Hodnost matice Nechť A = (aij)i=1,...,m, j=1,...,n je matice typu m/n nad tělesem (T, +, ). Pak řádky matice A můžeme chápat jako uspořádané n-tice prvků z T, a tedy jako prvky vektorového prostoru (Tn , +, ). Řádky matice A potom generují jistý podprostor ve vektorovém prostoru (Tn , +, ). Di- menze tohoto podprostoru generovaného řádky matice A se na- zývá řádková hodnost matice A. Podobně sloupce matice A lze chápat jako uspořádané m-tice prvků z T, a tedy jako prvky vektorového prostoru (Tm , +, ). Dimenze podprostoru vektoro- vého prostoru (Tm , +, ) generovaného sloupci matice A se pak nazývá sloupcová hodnost matice A. V dalším textu této ka- pitoly ale ukážeme, že obě tyto dimenze jsou si rovny, čímž ob- držíme pojem hodnosti matice A. Buď znovu A = (aij) matice typu m/n nad tělesem (T, +, ). Potom každá z následujících modifikací matice A se nazývá elementární řádková úprava matice A: (i) vynásobení i-tého řádku matice A prvkem r pro některá i {1, . . . , m} a r T, r = 0, (ii) přičtení k i-tému řádku matice A j-tého řádku matice A vy- násobeného prvkem r pro některá i, j {1, . . . , m}, i = j, a r T. K elementárním řádkovým úpravám matice A bývá někdy též počítána výměna i-tého a j-tého řádku matice A pro některá i, j {1, . . . , m}, i = j. Tuto úpravu lze ale získat složením ně- kolika úprav typu (i) a (ii): nejprve se j-tý řádek přičte k i-tému, pak se i-tý řádek odečte od j-tého, potom se znovu j-tý řádek přičte k i-tému a nakonec se j-tý řádek vynásobí prvkem -1. 1 Zaměníme-li všude v předchozím odstavci slovo "řádek" slo- vem "sloupec" a číslo m číslem n, dostaneme podobně definici toho, co jsou elementární sloupcové úpravy matice A. Nechť A = (aij) a B = (bij) jsou dvě matice téhož typu m/n nad tělesem (T, +, ) takové, že matice B vznikla z matice A konečnou posloupností elementárních řádkových úprav. Pak pí- šeme A B a říkáme, že matice A a B jsou řádkově ekviva- lentní. Poněvadž ke každé elementární řádkové úpravě existuje elementární úprava, který je k ní inverzní v tom smyslu, že pře- vede upravenou matici zpět do původního tvaru, je relace symetrická a celkem je to ekvivalence na množině všech matic typu m/n nad tělesem (T, +, ). Analogickou úvahu je možno vést i pro elementární sloupcové úpravy matic. Tvrzení. Elementárními řádkovými úpravami dané matice A = (aij) typu m/n nad tělesem (T, +, ) se nemění podprostor vektorového prostoru (Tn , +, ) generovaný řádky matice A. Ne- mění se tak ani řádková hodnost matice A. Důkaz. Podle příslušného tvrzení z kapitoly o podprosto- rech vektorových prostorů je podprostor vektorového prostoru (Tn , +, ) generovaný řádky matice A roven množině všech li- neárních kombinací těchto řádků. Je ale evidentní, že množina všech lineárních kombinací řádků matice A se nezmění provede- ním kterékoliv elementární řádkové úpravy matice A. Tvrzení. Elementárními řádkovými úpravami dané matice A = (aij) typu m/n nad tělesem (T, +, ) se nemění sloupcová hodnost matice A. Poznámka. Může se ale změnit podprostor vektorového pro- storu (Tm , +, ) generovaný sloupci matice A. 2 Lemma. Nechť A = (aij) a B = (bij) jsou matice téhož typu m/n nad tělesem (T, +, ), přičemž matice B vznikla z matice A provedením několika elementárních řádkových úprav. Označme a1, a2, . . . , an jednotlivé sloupce matice A a b1, b2, . . . , bn jed- notlivé sloupce matice B. Nechť j1, j2, . . . , jk {1, 2, . . . , n} jsou libovolné indexy splňující j1 < j2 < < jk. Potom sloupce aj1 , aj2 , . . . , ajk matice A jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když jsou lineárně nezávislé sloupce bj1 , bj2 , . . . , bjk matice B. Důkaz. Tvrzení tohoto lemmatu stačí dokázat v případě, kdy matice B vznikla z matice A provedením jedné elementární řádkové úpravy typu (i) nebo (ii). K tomu účelu je třeba ověřit, že pak pro libovolné prvky s1, s2, . . . , sk T je rovnost s1aj1 + s2aj2 + + skajk = 0 splněna právě tehdy, když je splňena rovnost s1bj1 + s2bj2 + + skbjk = 0, kde 0 je nulový sloupec o m složkách. Vznikla-li matice B z ma- tice A provedením jedné elementární řádkové úpravy typu (i), je tento fakt očividný. Vznikla-li matice B z matice A použi- tím jedné elementární řádkové úpravy typu (ii), je to obdobně zjevné. Spočívala-li totiž tato elementární řádková úprava v při- čtení k i-tému řádku matice A -tého řádku matice A vynáso- beného prvkem r pro některá i, {1, . . . , m}, i = , a r T, pak rozdíl v uvedených dvou rovnostech se projeví pouze na i-té pozici zmíněných sloupců, kde pro matici A vznikne rovnost s1aij1 + s2aij2 + + skaijk = 0, zatímco pro matici B vznikne rovnost s1(aij1 +ra j1 )+s2(aij2 +ra j2 )+ +sk(aijk +ra jk ) = 0. Uvědomíme-li si přitom ale, že současně na -té pozici zmíněných sloupců v obou maticích A i B se objeví rovnost s1a j1 + s2a j2 + + ska jk = 0, vidíme, že obě výše uve- dené soustavy rovností pro vybrané sloupce matic A a B jsou navzájem ekvivalentní, což bylo třeba ověřit. 3 Důkaz posledního tvrzení. Nechť B = (bij) je matice typu m/n nad tělesem (T, +, ) vzniklá z matice A provedením konečné posloupnosti elementárních řádkových úprav. V před- chozím lemmatu jsme viděli, že elementární řádkové úpravy ma- tice A nemají vliv na lineární závislost či nezávislost vybraných posloupností sloupců této matice. Sloupcová hodnost matice A je ovšem definována jako dimenze podprostoru v (Tm , +, ) ge- nerovaného sloupci matice A, a tedy jako počet vektorů báze to- hoto podprostoru. Podle jednoho z tvrzení předchozí kapitoly lze takovou bázi aj1 , aj2 , . . . , ajk vybrat ze sloupců a1, a2, . . . , an ma- tice A. Po provedení zmíněné posloupnosti elementárních řád- kových úprav pak podle předchozího lemmatu v nové matici B zůstanou odpovídající sloupce bj1 , bj2 , . . . , bjk lineárně nezávislé a generují tudíž v (Tm , +, ) podprostor stejné dimenze. Jiná li- neárně nezávislá posloupnost mající více sloupců přitom podle zmíněného lemmatu mezi sloupci b1, b2, . . . , bn matice B vznik- nout nemohla. Obě matice A i B tedy mají stejnou sloupcovou hodnost. Buď opět A = (aij) matice typu m/n nad tělesem (T, +, ). Řekneme, že matice A je ve schodovitém tvaru, jsou-li v ní shora dolů nejprve nenulové řádky, pokud matice takové řádky obsahuje, a až za nimi jsou nulové řádky, má-li matice takové, a jestliže dále každý nenulový řádek matice A (s případnou vý- jimkou prvního řádku) začíná zleva několika nulami, přičemž každý další nenulový řádek má těchto nul vlevo více než řádek jemu předcházející. První nenulový prvek zleva v každém nenu- lovém řádku matice A se nazývá hlavní prvek tohoto řádku. Je tedy tuto druhou podmínku možno zformulovat také tak, že hlavní prvek každého dalšího nenulového řádku matice A se na- chází na vzdálenější pozici odleva než hlavní prvek řádku jemu předcházejícího. Je jasné, že pak nenulové řádky matice A ve schodovitém tvaru jsou lineárně nezávislé (žádný z nich není 4 možno získat jako lineární kombinaci ostatních řádků). Je tedy počet nenulových řádků matice A ve schodovitém tvaru roven řádkové hodnosti této matice. Řekneme dále, že matice A = (aij) typu m/n nad tělesem (T, +, ) je v Gauss-Jordanově tvaru, je-li ve schodovitém tvaru, je-li přitom hlavní prvek každého nenulového řádku ro- ven 1, a je-li navíc každý hlavní prvek jediným nenulovým prv- kem ve sloupci, ve kterém leží (tedy každý hlavní prvek má ve svém sloupci nejen pod sebou, ale i nad sebou samé nuly). Tvrzení. Každou matici A = (aij) typu m/n nad tělesem (T, +, ) lze převést konečnou posloupností elementárních řád- kových úprav na matici ve schodovitém tvaru, případně až na matici v Gauss-Jordanově tvaru. Důkaz. Při hledání schodovitého tvaru postupujeme indukcí vzhledem k počtu nenulových řádků matice A. Je-li A nulová matice, je již ve schodovitém tvaru. Je-li matice A nenulová, vybereme první nenulový sloupec zleva. Případným přehozením řádků docílíme toho, aby v tomto sloupci byl první prvek shora nenulový. Potom odečítáním vhodných násobků prvního řádku od následujících řádků dosáhneme toho, že v tomto prvním ne- nulovém sloupci budou pod prvním nenulovým prvkem shora již samé nuly. Byl-li zmíněný nenulový sloupec posledním sloup- cem matice, je takto získaná matice již ve schodovitém tvaru. V opačném případě, odmyslíme-li si nyní z takto vzniklé matice její první řádek, dostaneme matici, která bude mít méně nenulo- vých řádků (nulové řádky se uvedenými úpravami nezměnily). Podle indukčního předpokladu lze tedy tuto zmenšenou matici převést elementárními řádkovými úpravami na schodovitý tvar (nulové sloupce vlevo, kterých bude více než v celé matici, se při- tom nezmění). Takže pak i původní matici A lze takto převést na schodovitý tvar. 5 Abychom od schodovitého tvaru přešli ke Gauss-Jordanovu tvaru, je-li daná matice nenulová, je třeba zprvu každý nenulový řádek vynásobit inverzním prvkem k hlavnímu prvku ležícímu v tomto řádku. Poté odečítáním vhodných násobků daného ne- nulového řádku od řádků ležících nad ním docílíme toho, že ve sloupci nad hlavním prvkem tohoto řádku budou samé nuly. To se provede pro každý nenulový řádek matice vyjma prvního. Důsledek. Nechť A = (aij) je matice typu m/n nad těle- sem (T, +, ) a nechť B = (bij) je matice typu m/n nad tělesem (T, +, ) vzniklá převedením matice A konečným počtem elemen- tárních řádkových úprav podle předchozího tvrzení na matici v Gauss-Jordanově tvaru. Nechť j1, j2, . . . , jk {1, 2, . . . , n} jsou indexy všech těch sloupců matice B splňující j1 < j2 < < jk, v nichž leží hlavní prvky všech nenulových řádků matice B. Po- tom sloupce aj1 , aj2 , . . . , ajk matice A tvoří bázi podprostoru vek- torového prostoru (Tm , +, ) generovaného sloupci matice A. Důkaz. Je evidentní, že sloupce bj1 , bj2 , . . . , bjk matice B v Gauss-Jordanově tvaru jsou lineárně nezávislé a že každý jiný sloupec matice B je lineární kombinací těch sloupců v této po- sloupnosti, které mu předcházejí. Takže sloupce bj1 , bj2 , . . . , bjk tvoří bázi podprostoru vektorového prostoru (Tm , +, ) genero- vaného sloupci matice B. Podle lemmatu použitého k důkazu předminulého tvrzení pak totéž platí pro sloupce aj1 , aj2 , . . . , ajk vzhledem k matici A. Důsledek. Pro každou matici A = (aij) typu m/n nad těle- sem (T, +, ) platí, že její řádková hodnost je rovna její sloupcové hodnosti. Důkaz. Podle předchozího tvrzení lze matici A elemen- tárními řádkovými úpravami převést na Gauss-Jordanův tvar. Nechť k je počet nenulových řádků v tomto tvaru. Potom je možné přehazováním sloupců přemístit sloupce obsahující hlavní 6 prvky doleva, takže vlevo nahoře vznikne jednotková matice Ek. Je dále jasné, že pak je možno odčítáním vhodných násobků prv- ních k sloupců od zbývajících sloupců všechny tyto následující sloupce učinit nulovými sloupci. Takto použitím nejprve elemen- tárních řádkových a poté i sloupcových úprav přejde matice A do tvaru, kdy na hlavní diagonále bude prvních k prvků rovných 1 a všechny ostatní prvky matice budou rovny 0. Matice tohoto tvaru má ovšem řádkovou i sloupcovou hodnost rovnu k. Poně- vadž už víme, že elementární řádkové úpravy nemění řádkovou ani sloupcovou hodnost matice, a totéž ovšem platí i pro elemen- tární sloupcové úpravy, je taktéž řádková i sloupcová hodnost výchozí matice A rovna k. Nyní jsme tedy v situaci, kdy můžeme pro každou matici A = (aij) typu m/n nad tělesem (T, +, ) definovat hodnost matice A jako společnou hodnotu řádkové a sloupcové hodnosti matice A. 7