Matice lineárních zobrazení Nechť (V, +, ) a (W, +, ) jsou nenulové vektorové prostory ko- nečných dimenzí n a m nad tělesem (T, +, ), nechť posloupnosti vektorů g1, g2, . . . , gn V a h1, h2, . . . , hm W tvoří báze těchto vektorových prostorů a nechť f : V W je lineární zob- razení mezi těmito prostory. Nechť pro každé j {1, 2, . . . , n} jsou prvky a1j, a2j, . . . , amj T souřadnice vektoru f(gj) v bázi h1, h2, . . . , hm, takže platí f(gj) = a1jh1 +a2jh2 + +amjhm. Pak matice A = (aij)i=1,...,m, j=1,...,n typu m/n nad (T, +, ) se na- zývá matice lineárního zobrazení f v bázích g1, g2, . . . , gn a h1, h2, . . . , hm. Zavedeme-li podobně jako dříve též označení g = g1 g2 . . . gn a h = h1 h2 . . . , hm pro zmíněné báze prostorů (V, +, ) a (W, +, ) a k tomu ještě označení f(g) = f(g1) f(g2) . . . f(gn) pro posloupnost obrazů vek- torů báze g při lineárním zobrazení f, pak právě uvedená de- finice matice A = (aij) lineárního zobrazení f v bázích g a h znamená, že platí rovnost f(g) = h A, vzpomeneme-li si znovu na násobení matic nad vektorovým pro- storem (W, +, ) maticemi nad tělesem (T, +, ). Nechť (V, +, ) je nenulový vektorový prostor konečné di- menze n nad tělesem (T, +, ), nechť dále posloupnost vektorů g1, g2, . . . , gn V tvoří bázi tohoto vektorového prostoru a nechť f : V V je lineární transformace tohoto vektorového pro- storu. Nechť nyní pro každé j {1, 2, . . . , n} jsou prvky a1j, a2j, . . . , anj T souřadnice vektoru f(gj) v bázi g1, g2, . . . , gn, takže platí f(gj) = a1jg1 + a2jg2 + + anjgn. Pak čtver- cová matice A = (aij)i=1,...,n, j=1,...,n řádu n nad (T, +, ) se na- zývá matice lineární transformace f v bázi g1, g2, . . . , gn. Zavedeme-li obdobně jako výše označení g = g1 g2 . . . gn a f(g) = f(g1) f(g2) . . . f(gn) , pak právě uvedená definice 1 matice A = (aij) lineární transformace f v bázi g podobně jako výše znamená, že tentokrát platí rovnost f(g) = g A, opět s využitím násobení matic nyní nad vektorovým prostorem (V, +, ) maticemi nad tělesem (T, +, ). Věta. Nechť (V, +, ) a (W, +, ) jsou nenulové vektorové prostory konečných dimenzí nad tělesem (T, +, ) a nechť po- sloupnosti g1, g2, . . . , gn a h1, h2, . . . , hm tvoří báze těchto vekto- rových prostorů. Pak přiřazení, v němž každému lineárnímu zob- razení f : V W odpovídá jeho matice A v bázích g1, g2, . . . , gn a h1, h2, . . . , hm, je vzájemně jednoznačnou korespondencí mezi všemi lineárními zobrazeními f : V W a všemi maticemi A = (aij) typu m/n nad (T, +, ). Důkaz. Mají-li dvě lineární zobrazení f, g : V W stejnou matici v uvedených bázích, pak to znamená, že f(g1) = g(g1), f(g2) = g(g2), . . . , f(gn) = g(gn). Podle poslední věty z minulé kapitoly pak ale f a g jsou jedno a to stejné lineární zobrazení. Je tedy zmíněné přiřazení prosté. Vezměme dále libovolnou matici A = (aij) typu m/n nad (T, +, ), a uvažme vektory zj = a1jh1 + a2jh2 + + amjhm pro všechna j {1, 2, . . . , n}. Pak podle poslední věty z mi- nulé kapitoly existuje lineární zobrazení f : V W takové, že f(g1) = z1, f(g2) = z2, . . . , f(gn) = zn. Maticí tohoto lineár- ního zobrazení ve zmíněných bázích je ovšem matice A. Je tedy popsaná korespondence opravdu vzájemně jednoznačná. Tvrzení. Nechť (V, +, ) a (W, +, ) jsou nenulové vekto- rové prostory konečných dimenzí n a m nad tělesem (T, +, ). Nechť f : V W je lineární zobrazení mezi těmito prostory a nechť A = (aij) je matice tohoto lineárního zobrazení v bázích g1, g2, . . . , gn a h1, h2, . . . , hm zmíněných vektorových prostorů. 2 Nechť u je libovolný vektor z V, nechť x1, x2, . . . , xn jsou sou- řadnice vektoru u v bázi g1, g2, . . . , gn a nechť y1, y2, . . . , ym jsou souřadnice vektoru f(u) v bázi h1, h2, . . . , hm. Pak platí y1 y2 ... ym = A x1 x2 ... xn . Důkaz. Označme jako na začátku g = g1 g2 . . . gn , h = h1 h2 . . . , hm a f(g) = f(g1) f(g2) . . . f(gn) . Dále označme x = x1 x2 . . . xn , y = y1 y2 . . . ym . Pak zase můžeme psát u = g x a f(u) = h y. Poněvadž f je lineární zobrazení, z první z těchto dvou rovností plyne, že f(u) = f(g) x. Současně, jak bylo řečeno výše, podle definice matice A = (aij) lineárního zobrazení f v bázích g a h máme rovnost f(g) = hA. Dosazením do předchozí rovnosti opět s vy- užitím asociativity příslušného násobení matic dostáváme, že f(u) = h A x. To znamená, že A x jsou souřadnice vektoru f(u) v bázi h. Ovšem také y jsou souřadnice vektoru f(u) v téže bázi h. Vzhle- dem k jednoznačnosti souřadnic vektoru v dané bázi odtud vy- plývá rovnost y = A x, kterou jsme měli ověřit. Tvrzení. Nechť (U, +, ), (V, +, ) a (W, +, ) jsou nenu- lové vektorové prostory konečných dimenzí nad tělesem (T, +, ) a nechť f1, f2, . . . , fn, g1, g2, . . . , gm a h1, h2, . . . , hk jsou báze těchto vektorových prostorů. Nechť f : U V a g : V W jsou lineární zobrazení vektorových prostorů, nechť A = (aij) je matice zobrazení f v bázích f1, f2, . . . , fn a g1, g2, . . . , gm a nechť B = (bhi) je matice zobrazení g v bázích g1, g2, . . . , gm a h1, h2, . . . , hk. Potom matice B A je maticí složeného zobrazení g f : U W v bázích f1, f2, . . . , fn a h1, h2, . . . , hk. Důkaz. Užijme opět zavedeného značení f = f1 f2 . . . fn , 3 g = g1 g2 . . . gm , h = h1 h2 . . . , hk a také f(f) = f(f1) f(f2) . . . f(fn) , g(g) = g(g1) g(g2) . . . g(gm) . K tomu položme g(f(f)) = (g f)(f), kde (g f)(f) má analo- gický význam jako f(f), takže pak obdobně předchozímu značení můžeme psát též g(f(f)) = g(f(f1)) g(f(f2)) . . . g(f(fn)) . Nyní zase podle definic matic A = (aij) a B = (bhi) lineárních zobrazení f a g v příslušných bázích máme rovnosti f(f) = gA a g(g) = h B. Poněvadž g je lineární zobrazení, jeho aplikací na jednotlivé vektory v posloupnosti f(f) pak z první z uvede- ných rovností obdržíme, že g(f(f)) = g(g)A. Dosazením druhé z předchozích dvou rovností do této poslední rovnosti s opě- tovným využitím asociativity příslušného násobení matic takto dostáváme, že g(f(f)) = h B A. To ale právě znamená, že matice B A je maticí složeného line- árního zobrazení g f v bázích f a h, což bylo třeba ověřit. Důsledek. Nechť (V, +, ) a (W, +, ) jsou nenulové vek- torové prostory konečných dimenzí nad tělesem (T, +, ), nechť g1, g2, . . . , gn a h1, h2, . . . , hm jsou báze těchto prostorů, nechť f : V W je izomorfismus těchto prostorů a nechť A je matice izomorfismu f v bázích g1, g2, . . . , gn a h1, h2, . . . , hm. Pak platí n = m, A je čtvercová regulární matice řádu n = m a matice A-1 k ní inverzní je maticí inverzního izomorfismu f-1 : W V v bázích h1, h2, . . . , hm a g1, g2, . . . , gn. Důkaz. Izomorfní vektorové prostory musí mít stejnou di- menzi, takže n = m a matice A je čtvercová. Nechť dále B je matice inverzního izomorfismu f-1 v bázích h1, h2, . . . , hm a g1, g2, . . . , gn. Pak podle předchozího tvrzení je matice A B maticí složeného zobrazení f f-1 , jímž je ale identické zobra- zení idW. Maticí této identické transformace prostoru (W, +, ) v bázi h1, h2, . . . , hm je ovšem jednotková matice Em. Odtud plyne, že A B = Em, takže A je regulární matice a B = A-1 . 4 Nechť (V, +, ) je nenulový vektorový prostor konečné di- menze nad tělesem (T, +, ) a nechť f1, f2, . . . , fn a g1, g2, . . . , gn jsou dvě báze tohoto prostoru. Již dříve jsme definovali, co zna- mená, že čtvercová matice A řádu n nad (T, +, ) je maticí pře- chodu od báze f1, f2, . . . , fn k bázi g1, g2, . . . , gn. Připomeňme, že to nastává, pokud pro každé j {1, 2, . . . , n} platí, že v j-tém sloupci matice A jsou uloženy souřadnice vektoru gj v bázi f1, f2, . . . , fn. Nyní je na místě si všimnout, že A je takovou ma- ticí přechodu právě tehdy, když A je maticí identického zobra- zení idV prostoru (V, +, ) do něj samotného vzhledem k bázím g1, g2, . . . , gn a f1, f2, . . . , fn (v tomto pořadí). Tehdy totiž také pro každé j {1, 2, . . . , n} platí, že v j-tém sloupci matice A jsou obsaženy souřadnice vektoru gj v bázi f1, f2, . . . , fn. Věnujme se nyní otázce, jak se změní matice daného line- árního zobrazení mezi dvěma vektorovými prostory konečných dimenzí, přejdeme-li k jiným bázím těchto vektorových prostorů. Kvůli přehlednosti budeme ve formulacích následujících po- znatků používat už jen stručná značení bází příslušných vekto- rových prostorů konečných dimenzí. Bude-li tedy (V, +, ) nenu- lový vektorový prostor konečné dimenze n a bude-li posloupnost vektorů f1, f2, . . . , fn některou bází tohoto prostoru, kterou jsme už také zapisovali ve tvaru f = f1 f2 . . . fn , budeme nadále pro tuto bázi prostoru (V, +, ) užívat už jen krátké označení f. Důsledek. Nechť (V, +, ) a (W, +, ) jsou nenulové vek- torové prostory konečných dimenzí nad tělesem (T, +, ). Nechť f a g jsou dvě báze prostoru (V, +, ) a nechť h a k jsou dvě báze prostoru (W, +, ). Nechť P je matice přechodu od báze f k bázi g a nechť Q je matice přechodu od báze h k bázi k. Nechť f : V W je lineární zobrazení mezi uvedenými pro- story, nechť A je matice zobrazení f v bázích f a h a nechť B je matice zobrazení f v bázích g a k. Pak platí B = Q-1 A P. 5 Důkaz. Poněvadž f idV = idW f je totéž zobrazení f a poněvadž podle výše uvedeného tvrzení o matici složeného li- neárního zobrazení a podle komentáře předcházejícího tomuto důsledku je A P maticí zobrazení f idV a Q B je ma- ticí zobrazení idW f, obojí v bázích g a h, plyne odtud, že A P = Q B, takže B = Q-1 A P. Jiný důkaz. Podle definic matic přechodů P a Q mezi zmíněnými bázemi daných vektorových prostorů máme rovnosti g = f P a k = h Q. Ze druhé z těchto rovností vynásobením maticí Q-1 zprava plyne též rovnost h = k Q-1 . Podle definic matic A a B lineárního zobrazení f v uvedených bázích daných prostorů máme dále rovnosti f(f) = h A a f(g) = k B. Po- něvadž f je lineární zobrazení, z předchozích rovností pak ale vyplývá rovněž, že f(g) = f(f P) = f(f) P = h A P = k Q-1 A P. To ovšem znamená, že matice Q-1 A P je maticí zobrazení f v bázích g a k. Z jednoznačnosti takové matice potom plyne, že B = Q-1 A P. Půjde-li dále jen o lineární transformaci jednoho vektorového prostoru konečné dimenze a o její matice ve dvou bázích tohoto prostoru, pak se formulace posledního důsledku zjednoduší: Důsledek. Nechť (V, +, ) je nenulový vektorový prostor konečné dimenze nad tělesem (T, +, ), nechť f a g jsou dvě báze tohoto prostoru a nechť P je matice přechodu od báze f k bázi g. Nechť f : V V je lineární transformace prostoru (V, +, ), nechť A je matice transformace f v bázi f a nechť B je matice transformace f v bázi g. Pak platí B = P-1 A P. 6