Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u1, u2, . . . , un je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s1, s2, . . . , sn T, z nichž alespoň jeden je různý od nuly 0, takové, že s1u1 + s2u2 + + snun = o, řekneme, že vektory u1, u2, . . . , un jsou lineárně závislé. Tedy konečná posloupnost vektorů z V je lineárně závislá, existuje-li lineární kombinace těchto vektorů s koeficienty z T, jež nejsou všechny nulové, ta- ková, že výsledkem této lineární kombinace je nulový vektor. Je-li n = 1, tedy máme-li co do činění s posloupností sklá- dající se pouze z jediného vektoru u z V, pak uvedená definice dává, že vektor u je lineárně závislý právě tehdy, když u = o. Pro n > 1 se hodí následující kritérium. Tvrzení. Nechť (V, +, ) je vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Posloupnost vektorů u1, u2, . . . , un z V, kde n > 1, je lineárně závislá právě tehdy, když existuje index i {1, 2, . . . , n} takový, že vektor ui je lineární kombinací vektorů u1, . . . , ui-1, ui+1, . . . , un. Důkaz. Jsou-li vektory u1, u2, . . . , un lineárně závislé, exis- tují prvky s1, s2, . . . , sn T, z nichž alespoň jeden není ro- ven nule 0, takové, že s1u1 + s2u2 + + snun = o. Nechť i {1, 2, . . . , n} je takový index, že si = 0. Pak odtud plyne, že siui = -s1u1 - - si-1ui-1 - si+1ui+1 - - snun, takže ui = (-s-1 i s1)u1 + + (-s-1 i si-1)ui-1 + (-s-1 i si+1)ui+1 + + (-s-1 i sn)un. Naopak je-li vektor ui lineární kombinací vektorů u1, . . . , ui-1, ui+1, . . . , un, pak existují prvky t1, . . . , ti-1, ti+1, . . . , tn T ta- kové, že ui = t1u1+ +ti-1ui-1+ti+1ui+1+ +tnun. Odtud vychází t1u1+ +ti-1ui-1+(-1)ui+ti+1ui+1+ +tnun = o, přičemž koeficient u ui je -1, čili je nenulový. 1 Poznamenejme, že z dosavadních úvah jsou patrné mimo jiné tyto skutečnosti: obsahuje-li například posloupnost vektorů u1, u2, . . . , un z V nulový vektor o anebo obsahuje-li tato po- sloupnost dvakrát tentýž vektor, pak je lineárně závislá. Buď (V, +, ) opět vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Není-li posloupnost vektorů u1, u2, . . . , un z V lineárně závislá, řekneme, že tato posloupnost je lineárně nezávislá. Jinak ře- čeno, vektory u1, u2, . . . , un jsou lineárně nezávislé, jestliže pro libovolná s1, s2, . . . , sn T splňující s1u1+s2u2+ +snun = o platí, že s1 = s2 = = sn = 0. Poznamenejme, že je-li u1, u2, . . . , un lineárně nezávislá po- sloupnost vektorů z V, pak každá podposloupnost vybraná z této posloupnosti je rovněž lineárně nezávislá. Je-li M V konečná podmnožina, M = {u1, u2, . . . , un}, pak místo značení M pro podprostor vektorového prostoru (V, +, ) generovaný množinou M, jenž byl předmětem studia v minulé kapitole, píšeme stručně jen u1, u2, . . . , un a mlu- víme o podprostoru generovaném vektory u1, u2, . . . , un. Platí následující Steinitzova věta o výměně. Věta. Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť v1, . . . , vm, w1, . . . , wn jsou takové vektory z V, že je spl- něno v1, . . . , vm w1, . . . , wn a vektory v1, . . . , vm jsou při- tom lineárně nezávislé. Pak platí m n a při vhodném přečís- lování vektorů w1, . . . , wn platí rovněž w1, . . . , wn = v1, . . . , vm, wm+1, . . . , wn . Důkaz se provede indukcí vzhledem k m s využitím druhého tvrzení uvedeného v odstavci o generování podprostorů vekto- rových prostorů v minulé kapitole. Je-li m = 1, pak v1 w1, . . . , wn . Poněvadž v1 = o, je tedy nutně n 1, takže m n. Dále podle právě zmíně- ného tvrzení z minulé kapitoly existují s1, . . . , sn T taková, 2 že v1 = s1w1 + + snwn. Přitom alespoň jeden z prvků s1, . . . , sn je nenulový. Přečíslujme vektory w1, . . . , wn, a tím i prvky s1, . . . , sn tak, aby bylo s1 = 0. Pak odtud plyne, že w1 = s-1 1 v1 - (s-1 1 s2)w2 - - (s-1 1 sn)wn. Z těchto rovností dále plyne, že w1, . . . , wn = v1, w2, . . . , wn , neboť generá- tory každého z těchto podprostorů jsou obsaženy ve druhém z těchto podprostorů. Platí tedy požadovaná rovnost. Nechť dále m > 1 a předpokládejme, že tvrzení věty platí pro m-1. Vektory v1, . . . , vm-1 jsou lineárně nezávislé, takže podle tohoto předpokladu m - 1 n a při vhodném přečíslování vek- torů w1, . . . , wn je w1, . . . , wn = v1, . . . , vm-1, wm, . . . , wn . Ale vm w1, . . . , wn , takže vm v1, . . . , vm-1, wm, . . . , wn . Podle již zmíněného tvrzení z minulé kapitoly to znamená, že existují t1, . . . , tn T taková, že vm = t1v1 + + tm-1vm-1 + tmwm + + tnwn. Z předchozího tvrzení přitom plyne, že alespoň jeden z prvků tm, . . . , tn je nenulový, neboť vektory v1, . . . , vm jsou lineárně nezávislé. To také nevyhnutelně zna- mená, že m n. Přečíslujme vektory wm, . . . , wn, a tím také prvky tm, . . . , tn tak, aby bylo tm = 0. Pak z poslední rovnosti plyne, že wm = -(t-1 m t1)v1 - - (t-1 m tm-1)vm-1 + t-1 m vm - (t-1 m tm+1)wm+1 - - (t-1 m tn)wn. Odtud potom vyplývá, že v1, . . . , vm-1, wm, . . . , wn = v1, . . . , vm, wm+1, . . . , wn , neboť zase generátory každého z těchto podprostorů leží i ve druhém podprostoru. Odtud a z výše uvedeného indukčního předpokladu nakonec plyne, že w1, . . . , wn = v1, . . . , vm, wm+1, . . . , wn . Opět tedy platí požadovaná rovnost. Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Řek- neme, že konečná posloupnost u1, u2, . . . , un vektorů z V je báze vektorového prostoru (V, +, ), jestliže ˇ vektory u1, u2, . . . , un jsou lineárně nezávislé a přitom ˇ vektory u1, u2, . . . , un generují celý prostor V, což znamená, že u1, u2, . . . , un = V. 3 Poznamenejme ale, že odnikud neplyne, že by v daném vektoro- vém prostoru musela nějaká báze existovat, ani že by snad měla být jen jediná, pokud existuje. Příklady. Nechť (T, +, ) je těleso. Viděli jsme, že pak kar- tézská mocnina Tn = {(s1, s2, . . . , sn) | s1, s2, . . . , sn T} spolu s přirozeně definovanými operacemi sčítání + a skalárního ná- sobení tvoří vektorový prostor (Tn , +, ) nad tělesem (T, +, ). Pak vektory e1 = (1, 0, 0, . . . , 0, 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0, 0), e3 = (0, 0, 1, . . . , 0, 0), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . en = (0, 0, 0, . . . , 0, 1) očividně tvoří bázi vektorového prostoru (Tn , +, ). Říkáme, že je to kanonická báze prostoru (Tn , +, ). Existuje ale mnoho jiných bází. Kupříkladu následující vektory f1 = (1, 1, 1, . . . , 1, 1), f2 = (0, 1, 1, . . . , 1, 1), f3 = (0, 0, 1, . . . , 1, 1), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fn = (0, 0, 0, . . . , 0, 1) tvoří rovněž bázi vektorového prostoru (Tn , +, ). Buď opět (T, +, ) těleso. Viděli jsme také, že pak okruh po- lynomů (T[x], +, ) tvoří vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Tento vektorový prostor ale nemá žádnou bázi. Opravdu, pokud by nějaká báze tohoto prostoru existovala, byla by to konečná posloupnost polynomů f1, f2, . . . , fm z T[x], která by kromě jiného měla tu vlastnost, že by pomocí lineárních kombinací generovala celou množinu T[x]. Lze přitom předpokládat, že 4 všechny polynomy f1, f2, . . . , fm by byly nenulové. Ve skuteč- nosti zde ale platí, že f1, f2, . . . , fm = T[x]. Stačí si totiž všim- nout stupňů polynomů f1, f2, . . . , fm. (Stupněm nenulového po- lynomu h z T[x] rozumíme nejvyšší exponent k takový, že koefi- cient u mocniny xk v polynomu h je nenulový.) Pak jistě existuje přirozené číslo n takové, že stupně všech polynomů f1, f2, . . . , fm jsou menší než n. To ale znamená, že pak také stupeň každého nenulového polynomu g z f1, f2, . . . , fm je menší než n. Poly- nomy f1, f2, . . . , fm tedy negenerují celou množinu T[x]. Tvrzení. Nechť (V, +, ) je nenulový vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Existuje-li konečná podmnožina M V ta- ková, že M = V, pak z každé podmnožiny N V s vlastností, že N = V, lze vybrat konečnou podmnožinu L N takovou, že L = V. Důkaz. Skutečně, jestliže N = V, pak pro každý vek- tor u M máme u N , takže podle příslušného tvrzení o generování podprostorů z minulé kapitoly existuje přirozené číslo n, vektory v1, . . . , vn N a prvky t1, . . . , tn T takové, že u = t1v1 + +tnvn. Vyberme pro každý vektor u M takové vektory v1, . . . , vn N a sestavme ze všech těchto vybraných vektorů množinu L. Pak L N a L je konečná množina, neboť množina M je konečná. Navíc odtud plyne, že M L , takže M L . Poněvadž M = V, znamená to, že L = V. Tvrzení. Nechť (V, +, ) je nenulový vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Existuje-li konečná podmnožina M V ta- ková, že M = V, pak z každé podmnožiny N V s vlastností, že N = V, lze vybrat nějakou bázi prostoru (V, +, ). Důkaz. Podle předchozího tvrzení pak lze z každé pod- množiny N V s vlastností, že N = V, vybrat konečnou podmnožinu L N takovou, že L = V. Ukážeme dále, že z každé konečné podmnožiny L V splňující L = V lze již 5 vybrat bázi prostoru (V, +, ). Poněvadž V = {o}, musí být L = a také L = {o}. Vypišme vektory množiny L do posloup- nosti w1, w2, . . . , wk. Jsou-li tyto vektory lineárně nezávislé, pak již tvoří bázi prostoru (V, +, ). Jsou-li naopak lineárně závislé, pak poněvadž L = {o}, máme k > 1 a podle úvodního tvrzení této kapitoly existuje index j {1, 2, . . . , k} takový, že vektor wj je lineární kombinací zbývajících vektorů této posloupnosti. To ale znamená, že wj w1, . . . , wj-1, wj+1, . . . , wk , takže máme w1, w2, . . . , wk = w1, . . . , wj-1, wj+1, . . . , wk . Je tedy možné z množiny generátorů L vektor wj vyškrtnout, aniž se změní podprostor, který tato množina generuje. Opakujeme-li tento postup několikrát, nakonec dostaneme vybranou podpo- sloupnost vektorů, tedy podrobněji řečeno, zůstanou nám indexy i1, i2, . . . , i {1, 2, . . . , k} splňující i1 < i2 < < i takové, že bude platit w1, w2, . . . , wk = wi1 , wi2 , . . . , wi a přitom vek- tory wi1 , wi2 , . . . , wi budou již lineárně nezávislé. Budou tedy tyto vektory tvořit bázi vektorového prostoru (V, +, ). Věta. Nechť (V, +, ) je nenulový vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Tvoří-li posloupnosti vektorů f1, f2, . . . , fm a g1, g2, . . . , gn dvě báze vektorového prostoru (V, +, ), pak platí rovnost m = n. Důkaz. Podle definice pojmu báze vektorového prostoru jsou vektory f1, f2, . . . , fm lineárně nezávislé a přitom f1, f2, . . . , fm g1, g2, . . . , gn . Podle Steinitzovy věty o výměně tedy platí, že m n. Podobně ale vektory g1, g2, . . . , gn jsou lineárně nezá- vislé a přitom g1, g2, . . . , gn f1, f2, . . . , fm . Takže opět podle Steinitzovy věty o výměně platí, že n m. Celkem tedy m = n. Ve tvrzení předcházejícím této poslední větě jsme viděli, že každý nenulový vektorový prostor, který je generován nějakou konečnou množinou vektorů, má také nějakou bázi. V poslední větě jsme dále viděli, že pak všechny báze takového prostoru 6 mají stejný počet vektorů. Můžeme tedy zavést následující po- jem. Je-li (V, +, ) nenulový vektorový prostor nad tělesem (T, +, ), který obsahuje konečnou podmnožinu M V tako- vou, že M = V, a který tudíž má i nějakou bázi, pak počet n vektorů kterékoliv báze tohoto prostoru se nazývá dimenze vek- torového prostoru (V, +, ). O prostoru (V, +, ) samotném pak říkáme, že je to vektorový prostor konečné dimenze. Mezi takové prostory řadíme i nulový vektorový prostor ({o}, +, ), jehož dimenzi klademe rovnu 0. Příklad. Buď (T, +, ) těleso a n přirozené číslo. Pak z prv- ního z předchozích příkladů plyne, že dimenze vektorového pro- storu (Tn , +, ) je rovna n. Tvrzení. Nechť (V, +, ) je nenulový vektorový prostor ko- nečné dimenze n nad tělesem (T, +, ). Nechť v1, v2, . . . , vm jsou lineárně nezávislé vektory z V. Pak m n a existují vektory wm+1, . . . , wn V takové, že posloupnost vektorů v1, v2, . . . , vm, wm+1, . . . , wn tvoří bázi vektorového prostoru (V, +, ). Důkaz. Nechť w1, w2, . . . , wn je nějaká báze vektorového prostoru (V, +, ). Pak v1, v2, . . . , vm w1, w2, . . . , wn . Podle Steinitzovy věty o výměně je tedy m n a při vhodném pře- číslování vektorů w1, w2, . . . , wn platí, že w1, w2, . . . , wn = v1, v2, . . . , vm, wm+1, . . . , wn . Generují tedy zejména vektory v1, v2, . . . , vm, wm+1, . . . , wn celý prostor V. Podle předchozího tvrzení to ovšem znamená, že z těchto vektorů v1, v2, . . . , vm, wm+1, . . . , wn lze vybrat bázi prostoru (V, +, ). Poněvadž těchto vektorů je ale jenom n, podle předchozí věty musí tyto vektory samy už tvořit bázi vektorového prostoru (V, +, ). Nechť (V, +, ) je nenulový vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Řekneme, že vektory v1, v2, . . . , vm z V tvoří minimál- ní množinu generátorů prostoru (V, +, ), jestliže tento pro- stor generují, tedy splňují v1, v2, . . . , vm = V, avšak pro kaž- 7 dou podmnožinu M {v1, v2, . . . , vm}, M = {v1, v2, . . . , vm} je již M = V. Dále řekneme, že vektory w1, w2, . . . , wn z V tvoří maximální lineárně nezávislou posloupnost vektorů v prostoru (V, +, ), jsou-li tyto vektory lineárně nezávislé, avšak pro kterýkoliv vektor z V vektory w1, w2, . . . , wn, z jsou již lineárně závislé. Dodejme, že v této situaci musí ovšem vek- tor z očividně být lineární kombinací vektorů w1, w2, . . . , wn. Takže pak vektory w1, w2, . . . , wn rovněž generují celý prostor (V, +, ). Odtud a z předchozích výsledků potom plyne následu- jící chrakterizace bází vektorového prostoru (V, +, ). Důsledek. Buď (V, +, ) nenulový vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Pak pro libovolnou posloupnost u1, u2, . . . , un vektorů z V jsou následující tři podmínky ekvivalentní: (i) u1, u2, . . . , un tvoří minimální množinu generátorů prostoru (V, +, ), (ii) u1, u2, . . . , un tvoří maximální lineárně nezávislou posloup- nost vektorů v prostoru (V, +, ), (iii) u1, u2, . . . , un je báze prostoru (V, +, ). Každý podprostor vektorového prostoru konečné dimenze je sám prostorem konečné dimenze: Tvrzení. Buď (V, +, ) vektorový prostor konečné dimenze n nad tělesem (T, +, ). Pak pro každý podprostor W V platí, že prostor (W, +, ) sám je konečné dimenze, a je-li m jeho di- menze, pak m n, přičemž m = n právě tehdy, když W = V. Důkaz. Je-li W = {o}, není co dokazovat. Předpokládejme tedy, že W = {o}. Podle předchozího tvrzení žádná posloupnost lineárně nezávislých vektorů z W nemůže mít více než n vek- torů. Vyberme lineárně nezávislou posloupnost w1, w2, . . . , wm vektorů z W tak, aby jejich počet m byl nejvyšší možný. Pak ovšem m n a přitom w1, w2, . . . , wm zřejmě tvoří maximální 8 lineárně nezávislou posloupnost vektorů v podprostoru W, takže jde o bázi prostoru (W, +, ). Má tedy tento prostor konečnou dimenzi m. Přitom zmíněnou bázi lze doplnit dalšími vektory z V na bázi celého prostoru (V, +, ). Je-li ovšem m = n, pak již w1, w2, . . . , wm musí být bází prostoru (V, +, ), takže W = V. Je-li (V, +, ) vektorový prostor konečné dimenze n nad těle- sem (T, +, ) a je-li W V podprostor tohoto vektorového pro- storu, pak podle posledního tvrzení víme, že prostor (W, +, ) sám je konečné dimenze m n. Tuto dimenzi m prostoru (W, +, ) značíme symbolem dim W anebo podrobněji, je-li po- třeba zdůraznit úlohu tělesa (T, +, ), symbolem dimT W. Platí věta o dimenzi součtu a průniku podprostorů: Věta. Nechť (V, +, ) je vektorový prostor konečné dimenze nad tělesem (T, +, ) a nechť X, Y V jsou podprostory tohoto vektorového prostoru. Pak platí rovnost dim X + dim Y = dim(X + Y) + dim(X Y). Důkaz. Je-li X = {o} nebo Y = {o}, pak uvedená rov- nost zřejmě platí. Předpokládejme tedy dále, že X = {o} = Y, takže dim X > 0 a dim Y > 0. Průnik podprostorů X Y je pak též podprostorem ve (V, +, ), a tedy buďto X Y = {o}, anebo X Y = {o}, takže dim(X Y) > 0. V tom pří- padě nechť posloupnost vektorů z1, z2, . . . , zk, kde k > 0, tvoří bázi vektorového prostoru (X Y, +, ). Případu X Y = {o} pak odpovídá hodnota k = 0. Podle předminulého tvrzení po- tom existují vektory x1, x2, . . . , xh takové, že posloupnost vek- torů x1, x2, . . . , xh, z1, z2, . . . , zk tvoří bázi vektorového prostoru (X, +, ), přičemž h + k > 0, a též existují vektory y1, y2, . . . , y takové, že posloupnost vektorů z1, z2, . . . , zk, y1, y2, . . . , y tvoří bázi vektorového prostoru (Y, +, ), přičemž k+ > 0. Ukážeme, že pak posloupnost vektorů x1, x2, . . . , xh, z1, z2, . . . , zk, y1, y2, . . . , y 9 tvoří bázi vektorového prostoru (X + Y, +, ). Tím potom bude ověřena také výše uvedená rovnost, neboť pak bude vycházet dim X + dim Y = h + k + k + = dim(X + Y) + dim(X Y). Fakt, že výše uvedené vektory generují celý podprostor X + Y, plyne přímo z toho, že vektory x1, x2, . . . , xh, z1, z2, . . . , zk gene- rují celý podprostor X a vektory z1, z2, . . . , zk, y1, y2, . . . , y zase generují celý podprostor Y. Zbývá tedy dokázat lineární nezá- vislost výše uvedených vektorů. Nechť tedy r1, r2, . . . , rk, s1, s2, . . . , sh, t1, t2, . . . , t T jsou takové prvky, že platí s1x1 + s2x2 + + shxh+ r1z1 + r2z2 + + rkzk + t1y1 + t2y2 + + t y = o. Odtud pak plyne, že s1x1 + s2x2 + + shxh+ r1z1 + r2z2 + + rkzk = -t1y1 - t2y2 - - t y . Vektor na levé straně rovnosti ovšem náleží do podprostoru X, zatímco vektor na pravé straně rovnosti náleží do podprostoru Y. Náleží tedy oba tyto vektory do podprostoru X Y. Bází vek- torového prostoru (X Y, +, ) je ovšem posloupnost vektorů z1, z2, . . . , zk (pokud k > 0). Znamená to tedy, že musí existovat prvky q1, q2, . . . , qk T takové, že platí -t1y1 - t2y2 - - t y = q1z1 + q2z2 + + qkzk, odkud vychází, že q1z1 + q2z2 + + qkzk + t1y1 + t2y2 + + t y = o. Poněvadž ale posloupnost vektorů z1, z2, . . . , zk, y1, y2, . . . , y tvoří bázi vektorového prostoru (Y, +, ), plyne odtud, že q1 = q2 = = qk = t1 = t2 = = t = 0. Z druhé ze shora uvedených rovností pak ale plyne, že s1x1 + s2x2 + + shxh + r1z1 + r2z2 + + rkzk = o, 10 což vzhledem k tomu, že posloupnost vektorů x1, x2, . . . , xh, z1, z2, . . . , zk tvoří bázi vektorového prostoru (X, +, ), má za následek, že také s1 = s2 = = sh = r1 = r2 = = rh = 0. Toto zjištění spolu s předchozím potvrzuje lineární nezávislost shora uvedené posloupnosti vektorů. Tvrzení. Nechť (V, +, ) je nenulový vektorový prostor ko- nečné dimenze nad tělesem (T, +, ) a nechť vektory f1, f2, . . . , fn představují některou bázi tohoto prostoru. Pak pro každý vek- tor u V existují jednoznačně určené prvky s1, s2, . . . , sn T takové, že u = s1f1 + s2f2 + + snfn. Poznámka. Prvky s1, s2, . . . , sn se pak nazývají souřadnice vektoru u v bázi f1, f2, . . . , fn. Důkaz. Existence prvků s1, s2, . . . , sn plyne z faktu, že vek- tory f1, f2, . . . , fn generují prostor (V, +, ). Jejich jednoznačnost plyne z lineární nezávislosti vektorů f1, f2, . . . , fn následující úva- hou. Nechť t1, t2, . . . , tn T jsou obecně jakékoliv prvky takové, že u = t1f1 + t2f2 + + tnfn. Odečtením odtud dostáváme, že o = (s1 - t1) f1 + (s2 - t2) f2 + + (sn - tn) fn. To znamená, že s1 - t1 = 0, s2 - t2 = 0, . . . , sn - tn = 0, takže máme s1 = t1, s2 = t2, . . . , sn = tn. V situaci z posledního tvrzení tedy pro každý vektor u V existují jeho jednoznačně určené souřadnice s1, s2, . . . , sn T v bázi f1, f2, . . . , fn, to znamená prvky takové, že je splněno u = s1f1 + s2f2 + + snfn. Vzpomeneme-li si nyní na ná- sobení matic nad vektorovým prostorem (V, +, ) s maticemi nad tělesem (T, +, ) zavedené na konci kapitoly o vektorových prostorech, můžeme tuto rovnost zapsat také ve tvaru u = f1 f2 . . . fn s1 s2 ... sn . 11 Zavedeme-li ještě označení f = f1 f2 . . . fn a označíme-li symbolem s výše zapsaný sloupec souřadnic s1, s2, . . . , sn, pak poslední rovnost lze psát rovněž ve stručném tvaru u = f s. Nechť ještě jednou (V, +, ) je nenulový vektorový prostor konečné dimenze n nad tělesem (T, +, ) a nechť f1, f2, . . . , fn je některá jeho báze. Značme opět f = f1 f2 . . . fn . Nechť r T je libovolný prvek a nechť u, v V jsou libovolné dva vektory. Nechť s1, s2, . . . , sn, resp. t1, t2, . . . , tn jsou souřadnice vektoru u, resp. v v bázi f. Pak s1 + t1, s2 + t2, . . . , sn + tn jsou souřadnice vektoru u + v a rs1, rs2, . . . , rsn jsou souřadnice vektoru ru, obojí ovšem opět v bázi f. Z této skutečnosti je patrno, že zob- razení f : V - Tn přiřazující každému vektoru u V uspořádanou n-tici jeho sou- řadnic (s1, s2, . . . , sn) v bázi f je bijekcí množiny vektorů V na kartézskou mocninu Tn , která přitom zachovává operace sčítá- ní + i vnějšího skalárního násobení ve vektorových prostorech (V, +, ) a (Tn , +, ). Názorně lze tuto skutečnost vystihnout sdělením, že na oba zmíněné prostory je takto možno hledět jako na dvě kopie jednoho a téhož vektorového prostoru nad tělesem (T, +, ). V této situaci říkáme, že zobrazení f je izomorfismem vektorového prostoru (V, +, ) na vektorový prostor (Tn , +, ). Přesně bude pojem izomorfismu dvou vektorových prostorů nad týmž tělesem zaveden později. 12