Řešené úlohy ke cvičení č. 11
Úloha 1. Nad R řešte soustavu lineárních rovnic
x1 + x2 - 2x3 - 2x4 - x5 = -2,
2x1 - x2 + 2x3 - x4 - 2x5 = -1,
rx1 - x2 + 3x3 + 3x4 + x5 = -1,
3x1 - x2 + 3x3 + rx4 - x5 = -3.
Proveďte diskusi řešení v závislosti na hodnotě parametru r  R.
Řešení. Elementárními řádkovými úpravami převádíme roz-
šířenou matici soustavy nejprve na schodovitý tvar:




1 1 -2 -2 -1
2 -1 2 -1 -2
r -1 3 3 1
3 -1 3 r -1
-2
-1
-1
-3









1 1 -2 -2 -1
0 -3 6 3 0
0 -r - 1 2r + 3 2r + 3 r + 1
0 -4 9 r + 6 2
-2
3
2r - 1
3









1 1 -2 -2 -1
0 1 -2 -1 0
0 0 1 r + 2 r + 1
0 0 1 r + 2 2
-2
-1
r - 2
-1









1 1 -2 -2 -1
0 1 -2 -1 0
0 0 1 r + 2 r + 1
0 0 0 0 1 - r
-2
-1
r - 2
1 - r



 .
Dále pokračujeme převodem této rozšířené matice soustavy na
Gauss-Jordanův tvar. Zde ale musíme rozlišit dva případy:
1
pro r = 1 :





1 1 -2 -2 0
0 1 -2 -1 0
0 0 1 r + 2 0
0 0 0 0 1
-1
-1
-3
1



 




1 1 0 2r + 2 0
0 1 0 2r + 3 0
0 0 1 r + 2 0
0 0 0 0 1
-7
-7
-3
1









1 0 0 -1 0
0 1 0 2r + 3 0
0 0 1 r + 2 0
0 0 0 0 1
0
-7
-3
1



 .
V tomto případě je partikulárním řešením dané soustavy napří-
klad vektor (0, -7, -3, 0, 1) a množinou všech řešení zhomogeni-
zované soustavy je jednorozměrný podprostor vektorového pro-
storu R5
generovaný například vektorem (1, -2r-3, -r-2, 1, 0).
Takže v tomto případě množinou všech řešení dané soustavy li-
neárních rovnic je lineární varieta v R5
tvaru
(0, -7, -3, 0, 1) + (1, -2r - 3, -r - 2, 1, 0) ,
jejíž zaměření je tedy závislé na hodnotě parametru r  R-{1}.
Zbývá ještě vyřešit případ:
pro r = 1 :




1 1 -2 -2 -1
0 1 -2 -1 0
0 0 1 3 2
0 0 0 0 0
-2
-1
-1
0



 




1 1 0 4 3
0 1 0 5 4
0 0 1 3 2
0 0 0 0 0
-4
-3
-1
0









1 0 0 -1 -1
0 1 0 5 4
0 0 1 3 2
0 0 0 0 0
-1
-3
-1
0



 .
V daném případě je partikulárním řešením této soustavy napří-
klad vektor (-1, -3, -1, 0, 0) a množinou všech řešení zhomo-
genizované soustavy je dvourozměrný podprostor vektorového
2
prostoru R5
, jehož bázi tvoří například vektory (1, -5, -3, 1, 0)
a (1, -4, -2, 0, 1). Dostáváme tak lineární varietu
(-1, -3, -1, 0, 0) + (1, -5, -3, 1, 0), (1, -4, -2, 0, 1)
v R5
, která je množinou všech řešení zadané soustavy lineárních
rovnic v případě, kdy r = 1.
Úloha 2. Nad R řešte soustavu lineárních rovnic
x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 2,
x1 + 4x2 - x3 + 2x4 = 1,
x1 + 2x2 + 4x3 - tx4 = 2,
x1 + x2 - sx3 - tx4 = 3.
Proveďte diskusi řešení v závislosti na hodnotách parametrů
s, t  R.
Řešení. Elementárními řádkovými úpravami opět převá-
díme rozšířenou matici soustavy nejprve na schodovitý tvar:




1 3 1 2
1 4 -1 2
1 2 4 -t
1 1 -s -t
2
1
2
3



 




1 3 1 2
0 1 -2 0
0 -1 3 -t - 2
0 -2 -s - 1 -t - 2
2
-1
0
1









1 3 1 2
0 1 -2 0
0 0 1 -t - 2
0 0 -s - 5 -t - 2
2
-1
-1
-1









1 3 1 2
0 1 -2 0
0 0 1 -t - 2
0 0 0 (s + 6)(t + 2)
2
-1
-1
s + 6



 .
Dále zase pokračujeme převodem rozšířené matice soustavy na
Gauss-Jordanův tvar. Tady ale postupně rozlišíme následující
případy:
3
pro s = -6, t = -2 :




1 3 1 2
0 1 -2 0
0 0 1 -t - 2
0 0 0 t + 2
2
-1
-1
1



 




1 3 1 0
0 1 -2 0
0 0 1 0
0 0 0 1
2t+2
t+2
-1
0
1
t+2









1 3 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
2t+2
t+2
-1
0
1
t+2



 




1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
5t+8
t+2
-1
0
1
t+2



 .
V tomto případě je tedy jediným řešením dané soustavy lineár-
ních rovnic vektor
5t+8
t+2 , -1, 0, 1
t+2
prostoru R4
závislý na hodnotě parametru t  R - {-2}. Dále
pro s = -6, t = -2
je z předchozího schodovitého tvaru rozšířené matice soustavy
vidět, porovnáme-li hodnosti matice soustavy a rozšířené matice
soustavy, že tady soustava nemá řešení. Zbývá vyřešit případ:
pro s = -6 :




1 3 1 2
0 1 -2 0
0 0 1 -t - 2
0 0 0 0
2
-1
-1
0



 




1 3 0 t + 4
0 1 0 -2t - 4
0 0 1 -t - 2
0 0 0 0
3
-3
-1
0









1 0 0 7t + 16
0 1 0 -2t - 4
0 0 1 -t - 2
0 0 0 0
12
-3
-1
0



 .
Tady ovšem obdobně jako v předchozí úloze obdržíme jednoroz-
měrnou lineární varietu v R4
tvaru
(12, -3, -1, 0) + (-7t - 16, 2t + 4, t + 2, 1) ,
jejíž zaměření je závislé na hodnotě parametru t  R, která je
množinou všech řešení dané soustavy v případě, kdy s = -6.
4