Domácí úlohy ke cvičení č. 1
1. V každém z následujících případů rozhodněte, zda pro uvedené dvě množiny platí rov-
nost nebo alespoň některá z inkluzí při libovolných množinách A, B, C, anebo zda lze
najít množiny A, B, C, pro něž jsou uvedené dvě množiny inkluzí neporovnatelné. (Ne-
porovnatelnost dvou množin inkluzí se značí symbolem ||.) Je-li více platných možností,
vyberte tu z nich, která vztah mezi danými dvěma množinami vyjadřuje nejvýstižněji.
a) (C - (A  B))  (A  B) =   || (A  B  C) - ((A  B)  C)
b) (A  C) - ((A  C) - B) =   || (C - (A - B))  (A - C)
c) ((A  C)  B) - (A - C) =   || ((A - B)  C)  (B - A)
d) A  ((B - C)  (C - B)) =   || (A  C)  (B - C)
e) (A - C)  ((B  C) - A) =   || (C - A)  ((A  B) - C)
f) (A  (B - C))  ((A - C)  B) =   || ((A  B) - C) - (A  B)
g) (A  C) - (B - (A  C)) =   || (A - (B  C))  (C - A)
V dalších úlohách budeme pracovat s množinou
N = {1, 2, 3, . . . }
všech přirozených čísel a s množinou
Z = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . }
všech celých čísel. Dále řekneme, že číslo a  Z dělí číslo b  Z, jestliže existuje číslo z  Z
takové, že b = az. Potom rovněž říkáme, že číslo a je dělitel čísla b, a tuto skutečnost symboly
zapisujeme ve tvaru a | b.
2. Pro každou z následujících dvojic binárních relací ,   Z × Z rozhodněte, která z dále
uvedených relací je rovna složení těchto relací   . Definice všech dále uvedených relací
jsou formulovány pro všechna a, b  Z.
1
a) a b  ab  0, a  b  ab < 0,
a   b  (1) a = 0 & ab  0,
(2) a = 0 & ab  0,
(3) ab  0 & b = 0,
(4) ab < 0.
b) a b  |b - a|  2, a  b  7 | (b - a),
a   b  (1) 5 | (b - a)  6 | (b - a)  7 | (b - a),
(2) 5 | (b-a)  6 | (b-a)  7 | (b-a)  8 | (b-a)  9 | (b-a),
(3) (q  Z) (r  {-2, -1, 0, 1, 2}) ( b - a = 7q + r ),
(4) (q  Z) (r  {0, 1, 2}) ( |b - a| = 7q + r ).
c) a b  a | b & |a| < |b|, a  b  a | b & |a| = |b|,
a   b  (1) a | b & |a| < |b| & |b/a| není prvočíslo,
(2) a | b & |a| = |b| & |b/a| není liché prvočíslo,
(3) a | b & a = 0 & |b/a| není prvočíslo,
(4) a | b & |a| = |b| & |b/a| není prvočíslo.
d) a b  |a - b|  9,
a  b  |a - b|  5,
a   b  (1) |a - b|  14,
(2) |a - b|  14,
(3) |a - b|  4,
(4) |a - b|  4.
e) a b  |a - b|  8,
a  b  |a + b|  3,
a   b  (1) |a - b|  5,
(2) |a + b|  5,
(3) |a - b|  5,
(4) |a + b|  5.
3. O každé z následujících relací   (N  {0}) × (N × N) rozhodněte, zda tato relace 
je zobrazením, a pokud ano, pak zda toto zobrazení je či není injektivní, případně
surjektivní. Tytéž otázky zodpovězte taktéž pro inverzní relaci -1
. Ve všech případech
jsou definice relace  formulovány pro všechna a  N  {0} a všechna (b, c)  N × N.
a) a  (b, c)  b  a  c
b) a  (b, c)  a = b + (-1)c
c) a  (b, c)  a = cbc
d) a  (b, c)  b = 3a
+ (-1)a
& c = 5a
+ (-3)a
e) a  (b, c)  2a
= (2a + 3)(b - 1) + c & c < 2a + 3
f) a  (b, c)  (d  N)( b = ac + d - 1 & d  c )
g) a  (b, c)  a + 1 = b2
c & (d  N)( d2
| c  d = 1)
2