nastane právě když vlastní vektory generují celý prostor K3). 4 7 -5 -4 5 0 1 9 -4 a) A = 4 5 -4 b) A c) A 3. Nechť 0: y —>■ y je izomoríismus. Dokažte, že 0 a 0_1 mají stejné podprostory vlastních vektorů a zjistěte závislost mezi vlastními hodnotami (jsou to převrácené hodnoty, nula tam být stejně nemůže). 4. Nad skaláry K = R najděte vlastní čísla a vlastní vektory matic .M=i-i 2 -1 b)*= ; 02» 03 u u i / V 1 2 0 3 14.13. Vlastní hodnoty a vlastní vektory III 1. Zjistěte, jak závisí vlastní hodnoty a vlastní vektory matic A, B na parametrech a a ß. '2 3 0\ (2 3 0 ,4=14 10 £=4 1 0 a ß 2) \a ß 2 + a 14. (JVKJĽ1N1 K FKĽDJNASKAM iiy 2. Najděte Jordánovy kanonické tvary matic A, B, C. / 2 1 0\ /3 2 0\ A= -1 4 0 5=0 3 0 C = 3. Spočtěte vlastní hodnoty a vlastní vektory matice B = 3A4 — 2A3 + A2 — A + 6E (aniž byste počítali B\) '2 -1 1 A= I 4 -2 2 2-11 14.14. Afinní úlohy I 1. V rovině R2 ja dán trojúhelník ABC. Označme po řadě A', B', C středy jeho stran BC, AC, AB. Dokážte že v zaměření R2 platí (A' -A) + (B' -B) + (C - C) = 0. 2. Je dána přímka p : 2x + 3y — 6 = 0. Určete její parametrický popis. Jak se získá implicitní popis z parametrického? 3. Určete vzájemnou polohu polohu přímek (1) p : 2x - 3y + 4 = 0, q : 3x + 2y - 7 = 0 (2) p : (x, y) = (1, -1) + í(l, -2),q:2x + y-l = 0 (3) p : (x, y) = (2,1) + ŕ(-l, 3), q : (x, y) = (1, 3) + ŕ(2, -6) 4. Zjistěte vzájmenou polohu rovin (1) a : (x, y, z) = (1, -2, 3) + í(-l, 0,1) + s(2,1, 0) ß : (x, y, z) = (-1, 0,1) + ŕ(l, 1, 2) + s(-l, 3,1) (2) a : {x, y, z) = (2, -1,1) + í(l, 1,1) + s{\, -1, 0) ß: x + y-2z + l = 0 (3) a : 2x - y + z - 9 = 0, ß : x + y - z = 0 5. Najděte parametrické vyjádření přímky v R3 zadané f 2x-y + z-9 = 0 [ x + y — z = i) Jak vypadají rovnice všech rovin procházejících danou přímkou p (tzv. svazek rovin)? Jak se získá jejich obecná rovnice z parametrického, resp. implicitního tvaru p. Zadejte parametricky i implicitně přímku, resp. rovinu zadanou dvěmi, resp. třemi, body. Zadání volte sami. 6. Najděte příčku mimoběžek p, q procházející bodem M. Je dáno M = (7,0,4), p : (x, y, z) = (2, -1,1) + ŕ(l, 2,1), q : (x, y, z) = (1,1,1) + t(2, -1,1) Jak se hledá příčka zadaná směrem? 12U (JAST 111. DUDATKY 14.15. Afinní úlohy II afinní souřadnice, poměry, konvexnost 14.16. Prostory se skalalárním součinem I 1. Zjistěte, zda je zobrazení g: R2 x R2 —>• R skalární součin. g(x, y) = xiyi + xxy2 + x2yi + x2y2 g(x, y) = Axxy-i + 2xxy2 + 5x2y2 g(x, y) = xtyt + xxy2 + x2yx + 2x2y2 2. Zkuste na R2 najít takový skalární součin, aby vektory m a f na sebe byly kolmé (1)«= (1,2), « = (2, 3) (2) «=(-5, 2), « = (10,-4) 3. Grammovým-Schmidtovým ortogonalizačním procesem sestrojte ortonormální bázi podprostoru L = ((1,1, -1, -1), (1, -1,1,1), (-1, -2,0,1)) ve standardním euklideovském R4. 4. Najděte ortogonální bázi vektorového prostoru B,s[x] se skalárním součinem definovaným vztahem / • g = J_1 f(x)g(x)dx. Najděte matici přechodu od standardní báze (1 3) do nalezené báze. 5. Najděte ortogonální průmět vektoru (1,2,3) do podprostoru L =((-1,1,1), (1,1,1)). 14.17. Prostory se skalárním součinem II 1. Na vektorovém prostoru Cn[x] definujte skalární součin tak, aby byla báze (1, x, i^x2,..., ^\Xn) ortonormální. 2. Najděte ortonormální bázi podprostoru L = ((3, 2, -4, -6), (8,1, -2, -16), (5,12, -14, 5), (11,3,4, -7)) C R4 ve standardním euklideovském prostoru. 3. Nejděte ortonormální fundamentální systém řešení systému rovnic 2x\ — x2 + 5aľ3 + 7x/í = 0 Ax\ — 2x2 + 7aľ3 + 5x4 = 0 2x\ — x2 + X3 — 5x4 = 0 14. (JVKJĽJNl K FKĽDJNASKAM 121 4. Pokud to jde, doplňte dané vektory na ortogonální bázi standardního euklidovského prostoru. (Kolik máme možností?) (1)«= (2, 2,1), « = (-2,1,2) (2) «= (-3,1,-2, 2), « = (4, 2,-3, 2). 5. Určete všechny hodnoty parametrů a, b, c, pro které je matice a 0 2c i 1b i VŠ áj\J Vě -a ____l_ c A \ — rt----------- s/2 ortogonální. Pro tyto hodnoty spočtěte příslušný kanonický tvar. (Promyslete geometrické vlastnosti transformace!) 6. Zkuste definovat na R3 dva skalární součiny tak, aby zobrazení cp: R3 —>■ R3, ip(xi,X2,xs) = (xi + X2 + xz, —x\ + x2,X3), bylo ortogonální. 14.18. Ortogonální průměty a ortogonální zobrazení 1. Najděte ortogonální doplněk podprostoru P = ((-1, 2, 0,1), (3,1, -2, 4), (-4,1, 2, -4)) v R4 se standardním skalárním součinem. Pak najděte kolmé průměty vektorů standardní báze do P a P±. 2. Nechť je L = (m, v, w) C R4. Nejděte kolmý průmět vektoru z do L a L1-. (1) z = (4,2, -5,3), u = (5,1,3,3), v = (3, -1, -3,5), w = (3, -1, 5, -3) (2) z = (2, 5, 2, -2), u = (1,1, 2, 8), « = (0,1,1,3),«; = (1, -2,1,1) 3. Najděte (přímým výpočtem) všechny ortogonální a unitární matice řádu 2, pak všechny ortogonální s kladným determinantem. 4. Zjistěte, zda je ortogonální transformace daná maticí A kompozicí reflexe a rotace, či zda se jedná pouze o rotaci, a najděte osu a úhel této rotace. 14.19. Bilineární a kvadratické formy 1. Zjistěte, zda je zobrazení /: R2 x R2 —>■ R bilineární forma na R2. Pokud ano, rozhodněte, zda je symetrická nebo antisymetrická. (1) f(x,y) = x\%)2 (2)f(x,y) = xiyi + 2y2-12 (3) f(x, y) = xxy2 - x2yi + xxyx (iß 0 Vě \ 1 1 i x/3 V2 Vě \~73 1 VE J a/2 122 (JAbi 111. DUJJATKY 2. Určete hodnost bilineární formy f (x, y) = x\y\ + 2xiy\ — ^21/2 + ^zVi na R3 a najděte její matici v (1) standardní bázi R3 (2) v bázi (1,1,1), (0,1,1), (1,0,1) 3. Uvažme bilineární formu h(x, y) = 2x\y\ — Ax\]j2 — 3:e2?/2 + ^iVz — Ax%y2 — xzVz definovanou na C3 a nechť f (x) je jí definovaná kvadratická forma. (1) Napište analytické vyjádření /. (2) Najděte polární formu g pro /. 4. Určete hodnost kvadratické formy f(x) = x\—2x\X2Jr%x 1X3—2x2X3, uvažujeme-li / jako formu na C3, resp. na R5. 5. Najděte diagonální tvar formy / na R3 pomocí algoritmu doplnění na čtverce (1) /je daná formulí z předchozího cvičení (2) f(x, y) = Ax\ + 2x\ + \hx\ + Ax\X2 — AxiXs — 8x2X3 (3) f(x, y) = xxX2 + xľx3 + x2x3 14.20. Reálné a komplexní kvadratické formy 1. Najděte kanonické tvary kvadratických forem na C3 daných vztahy (2), (3) z cvičení 5 předchozí série. Najděte také příslušné polární báze. 2. Zjistěte vlastnosti reálných kvadratických forem, např. dennitnost, pozitivní definitnost apod. (pozor na závislost na prostoru V na němž je forma definována) (1) f(x) = x\ — X\X2 + x\ (2) f(x) = 2x\X2 + Ax\Xs (3) f(x) = —2x\ — &X2 — 3^3 + 2a;ia;2 + Ax\Xz — 2x2X2, 3. Najděte všechny hodnoty parametru aeR, pro které je kvadratická forma / na R3 positivně definitní, resp. negativně definitní (použijte Sylvestrovo kriterium) (1) f(x) = x\ + x\ + Aax\X2 + a2x\Xz (2) f(x) = ax\ + ax\ + (a — 3)a;| + 2:ri:r2 + 2ax\Xz + 2aľ2^3 14.21. Metrické úlohy I 1. V rovině E% je dán obdélník ABCD. Dokažte že v jejím zaměření R2 se standardním skalárním součinem platí (A — M) • (C — M) = (B — M) • (D — M). 2. Ukažte, že ortogonální doplněk zaměření nadroviny v En zadané implicitně rj : ciiXi + - • - + anxn + ao = 0 je generován tzv. normálovým vektorem v = (ai,... , an). Ukažte, že pro vzdálenost bodu A = (yi,... , yn) od r\ platí Qiž/i H-------\- anyn + ap y/al -\-------ha2 14. (JVKJĽ1N1 K FKĽDJNASKAM 123 3. Určete pro jaké vektory v £2, -£"3 platí (1) ||m + v\\ = \\u — v\\ (2) ||« + v\\ = \\u\\ — \\v\\ (3) ||m + v\\ > \\u\\ — \\v\\ (4) ||m + v\\ > \\u — v\\ 4. Najděte souřadnice vrcholů krychle ABCDEFGH, je-li A = (1,-1,3), B = (3, 0, 5), D = (—1,1,4) (pokud existuje). 5. Napište rovnici přímky p, která obsahuje M = (3, 2) a s přímkou q : \/3x—y-\-3 = 0 svírá úhel ^, resp. ^. 6. Určete bod Q souměrný k bodu P = (3,-1,4) podle přímky p : (x, y, z) = (-7,-4,7) + í(4,3,-l). 7. Najděte osu mimoběžek p : (x, y, z) = (0, —15, —6) + ŕ(2, —1, 3), q : (x, y, z) = (3,4,2) + s(4,2,-3). 14.22. Metrické úlohy II 1. Ukažte, že odchylka dvou nadrovin je rovna odchylce jejich normálových vektorů. 2. Spočtěte výšku pravidelného čtyřstěnu ABC D v £3 a odchylky jeho protilehlých hran . 3. Spočtěte povrch a objem čtyřstěnu ABCD v £3 je-li A = (1,-1,2), B = (2,0,-2), C =(3, -2,0), D = (1,1,1). 4. Spočtěte objem a výšku čtyřbokého jehlanu ABCDV v £3, je-li A = (2, —1, 2), B = (0,0,5), C = (-1, 0,5), D = (4, -3, -4), V = (1, 2,1). Dále určete odchylky jeho hran od podstavy. 14.23. Metrické úlohy III 1. Uvažme n - 1 vektorů uľ = (xlľ,..., xln),..., un_ľ = (aľ(n_i)i,..., rc(n-i)n) v standardním orientovaném euklidovském vektorovém prostoru Rn. Dále uvažme matici / Vi V2 ■■■ Vn \ xlt x12 ... xln A = \x(n-l)l x(n-l)2 ••• ^(n-l)n/ Ukažte, že vektor un = (Au,..., A\n), kde A{j jsou algebraické doplňky prvků a^-matice A má následující vlastnosti: (1) un je kolmý na všechny (2) velikost vektoru ||nn|| je rovna (neorientovanému) objemu rovnoběžnostěnu zadaného vektory u\,... , ií(n_i) (3) ui,... ,un je báze Rn kompatibilní s orientací. V dimenzi 2 tak dostáváme obvyklý vektorový součin dvou vektorů u\, u2. 124 (JAST 111. DUDATKY 2. Najděte kanonické rovnice a osy kuželosečky dané ve standardní souřadné soustavě rovnicí (1) x2 + y2 + Axy + 2x + 1 = 0 (hyperbola s vrcholem v (— g , — ^ ) a osami ve směrech (±-^, 2 )) (2) 2x2 — 3y2 + 5:cy + x + 10y — 3 (dvě různoběžné přímky) 3. Napište rovnici kružnice procházející bodem A = (1,2) a dotýkající se přímek p : x — y + 3 = 0, q : x — y — 1 = 0. 14.24. Adjungovaná zobrazení 1. Lineární zobrazení R3 je dáno vztahem íp(x, y, z) = (x - 2y + z, x + 2>z, -y - z) (1) Spočtěte duální zobrazení cp* : R3* ->■ R3* (2) adjungované zobrazení cp* : R3 —>■ R3 vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu na R3. (3) adjungované zobrazení (p* : R3 —>■ R3 vzhledem ke skalárnímu součinu {(x, y, z), (x', y', z')) = 2xx' + xy' + x'y + 2yy' + y z' + y'z + z z'. 2. Na C4 se standardním skalárním součinem určete, kdy je samoadjungované zobrazení