Řešené úlohy ke cvičení č. 12
Úloha 1. Nechť lineární zobrazení  : R3
 R4
je dáno svou
maticí
A =




2 1 3
1 3 -2
3 -2 -1
-2 -1 -3




vzhledem k bázi
f1 = (2, 3, 3), f2 = (1, 2, 3), f3 = (1, 1, 2)
prostoru R3
a bázi
g1 = (1, 2, 2, 2), g2 = (0, 1, 2, 2),
g3 = (0, 0, 1, 2), g4 = (0, 0, 0, 1)
prostoru R4
. Nechť lineární transformace  : R4
 R4
je dána
svými hodnotami
((1, 0, 0, 0)) = (0, -1, -1, -1),
((0, 1, 0, 0)) = (1, 0, -1, -1),
((0, 0, 1, 0)) = (1, 1, 0, -1),
((0, 0, 0, 1)) = (1, 1, 1, 0)
na vektorech kanonické báze prostoru R4
. Přesvědčte se, že 
je izomorfismus prostoru R4
na R4
, najděte matici složeného
lineárního zobrazení
-1
  : R3
 R4
vzhledem ke kanonickým bázím prostorů R3
a R4
a napište
vztahy, podle nichž se pro libovolný vektor x = (x1, x2, x3) pro-
storu R3
vypočtou složky jeho obrazu y = (y1, y2, y3, y4) v R4
při uvedeném složeném zobrazení.
1
Řešení. Lineární transformace  má vzhledem ke kanonické
bázi prostoru R4
matici
B =




0 1 1 1
-1 0 1 1
-1 -1 0 1
-1 -1 -1 0



 .
Metodou elementárních řádkových úprav zjistíme, zda k této
matici existuje matice inverzní:




0 1 1 1
-1 0 1 1
-1 -1 0 1
-1 -1 -1 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1



 




1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 -1 1 -1
1 0 -1 1
-1 1 0 -1
1 -1 1 0



 .
K matici B je tedy inverzní maticí matice
B-1
=




0 -1 1 -1
1 0 -1 1
-1 1 0 -1
1 -1 1 0



 .
Matice B je tedy regulární, což znamená, že lineární trans-
formace  je izomorfismus. Maticí inverzního izomorfismu -1
vzhledem ke kanonické bázi prostoru R4
je matice B-1
.
Maticí přechodu od kanonické báze prostoru R3
k bázi f1, f2, f3
je matice
S =


2 1 1
3 2 1
3 3 2

 .
Maticí přechodu od báze f1, f2, f3 ke kanonické bázi prostoru R3
je tedy inverzní matice S-1
. Metodou elementárních řádkových
úprav


2 1 1
3 2 1
3 3 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1

 



1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
2
1
2 -1
2
-3
2
1
2
1
2
3
2 -3
2
1
2



2
zjistíme, že
S-1
=
1
2


1 1 -1
-3 1 1
3 -3 1

 .
Maticí přechodu od kanonické báze prostoru R4
k bázi g1, g2,
g3, g4 je matice
T =




1 0 0 0
2 1 0 0
2 2 1 0
2 2 2 1



 .
Maticí přechodu od báze g1, g2, g3, g4 ke kanonické bázi prostoru
R4
je tedy inverzní matice T-1
. Lineární zobrazení  má tudíž
vzhledem ke kanonickým bazím prostorů R3
a R4
matici
T-1 -1
 A  S-1
= T  A  S-1
.
Takže maticí složeného lineárního zobrazení -1
  vzhledem
ke kanonickým bazím prostorů R3
a R4
je pak součin matic
B-1
 T  A  S-1
.
Jinou možností, jak k tomuto zjištění dospět, je následující
postup využívající násobení matic nad vektorovými prostory R3
a R4
maticemi nad tělesem reálných čísel R. Fakt, že uvedená
matice B je maticí lineární transformace  vzhledem ke kano-
nické bázi c = c1 c2 c3 c4 prostoru R4
, znamená, že platí
rovnost
(c) = c  B.
Výše bylo zjištěno, že matice B je regulární, takže lineární trans-
formace  je izomorfismem, existuje inverzní izomorfismus -1
a z předchozí rovnosti plyne, že pak
c = -1
((c)) = -1
(c  B) = -1
(c)  B,
3
odkud vyplývá rovnost
-1
(c) = c  B-1
.
Fakt, že maticí přechodu od kanonické báze e = e1 e2 e3
prostoru R3
k bázi f = f1 f2 f3 je výše uvedená matice S,
znamená, že platí rovnost
f = e  S,
odkud plyne rovnost
e = f  S-1
.
Fakt, že maticí přechodu od kanonické báze c prostoru R4
k bázi
g = g1 g2 g3 g4 je matice T, znamená, že platí rovnost
g = c  T.
Dále fakt, že maticí lineárního zobrazení  : R3
 R4
vzhledem
k bázím f a g prostorů R3
a R4
je matice A, znamená, že platí
rovnost
(f) = g  A.
Z těchto rovností pak s využitím linearity zobrazení  a -1
postupně dostáváme
(-1
 )(e) = -1
((e)) = -1
((f  S-1
)) = -1
((f)  S-1
)
= -1
(g  A  S-1
) = -1
(c  T  A  S-1
)
= -1
(c)  T  A  S-1
= c  B-1
 T  A  S-1
,
takže opět vychází, že maticí složeného lineárního zobrazení
-1
  vzhledem ke kanonickým bazím e a c prostorů R3
a R4
je součin matic B-1
 T  A  S-1
.
Vynásobením uvedených matic pak vychází, že
B-1
 T  A  S-1
=




0 -4 2
3 2 -3
1 -9 6
0 4 -2



 .
4
Znamená to, že pro libovolný vektor x = (x1, x2, x3) prostoru R3
a jeho obraz y = (y1, y2, y3, y4) v R4
při zobrazení -1
  platí:
y1 = -4x2 + 2x3,
y2 = 3x1 + 2x2 - 3x3,
y3 = x1 - 9x2 + 6x3,
y4 = 4x2 - 2x3.
Úloha 2. Nechť lineární zobrazení  : R3
 R4
je dáno
svými hodnotami
((1, -1, 0)) = (0, -1, -1, 0),
((0, 1, -2)) = (2, 2, 2, 1),
((0, 0, 2)) = (1, 2, 3, 3)
a nechť lineární zobrazení  : R4
 R3
je dáno svými hodnotami
((1, 0, 0, 0)) = (1, 1, 0),
((1, 1, 0, 0)) = (0, 2, 1),
((1, 1, 1, 0)) = (1, 0, 1),
((1, 1, 1, 1)) = (1, 1, 1).
Zjistěte, zda složené lineární zobrazení, tedy lineární transfor-
mace    : R3
 R3
je izomorfismus prostoru R3
na R3
, a je-li
tomu tak, najděte matici inverzní lineární transformace ()-1
vzhledem ke kanonické bázi prostoru R3
.
Řešení. Vektory
f1 = (1, -1, 0), f2 = (0, 1, -2), f3 = (0, 0, 2)
tvoří bázi prostoru R3
a vektory
g1 = (1, 0, 0, 0), g2 = (1, 1, 0, 0),
g3 = (1, 1, 1, 0), g4 = (1, 1, 1, 1)
5
tvoří bázi prostoru R4
. Lineární zobrazení  má vzhledem k bázi
f1, f2, f3 prostoru R3
a kanonické bázi prostoru R4
matici
A =




0 2 1
-1 2 2
-1 2 3
0 1 3



 .
Lineární zobrazení  má vzhledem k bázi g1, g2, g3, g4 prostoru
R4
a kanonické bázi prostoru R3
matici
B =


1 0 1 1
1 2 0 1
0 1 1 1

 .
Maticí přechodu od kanonické báze prostoru R3
k bázi f1, f2, f3
je matice
P =


1 0 0
-1 1 0
0 -2 2

 .
Maticí přechodu od báze f1, f2, f3 ke kanonické bázi prostoru R3
je tedy inverzní matice P-1
. Elementárními řádkovými úpravami


1 0 0
-1 1 0
0 -2 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1

 


1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
1 1 0
1 1 1
2


zjistíme, že
P-1
=


1 0 0
1 1 0
1 1 1
2

 .
Maticí přechodu od kanonické báze prostoru R4
k bázi g1, g2,
g3, g4 je matice
Q =




1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 0 1



 .
6
Maticí přechodu od báze g1, g2, g3, g4 ke kanonické bázi pro-
storu R4
je tedy inverzní matice Q-1
. Elementárními řádkovými
úpravami




1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1



 




1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 -1 0 0
0 1 -1 0
0 0 1 -1
0 0 0 1




zjistíme, že
Q-1
=




1 -1 0 0
0 1 -1 0
0 0 1 -1
0 0 0 1



 .
Maticí lineárního zobrazení  vzhledem ke kanonickým bazím
prostorů R3
a R4
je pak matice A  P-1
a maticí lineárního zob-
razení  vzhledem ke kanonickým bazím prostorů R4
a R3
je
matice B  Q-1
. Maticí lineární transformace    vzhledem ke
kanonické bázi prostoru R3
je tudíž součin matic
B  Q-1
 A  P-1
.
Jinak, postupem využívajícím násobení matic nad vektoro-
vými prostory R3
a R4
maticemi nad tělesem reálných čísel R,
lze k témuž zjištění dospět následovně. To, že výše uvedené ma-
tice A a B jsou maticemi lineárních zobrazení  a , první
z nich vzhledem k bázi f = f1 f2 f3 prostoru R3
a kano-
nické bázi c = c1 c2 c3 c4 prostoru R4
a druhá z nich vzhle-
dem k bázi g = g1 g2 g3 g4 prostoru R4
a kanonické bázi
e = e1 e2 e3 prostoru R3
, znamená, že platí rovnosti
(f) = c  A a (g) = e  B.
Dále to, že výše uvedené matice P a Q jsou maticemi přechodu,
první z nich od kanonické báze e k bázi f prostoru R3
a druhá
7
z nich od kanonické báze c k bázi g prostoru R4
, znamená, že
platí rovnosti
f = e  P a g = c  Q.
Odtud plynou rovnosti
e = f  P-1
a c = g  Q-1
.
Z těchto rovností pak s využitím linearity zobrazení  a  po-
stupně dostáváme
(  )(e) = ((e)) = ((f  P-1
)) = ((f)  P-1
)
= (c  A  P-1
) = (g  Q-1
 A  P-1
)
= (g)  Q-1
 A  P-1
= e  B  Q-1
 A  P-1
,
takže tímto způsobem opět vychází, že maticí lineární transfor-
mace    vzhledem ke kanonické bázi e prostoru R3
je součin
matic B  Q-1
 A  P-1
.
Vynásobením uvedených matic vyjde, že
B  Q-1
 A  P-1
=


4 4 1
2 1 0
3 4 1

 .
Metodou elementárních řádkových úprav zjistíme, zda k této
matici existuje matice inverzní:


4 4 1
2 1 0
3 4 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1

 


1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 -1
-2 1 2
5 -4 -4

 .
K matici B  Q-1
 A  P-1
je tedy inverzní maticí matice
B  Q-1
 A  P-1 -1
=


1 0 -1
-2 1 2
5 -4 -4

 .
8
Matice B  Q-1
 A  P-1
je tedy regulární, což znamená, že line-
ární transformace    je izomorfismus. Maticí inverzního izo-
morfismu (  )-1
vzhledem ke kanonické bázi prostoru R3
je
pak uvedená inverzní matice B  Q-1
 A  P-1 -1
.
9