Podprostory vektorových prostorů Vrátíme-li se na okamžik k motivačním úvahám ze začátku mi- nulé kapitoly, pak za podprostory trojrozměrného vektorového prostoru (R3 , +, ) nad tělesem (R, +, ) považujeme jednoprv- kovou množinu obsahující nulový vektor (0, 0, 0), dále všechny přímky v tomto prostoru procházející počátkem [0, 0, 0], potom všechny roviny v tomto prostoru procházející počátkem [0, 0, 0], a konečně také celý zmíněný trojrozměrný vektorový prostor sám. Přesněji řečeno, místo přímek by zde bylo třeba mluvit o množinách všech vektorů, jejichž koncové body při umístění v počátku [0, 0, 0] leží na dotyčné přímce, a obdobné upřesnění by se týkalo také rovin. Bude patrno, že toto je jeden konkrétní případ následující obecné definice podprostorů daného vektoro- vého prostoru. Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť W V je podmnožina splňující následující podmínky: o W, (u, v W)(u + v W), (s T)(u W)(su W). Pak říkáme, že W je podprostor vektorového prostoru (V, +, ). Tato terminologie je ospravedlněna skutečností, že potom mno- žina W je uzavřená vzhledem k operaci + sčítání vektorů a také vzhledem ke skalárnímu násobení vektorů libovolnými prvky tělesa (T, +, ); navíc množina W obsahuje nulový vektor o a dále ke každému vektoru u W obsahuje také opačný vektor -u, poněvadž -u = -(1 u) = (-1) u W. Takže pak W V je podgrupa grupy (V, +) a celkem tak vzniká struktura (W, +, ), která je zase vektorovým prostorem nad tělesem (T, +, ), neboť také ostatní shora uvedené definiční podmínky vektorového pro- storu zůstávají splněny. 1 V každém vektorovém prostoru (V, +, ) nad tělesem (T, +, ) jsou podmnožiny {o} a V množiny V podprostory vektorového prostoru (V, +, ). Znamená to mimo jiné, že ({o}, +, ) tvoří vektorový prostor nad tělesem (T, +, ), kterému říkáme nulový vektorový prostor. Kromě toho ovšem může mít daný vekto- rový prostor množství dalších podprostorů. Tvrzení. Nechť (V, +, ) je vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Pak pro libovolnou podmnožinu W V platí, že W je podprostor vektorového prostoru (V, +, ) právě tehdy, když o W a je splněna podmínka (s, t T)(u, v W)(su + tv W). Důkaz. Uvedená podmínka bezprostředně plyne z definič- ních podmínek podprostoru vektorového prostoru (V, +, ). Na- opak původní definiční podmínky podprostoru vektorového pro- storu (V, +, ) plynou z předpokladu o W a z výše uvedené podmínky volbami s = t = 1 a s T, t = 0, přihlédne-li se k základním vlastnostem vektorového prostoru (V, +, ). Příklady. Nechť (T, +, ) je těleso a nechť m, n jsou přiro- zená čísla splňující m < n. Viděli jsme, že pak kartézská mocnina Tn = {(s1, s2, . . . , sn) | s1, s2, . . . , sn T} spolu s operacemi sčí- tání + a skalárního násobení definovanými po složkách tvoří vektorový prostor (Tn , +, ) nad tělesem (T, +, ). Pak množina Tm × {0}n-m = {(s1, s2, . . . , sm, 0, 0, . . . , 0) | s1, s2, . . . , sm T}, jež je podmnožinou kartézské mocniny Tn , je podprostorem vek- torového prostoru (Tn , +, ). Buď opět (T, +, ) těleso. V minulé kapitole jsme uvedli, co jsou polynomy nad tímto tělesem, a viděli jsme, že množina T[x] všech těchto polynomů spolu s přirozeně definovanými ope- racemi sčítání a násobení tvoří komutativní okruh (T[x], +, ). Současně jsme viděli, že tak rovněž vzniká vektorový prostor (T[x], +, ) nad tělesem (T, +, ). Definujme nyní pro libovolný 2 polynom f = anxn +an-1xn-1 + +a1x+a0 nad (T, +, ) a pro libovolný prvek t T hodnotu f(t) polynomu f v prvku t jako prvek tělesa (T, +, ) vypočtený podle předpisu f(t) = antn + an-1tn-1 + + a1t + a0. Pak například množina {f T[x] | (t T)(f(t) = f(-t))} tvoří podprostor ve vektorovém prostoru (T[x], +, ). Viděli jsme rovněž, že množina R 0,1 všech zobrazení inter- valu 0, 1 do množiny R všech reálných čísel spolu s přirozeně definovanou operací sčítání těchto zobrazení a s taktéž přirozeně definovanou vnější operací skalárního násobení těchto zobrazení libovolnými čísly z R tvoří vektorový prostor R 0,1 , +, nad tělesem (R, +, ) všech reálných čísel. Označme nyní F R 0,1 množinu všech těch zobrazení f : 0, 1 R, pro něž množina čísel {r R | 0 r 1, f(r) = 0} je konečná. Pak poněvadž pro libovolná dvě čísla s, t R a pro libovolná dvě zobrazení f, g : 0, 1 R platí {r R | 0 r 1, sf(r) + tg(r) = 0} {r R | 0 r 1, f(r) = 0} {r R | 0 r 1, g(r) = 0}, vzhledem k předchozímu tvrzení je evidentní, že F R 0,1 je podprostor vektorového prostoru R 0,1 , +, . Generování podprostorů vektorových prostorů Tvrzení. Nechť (V, +, ) je vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Pak pro libovolnou indexovou množinu I = a pro li- bovolný soubor podprostorů Wi vektorového prostoru (V, +, ), kde i I, platí, že průnik tohoto souboru podprostorů iI Wi = {v V | (i I)(v Wi) } je také podprostorem vektorového prostoru (V, +, ). 3 Důkaz. Ověření faktu, že množina iI Wi splňuje všechny výše uvedené definiční podmínky vektorového podprostoru, po- kud jednotlivé množiny Wi pro i I tyto podmínky splňují, je rutinní záležitostí. Buď dále (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Buď M V libovolná podmnožina. Pak existuje alespoň je- den podprostor vektorového prostoru (V, +, ) obsahující mno- žinu M ­ například celá množina V je takovým podprosto- rem. To znamená, že soubor všech těch podprostorů vektorového prostoru (V, +, ), které obsahují množimu M, je neprázdný. Můžeme tedy utvořit průnik tohoto souboru podprostorů. Podle předchozího tvrzení je tento průnik sám podprostorem vektoro- vého prostoru (V, +, ). Tento poslední podprostor pak značíme symbolem M . Je jasné, že pak M je nejmenší podprostor vektorového prostoru (V, +, ) v systému všech podprostorů tohoto vekto- rového prostoru částečně uspořádaném inkluzí, který obsahuje množinu M. O tomto podprostoru M říkáme, že je to podpro- stor generovaný množinou M, a o samotné množině M říkáme, že je to množina generátorů podprostoru M . Tato terminolo- gie je odůvodněna následující skutečností. Poznamenejme ještě předtím, že pro M = zřejmě máme M = {o}. Tvrzení. Nechť (V, +, ) je vektorový prostor nad tělesem (T, +, ) a nechť M V, M = je libovolná podmnožina. Pak platí následující rovnost: M = {s1u1 + s2u2 + + snun | n N, s1, s2, . . . , sn T, u1, u2, . . . , un M}. Poznámka. O vektoru s1u1 +s2u2 + +snun říkáme, že je to lineární kombinace vektorů u1, u2, . . . , un s koeficienty s1, s2, . . . , sn. Podle uvedeného tvrzení je tedy podprostor M 4 tvořen všemi lineárními kombinacemi konečných posloupností vektorů z M s koeficienty z T. Důkaz. Označme množinu uvedenou napravo v dokazované rovnosti jako U. Máme ukázat, že pak M = U. Podle defi- nice je M nejmenší podprostor vektorového prostoru (V, +, ) vzhledem k inkluzi obsahující množinu M. Stačí, když ukážeme, že tytéž podmínky platí také pro množinu U. Pak budeme vědět, že vskutku M = U. Nejprve ověříme, že U je podprostorem vektorového prostoru (V, +, ). Ovšem M = , takže můžeme zvolit vektor u M a máme o = u - u = 1u + (-1)u, což ukazuje, že o U. Dále pro libovolné dva vektory s1u1 + s2u2 + + snun a t1v1 + t2v2 + + tkvk z U, kde n, k N, s1, s2, . . . , sn, t1, t2, . . . , tk T, u1, u2, . . . , un, v1, v2, . . . , vk M platí, že také vektor s1u1 + s2u2 + + snun + t1v1 + t2v2 + + tkvk náleží do U. Rovněž pro libovolné t T také vektor t(s1u1 + s2u2 + +snun) = (ts1)u1 +(ts2)u2 + +(tsn)un náleží do U. Je tedy U podprostor ve (V, +, ). Dále pro každý vektor u M máme u = 1u, takže u U. Je tedy vidět, že M U. Nakonec ukážeme, že U je nejmenší podmnožina ve V s před- chozími dvěma vlastnostmi vzhledem k inkluzi, tedy že U je nejmenší podprostor ve (V, +, ) splňující M U: Buď tedy W libovolný podprostor ve (V, +, ) takový že M W. Pak je třeba ukázat, že U W. Tedy pro libovolný vektor s1u1 + s2u2 + + snun, kde n N, s1, s2, . . . , sn T, u1, u2, . . . , un M, máme ukázat, že s1u1 + s2u2 + + snun náleží do W. Ovšem z definičních vlastností podprostoru ihned plyne, že podprostor W je uzavřen vzhledem k tvorbě libovol- ných lineárních kombinací vektorů s koeficienty z T. Skutečně tedy platí, že U W. 5 Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť X, Y V jsou podprostory vektorového prostoru (V, +, ). Pak množina X + Y = {x + y | x X, y Y} se nazývá součet podprostorů X a Y. Tvrzení. Součet X+Y podprostorů X, Y vektorového pro- storu (V, +, ) nad tělesem (T, +, ) je sám podprostorem vekto- rového prostoru (V, +, ). Navíc platí X + Y = X Y , čili X + Y je podprostor vektorového prostoru (V, +, ) genero- vaný sjednocením podprostorů X a Y. Důkaz. Ověříme, že X + Y je podprostor vektorového pro- storu (V, +, ). Poněvadž o = o + o a o X, o Y, máme o X + Y. Jsou-li x, x X a y, y Y libovolné vektory, takže pak x + y, x + y X + Y jsou libovolné vektory, potom x+y+x +y = x+x +y+y , přičemž x+x X, y+y Y, což znamená, že x + y + x + y X + Y. Je-li dále ještě s T libovolný prvek, pak s (x + y) = sx + sy, přičemž sx X, sy Y, což znamená, že s (x + y) X + Y. Ukážeme dále, že platí rovnost X + Y = X Y . Poněvadž o X, o Y a pro kterékoliv vektory x X, y Y máme x = x + o a y = o + y, je jasné, že X Y X + Y. Poněvadž již víme, že X+Y je podprostor vektorového prostoru (V, +, ), zbývá ukázat, že pro kterýkoliv podprostor W vektorového pro- storu (V, +, ) splňující X Y W platí X + Y W. To ale okamžitě plyne z toho, že podprostor W uzavřen vzhledem ke sčítání vektorů. Je tedy X + Y skutečně nejmenší podprostor vektorového prostoru (V, +, ) vzhledem k množinové inkluzi ob- sahující jako podmnožiny oba podprostory X a Y. 6 Řekneme, že součet X + Y podprostorů X, Y vektorového prostoru (V, +, ) nad tělesem (T, +, ) je přímý součet, jestliže X Y = {o}. V takovém případě uvedený součet podprostorů značíme symbolem X Y. Tvrzení. Nechť (V, +, ) je vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Součet X + Y podprostorů X, Y vektorového prostoru (V, +, ) je přímým součtem právě tehdy, když pro každý vektor z X + Y jsou vektory x X a y Y, pro něž z = x + y, určeny jednoznačně. Důkaz. Nechť máme přímý součet XY. Nechť z XY je libovolný vektor a nechť x, x X a y, y Y jsou takové vektory, že z = x + y a z = x + y . Pak x + y = x + y , takže x - x = y - y, přičemž x - x X a y - y Y a současně X Y = {o}. To znamená, že x - x = o a y - y = o, čili x = x a y = y . To potvrzuje výše zmíněnou jednoznačnost. Jestliže naopak součet X + Y není přímý, znamená to, že X Y = {o}, takže existuje nenulový vektor z X Y. Pak lze psát z = z + o = o + z, takže k tomuto vektoru z vektory x X a y Y, pro něž z = x + y, nejsou určeny jednoznačně. Lineární variety ve vektorových prostorech Lineární variety ve vektorových prostorech zobecňují pojem podprostorů vektorových prostorů. Vrátíme-li se ještě jednou k trojrozměrnému vektorovému prostoru (R3 , +, ) nad tělesem (R, +, ) použitému jako vstupní příklad na začátku této kapi- toly, pak za lineární variety v tomto vektorovém prostoru po- važujeme všechny jeho jednoprvkové podmnožiny a dále, opět mírně zjednodušeně řečeno, všechny přímky ležící v tomto pro- storu, všechny roviny ležící v tomto prostoru a konečně taktéž zase i celý zmíněný trojrozměrný vektorový prostor sám. Byl tedy opuštěn požadavek, aby tyto množiny obsahovaly nulový vektor (0, 0, 0), nebo též, volněji řečeno, nežádá se nyní, aby 7 tyto množiny procházely počátkem [0, 0, 0]. Zmíněné podmno- žiny trojrozměrného vektorového prostoru (R3 , +, ) jsou cha- rakterizovány podmínkou, že s každými svými dvěma různými prvky obsahují i celou přímku jimi proloženou. Přenesením této podmínky do situace, kdy je dán libovolný vektorový prostor nad obecným tělesem, dostaneme následující definici lineárních variet ve vektorových prostorech. Nechť (V, +, ) je vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Řekneme, že neprázdná podmnožina Q V je lineární va- rieta ve (V, +, ), splňuje-li podmínku (u, v Q)(s, t T)(s + t = 1 = su + tv Q). Ve zbytku této kapitoly uvedeme ještě jiný popis lineárních variet ve vektorovém prostoru charakterizující je, volně řečeno, jako podprostory daného vektorového prostoru posunuté obecně mimo počátek. Toho se dosáhne přičtením pevného vektoru ke všem vektorům zmíněného podprostoru. Tvrzení. Je-li Q lineární varieta ve vektorovém prostoru (V, +, ) nad tělesem (T, +, ), pak pro kterékoliv dva vektory u, v Q platí {x - u | x Q} = {y - v | y Q} a tato množina vektorů je podprostorem ve vektorovém prostoru (V, +, ). Důkaz. Nechť x Q je libovolný vektor. Pak x - u = x - u + v - v, přičemž 1 2x + 1 2v Q, neboť 1 2 + 1 2 = 1, a poněvadž x - u + v = 2 1 2x + 1 2v - u a 2 - 1 = 1, rovněž x - u + v Q. To znamená, že x - u {y - v | y Q}, což dokazuje inkluzi {x - u | x Q} {y - v | y Q}. Opačná inkluze se dokáže analogicky. Ověříme nyní, že {x - u | x Q} je podprostor vektorového prostoru (V, +, ). Volbou x = u dostáváme, že o = u - u {x - u | x Q}. Nechť dále z, z Q jsou libovolné vektory, 8 takže z - u {x - u | x Q} a z - u {x - u | x Q}. Pak 1 2z + 1 2z Q, a poněvadž z - u + z = 2 1 2z + 1 2z - u, rovněž z-u+z Q, takže z-u+z -u {x-u | x Q}. Nechť navíc s T je libovolný prvek. Pak s (z - u) = sz + (1 - s)u - u, přičemž sz+(1-s)u Q, poněvadž s+1-s = 1, což ukazuje, že s (z - u) {x - u | x Q}. Je tedy uvedená množina podprostorem vektorového prostoru (V, +, ). Podprostor W vektorového prostoru (V, +, ) zkonstruovaný k dané lineární varietě Q ve (V, +, ) v předchozím tvrzení se nazývá zaměření lineární variety Q. Pro samotnou lineární va- rietu Q pak z tohoto tvrzení plyne, že Q = {u + w | w W} pro kterýkoliv vektor u Q. Tvrzení. Nechť (V, +, ) je vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť W V je libovolný podprostor vektorového prostoru (V, +, ) a nechť u V je libovolný vektor. Pak mno- žina Q = {u + w | w W} je lineární varieta ve vektorovém prostoru (V, +, ), jejímž zaměřením je podprostor W. Poznámka. Užíváme pak označení u + W pro množinu {u + w | w W}, takže píšeme Q = u + W. Důkaz. Poněvadž o W, množina Q je neprázdná. Nechť w, w W jsou libovolné vektory, takže pak u+w, u+w Q, a nechť s, t T jsou libovolné prvky splňující s + t = 1. Pak s(u+w)+t(u+w ) = su+tu+sw+tw = (s+t)u+sw+ tw = u+sw+tw , přičemž sw+tw W. To dokazuje, že Q je lineární varieta ve (V, +, ). Přitom W = {x - u | x Q}, takže podprostor W je zaměřením lineární variety Q. Z uvedených tvrzení tedy plyne, že lineární variety ve vekto- rovém prostoru (V, +, ) nad tělesem (T, +, ) jsou právě mno- žiny tvaru u + W, kde u V je libovolný vektor a W je li- bovolný podprostor vektorového prostoru (V, +, ). Přitom pro kterýkoliv vektor v z u + W platí rovnost u + W = v + W. 9