Determinanty Nechť A = (aij) je čtvercová matice řádu n nad komutativním okruhem (R, +, ). Pak determinant matice A je prvek z R označovaný symbolem |A| a definovaný předpisem |A| = Sn () a1 (1)a2 (2) . . . an (n). Připomeňme, že Sn značí množinu všech permutací množiny {1, 2, . . . , n}. Sčítá se tedy přes všechny permutace množiny {1, 2, . . . , n}. Přitom () je parita permutace Sn, tedy hodnota 1 nebo -1, kterou můžeme chápat jako prvek z R. Jednotlivý součin () a1 (1)a2 (2) . . . an (n) pro vybranou permutaci Sn se nazývá člen determinantu |A|. Poněvadž je bijekce množiny {1, 2, . . . , n} na ni samotnou, lze ji chápat jako bijekci množiny všech řádkových indexů na množinu všech sloupcových indexů. Takže součin a1 (1)a2 (2) . . . an (n) je pak vytvořen z n prvků matice A vybraných tak, že z každého řádku a z každého sloupce matice je vybrán právě jeden prvek. Navíc je tento součin je opatřen znaménkem ve shodě s paritou () permutace , která je vlastně permutací utvořenou z řádkových a sloupcových indexů vybraných n prvků. Pro počáteční hodnoty n = 1, 2, 3 dává předchozí definice následující vztahy pro výpočet příslušných determinantů: Pro n = 1 máme A = (a11) a |A| = a11. Pro n = 2 máme A = a11 a12 a21 a22 a |A| = a11a22 - a12a21. Pro n = 3 máme A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a |A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32- -a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32. 1 Poslední vztah pro n = 3 bývá uváděn jako Sarrusovo pravidlo. Podobná pravidla plynoucí přímo z definice determinantu by bylo možno psát i pro hodnoty n > 3. Počty členů v těchto pravidlech však velmi rychle rostou -- pro dané n je těchto členů celkem n!. Tvrzení. Pro libovolnou čtvercovou matici A = (aij) řádu n nad komutativním okruhem (R, +, ) platí |A | = |A| , tedy transponováním matice A se hodnota determinantu této matice nemění. Důkaz. Ukážeme, že ve vyjádření obou determinantů podle definice se objevují tytéž členy. Buď Sn libovolná permutace. Jí odpovídá člen () a1 (1)a2 (2) . . . an (n) determinantu |A|. Vezměme nyní inverzní permutaci -1 a uvažme k ní součin (-1 ) a-1(1) 1a-1(2) 2 . . . a-1(n) n. Podle definice transpono- vané matice A je ovšem tento součin členem determinantu |A |. Z kapitoly o permutacích ale víme, že (-1 ) = (). Vzhledem ke komutativitě násobení v okruhu (R, +, ) odtud plyne, že oba uvedené součiny jsou stejné. Jsou tedy oba zmíněné determi- nanty součty stejných členů, takže jsou si rovny. Tvrzení. Pozůstává-li některý řádek dané čtvercové matice A = (aij) řádu n z nulových prvků okruhu (R, +, ), pak |A| = 0. Důkaz. Potom totiž každý člen () a1 (1)a2 (2) . . . an (n) determinantu |A| obsahuje nulový činitel, totiž prvek ai (i), kde i je index dotyčného nulového řádku matice A. Poznámka. Analogické tvrzení platí rovněž pro sloupce ma- tice A. Předpokládáme-li, že A je čtvercová matice nad komu- tativním okruhem (R, +, ), pak to plyne bezprostředně z před- chozího tvrzení o determinantech transponovaných matic. Tento 2 předpoklad a z něj plynoucí podobné konsekvence budeme mít na zřeteli i v dalších tvrzeních tohoto typu, aniž je budeme vý- slovně zmiňovat. Tvrzení. Jsou-li některé dva řádky dané čtvercové matice A = (aij) řádu n stejné, pak |A| = 0. Důkaz. Nechť řádky matice A s indexy k, , kde k = , jsou stejné, takže akj = a j pro všechna j = 1, 2, . . . , n. Uvažme libo- volnou permutaci Sn a k ní permutaci = k . Pak (k) = ( ) a ( ) = (k), takže ak (k) = a ( ) a a ( ) = ak (k). Kromě toho pro všechna i {1, 2, . . . , n}-{k, } je (i) = (i), a tedy ai (i) = ai (i). Navíc () = -(). To znamená, že členy () a1 (1)a2 (2) . . . an (n) a () a1 (1)a2 (2) . . . an (n) de- terminantu |A| se liší pouze znaménkem, čili jsou to navzájem opačné prvky okruhu (R, +, ). Podotkneme-li k tomu ještě, že zase naopak = k , vidíme, že členy determinantu |A| se rozpadnou do dvojic, které se navzájem odečtou, takže |A| = 0. Tvrzení. Vznikne-li matice B = (bij) přehozením dvou řádků dané čtvercové matice A = (aij) řádu n, pak |B| = -|A|. Důkaz. Nechť matice B vznikla přehozením k-tého a -tého řádku matice A, kde k = , takže bkj = a j a b j = akj pro všechna j = 1, 2, . . . , n. Potom pro libovolnou permutaci Sn a pro jí odpovídající člen determinantu |B| vychází () b1 (1)b2 (2) . . . bn (n) = () a1 (1)a2 (2) . . . an (n) = -() a1 (1)a2 (2) . . . an (n), kde = k , a tedy () = -(). Poněvadž zobra- zení přiřazující každé permutaci Sn permutaci k je bijekcí množiny Sn na ni samotnou, z definice determinantu pak plyne, že |B| = -|A|. 3 Tvrzení. Vznikne-li matice B = (bij) vynásobením všech prvků některého řádku dané čtvercové matice A = (aij) řádu n zvoleným prvkem c okruhu (R, +, ), pak |B| = c |A|. Důkaz. Pak totiž pro každou permutaci Sn máme () b1 (1)b2 (2) . . . bn (n) = c () a1 (1)a2 (2) . . . an (n), takže přímo z definice determinantu dostáváme, že |B| = c |A|. Tvrzení. Nechť B = (bij) a C = (cij) jsou dvě čtvercové matice řádu n, které se od sebe liší pouze prvky jednoho je- diného řádku, řekněme řádku s indexem k, a nechť A = (aij) je čtvercová matice řádu n, která se od matic B, C liší pouze v tom, že prvky jejího k-tého řádku mají tvar ak1 = bk1 + ck1, ak2 = bk2 + ck2, . . . , akn = bkn + ckn. Pak |A| = |B| + |C|. Podrobněji vyjádřeno, platí rovnost a11 a12 . . . a1n ... ... ... ak-1 1 ak-1 2 . . . ak-1 n bk1 + ck1 bk2 + ck2 . . . bkn + ckn ak+1 1 ak+1 2 . . . ak+1 n ... ... ... an1 an2 . . . ann = a11 a12 . . . a1n ... ... ... ak-1 1 ak-1 2 . . . ak-1 n bk1 bk2 . . . bkn ak+1 1 ak+1 2 . . . ak+1 n ... ... ... an1 an2 . . . ann + a11 a12 . . . a1n ... ... ... ak-1 1 ak-1 2 . . . ak-1 n ck1 ck2 . . . ckn ak+1 1 ak+1 2 . . . ak+1 n ... ... ... an1 an2 . . . ann . Důkaz. V dané situaci ovšem pro každou permutaci Sn 4 a jí příslušný člen determinantu |A| vychází () a1 (1)a2 (2) . . . an (n) = () b1 (1)b2 (2) . . . bn (n) + () c1 (1)c2 (2) . . . cn (n), poněvadž ak (k) = bk (k) + ck (k) a ai (i) = bi (i) = ci (i) pro všechna i {1, 2, . . . , n}, i = k. Tvrzení tedy opět plyne přímo z definice determinantu. Tvrzení. Buď dána čtvercová matice A = (aij) řádu n. Vznikne-li matice B = (bij) tím způsobem, že pro zvolený prvek c okruhu (R, +, ) se k některému řádku matice A přičte jiný řádek matice A, jehož všechny prvky jsou předtím vynásobeny prvkem c, pak platí |A| = |B|. Důkaz. Nechť matice B vznikla z matice A tak, že se ke k-tému řádku matice A přičetl -tý řádek matice A vynásobený prvkem c. Předpokládejme například, že k < . Potom, podrob- něji rozvedeno, máme ukázat, že platí a11 a12 . . . a1n ... ... ... ak1 ak2 . . . akn ... ... ... a 1 a 2 . . . a n ... ... ... an1 an2 . . . ann = a11 a12 . . . a1n ... ... ... ak1 + ca 1 ak2 + ca 2 . . . akn + ca n ... ... ... a 1 a 2 . . . a n ... ... ... an1 an2 . . . ann . Označme jako D matici, která vznikne z matice A tak, že místo k-tého řádku matice A se zde zopakuje její -tý řádek. Pak ma- tice D má dva stejné řádky, a tudíž |D| = 0. Vzhledem k tomu, jakým způsobem matice B vznikla, podle předchozích dvou tvr- zení máme |B| = |A| + c |D|, takže odtud vychází |B| = |A|. Buď A = (aij) čtvercová matice řádu n nad komutativním okruhem (R, +, ). Řekneme, že A je horní trojúhelníková 5 matice, jestliže aij = 0 pro všechna i, j {1, 2, . . . , n} splňující i > j, tedy jestliže všechny prvky matice A ležící pod hlavní di- agonálou jsou rovny nulovému prvku okruhu (R, +, ). Podobně řekneme, že A je dolní trojúhelníková matice, jestliže aij = 0 pro všechna i, j {1, 2, . . . , n} splňující i < j. Tehdy jsou nulové všechny prvky matice A ležící nad hlavní diagonálou. Tvrzení. Buď dána čtvercová matice A = (aij) řádu n. Je-li A horní trojúhelníková matice anebo dolní trojúhelníková matice, pak |A| = a11a22 . . . ann. Důkaz. Uvedený součin je jedním z členů determinantu |A|, a sice je to člen odpovídající permutaci id{1,2,...,n}. Pro každou ji- nou permutaci Sn ovšem platí, že existuje k {1, 2, . . . , n}, pro něž k > (k), a existuje {1, 2, . . . , n}, pro něž < ( ). To plyne z faktu, že 1 + 2 + + n = (1) + (2) + + (n), a z toho, že = id{1,2,...,n}. Je-li ovšem matice A v jednom z uvedených dvou trojúhelníkových tvarů, znamená to, že člen () a1 (1)a2 (2) . . . an (n) determinantu |A| odpovídající kte- rékoliv neidentické permutaci Sn je roven nule. Takže platí uvedené tvrzení. Toto poslední tvrzení spolu s předchozími poznatky dává me- todu, jak v některých případech usnadnit výpočet determinantů vyšších řádů. Týká se to zejména situací, kdy je dána čtver- cová matice A řádu n nad nějakým tělesem (R, +, ). Tehdy je možno takovou matici vždy převést například na horní trojúhel- níkovou matici opakovanou aplikací řádkových úprav popsaných v předposledním ze shora uvedených tvrzení (tyto úpravy ne- mění hodnotu determinantu) v kombinaci s přehazováním řádků a sloupců matice (tím se může měnit znaménko determinantu). Buď A = (aij) čtvercová matice řádu n > 1 nad komutativ- ním okruhem (R, +, ). Pro zvolené indexy i, j {1, 2, . . . , n} 6 označme Aij čtvercovou matici řádu n - 1, která vznikne z ma- tice A vynecháním jejího i-tého řádku a j-tého sloupce. Pak prvek okruhu (R, +, ) Aij = (-1)i+j |Aij| se nazývá algebraický doplněk prvku aij v matici A. Vztah uvedený v následující větě se nazývá Laplaceův roz- voj determinantu |A| podle i-tého řádku matice A. Věta. Buď A = (aij) čtvercová matice řádu n > 1. Pak pro libovolný řádkový index i {1, 2, . . . , n} platí |A| = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + + ain Ain. Poznámka. Analogický vztah platí také pro sloupcové in- dexy. To znamená, že je možno provést stejným způsobem La- placeův rozvoj determinantu také podle některého sloupce. To opět plyne z tvrzení o determinantech transponovaných matic. Důkaz. Pro libovolné indexy i, j {1, 2, . . . , n} označme A (i) j matici řádu n, která vznikne z matice A tak, že v i-tém řádku matice A ponecháme pouze prvek aij a ostaní prvky to- hoto řádku nahradíme nulami. Pak opakovanou aplikací jednoho z dřívějších tvrzení o determinantu matice, jejíž některý řádek lze zapsat jako součet nějakých dvou řádků, dostáváme |A| = |A (i) 1 | + |A (i) 2 | + + |A(i) n |. Zvolme nyní index j {1, 2, . . . , n} a zkoumejme determinant |A (i) j |. Přehoďme v matici A (i) j i-tý řádek s (i - 1)-ním řádkem, potom (i - 1)-ní řádek s (i - 2)-hým řádkem, atd., až nakonec druhý řádek s prvním řádkem. Tím se původně i-tý řádek ma- tice A (i) j ocitne na pozici prvního řádku a řádky, které mu pů- vodně předcházely, se objeví v nezměněném pořadí až za ním. 7 Proveďme dále podobnou operaci se sloupci takto vzniklé ma- tice. Tedy přehoďme j-tý sloupec s (j - 1)-ním sloupcem, po- tom (j - 1)-ní sloupec s (j - 2)-hým sloupcem, atd., až nakonec druhý sloupec s prvním sloupcem. Matici, která takto nakonec vznikne, označme symbolem A (i) j . Při transformaci matice A (i) j na matici A (i) j bylo provedeno celkem i+j-2 změn spočívajících v přehození dvou řádků nebo dvou sloupců, takže podle příslušné- ho dříve uvedeného tvrzení pro determinanty těchto matic platí |A (i) j | = (-1)i+j | A (i) j |. Přitom v matici A (i) j se prvek aij objeví zcela vlevo nahoře a v prvním řádku napravo od něj budou samé nuly. Kromě toho po vynechání prvního řádku a prvního sloupce matice A (i) j zů- stane právě matice Aij. Aplikujme nyní definici determinantu na determinant | A (i) j |. V této definici se ovšem uplatní pouze ty permutace Sn, pro něž (1) = 1, neboť jinak příslušný člen determinantu | A (i) j | obsahuje nulový činitel z prvního řádku ma- tice A (i) j a je tudíž roven nule. Permutace Sn s vlastností (1) = 1 lze ovšem chápat jako permutace množiny {2, . . . , n}. Chápeme-li tato čísla jednou jako řádkové indexy a podruhé jako sloupcové indexy, jedná se o ty řádky a sloupce matice A (i) j , v nichž je právě uložena matice Aij. Navíc pro paritu () ta- kové permutace není podstatné, chápeme-li ji jako permutaci množiny {1, 2, . . . , n} nebo {2, . . . , n}. To ale ukazuje, že členy determinantu | A (i) j | odpovídající permutacím Sn s vlast- ností (1) = 1 jsou právě součiny prvku aij s libovolnými členy determinantu |Aij|. Takže dostáváme | A (i) j | = aij |Aij|. Dosazením z této rovnosti do předchozího vztahu a jeho násled- ným použitím v úvodním vyjádření determinantu |A| na po- čátku tohoto důkazu obdržíme dokazovanou rovnost. 8 Buď A = (aij) čtvercová matice řádu n > 1. Řekneme, že tato matice A je v polorozpadlém tvaru, existuje-li index k {1, 2, . . . , n - 1} takový, že buďto aij = 0 pro všechna i = k + 1, . . . , n a j = 1, . . . , k, anebo aij = 0 pro všechna i = 1, . . . , k a j = k + 1, . . . , n. Zavedeme-li čtvercové matice B = (aij)i=1,...,k, j=1,...,k a C = (aij)i=k+1,...,n, j=k+1,...,n a dále ma- tice F = (aij)i=1,...,k, j=k+1,...,n a G = (aij)i=k+1,...,n, j=1,...,k, pak takovou matici A lze schematicky psát v jednom ze tvarů A = B F O C nebo A = B O G C , kde O představuje nulovou matici, pokaždé odpovídajícího typu. Tvrzení. Je-li A = (aij) čtvercová matice řádu n v jednom z polorozpadlých tvarů tak, jak byly popsány výše, pak pro její determinant platí |A| = |B| |C|. Důkaz. Předpokládejme například, že aij = 0 pro všechna i = k + 1, . . . , n a j = 1, . . . , k. Uvažme libovolnou permutaci Sn a jí odpovídající člen () a1 (1)a2 (2) . . . an (n) deter- minantu |A|. Je-li zde pro některé i {k + 1, . . . , n} splněno (i) {1, . . . , k}, pak ai (i) = 0, takže dotyčný člen deter- minantu |A| je roven nule. Stačí tedy uvažovat pouze ty per- mutace Sn, které pro každé i {k + 1, . . . , n} splňují (i) {k + 1, . . . , n}. Tyto permutace pak ale také pro každé i {1, . . . , k} splňují (i) {1, . . . , k}. To jsou pak ovšem právě permutace tvaru = , kde je libovolná permutace množi- ny {1, . . . , k} a je libovolná permutace množiny {k+1, . . . , n}. Příslušný člen determinantu |A| lze pak zapsat ve tvaru () a1 (1)a2 (2) . . . an (n) = ( ) a1 (1) . . . ak (k) () ak+1 (k+1) . . . an (n), neboť z kapitoly o permutacích víme, že ( ) = ( ) (). Vidíme tedy, že členy determinantu |A|, které je třeba uvažovat, 9 jsou právě součiny libovolného členu determinantu |B| s libovol- ným členem determinantu |C|. To ukazuje, že |A| = |B| |C|. Následuje Cauchyova věta. Věta. Pro každé dvě čtvercové matice A = (aij) a B = (bij) stejného řádu n nad komutativním okruhem (R, +, ) platí |AB| = |A| |B|. Důkaz. Sestavme čtvercovou matici H řádu 2n tvaru H = A O -E B , kde O je nulová čtvercová natice řádu n a -E je opačná matice k jednotkové matici E řádu n. Pak podle předchozího tvrzení víme, že |H| = |A| |B|. Upravujme nyní matici H tak, aby na místě, kde v ní původně byla matice A, vznikla nulová matice O. Toho lze dosáhnout přičítáním vhodných násobků posledních n řádků matice H, tedy řádků matice -E B , k jejím prvním n řádkům, tedy k řádkům matice A O . Podle jednoho z dří- vějších tvrzení víme, že se těmito úpravami nemění hodnota de- terminantu |H|. Všimněme si podrobně, jaké úpravy s maticí H je třeba udělat. Matici H lze detailně vypsat ve tvaru H = a11 a12 . . . a1n 0 0 . . . 0 a21 a22 . . . a2n 0 0 . . . 0 ... ... ... ... ... ... an1 an2 . . . ann 0 0 . . . 0 -1 0 . . . 0 b11 b12 . . . b1n 0 -1 . . . 0 b21 b22 . . . b2n ... ... ... ... ... ... 0 0 . . . -1 bn1 bn2 . . . bnn . Nyní, aby se pro zvolený index i {1, 2, . . . , n} objevily v i-tém řádku matice H na prvních n pozicích nuly, je třeba k němu 10 přičíst (n + 1)-ní řádek matice H vynásobený prvkem ai1, dále (n + 2)-hý řádek matice H vynásobený prvkem ai2, atd., až na- konec 2n-tý řádek matice H vynásobený prvkem ain. Tímto způ- sobem se ovšem současně na místě původně nulové matice O v matici H objeví nová čtvercová matice C řádu n. Takže po provedení všech popsaných úprav obdržíme čtvercovou matici K řádu 2n tvaru K = O C -E B . Přitom pro determinant této matice platí |K| = |H|. Zvolme kromě indexu i {1, 2, . . . , n} dále index j {1, 2, . . . , n} a zjis- těme, jaký prvek cij se objeví v matici C v jejím i-tém řádku a j-tém sloupci. Tedy určeme, jaký prvek se po výše specifikova- ných úpravách objeví v i-tém řádku a v (n + j)-tém sloupci ma- tice K. Půjde zřejmě o prvek cij = ai1b1j +ai2b2j + +ainbnj. To ale znamená, že C = A B. Podotkněme, že pak tedy máme |C| = |AB|. Přehodíme-li nakonec v matici K první řádek s (n + 1)-ním řádkem, druhý řádek s (n + 2)-hým řádkem, atd., až n-tý řádek s 2n-tým řádkem, obdržíme čtvercovou matici L řádu 2n v polorozpadlém tvaru L = -E B O C . Poněvadž jsme provedli celkem n popsaných výměn řádků, pro determinanty matic K a L platí |K| = (-1)n |L|. Dále podobně jako na začátku podle tvrzení předcházejícího této větě víme, že |L| = |-E| |C| = (-1)n |C|, takže |L| = (-1)n |AB|. Odtud a z předchozí rovnosti pak plyne, že |K| = |AB|. Protože |K| = |H| a viděli jsme, že |H| = |A| |B|, dostáváme tak nakonec, že |AB| = |A| |B|. 11