Vektorové prostory V rovině nebo v prostoru si vektory představujeme jako ori- entované úsečky, tedy jako úsečky, jejichž jeden krajní bod je považován za počáteční a druhý krajní bod za koncový. Vektor pak znázorňujeme jako šipku vedoucí z počátečního do konco- vého bodu této úsečky. Ovšem ne každé dvě různé orientované úsečky považujeme za různé vektory. Kterékoliv dvě rovnoběžné, stejně dlouhé a souhlasně orientované úsečky představují ten stejný vektor. Říká se též, že v tom případě jde jen o dvě různá umístění téhož vektoru. Zvolíme-li pevně nějaký bod O v rovině či v prostoru, pak můžeme každý vektor jednoznačně reprezentovat tím jeho umís- těním, které má počáteční bod právě v bodě O. Při této repre- zentaci pak vektory vzájemně jednoznačně odpovídají bodům v rovině či v prostoru ­ každý vektor odpovídá koncovému bodu svého umístění majícího počátek v bodě O. Podotkněme, že sám bod O při této korespondenci odpovídá vektoru nulové délky, je- muž říkáme nulový vektor. Zvolíme-li v rovině, resp. v prostoru kromě počátku O ještě dvě, resp. tři souřadné osy, tedy navzájem kolmé přímky pro- cházející bodem O, a na každé z nich umístíme nenulový vektor stejné jednotkové délky s počátkem v bodě O, dostaneme pra- voúhlý souřadnicový souřadnicový systém v rovině, resp. v pro- storu. Pak body roviny či prostoru jsou jednoznačně určeny dvo- jicemi či trojicemi svých souřadnic v tomto souřadnicovém sys- tému, což znamená, že vzájemně jednoznačně odpovídají uspo- řádaným dvojicím či trojicím reálných čísel. Podobně vektory v rovině či v prostoru jsou pak při svém umístění s počátkem v bodě O jednoznačně určeny souřadnicemi svých koncových bodů, a tedy rovněž vzájemně jednoznačně odpovídají uspořá- daným dvojicím či trojicím reálných čísel. 1 Při pevném souřadnicovém systému tedy můžme množinu všech vektorů v rovině ztotožnit s množinou R2 všech uspo- řádaných dvojic reálných čísel a množinu všech vektorů v pro- storu s množinou R3 všech uspořádaných trojic reálných čísel. Zobecníme dále tuto představu vektorů v dvourozměrném nebo trojrozměrném prostoru na libovolný n-rozměrný prostor, kde n je jakékoliv přirozené číslo. Body tohoto n-rozměrného prostoru pak obdobným způsobem, tedy skrze zvolený souřadnicový sys- tém, vzájemně jednoznačně odpovídají uspořádaným n-ticím re- álných čísel. Množinu všech vektorů v tomto n-rozměrném pro- storu pak ovšem reprezentujeme analogicky jako množinu Rn všech uspořádaných n-tic reálných čísel. Podrobněji to vypadá následovně. Vezměme libovolnou orientovanou úsečku v n-rozměrném pro- storu zadanou svými dvěma krajními body A, B Rn , tedy n-ticemi reálných čísel A = [a1, a2, . . . , an], B = [b1, b2, . . . , bn]. Pak tyto dva body, vzaté jako počáteční a koncový bod dané úsečky určují vektor u = (u1, u2, . . . , un) tak, že u1 = b1 - a1, u2 = b2 - a2, . . . , un = bn - an. Pak ovšem můžeme také stručně psát B = A + u, chápeme-li tento součet po jednot- livých složkách. Tentýž vektor u = (u1, u2, . . . , un) je ovšem taktéž určen kteroukoliv jinou rovnoběžnou souhlasně oriento- vanou a stejně dlouhou úsečkou v n-rozměrném prostoru. To znamená, že tento vektor je rovněž určen kterýmikoliv jinými dvěma body C, D Rn , tedy jinými dvěma n-ticemi reálných čísel C = [c1, c2, . . . , cn], D = [d1, d2, . . . , dn], bereme-li tyto dva body jako počáteční a koncový bod orientované úsečky, pokud pro tyto body platí u1 = d1 - c1, u2 = d2 - c2, . . . , un = dn - cn, takže pak můžeme podobně psát D = C + u. Samotný vektor u = (u1, u2, . . . , un) je pak ovšem také n-ticí reálných čísel, a je tedy též prvkem množiny Rn . 2 Vektory můžeme dále sčítat pomocí vektorového rovnoběž- níku. Jsou-li u = (u1, u2, . . . , un) a v = (v1, v2, . . . , vn) dva vektory umístěné v počátku O = [0, 0, . . . , 0] n-rozměrného prostoru, pak pro koncové body A a B těchto vektorů máme A = [u1, u2, . . . , un] a B = [v1, v2, . . . , vn]. Umístíme-li ovšem vektor v takovým způsobem, aby jeho počátek byl v bodě A, potom pro koncový bod C tohoto jeho umístění dostáváme C = [u1 +v1, u2 +v2, . . . , un +vn]. Jinak řečeno, je-li A = O +u a C = A+v, pak samozřejmě vychází C = O+u+v, což určuje bod C tak, jak bylo výše uvedeno. Je tedy C koncovým bodem součtu vektorů u + v = (u1 + v1, u2 + v2, . . . , un + vn) umístě- ného v počátku O n-rozměrného prostoru. To je znázorněno již zmíněným vektorovým rovnoběžníkem: u u u u f f f fw I I f f f fw O A B C u v u v u + v Kromě toho, je-li u = (u1, u2, . . . , un) vektor v n-rozměrném prostoru a jsou-li A a B počáteční a koncový bod orientované úsečky, která je umístěním vektoru u, pak opačně orientovaná úsečka, tedy úsečka s počátečním bodem B a s koncovým bodem A je umístěním opačného vektoru -u = (-u1, -u2, . . . , -un). Úsečka nulové délky odpovídá nulovému vektoru o = (0, 0, . . . , 0). Takto tedy kartézská mocnina Rn , chápaná jako množina všech vektorů v n-rozměrném prostoru, spolu s právě popsanou ope- rací sčítání vektorů + tvoří komutativní grupu (Rn , +). Vedle toho máme ještě možnost každý vektor u z n-rozměrné- ho prostoru násobit libovolným reálným číslem r. V této souvis- losti se čísla r R nazývají skaláry. Násobek ru nenulového vektoru u skalárem r je potom vektor rovnoběžný s vektorem u, 3 jeho délka je |r|-násobkem délky vektoru u, a je-li přitom r > 0, je tento vektor orientován souhlasně s vektorem u, zatímco je-li r < 0, je tento vektor orientován opačně oproti vektoru u. Je-li r = 0, pak ru je nulový vektor o. Názorně to vypadá takto: u u u u ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! u u u u ru ru ru 0 < r < 1 r > 1 r < 0 Je-li tedy u = (u1, u2, . . . , un) vektor v n-rozměrném prostoru Rn a je-li r R libovolné reálné číslo, pak násobek vektoru u skalá- rem r je vektor ru = (ru1, ru2, . . . , run) z prostoru Rn . Tímto způsobem je zavedena tzv. vnější operace skalárního násobku přiřazující každému číslu r R a každému vektoru u Rn ná- sobek ru vektoru u skalárem r. Tato vnější operace skalárního násobku má pak řadu příznivých vlastností. Tyto vlastnosti jsou v obecnějším kontextu podrobně vypsány dále. Máme-li nyní na zřeteli celou takto vzniklou strukturu na množině Rn , mlu- víme o vektorovém prostoru (Rn , +, ) nad tělesem (R, +, ) všech reálných čísel. Postoupíme-li v procesu zobecňování a abstrakce ještě dále a vezmeme-li místo reálných čísel jakékoliv těleso a místo jeho n-té kartézské mocniny jakoukoliv komutativní grupu, která bude svázána s daným tělesem vnější operací skalárního násobku mající analogické vlastnosti jako doposud, dostaneme následu- jící obecný pojem vektorového prostoru. 4 Buď (T, +, ) těleso a buď (V, +) komutativní grupa. Nechť je dále dáno zobrazení : T × V V přiřazující každému prvku s T a každému prvku u V prvek su V takovým způsobem, že pro libovolná s, t T a u, v V platí s (u + v) = su + sv, (s + t) u = su + tu, (s t) u = s (t u), 1u = u. Pak trojice (V, +, ) se nazývá vektorový prostor nad těle- sem (T, +, ). Prvky množiny V se nazývají vektory a prvky množiny T se nazývají skaláry. Neutrální prvek grupy (V, +) se značí sym- bolem o a nazývá se nulový vektor. Opačný prvek k vektoru u V v grupě (V, +) se značí symbolem -u a nazývá se opačný vektor k vektoru u. Vektor su, kde s T a u V, se nazývá skalární násobek vektoru u prvkem s. Symbolem + jsou ve struktuře vektorového prostoru ozna- čeny dvě binární operace, totiž sčítání + : T × T T v tělese (T, +, ) a sčítání + : V × V V v komutativní grupě (V, +). Podobně symbolem je označena jednak binární operace náso- bení : T × T T v tělese (T, +, ) a také vnější operace ska- lárního násobku : T × V V, která je pak uváděna v rámci trojice (V, +, ). Je třeba mít tuto okolnost na zřeteli, i když nebude moci dojít k nedorozumění, poněvadž z kontextu bude vždy jasné, o kterou operaci právě jde. Pro libovolné vektory u, v V budeme opět synbolem u-v značit vektor u+(-v). Pak z vlastností operací ve struktuře vek- torového prostoru uvedených až doposud plynou jako důsledky také následující vlastnosti. 5 Tvrzení. Nechť (V, +, ) je vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Pak pro libovolná s, t T a u, v V platí s (u - v) = su - sv, (s - t) u = su - tu, s (-u) = (-s) u = -(su), su = o s = 0 u = o. Důkaz. Ježto (-v)+v = o a sv-sv = sv+(-sv) = o, dostáváme odtud s (u - v) = s (u + (-v)) + sv - sv = s (u + (-v) + v) - sv = su - sv. Dále poněvadž (-t) + t = 0 a tu - tu = tu + (-tu) = o, dostáváme podobně (s - t) u = (s + (-t)) u + tu - tu = (s + (-t) + t) u - tu = su - tu. Poněvadž podle předchozího su+s(-u) = s(u+(-u)) = s(u-u) = su-su = o, je vektor s(-u) opačným vektorem k vektoru su, takže máme s(-u) = -(su). Podobně poněvadž su + (-s) u = (s + (-s)) u = (s - s) u = su - su = o, je vektor (-s) u opačným vektorem k vektoru su, takže máme také (-s) u = -(su). Je-li s = 0, pak podle předchozích poznatků máme 0u = (0 - 0) u = 0u - 0u = o. Je-li u = o, pak podobně so = s (o - o) = s o - s o = o. Je-li naopak su = o a je-li přitom s = 0, pak u = 1u = (s-1 s) u = s-1 (s u) = s-1 o = o podle posledního zjištění, takže pak u = o. Důsledek. Ve vektorovém prostoru (V, +, ) nad tělesem (T, +, ) pro libovolný vektor u V platí (-1)u = -u. Důkaz. Z vlastností operací v předchozím tvrzení a v definici vektorového prostoru plyne, že (-1)u = -(1u) = -u. 6 Příklady. Nechť (T, +, ) je těleso a nechť n je přirozené číslo. Pak kartézská mocnina Tn = {(s1, s2, . . . , sn) | s1, s2, . . . , sn T} spolu s operací sčítání + definovanou po složkách předpisem (s1, s2, . . . , sn) + (t1, t2, . . . , tn) = (s1 + t1, s2 + t2, . . . , sn + tn) a s vnější operací skalárního násobku definovanou podobně předpisem s(t1, t2, . . . , tn) = (st1, st2, . . . , stn) tvoří vektorový prostor (Tn , +, ) nad tělesem (T, +, ). Speciální případ, kdy tělesem (T, +, ) bylo těleso (R, +, ) všech reálných čísel, byl rozebrán v úvodu této kapitoly. Uvažme množinu R 0,1 všech zobrazení intervalu 0, 1 do množiny R všech reálných čísel. Na této množině definujme ope- raci sčítání + pro libovolná f, g : 0, 1 R předpisem (x 0, 1 ) (f + g)(x) = f(x) + g(x) a dále definujme vnější operaci skalárního násobku pro libo- volná r R a f : 0, 1 R předpisem (x 0, 1 ) (r f)(x) = r f(x) . Pak R 0,1 , +, je vektorový prostor nad tělesem (R, +, ) všech reálných čísel. Polynomy Jiný příklad vektorového prostoru je tvořen polynomy nad daným tělesem. Polynomy například s reálnými koeficienty si představujeme jako výrazy tvaru anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0, kde n N {0} a a0, a1, . . . , an-1, an R jsou koeficienty. Je ovšem možné si dále představovat, že takový polynom má rovněž koeficienty an+1, an+2, . . . u mocnin xn+1 , xn+2 , . . . a že všechny 7 tyto další koeficienty jsou rovny nule. Můžeme tedy tento poly- nom vnímat jako směrem doleva nekonečný výraz + an+2xn+2 + an+1xn+1 + anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0, v němž je ale an+1 = an+2 = = 0, takže takový polynom má jen konečný počet nenulových koficientů. Budeme nadále použí- vat tuto konvenci, aniž to budeme znovu připomínat. Dva poly- nomy považujeme za stejné, mají-li koeficienty u všech mocnin proměnné x stejné. Tuto představu můžeme dále zobecnit tak, že místo reálných čísel budeme brát koeficienty z nějakého obecného pevně daného tělesa (T, +, ), případně ještě obecněji z daného komutativního okruhu (R, +, ). Množinu všech polynomů nad komutativním okruhem (R, +, ) označujeme symbolem R[x]. Vzpomeneme-li si, jakým způsobem se polynomy s reálnými koeficienty sečítají a násobí, pak přímočarým zobecněním pří- slušných vzorců na případ polynomů s koeficienty z obecného komutativního okruhu (R, +, ) dostáváme následující definici sečítání a násobení v rámci množiny R[x] všech polynomů nad tímto okruhem (R, +, ). Tyto operace, aniž by hrozilo nebezpečí záměny, budeme rovněž značit symboly +, . Buď (R, +, ) libovolný komutativní okruh. Pak pro kterékoliv dva polynomy f = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 a g = bmxm + bm-1xm-1 + + b1x + b0 z R[x] definujeme součet f +g těchto polynomů jakožto polynom f +g = (ak +bk)xk +(ak-1 +bk-1)xk-1 + +(a1 +b1)x+a0 +b0, kde k = max{m, n}. Dále definujeme součin fg těchto poly- nomů jakožto polynom fg = c x + c -1x -1 + + c1x + c0, 8 kde = m + n a pro jednotlivé koeficienty c0, c1, c2, . . . máme c0 = a0b0, c1 = a0b1 +a1b0, c2 = a0b2 +a1b1 +a2b0, . . . , takže pro každý index j {0, 1, 2, . . . , } je splněno cj = a0bj + a1bj-1 + + aj-1b1 + ajb0, čili pro každé j {0, 1, 2, . . . , } je cj = j i=0 aibj-i. Poznamenejme, že s takto definovanými operacemi pak platí: Tvrzení. Buď (R, +, ) komutativní okruh. Potom rovněž (R[x], +, ) je komutativní okruh. Důkaz. Ověření všech vlastností komutativního okruhu pro (R[x], +, ) je rutinní záležitostí. Je-li (R, +, ) komutativní okruh, pak okruh (R[x], +, ) se nazývá okruh polynomů nad okruhem (R, +, ). Potom polynomy z R[x] tvaru + anxn + + a2x2 + a1x + a0, v nichž a1 = a2 = = an = = 0, se nazývají konstantní polynomy. Takový konstantní polynom pak lze ztotožnit s prv- kem a0 okruhu (R, +, ). Tímto způsobem je potom komutativní okruh (R, +, ) vnořen do okruhu polynomů (R[x], +, ). Nechť nyní (T, +, ) je těleso a nechť T[x] je množina všech polynomů nad tělesem (T, +, ). Pak s výše definovanými ope- racemi + a na množině T[x] máme podle předchozího tvrzení komutativní okruh (T[x], +, ), nazývaný okruh polynomů nad tělesem (T, +, ). Zúžíme-li nyní druhou z těchto operací, tedy operaci tak, že ji ponecháme definovanou pouze pro ty dvojice polynomů f, g T[x], kde f je konstantní polynom, a tedy f = s pro jistý prvek s T, dostaneme tak vnější operaci skalárního násobku přiřazující každému prvku s T a každému polynomu g T[x] polynom sg T[x]. Podrobněji, je-li g = bmxm + bm-1xm-1 + + b1x + b0, 9 pak polynom sg je dán předpisem sg = sbmxm + sbm-1xm-1 + + sb1x + sb0. Je jasné, že tímto způsobem z množiny T[x] všech polynomů nad tělesem (T, +, ) vzniká vektorový prostor (T[x], +, ) nad tělesem (T, +, ). Matice nad vektorovým prostorem Nechť (V, +, ) je vektorový prostor nad tělesem (T, +, ) a nechť m, n jsou přirozená čísla. Definujeme, co je matice typu m/n nad tímto vektorovým prostorem. Zcela v analogii s dřívější definicí matic nad okruhy či tělesy taková matice vznikne, když libovolných mn prvků z V naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích. Označíme-li pro každá i {1, . . . , m} a j {1, . . . , n} vektor z V ležící v i-tém řádku a v j-tém sloupci matice jako gij, pak matici můžeme zapsat v obvyklém tvaru = g11 g12 . . . g1n g21 g22 . . . g2n ... ... ... gm1 gm2 . . . gmn . Stručněji se tato matice zapisuje zase ve tvaru = (gij)i=1,...,m, j=1,...,n anebo jen ve tvaru = (gij) s udáním, že jde o matici typu m/n nad vektorovým prostorem (V, +, ). Pro matice nad vektorovými prostory je možno obdobně jako pro matice nad okruhy definovat operaci sčítání matic. Buď opět (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Pak pro libo- volné dvě matice = (gij) a = (hij) téhož typu m/n nad 10 tímto vektorovým prostorem definujeme jejich součet + jako matici = (pij) typu m/n, kde pro každá i {1, . . . , m} a j {1, . . . , n} je pij = gij + hij. To znamená, že lze psát, že + = (gij + hij). Dále pro libovolnou matici = (gij) typu m/n nad zmí- něným vektorovým prostorem (V, +, ) a pro libovolný prvek s z tělěsa (T, +, ) definujeme skalární násobek s matice prvkem s jako matici = (uij) typu m/n, kde pro každá i {1, . . . , m} a j {1, . . . , n} je uij = sgij. Takže lze psát, že s = (sgij). Navíc můžeme k dané matici = (gij) nad zmíněným vekto- rovým prostorem uvažovat k ní opačnou matici - = (-gij). Z dříve uvedených vlastností vektorových prostorů pak plyne, že tuto opačnou matici lze pořídit jako skalární násobek ma- tice prvkem -1 tělěsa (T, +, ), takže máme - = (-1). Pak ovšem platí + (-) = , kde je nulová matice nad daným vektorovým prostorem, jejíž všechny prvky jsou rovny nulovému vektoru o. Je-li (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ), pak označíme-li symbolem Matmn(V) množinu všech matic typu m/n nad tímto vektorovým prostorem, vidíme, že výše zavedené sčí- tání takových matic je binární operací na množině Matmn(V). Dále výše zavedené skalární násobení těchto matic prvky tělesa (T, +, ) je vnější operací, tedy zobrazením kartézského součinu T ×Matmn(V) do množiny Matmn(V). Z vlastností vektorového prostoru (V, +, ) je pak zřejmý následující fakt. Tvrzení. (Matmn(V), +, ) je vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť opět (V, +, ) je vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Rozšíříme nyní vnější operaci skalárního násobení vektoru skalá- rem v tomto vektorovém prostoru na operaci součinu dvou matic 11 vhodných typů, z nichž první bude obyčejná matice nad tělesem (T, +, ), zatímco druhá bude matice nad vektorovým prostorem (V, +, ). Takže pro libovolnou matici A = (aij) typu m/n nad (T, +, ) a pro libovolnou matici = (gjk) typu n/p nad (V, +, ) definujeme jejich součin A jako matici = (hik) typu m/p nad (V, +, ), kde pro každá i {1, 2, . . . , m} a k {1, 2, . . . , p} klademe hik = ai1 g1k + ai2 g2k + + ain gnk. Rozdíl oproti obyčejnému násobení dvou matic nad tělesem (T, +, ) tedy spočívá v tom, že zde je operace součtu v (T, +, ) nahrazena operací součtu ve (V, +, ) a operace součinu v (T, +, ) je nahrazena vnější operací skalárního násobku ve (V, +, ). Podobně přímočaře jako pro obvyklé násobení matic se ukáže, že i toto násobení matic je asociativní v následujícím smyslu: Tvrzení. Pro libovolnou matici A typu m/n, pro libovol- nou matici B typu n/p, obě nad tělesem (T, +, ), a pro libovol- nou matici typu p/q nad vektorovým prostorem (V, +, ) nad tímto tělesem platí A (B ) = (A B) . Obdobně toto násobení matic je distributivní vůči sčítání: Tvrzení. Pro libovolnou matici A typu m/n nad tělesem (T, +, ) a pro libovolné matice a , obě typu n/p nad vek- torovým prostorem (V, +, ) nad tímto tělesem, platí A ( + ) = A + A. Pro libovolné matice A a B, obě typu m/n nad tělesem (T, +, ), a pro libovolnou matici typu n/p nad vektorovým prostorem (V, +, ) nad tímto tělesem platí (A + B) = A + B. 12 Kvůli pozdějšímu použití z notačních důvodů definujeme rov- něž součin matice nad vektorovým prostorem a matice nad pří- slušným tělesem skalárů v tomto uvedeném pořadí. Nechť tedy znovu (V, +, ) je vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Pro pro libovolnou matici = (fij) typu m/n nad (V, +, ) a pro libovolnou matici B = (bjk) typu n/p nad (T, +, ) definujeme součin B jako matici = (pik) typu m/p nad (V, +, ), kde pro každá i {1, 2, . . . , m} a k {1, 2, . . . , p} klademe pik = b1k fi1 + b2k fi2 + + bnk fin. Pro uvedení tohoto násobení do souvislosti s násobením ma- tic definovaným výše je na místě ještě doplnit, že analogicky jako pro matice nad okruhy či tělesy, také pro matice nad vek- torovými prostory lze definovat pojem transponované matice. Budeme přitom pro tyto transponované matice užívat stejného označení jako pro transponované matice k maticím nad okruhy či tělesy. Pak z předchozích dvou definic součinů matic plynou následující rovnosti. Poznamenejme, že v nich vystupují tytéž matice , a A, B jako ve zmíněných definicích. (A ) = A , ( B) = B . Rovněž pro násobení matic zavedené ve druhé definici platí analogie předchozího tvrzení o asociativitě tohoto násobení: Tvrzení. Pro libovolnou matici typu m/n nad vektoro- vým prostorem (V, +, ) nad tělesem (T, +, ), pro libovolnou matici A typu n/p nad tělesem (T, +, ) a pro libovolnou matici B typu p/q nad tělesem (T, +, ) platí (A B) = ( A) B. Důkaz. Stačí, když dokážeme rovnost ( (A B)) = (( A) B) . 13 S využitím druhého z předchozích vztahů s transponovanými maticemi a s použitím asociativity násobení matic zavedeného v první definici ovšem vychází ( (A B)) = (A B) = (B A ) = = B (A ) = B ( A) = (( A) B) . Obdobně lze ukázat, že i toto druhé násobení matic je z obou stran distributivní vůči sčítání matic. 14