Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (aij) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice A jsou lineárně nezávislé. (ii) Sloupce matice A jsou lineárně nezávislé. (iii) Hodnost matice A je rovna n. (iv) Determinant |A| je nenulový. Důkaz. Ekvivalence prvních tří podmínek plyne z definice řádkové a sloupcové hodnosti matice A a z poznatku odvozeného v předchozí kapitole, že jde o stejná čísla, tedy o hodnost ma- tice A. Zbývá dokázat ekvivalenci těchto tří podmínek s poslední podmínkou. Nechť tedy hodnost matice A je rovna n, takže řádky matice A jsou lineárně nezávislé. Elementárními řádkovými úpravami, tak jak bylo popsáno v prvním odstavci důkazu posledního tvr- zení v minulé kapitole, se matice A převede na schodovitý tvar. Přitom se použijí pouze řádkové úpravy typu (ii) a přehazo- vání řádků. Na hodnosti matice ani na lineární nezávislosti je- jích řádků se tím nic nezmění. Z příslušných tvrzení v kapitole o determinantech navíc plyne, že hodnota determinantu může těmito úpravami nanejvýš změnit znaménko. Poněvadž řádky matice ve schodovitém tvaru jsou lineárně nezávislé, není mezi nimi vespod matice žádný nulový řádek, což nutně znamená, že všechny hlavní prvky leží na hlavní diagonále a že ji vyplní celou. Poněvadž jde o matici v horním trojúhelníkovém tvaru, je podle jiného tvrzení z kapitoly o determinantech její deter- minant roven součinu prvků ležících na hlavní diagonále. Jedná se tedy o součin hlavních prvků, a ten je nenulový. Takže také determinant |A| je nenulový. 1 Nechť naopak řádky matice A jsou lineárně závislé. Je-li A nulová matice, je její determinant roven nule. V opačném pří- padě je n > 1 a podle prvního tvrzení z předminulé kapitoly je některý řádek matice A lineární kombinací ostatních řádků této matice. To ale znamená, že několika elementárními řádkovými úpravami typu (ii) lze dotyčný řádek učinit nulovým řádkem. Podle příslušného tvrzení z kapitoly o determinantech se tím hodnota determinantu matice nezmění. Podle jiného tvrzení ze zmíněné kapitoly je hodnota determinantu matice s nulovým řádkem rovna nule. Takže i determinant |A| je roven nule. Čtvercová matice A = (aij) řádu n nad tělesem (T, +, ), která splňuje ekvivalentní podmínky z předchozí věty, se nazývá regulární matice. Nesplňuje-li taková čtvercová matice A pod- mínky z předchozí věty, říkáme, že je to singulární matice. Buď (T, +, ) těleso a buď m přirozené číslo. Pro každý index i {1, . . . , m} a pro každý prvek r T, r = 0, označme Ei(r) -- čtvercovou matici řádu m, která se liší od jednotkové matice Em pouze tím, že na hlavní diagonále v i-tém řádku a v i-tém sloupci má prvek r. Dále pro každé dva indexy i, j {1, . . . , m}, i = j a pro každý prvek r T označme Eij(r) -- čtvercovou matici řádu m, která se liší od jednotkové matice Em pouze tím, že na pozici mimo hlavní diagonálu v i-tém řádku a v j-tém sloupci má prvek r. Uvedené matice Ei(r) a Eij(r) se nazývají elementární ma- tice řádu m. Je jasné, že tyto matice jsou regulární, neboť |Ei(r)| = r = 0 a |Eij(r)| = 1. 2 Buď dále A = (aij) matice typu m/n nad tělesem (T, +, ). Z definice násobení matic a z popisu elementárních řádkových úprav z minulé kapitoly je evidentní, že provedení elementární řádkové úpravy typu (i) s maticí A pro zvolená i {1, . . . , m} a r T, r = 0 dá tentýž výsledek jako vynásobení matice A zleva elementární maticí Ei(r). Podobně provedení elementární řád- kové úpravy typu (ii) s maticí A pro zvolená i, j {1, . . . , m}, i = j a r T dá týž výsledek jako vynásobení matice A zleva elementární maticí Eij(r). Obdobná tvrzení platí i pro elemen- tární sloupcové úpravy, používají-li se elementární matice řádu n a násobí-li se jimi matice A zprava (indexy i, j matice Eij(r) se ale prohodí). Tvrzení. Pro libovolnou čtvercovou matici A = (aij) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Matice A je regulární. (ii) Matice A je řádkově ekvivalentní jednotkové matici En. (iii) Matice A je součinem několika elementárních matic řádu n. Důkaz. Je-li matice A regulární, lze ji podle posledního tvr- zení z minulé kapitoly převést elementárními řádkovými úpra- vami na Gauss-Jordanův tvar. Výsledná matice v tomto tvaru je přitom stále regulární, takže její hlavní prvky, jež jsou rovny 1, vyplní hlavní diagonálu a všechny ostatní prvky mimo diago- nálu jsou rovny 0. Tak ovšem vzniká jednotková matice En, čili matice A je řádkově ekvivalentní této jednotkové matici En. Je-li matice A je řádkově ekvivalentní jednotkové matici En, tedy platí-li A En, pak poněvadž je tato relace symetrická podle poznámek z úvodu minulé kapitoly, platí rovněž En A. Lze tedy rovněž konečnou posloupností elementárních řádkových úprav převést jednotkovou matici En na matici A. Poněvadž každou elementární řádkovou úpravu lze realizovat vynásobením některou elementární maticí řádu n zleva, je matice A součinem konečné posloupnosti takových elementárních matic. 3 Je-li konečně matice A součinem elementárních matic, pak je tato matice součinem regulárních matic, neboť elementární ma- tice jsou regulární. Viděli jsme totiž, že determinanty elemen- tárních matic jsou nenulové. Podle Cauchyovy věty pak také jakýkoliv součin takových matic má nenulový determinant a je tedy regulární maticí. Takže i matice A je regulární. Důsledek. Dvě matice A a B typu m/n nad tělesem (T, +, ) jsou řádkově ekvivalentní, tedy splňují A B, právě tehdy, když existuje regulární čtvercová matice C řádu m nad tělesem (T, +, ) taková, že B = C A. Důkaz plyne bezprostředně z ekvivalence první a poslední podmínky v předchozím tvrzení. V kapitole o maticích jsme viděli, že množina Matnn(T) všech čtvercových matic řádu n nad tělesem (T, +, ) tvoří vzhledem k operaci násobení matic monoid (Matnn(T), ). Neutrálním prvkem tohoto monoidu je jednotková matice En. Zajímají nás nyní invertibilní prvky tohoto monoidu, tj. invertibilní čtvercové matice řádu n nad tělesem (T, +, ). Čtvercová matice A řádu n je invertibilní, existuje-li k ní čtvercová matice B řádu n taková, že platí A B = En = B A. Pak matice B se nazývá inverzní matice k matici A. Z kapitoly o monoidech víme, že inverzní matice k matici A, pokud existuje, je jediná, a značíme ji A-1 . Věta. Čtvercová matice A řádu n nad tělesem (T, +, ) je invertibilní právě tehdy, když je regulární. Důkaz. Je-li daná čtvercová matice A řádu n invertibilní, existuje čtvercová matice B řádu n taková, že AB = En. Podle Caychyovy věty odtud plyne, že |A| |B| = |AB| = |En| = 1, takže |A| = 0 a matice A je tedy regulární. Je-li naopak čtvercová matice A řádu n regulární, je podle předchozího tvrzení řádkově ekvivalentní jednotkové matici En, 4 takže podle posledního důsledku existuje regulární čtvercová matice C řádu n taková, že C A = En. Transponovaná matice A je pak ovšem podle definice také regulární, takže ze stejných důvodů existuje regulární čtvercová matice D řádu n taková, že D A = En. Odtud transponováním plyne, že A D = En. Přitom C = C En = C A D = En D = D , takže celkem C = D je inverzní matice k matici A. Připomeňme z kapitoly o monoidech a grupách, že pro libo- volné dvě regulární čtvercové matice A a B řádu n platí (A-1 )-1 = A a (A B)-1 = B-1 A-1 . Je také užitečné poznamenat, že jakmile o čtvercových maticích A a B řádu n víme, že platí jedna z rovností A B = En nebo B A = En, pak odtud vyplyne, že tyto rovnosti jsou splněny obě a že tudíž obě matice A, B jsou invertibilní a přitom jedna ke druhé na- vzájem inverzní. Skutečně platí-li například rovnost AB = En, pak stejně jako v předchozím důkaze zjistíme, že obě matice A, B jsou regulární a existují k nim tudíž inverzní matice A-1 a B-1 . Dále odtud dostáváme B = EnB = A-1 AB = A-1 En = A-1 , čili B = A-1 a platí tudíž i rovnost B A = En. Z kapitoly o monoidech a grupách též připomeňme, že mno- žina regulárních čtvercových matic řádu n nad tělesem (T, +, ), tedy množina všech invertibilních matic v monoidu (Matnn(T), ) je uzavřená vzhledem k násobení matic a že takto sama tvoří grupu. Tuto množinu všech regulárních čtvercových matic řádu n nad tělesem (T, +, ) bývá zvykem označovat symbolem GLn(T) a mluví se v této souvislosti o obecné lineární grupě stupně n nad (T, +, ). Z Cauchyovy věty dále například plyne, že množina všech čtvercových matic řádu n nad tělesem (T, +, ), jejichž deter- minant je roven 1, tvoří podgrupu v GLn(T). Tuto podgrupu 5 bývá obvyklé označovat symbolem SLn(T) a mluví se o ní jako o speciální lineární grupě stupně n nad (T, +, ). Metody výpočtu inverzních matic Mějme regulární čtvercovou matici A = (aij) řádu n nad tě- lesem (T, +, ). Viděli jsme, že pak A En, což znamená, že provedením několika elementárních řádkových úprav lze z ma- tice A dostat jednotkovou matici En. Nechť F1, F2, . . . , Fk jsou elementární matice řádu n odpovídající postupně těmto řádko- vým úpravám. Pak provedení zmíněné posloupnosti řádkových úprav s maticí A znamená vynásobení matice A postupně ma- ticemi F1, F2, . . . , Fk zleva, čímž vzniká součin matic Fk F2 F1 A = En. Vezměme tedy matici C = Fk F2 F1. Pak ovšem máme C A = En a podle toho, co bylo řečeno výše, je tedy C inverzní maticí k matici A. Provedeme-li dále tutéž posloupnost elemen- tárních řádkových úprav jako výše také s maticí En, dostaneme tím z týchž důvodů matici C En = C, tedy samotnou inverzní matici k matici A. Myšlenka, o kterou se nyní opírá metoda výpočtu inverzní matice k dané čtvercové matici A řádu n, spo- čívá v provádění týchž elementárních řádkových úprav s oběma maticemi A i En současně. Přitom volíme tyto úpravy tak, aby převedly matici A do Gauss-Jordanova tvaru. Je-li matice A regulární, vznikne tak jednotková matice En, takže takto po ně- kolika krocích obdržíme řádkově ekvivalentní matice (A |En ) (En| C) , kde C = A-1 . Není-li matice A regulární, vyjde nám v jejím Gauss-Jordanově tvaru alespoň jeden nulový řádek. Jinou možnost, jak počítat inverzní matici, poskytuje násle- dující výsledek. Mějme regulární čtvercovou matici A = (aij) 6 řádu n > 1 nad tělesem (T, +, ). Připomeňme, že v kapitole o determinantech jsme pro každá i, j {1, 2, . . . , n} definovali algebraický doplněk Aij prvku aij v matici A. Vezměme čtver- covou matici A = (Aij) řádu n složenou z těchto algebraických doplňků a k ní transponovanou matici A = A . Tato matice A se nazývá adjungovaná matice k matici A. Nyní můžeme for- mulovat následující fakt: Věta. Buď A = (aij) regulární čtvercová matice řádu n > 1 nad tělesem (T, +, ). Pak platí A-1 = |A|-1 A . Důkaz. Podle toho, co bylo uvedeno shora, stačí ukázat, že součin matice A s maticí |A|-1 A je roven jednotkové matici En. Neboli stačí ukázat, že A A = |A| En. Zvolme proto nejprve libovolný index i {1, 2, . . . , n} a vypočtěme prvek ležící v ma- tici A A na diagonále v i-tém řádku a v i-tém sloupci. Tento prvek je ovšem roven ai1 Ai1 +ai2 Ai2 + +ain Ain = |A| podle věty o Laplaceově rozvoji determinantu |A|, a to je odpovídající diagonální prvek matice |A| En. Zvolme dále libovolné indexy i, j {1, 2, . . . , n}, i = j a vypočtěme prvek ležící v matici AA na pozici mimo diagonálu v i-tém řádku a v j-tém sloupci. Tento prvek vychází roven ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + + ain Ajn = 0, ne- boť jde o Laplaceův rozvoj determinantu z matice, která se od matice A liší v tom, že se v ní místo j-tého řádku opakuje i-tý řádek. Podle jednoho z tvrzení v kapitole o determinantech je ovšem determinant z matice mající dva stejné řádky roven nule. Prvky matice |A| En ležící mimo diagonálu jsou ovšem nulové. To potvrzuje rovnost AA = |A|En, kterou bylo třeba dokázat. Matice přechodu od báze k bázi Nechť (V, +, ) je nenulový vektorový prostor konečné di- menze nad tělesem (T, +, ) a nechť vektory f1, f2, . . . , fn před- 7 stavují některou bázi tohoto prostoru. Připomeňme, že potom pro každý vektor u V existují jednoznačně určené prvky s1, s2, . . . , sn T takové, že u = s1f1 + s2f2 + + snfn. Prvky s1, s2, . . . , sn se nazývají souřadnice vektoru u v bázi f1, f2, . . . , fn. Nechť (V, +, ) je nenulový vektorový prostor konečné di- menze n nad tělesem (T, +, ). Nechť posloupnosti f1, f2, . . . , fn a g1, g2, . . . , gn tvoří dvě báze prostoru (V, +, ). Nechť pro každé j {1, 2, . . . , n} jsou a1j, a2j, . . . , anj souřadnice vektoru gj v bázi f1, f2, . . . , fn, takže gj = a1jf1 +a2jf2 + +anjfn. Pak čtvercová matice A = (aij)i=1,...,n, j=1,...,n nad (T, +, ) se nazývá matice přechodu od báze f1, f2, . . . , fn k bázi g1, g2, . . . , gn. Zavedeme-li podobně jako ke konci předminulé kapitoly značení f = f1 f2 . . . fn a g = g1 g2 . . . gn pro zmíněné dvě báze prostoru (V, +, ), pak právě uvedená definice matice pře- chodu A = (aij) od báze f k bázi g znamená, že platí rovnost g = f A, vzpomeneme-li si na dříve zavedené násobení matic nad vekto- rovým prostorem (V, +, ) maticemi nad tělesem (T, +, ). Tvrzení. Nechť (V, +, ) je nenulový vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť f1, f2, . . . , fn a g1, g2, . . . , gn jsou dvě báze prostoru (V, +, ) a nechť A = (aij) je matice přechodu od báze f1, f2, . . . , fn k bázi g1, g2, . . . , gn. Nechť u je libovolný vektor z V a nechť s1, s2, . . . , sn, resp. t1, t2, . . . , tn jsou souřad- nice vektoru u v bázi f1, f2, . . . , fn, resp. v bázi g1, g2, . . . , gn. Pak platí rovnost s1 s2 ... sn = A t1 t2 ... tn . 8 Důkaz. Označme f = f1 f2 . . . fn , g = g1 g2 . . . gn a dále s = s1 s2 . . . sn , t = t1 t2 . . . sn . Pak po- dobně jako ke konci předminulé kapitoly můžeme psát u = f s a současně u = g t. Současně, jak bylo výše řečeno, podle definice matice přechodu A = (aij) máme g = f A. Dosaze- ním do předchozí rovnosti s využitím dříve ověřené asociativity zmíněného násobení matic nad vektorovým prostorem (V, +, ) maticemi nad tělesem (T, +, ) dostáváme, že u = f A t. To znamená, že A t jsou souřadnice vektoru u v bázi f. Ovšem také s jsou souřadnice vektoru u v téže bázi f. Vzhledem k jedno- značnosti souřadnic vektoru u v bázi f prostoru (V, +, ) odtud plyne rovnost s = A t, což bylo třeba ověřit. Ukážeme nyní, jakým způsobem se uplatní inverzní matice v problematice bází vektorových prostorů. Tvrzení. Nechť (V, +, ) je nenulový vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť f1, f2, . . . , fn a g1, g2, . . . , gn jsou dvě báze prostoru (V, +, ) a nechť A = (aij) je matice přechodu od báze f1, f2, . . . , fn k bázi g1, g2, . . . , gn. Pak A je regulární matice a matice A-1 k ní inverzní je maticí přechodu od báze g1, g2, . . . , gn k bázi f1, f2, . . . , fn. Důkaz. Označme f = f1 f2 . . . fn , g = g1 g2 . . . gn . Pak A = (aij) je matice přechodu od báze f k bázi g. Označme dále zprvu B = (bij) matici přechodu od báze g k bázi f. Podle toho, co bylo řečeno dříve v této kapitole, zcela stačí, když uká- žeme, že součin A B je roven jednotkové matici En řádu n. Ovšem podle definice matic přechodu A = (aij) a B = (bij) máme rovnosti g = f A a f = g B. Z těchto rovností opět s využitím asociativity zmíněného násobení matic dosazením do- stáváme rovnost f = f A B. 9 Současně ale evidentně platí také rovnost f = f En. Čili jak matice A B, tak také matice En jsou maticemi přechodu od báze f k téže bázi f. Matice přechodu je ovšem určena jedno- značně, neboť má ve svých sloupcích souřadnice vektorů báze, ke které se přechází, vzhledem k výchozí bázi. Odtud tedy plyne, že A B = En, jak bylo třeba ukázat. To znamená, že B = A-1 . 10