Domácí úlohy ke cvičení č. 9
1. V závislosti na hodnotách reálných parametrů s, t určete hodnosti
matic :






3 1 1 4 5
1 -1 3 2 3
1 -2 5 1 5
2 s -2 2 2
0 1 -s 4 -4






,






1 2 -1 -2 1
-2 -1 2 1 -1
1 2 t -1 2
-2 -1 3 0 t
0 3 -1 t 2






.
2. V každém z následujících případů rozhodněte, zda pro uvedené
dva podprostory P, Q vektorového prostoru (R5
, +, ) platí rov-
nost P = Q nebo alespoň některá z inkluzí P  Q či P  Q,
případně zda jsou tyto dva podprostory inkluzí neporovnatelné,
což se značí zápisem P || Q. Je-li více platných možností, vyberte
tu z nich, která vztah mezi danými dvěma podprostory vyjadřuje
nejvýstižněji.
a) P = (1, 2, -1, 3, 1), (2, -1, 1, 2, -2), (1, -1, 2, -1, 3) ,
Q = (1, 1, 2, -1, 9), (1, 3, -1, 3, 4) ,
b) P = (1, 3, -2, 1, -1), (2, -1, 1, 3, -3), (3, -5, 4, 5, -5) ,
Q = (1, -4, 3, 2, -2), (0, 7, -5, -1, 1) ,
c) P = (1, 2, -3, -1, -2), (2, 3, -1, -2, 1), (1, 3, -8, -1, -7) ,
Q = (1, -1, -2, 3, 2), (1, 4, 1, -5, -1) ,
d) P = (2, -1, 1, 1, -1), (1, 2, -3, -1, 2), (2, 1, -2, 1, -1) ,
Q = (1, -2, 2, -3, 2), (2, -1, 1, 1, -4) ,
e) P = (1, -2, -1, 1, 2), (3, -6, -3, 3, 6), (2, -4, -2, 2, 4) ,
Q = (1, 3, -2, -1, 2), (1, -7, 0, 3, 2) .
1
3. V obou následujících případech vyberte ze zadaných vektorů
u1, u2, u3, u4, u5 bázi podprostoru u1, u2, u3, u4, u5 vektorového
prostoru (R5
, +, ) a zbývající vektory vyjádřete jako lineární
kombinace vektorů vámi vybrané báze.
a) u1 = (1, 3, -2, 1, -1),
u2 = (2, 1, -1, -2, 1),
u3 = (1, -2, 1, -3, 2),
u4 = (3, -1, 2, 1, -2),
u5 = (2, 1, 1, 4, -4),
b) u1 = (1, -3, 1, 3, -2),
u2 = (2, -2, 3, 1, -1),
u3 = (3, 1, 2, -1, 2),
u4 = (1, 5, -4, -2, 5),
u2 = (2, -1, 3, 5, 4).
4. V obou následujících případech rozhodněte, zda dané lineárně
nezávislé vektory u1, u2 leží v podprostoru vektorového prostoru
(R5
, +, ) generovaném vektory w1, w2, w3, w4, a je-li tomu tak,
vyberte z této druhé sady vektorů vhodné vektory tak, aby tyto
vybrané vektory spolu s vektory u1, u2 tvořily bázi podprostoru
w1, w2, w3, w4 .
a) u1 = (1, 2, -1, 3, -2), w1 = (2, -3, 3, -5, 3),
u2 = (3, -1, 2, -2, 1), w2 = (1, -5, 4, -8, 5),
w3 = (4, 1, 1, 1, -1),
w4 = (3, -1, 5, -3, 1),
b) u1 = (1, 3, -2, -3, -1), w1 = (1, -3, 2, 3, -2),
u2 = (2, -2, 1, 3, -3), w2 = (1, -1, 1, 0, -2),
w3 = (3, -2, 1, -1, 2),
w4 = (1, -2, 1, -1, 5).
2