Zadání: Ortogonalizujte bázi ((1,2,2,-1),(1,1,-5,3),(3,2,8,-7)).
Řešení: Označme vektory po řadě v₁,v₂,v₃.
1) Vektor v₁=(1,2,2,-1) dáme rovnou do nové báze jako w₁.
2) Dále najdeme projekci u₂ vektoru v₂ do podprostoru určeného vektorem v₁.
Tudíž u₂=p v₁ pro vhodné p a w₂=v₂-u₂ je kolmý k v₁.
Protože skalární součin je bilineární, bude platit i rovnost
0=<v₁,w₂>=<v₁,v₂>-p<v₁,v₁>, odkud vypočítáme
koeficient p=<v₁,v₂>/<v₁,v₁>=(1+2-10-3)/(1+4+4+1)=-1
a tedy w₂=v₂+v₁=(2,3,-3,2).
3) Zbývá dopočítat projekci u₃ do podprostoru generovaného w₁,w₂.
Označme parametry u₃=q w₁+ r w₂, tedy w₃=v₃-q w₁-r w₂ a násobením s vektory w₁,w₂
dostáváme systém
0=<w₁,w₃>=<w₁,v₃>-q<w₁,w₁>-r<w₁,w₂>
0=<w₂,w₃>=<w₂,v₃>-q<w₂,w₁>-r<w₂,w₂>
tedy
0=(3+4+16+7)-10q-0r
0=(6+6-24-14)-0q-(4+9+9+4)r
a odtud
q=3,r=-1, w₃=(3,2,8,-7)-3(1,2,2,-1)+(2,3,-3,2)=(2,-1,-1,-2)

Zkouška: Zkontrolujeme, že <w₁,w₂>=<w₁,w₃>=<w₂,w₃>=0.

Poznámka k nedodělanému cvičení: koeficient 4/9 byl správný, jen jsme omylem vynásobili
jiný vektor (měl se vzít w₂ místo w₁).