Monoidy, grupy, okruhy, tělesa
Grupoidy
Buď G množina. Uvažme libovolné zobrazení kartézské moc-
niny G×G do G. O takovém zobrazení říkáme, že je to binární
operace na množině G. Je-li taková binární operace pevně za-
dána, pak jsou-li a, b  G libovolné prvky a je-li prvek c  G
obrazem uspořádané dvojice (a, b) při tomto zobrazení, píšeme
to zpravidla ve tvaru c = a  b a mluvíme o binární operaci  .
Podle okolností užíváme pro označení binárních operací i jiné
zavedené symboly, například +, ,  a podobně.
Je-li na množině G zadána binární operace  , pak říkáme, že
jde o grupoid a zapisujeme ho jako dvojici (G, ).
Příklady. Nechť N = {1, 2, . . . }, Z a Q jsou množiny všech
přirozených, celých a racionálních čísel. Pak dvojice (N, +), (N, ),
(Z, +), (Z, -), (Z, ), (Q, +), (Q, -), (Q, ), (Q - {0}, :), kde +,
-, , : jsou obvyklé operace sčítaní, odečítání, násobení a dělení
v rámci číselných množin, jsou grupoidy.
Pro libovolnou množinu X jsme symbolem XX
označili mno-
žinu všech zobrazení množiny X do X a symbolem  jsme značili
skládání zobrazení. Pak dvojice (XX
, ) je grupoid. Z následu-
jícího odstavce vyplyne, že je to dokonce pologrupa.
Pologrupy
Nechť (G, ) je grupoid. Je-li pro každá a, b, c  G splněno
a  (b  c) = (a  b)  c,
pak o operaci  říkáme, že je to asociativní operace, a o grupo-
idu (G, ) mluvíme jako o asociativním grupoidu, anebo častěji
říkáme, že (G, ) je pologrupa.
1
Nechť znovu (G, ) je grupoid. Je-li pro každá a, b  G splněno
a  b = b  a,
pak o operaci  říkáme, že je to komutativní operace, a o grupo-
idu (G, ) mluvíme jako o komutativním grupoidu.
Příklady. Dvojice (N, +), (N, ), (Z, +), (Z, ), (Q, +), (Q, )
jsou komutativní pologrupy.
Tvrzení. Buď (G, ) pologrupa. Pak pro libovolné přirozené
číslo n a pro libovolná a1, a2, . . . , an  G výsledek součinu prvků
a1, a2, . . . , an v dané pologrupě v uvedeném pořadí nezávisí na
jejich uzávorkování.
Poznámka. Proto pak takový součin zapisujeme ve tvaru
a1  a2  . . .  an.
Důkaz se provede indukcí vzhledem k počtu prvků n.
Podobně lze dokázat také následující fakt.
Tvrzení. Buď (G, ) komutativní pologrupa. Pak pro libo-
volné přirozené číslo n a pro libovolná a1, a2, . . . , an  G výsle-
dek součinu prvků a1, a2, . . . , an nezávisí na jejich pořadí ani na
uzávorkování.
Monoidy
Nechť (G, ) je grupoid. Prvek e  G se nazývá neutrální
prvek nebo též jednotkový prvek grupoidu (G, ), je-li pro
každý prvek a  G splněno
e  a = a = a  e.
Tvrzení. V libovolném grupoidu (G, ) existuje nejvýše je-
den jednotkový prvek.
2
Důkaz. Nechť e, f  G jsou jednotkové prvky grupoidu
(G, ). Pak dostáváme
e = e  f = f,
kde první rovnost plyne z toho, že f jednotkový prvek, a druhá
rovnost plyne z toho, že e je jednotkový prvek. Takže e = f.
Z uvedeného tvrzení plyne, že má-li grupoid jednotkový pr-
vek, je tento prvek jednoznačně určen. Proto se pro něj mnohdy
používá speciální symbol, zpravidla je to symbol 1.
Je-li (G, ) pologrupa, která obsahuje jednotkový prvek 1, ří-
káme, že (G, ) je monoid.
Příklady. Dvojice (N, ), (Z, +), (Z, ), (Q, +), (Q, ) jsou
komutativní monoidy.
Znovu zopakujme, že pro libovolnou množinu X jsme sym-
bolem XX
označili množinu všech zobrazení množiny X do X a
symbolem  jsme značili skládání zobrazení. Pak dvojice (XX
, )
je monoid, neboť skládání zobrazení je asociativní operace na
množině XX
a identické zobrazení idX zde hraje roli jednotko-
vého prvku. Tento monoid obecně není komutativní.
Grupy
Než definujeme pojem grupy, uvedeme několik přípravných
poznatků.
Nechť (G, ) je grupoid s jednotkovým prvkem 1. Jestliže pro
některý prvek a  G existuje prvek b  G takový, že platí
a  b = 1 = b  a,
pak prvek a se nazývá invertibilní prvek grupoidu (G, ) a
prvek b se nazývá inverzní prvek k prvku a v tomto grupoidu.
3
Tvrzení. V libovolném monoidu (G, ) existuje ke každému
prvku a  G nejvýše jeden inverzní prvek.
Důkaz. Označme 1 jednotkový prvek monoidu (G, ). Nechť
b, c  G jsou inverzní prvky k danému prvku a  G, takže platí
a  b = 1 = b  a a a  c = 1 = c  a. Pak máme
b = b  1 = b  (a  c) = (b  a)  c = 1  c = c,
takže b = c.
Z uvedeného tvrzení plyne, že existuje-li v monoidu (G, )
k prvku a  G inverzní prvek, je tento prvek jediný a můžeme
pro něj proto užít zvláštní označení. Zpravidla se tento inverzní
prvek značí symbolem a-1
.
Tvrzení. Nechť (G, ) je monoid a nechť 1 je jeho jednotkový
prvek. Nechť n je přirozené číslo a nechť a, a1, a2, . . . , an  G
jsou libovolné invertibilní prvky monoidu (G, ). Pak 1, a-1
a
a1  a2  . . .  an jsou rovněž invertibilní prvky a platí rovnosti
1-1
= 1,
(a-1
)-1
= a,
(a1  a2  . . .  an)-1
= a-1
n  . . .  a-1
2  a-1
1 .
Důkaz. Toto tvrzení plyne z již dokázané jednoznačnosti
inverzních prvků a z faktů, že 1 je inverzním prvkem k 1, a je
inverzním prvkem k a-1
a a-1
n  . . . a-1
2 a-1
1 je očividně inverzním
prvkem k a1  a2  . . .  an.
Nyní můžeme definovat výše avizovaný pojem grupy. Monoid
(G, ), v němž ke každému prvku existuje prvek inverzní, to zna-
mená monoid, jehož všechny prvky jsou invertibilní, se nazývá
grupa.
Příklady. Dvojice (Z, +), (Q, +), (Q - {0}, ) jsou komuta-
tivní grupy.
4
Vezměme opět libovolnou množinu X a uvažujme dále libo-
volné bijekce f : X  X. Takovým bijekcím jsme v minulé
kapitole říkali permutace množiny X. Množinu všech permutací
množiny X jsme označili S(X). Pak skládání zobrazení  je ope-
rací též na množině S(X), takže dvojice (S(X), ) je monoid, a
je to dokonce grupa, neboť pro každou permutaci f : X  X
je inverzní zobrazení f-1
: X  X permutací, která je k ní in-
verzním prvkem. Uvedená grupa se nazývá grupa permutací
množiny X. Jde o grupu, která obecně není komutativní.
Z posledního tvrzení tohoto odstavce bezprostředně plyne
ještě následující fakt.
Důsledek. Nechť (G, ) je monoid a nechť H  G je množina
všech invertibilních prvků monoidu (G, ). Pak množina H je
uzavřená vzhledem k operaci  , čili tato operace je operací i na
množině H, a přitom dvojice (H, ) je grupa.
Okruhy
Budeme se dále zabývat strukturami se dvěma binárními ope-
racemi. Mějme tedy množinu R, na níž jsou zadány dvě bi-
nární operace + a  . Takovou strukturu zapisujeme jako tro-
jici (R, +, ). Předpokládejme navíc, že tato struktura splňuje
následující podmínky:
(R, +) je komutativní grupa,
(R, ) je monoid,
platí následující distributivní zákony:
pro každá a, b, c  R je splněno
a  (b + c) = ab + ac a (a + b)  c = ac + bc.
Pak struktura (R, +, ) se nazývá okruh. Operace +, resp. 
se pak nazývají sčítání, resp. násobení. Neutrální prvek grupy
5
(R, +) se potom nazývá nulový prvek daného okruhu a ozna-
čuje se symbolem 0. Inverzní prvek k prvku a  R v grupě (R, +)
se nazývá opačný prvek k prvku a a označuje se symbolem -a.
Pro libovolné dva prvky a, b  R budeme symbolem a - b ozna-
čovat prvek a + (-b). Neutrální prvek monoidu (R, ) se nazývá
jednotkový prvek daného okruhu a označuje se symbolem 1.
Příklady. Nechť Z, Q a R jsou množiny všech celých, racio-
nálních a reálných čísel. Pak trojice (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ),
kde + a  jsou obvyklé operace sčítání a násobení v rámci čísel-
ných množin, jsou okruhy.
Tvrzení. Buď (R, +, ) okruh. Pak pro libovolná a, b, c  R
platí
a  0 = 0  a = 0,
a  (-b) = (-a)  b = -(a  b),
a  (b - c) = ab - ac a (a - b)  c = ac - bc.
Důkaz faktu, že všechny tyto rovnosti plynou z definičních
vlastností okruhu, je snadným cvičením.
Buď R = {e} jednoprvková množina, na níž jsou definovány
binární operace + a  jediným možným způsobem, totiž tak, že
e + e = e a e  e = e. Pak (R, +, ) je okruh, který se nazývá
triviální okruh. Platí v něm 0 = e a 1 = e, takže 0 = 1. Ve
skutečnosti platí i obrácené tvrzení, takže celkem máme:
Tvrzení. Buď (R, +, ) okruh. Pak (R, +, ) je triviální okruh
právě tehdy, když v něm platí 0 = 1.
Důkaz. Zbývá ukázat, že platí-li 0 = 1 v nějakém okruhu
(R, +, ), pak (R, +, ) je jednoprvkový, a tedy triviální okruh.
Je-li však 0 = 1, pak pro libovolný prvek a  R platí, že a = a1
= a0 = 0, takže R = {0} a (R, +, ) je opravdu triviální okruh.
V každém netriviálním okruhu (R, +, ) tedy platí 0 = 1.
6
Buď (R, +, ) okruh. Je-li operace  na R komutativní, tedy
je-li (R, ) komutativní monoid, pak okruh (R, +, ) se nazývá
komutativní okruh. Všechny výše uvedené příklady okruhů
byly komutativní okruhy. Příklady nekomutativních okruhů bu-
dou uvedeny v následující kapitole.
Tělesa
Buď (R, +, ) netriviální okruh. Pak každý prvek a  R, který
je invertibilním prvkem monoidu (R, ), se nazývá jednotka
okruhu (R, +, ) a prvek k němu inverzní se značí symbolem a-1
.
Jednou z obecně mnoha jednotek netriviálního okruhu (R, +, )
je jeho jednotkový prvek 1. Podle závěrečného důsledku z od-
stavce o grupách víme, že množina všech jednotek netriviálního
okruhu (R, +, ) je uzavřená vzhledem k operaci  a tvoří vzhle-
dem k této operaci grupu.
Příklad. Jednotkami okruhu (Z, +, ) všech celých čísel jsou
právě čísla 1 a -1. Dvojice ({-1, 1}, ) tvoří dvouprvkovou grupu.
Netriviální komutativní okruh (R, +, ), jehož všechny nenu-
lové prvky jsou jednotkami, se nazývá těleso. Jinak řečeno, ne-
triviální okruh (R, +, ) je tělesem, jestliže množina R - {0} je
uzavřená vzhledem k operaci  a přitom (R -{0}, ) tvoří komu-
tativní grupu.
Příklady. Okruhy (Q, +, ), (R, +, ) a (C, +, ) všech raci-
onálních, reálných a komplexních čísel jsou tělesa. Tato tělesa
jsou příklady těles, jimž říkáme číselná tělesa.
Existuje množství dalších příkladů těles. Zvláštní oblast tvoří
konečná tělesa, o nichž zde není řeč.
7